PROBABILIDAD

Todos, en algún momentos de nuestras vidas hemos usado o dicho cosas relativas a la probabilidad.

¿Será que llueve hoy?

¿Qué posibilidad tengo de ganar el baloto?

¿Cuál es la probabilidad de que el galeras haga erupción esta semana?

¿Cuál es la probabilidad de obtener 3 al lanzar un dado?

¿Cuál es la probabilidad de obtener 7 al lanzar dos dados?

¿Cuál es la probabilidad de escoger una mujer en este grupo?

¿Cómo puedo medir qué tan seguro estoy…

¿Tendremos éxito con el nuevo producto?

¿Dónde debo invertir mi dinero…?

PROBABILIDAD La probabilidad estudia fenómenos

aleatorios.

La probabilidad es fundamental para la

inferencia estadística.

La probabilidad es la posibilidad de que

algo pase.

FENÓMENO ALEATORIO

Situaciones que pueden concluir de diversas maneras sin que sea posible predecir con certeza que resultado particular va a ser observado.

EXPERIMENTO ALEATORIO Es el proceso mediante el cual se obtiene

una observación o una medida de un fenómeno aleatorio.

Cualquier proceso de observación que puede repetirse a voluntad en condiciones similares, con la condición de que el resultado no puede ser previsto antes de cada una de sus realizaciones.

Ejemplos:

Lanzar una moneda y registrar el resultado. Inspeccionar una bombilla para determinar si es

defectuosa o no. Registrar la opinión de un votante respecto a un

problema político importante.

ESPACIO MUESTRAL

Supongamos el experimento de lanzar 3 monedas legales. ¿Cuáles son los posibles resultados de este experimento?

Lanzar la moneda

Cara

Sello

Cara

Cara

Cara

Cara

Cara

Sello

Sello

Sello

Sello

SelloSello

Cara

𝑆= {𝐶𝐶𝐶 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝐶𝑆𝐶 ,𝐶𝑆𝑆 ,𝑆𝐶𝐶 ,𝑆𝐶𝑆 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 }

El conjunto de resultados posibles o espacio muestral , denotado por S, es:

ESPACIO MUESTRALEl conjunto formado por todos los resultados posibles de un experimento aleatorio se llama espacio muestral. Cada uno de los resultados posibles del espacio muestral se llama evento simple o suceso elemental.

, es un espacio muestral.

, es un evento simple

𝐵={𝐶𝑆𝑆 }

, es un evento compuesto

𝐷={𝑆𝐶𝑆 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 }

EVENTO (SUCESO)Cualquier subconjunto definido sobre un espacio muestral es un evento.EJEMPLO:Si consideramos el experimento de lanzar tres monedas, el espacio muestral asociado es:

𝑆= {𝐶𝐶𝐶 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝐶𝑆𝐶 ,𝐶𝑆𝑆 ,𝑆𝐶𝐶 ,𝑆𝐶𝑆 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 }

Los siguientes subconjuntos de S son eventos:

𝐴= {𝐶𝐶𝐶 } 𝐵={𝐶𝑆𝑆 } 𝐷={𝑆𝐶𝑆 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 }EJEMPLO:En un grupo de estudiantes de Psicología que consta de 60 mujeres y 40 hombres, se observa que 24 mujeres y 16 hombres usan lentes. Suponga que un estudiante de este grupo es seleccionado aleatoriamente.

Sean los eventos:

A: La persona seleccionado es hombre.B: La persona seleccionada es mujer.C: La persona seleccionada usa lentes.

EJEMPLO:Si consideramos el experimento de lanzar tres monedas, el espacio muestral asociado es:

𝑆= {𝐶𝐶𝐶 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝐶𝑆𝐶 ,𝐶𝑆𝑆 ,𝑆𝐶𝐶 ,𝑆𝐶𝑆 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 }Sean los eventos:

𝐴= {𝐶𝐶𝐶 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝑆𝐶𝑆 }𝐵={𝐶𝑆𝑆 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝑆𝐶𝑆 , } 𝐷={𝐶𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 ,𝐶𝐶𝐶 }

INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS

La intersección de dos eventos A y B, que se representa por , es el evento que contiene a todos los elementos comunes a A y a B.

𝐴∩ 𝐵= {𝐶𝐶𝑆 ,𝑆𝐶𝑆 }

𝐴∩ 𝐷= {𝐶𝐶𝐶 }

𝐵∩𝐷=∅ Eventos disjuntos

EJEMPLO:

En un grupo de estudiantes de Psicología que consta de 60 mujeres y 40 hombres, se observa que 24 mujeres y 16 hombres usan lentes. Suponga que un estudiante de este grupo es seleccionado aleatoriamente.

Sean los eventos:

A: La persona seleccionado es hombre.

C: La persona seleccionada usa lentes.

INTERSECCIÓN DE DOS EVENTOS

, es el evento: la persona seleccionada es hombre y usa lentes

Para que ocurra el evento es necesario que ocurra A y B, simultáneamente (conjuntamente)

Sean los eventos:

UNIÓN DE DOS EVENTOS

La unión de dos eventos A y B, que se representa por , es el evento que contiene a todos los elementos que pertenecen a A o a B, o a ambos.

EJEMPLO:Si consideramos el experimento de lanzar tres monedas, el espacio muestral asociado es:

𝑆= {𝐶𝐶𝐶 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝐶𝑆𝐶 ,𝐶𝑆𝑆 ,𝑆𝐶𝐶 ,𝑆𝐶𝑆 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 }

𝐴= {𝐶𝐶𝐶 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝑆𝐶𝑆 }𝐵={𝐶𝑆𝑆 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝑆𝐶𝑆 , }𝐷={𝐶𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝐶 ,𝑆𝑆𝑆 ,𝐶𝐶𝐶 }

𝐴∪𝐵= {𝐶𝐶𝐶 ,𝐶𝐶𝑆 ,𝑆𝐶𝑆 ,𝐶𝑆𝑆 }

B

UNIÓN DE DOS EVENTOSEJEMPLO:En la clase de estadística descriptiva 15 estudiantes son de ciencias del deporte, 24 son de trabajo social y 46 son de psicología. Suponga que se selecciona un estudiante de manera aleatoria.

Consideremos los eventos:

A: La persona seleccionada estudia ciencias del deporte.B: La persona seleccionada estudia trabajo social.C: La persona seleccionada estudia psicología.

, es el evento: la persona seleccionada estudia ciencias del deporte o trabajo social.

Para que ocurra el evento , basta con que ocurra uno de los dos, el evento A o el evento B.

PROBABILIDAD DE UN EVENTO

Si un experimento aleatorio puede concluir de N maneras distintas, mutuamente excluyentes e igualmente posibles (probables), y si exactamente n de estos resultados corresponden a un evento A, entonces la probabilidad del evento A, denotada por P(A) está dada por:

P(A)

O lo que es lo mismo:

EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES

Dos eventos A y B, son mutuamente excluyentes si no pueden ocurrir simultáneamente. Es decir, la ocurrencia de uno de ellos impide la ocurrencia del otro.

Dos eventos A y B son mutuamente excluyentes o disjuntos si Es decir, si los eventos A y B no tienen elementos en común.

Ejemplo:Supongamos una población de tamaño 30 estudiantes, 20 estudian Psicología y 10 Trabajo Social. Se escoge un estudiante de esta población aleatoriamente.

Sea el evento A, «la persona seleccionada estudia Psicología».Sea el evento B, « la persona seleccionada estudia Trabajo Social».

¿Son los eventos A y B mutuamente excluyentes?

Porque seleccionar un estudiante de Psicología implica no seleccionar uno de Trabajo Social y viceversa.

SI

PROBABILIDAD DE LA UNIÓN DE DOS EVENTOS

Si A y B son dos eventos cualesquiera de un espacio muestral, la unión de los eventos A y B se denota

𝑷 (𝑨∪𝑩)=𝑷 (𝑨)+𝑷 (𝑩)−𝑷 (𝑨∩𝑩)

REGLA DEL PRODUCTOLa regla del producto analiza la ocurrencia conjunta o sucesiva (simultánea) de varios eventos.La probabilidad de ocurrencia del evento (A y B), es decir, del evento , es igual a la probabilidad de ocurrencia de A por la probabilidad de ocurrencia de B, sabiendo que (dado que) ha ocurrido A.

𝑷 (𝑨𝒚𝑩)=𝑷 ( 𝑨) 𝑷 (𝑩 /𝑨)

𝑷 (𝑨∩𝑩)=𝑷 (𝑨 ) 𝑷 (𝑩 /𝑨 )

, se lee: la probabilidad de que ocurra B dado ha ocurrido A o, probabilidad de B dado A.

, si A y B son eventos mutuamente excluyentes.

, si los eventos A y B son independientes.

REGLA DEL PRODUCTO

Ejemplo:Supongamos una población de tamaño 30 estudiantes, 20 estudian Psicología y 10 Trabajo Social. Se escogen dos estudiantes de esta población aleatoriamente sin reposición.

Sean los eventos:A, el primer estudiante seleccionado estudia Psicología.B, el segundo estudiante seleccionado estudia Trabajo Social.

¿Cuál es la probabilidad de que el primer estudiantes seleccionado estudie Psicología? . P(A)=?

¿Cuál es la probabilidad de que el primer estudiante seleccionado estudie Psicología y el segundo estudie Trabajo Social P(A y B)= ?

𝑷 (𝑨)=𝟐𝟎𝟑𝟎

𝑷 (𝑨∩𝑩)=𝑷 (𝑨)×𝑷 ¿

PROBABILIDAD CONDICIONAL

Ejemplo:

𝑷 (𝑨 /𝑩)=𝑷 (𝑨∩𝑩)𝑷 (𝑩)