7. probabilidad 2

7/23/2019 7. Probabilidad 2

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PROBABILIDADES 2



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Definición axiomática de

probabilidad



10/21/13 3

Definición axiomática de probabilidad

Una probabilidad es una función P, que asigna a cada

evento A de !, un número real P ( A ), que satisface las

siguientes tres propiedades, llamadas axiomas deprobabilidad:

a) P(A) " 0, para cualquier evento A de !.

b)

P(!) = 1c) Si A y B son eventos mutuamente excluyentes de !,

entonces: P(A#B) = P(A) + P(B)



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Teoremas de probabilidades

! Si A = Ø $ P(Ø)=0

El recíproco de este teorema no siempre es cierto!

P(Ac) = 1 - P(A)

! Si A % B $ P(A) & P(B)

!

P(A) = P(A'B) + P(A'Bc

)! P(A#B)= P(A) + P(B) – P(A'B)



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Ejemplo" La probabilidad de que una computadora tenga el

programa A es 0.6 y de que tenga el programa B es

0.5. Si la probabilidad de que tenga los dosprogramas es 0.2, encontrar la probabilidad de que:

" tenga alguno de los dos programas

" tenga el programa A pero no el B

" tenga el programa B pero no el A

" tenga sólo uno de los dos programas

" no tenga ninguno de los dos programas



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Ejercicio

El análisis costo-beneficio de la compra de cierta fábricadeterminó que solo la ocurrencia de alguno de los eventos A o Bocasionaría una inversión desfavorable. Se estima que laprobabilidad de que ocurra el evento A es 0,1; la probabilidad de

que el evento B ocurra es 0,05 y la probabilidad de que ocurranambos eventos es 0,02. ¿Cuál es la probabilidad de que

a)

la inversión resulte desfavorable debido únicamente a laocurrencia del evento A?

b)

la inversión resulte desfavorable debido únicamente a laocurrencia del evento B?

c) Cuantifique el riesgo que se corre en esta inversión, es decir, laprobabilidad de que la compra ocasione una inversióndesfavorable.



Probabilidad Condicionale Independencia



Probabilidad Condicional

Dados A y B dos eventos en el espacio muestral !,la probabilidad condicional de B dado A se definepor:

P B A( ) =n( A! B)

n( A), si

n( A)>

0

( ))(

)(

A P

B A P A B P

!= , si 0)( > A P

Si!

es finito y equiprobable:



Ejemplo

Suponga que de una baraja normal de cartas (sin

comodines) se extrae una carta al azar. Si se

definen los eventos

A = “ la carta seleccionada es de tréboles” y

B = “ la carta seleccionada es negra” .

Halle P(A|B) y P(A). ¿Son estás probabilidades

iguales? ¿Qué significa que no lo sean?

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Probabilidad condicional

En la probabilidad condicional, P(B/A), el eventocondición A determina el nuevo espacio muestral

A B



Ejemplo"

EL 60% de las computadoras de una granempresa tienen instalado el programa A y

el 50% tienen el programa B. El 20% delas computadoras tienen los dosprogramas.

" Encontrar la probabilidad de que unacomputadora de la empresa, seleccionadaal azar, tenga el programa B si sabemos

que tiene el programa A.



Ejemplo" Sean los eventos

" La probabilidad de que la computadora seleccionada tenga

el programa B dado que tiene el programa A es de 0,333

}{

}{

B programael tieneacomputador la B

A programael tieneacomputador la A

=

=

100

20)(,

100

50)(,

100

60)( =!== B A P B P A P

60

20

100

60100

20

)(

)()/( ==!

=

A P

B A P A B P



Ejemplo

" En el último reporte anual de una gran cadena

hotelera se afirmaba que el 72% de sus trabajadores

habla inglés, el 54% habla francés y el 37% hablaambos idiomas.

"

Un turista francés llega a uno de los hoteles de la

cadena, la recepcionista lo saluda amablemente y lehabla en inglés, ¿qué probabilidad hay de que esta

recepcionista hable francés?



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Solución

" Sean los eventos

" Dado que la recepcionista habla inglés, la probabilidad deque hable francés es 0,514

}{

}{

francéshabla starecepcionila B

ingléshabla starecepcionila A

=

=

P( A) = 0, 72 P( B) = 0, 54 P( A! B) = 0,37

P( B / A) =P( A! B)

P( A)=

0,37

0, 72= 0, 514



Regla del producto"

Sean A y B dos eventos

)/()()(

:0)(

A B P A P B A P

A P Si

=!

"



Ejemplo"

De 50 computadoras, hay 20 que son marca Apple.Se escoge al azar, una por una, dos computadoras.

Encontrar la probabilidad de que la primera seauna Apple y la segunda no lo sea.

{ } Appleesnoacomputador segunda La B

Appleesacomputador primera La A

=

=

( ) ( )49

30

50

20)( !=="

A B P A P B A P

( )49

30

50

20)( ==

A B P A P



Ejemplo

"

De los adultos de 25 o más años empleados en

cierto país, el 90.3% completó la enseñanza

media y de ellos, el 30.8% completó launiversidad.

" Calcular la probabilidad de que un adulto

empleado de ese país, seleccionado al azar, hayacompletado la enseñanza media y también la

universidad.



Solución

"

Sean los eventos:

M= {enseñanza media completa}

U= {enseñanza universitaria completa}

P (M ' U)= P(M) x P(U/M)

= 0,903 x 0,308 = 0,278 En el país del ejemplo, la probabilidad de que un adulto

empleado, de 25 o mas años, haya completado la

enseñanza media y la universitaria es del 0,278



Partición del espacio" Los eventos E 1, E 2,…, E

n son una partición

del espacio Ω, si:

),...,2,1(,0)( ni E P i

=!

)(, ji E E ji !=" #

!n

i

i E

1=

!=

E1 E2

E3 En ...

Ω



Teorema de probabilidad total" Si los eventos E 1, E 2,…, E

n son una

partición del espacio muestral Ω:

( )!=

"#$

%&'

=

n

i i

i E A P E P A P

1

)(



Ejemplo

" En una fábrica textil, cada polo es estampado en una de

tres máquinas: M1, M2, M3. El número de polos

estampados diariamente en cada máquina es 500, 350 y

150 respectivamente.

" El porcentaje de polos devueltos por defectos en el

estampado es de 1%, 3% y 6% para las máquinas M1,

M2 y M3 respectivamente." Si se escoge al azar un polo estampado ¿cuál es la

probabilidad de que sea devuelto por defectos en el

estampado?



Solución

" Sean los eventos

"

Además

}{

)3,2,1(,}{

estampadoel endefecto por devuelto polo D

i M máquinalaenestampado polo E ii

=

==

06.0)/(

,03.0)/(,01.0)/(15.0)(,35.0)(,5.0)(

3

21

321

=

==

===

E D P

E D P E D P

E P E P E P



... sigue solución

" La probabilidad de que el polo escogidosea devuelto por defectos en el

estampado es del 0,0245 pues:

P( D) = P( E i)P( D / E

i)

i=1

3

!= 0,5"0,01+ 0,35"0,03+ 0,15"0,06 = 0,0245



Teorema de Bayes

El teorema de Bayes establece una relación muy

importante en la teoría de probabilidades y es la base

para la revisión de la asignación de probabilidades a laluz de información adicional.

Posibilidadesa priori

InformaciónNueva

Teoremade Bayes

Posibilidadesposteriores



Teorema de Bayes" Si los eventos E 1, E 2,…, E

n son una

partición del espacio Ω y P ( A) ! 0:

( )

),...,2,1(,)(nk

A P

E A P E P

A

E P

k k

k =

!"#

$%&

=

!"

#

$%

&



Ejemplo

" Una manufacturera recibe embarques de piezas

de dos proveedores. El 65% de las piezas son

adquiridas del proveedor 1 y el 35% restante delproveedor 2.

" Según la estadística existente, el 98% de las

piezas recibidas del proveedor 1 son buenas y el2% son malas. En el caso del proveedor 2, el

95% de las piezas son buenas y el resto malas.



sigue ejemplo

" Todas las piezas recibidas se guardan en un

almacén.

" Si se selecciona una pieza al azar del almacén,¿cuál es la probabilidad de que resulte mala?

" Suponga que una de las piezas recibidas está

mala. ¿Cuál es la probabilidad que haya sidoadquirida del proveedor 1? ¿Cuál es la

probabilidad que haya sido adquirida del

proveedor 2?



P(A)

P(A´)

P(B|A)

P(M|A)

P(B|A´)

P(M|A´)

4262.00305.0

0130.0

)(

)()|( ==

!=

M P

M A P M A P

P(A B)=0.65x0.98=0.6370

P(A M)=0.65x0.02=0.0130

P(A´ B)=0.35x0.95=0.3325

P(A´

M)=0.35x0.05=0.0175

0.0130 +0.0175

0.0305

5738.00305.0

0175.0

)(

)´()´|( ==

!=

M P

M A P M A P



EjercicioEl dueño de H&T Ingenieros debe decidir si presentao no una oferta para hacerse cargo de la construcción

de un nuevo centro comercial. En el pasado suprincipal competidor, la empresa UeharaConstructores, ha propuesto ofertas en el 75% de losnuevos proyectos de construcción. Si Uehara

Constructores no presenta ofertas para un trabajo, laprobabilidad de que H&T Ingenieros obtenga eltrabajo es de 0,56. Si Uehara Constructores proponeuna oferta para el trabajo, la probabilidad de que

H&T Ingenieros obtenga el trabajo es de 0,28.



a) ¿Cuál es la probabilidad de que H&T

Ingenieros obtenga el trabajo? Con base en

este resultado, ¿recomendaría usted que laempresa presente una oferta?

b) Si la empresa H&T Ingenieros obtiene el

trabajo, ¿cuál es la probabilidad de que laempresa Uehara Constructores haya

propuesto una oferta?

Respuestas: a) 0,35 b) 0,60



Independencia



Juego de dados" En un juego se lanza un dado una vez y se

gana si sale el número 6.

" ¿Cuál es la probabilidad de ganar?

" Si un jugador ha jugado ya dos veces y ha

ganado en ambas, ¿cuál es la probabilidad deque gane si juega una vez mas?



Eventos independientes

"

Dos eventos A y B son independientes, siy solamente si:

"

O equivalentemente, A y B sonindependientes si y solo si:

)()/( A P B A P =

)()()( B P A P B A P =!



Propiedades:

Eventos independientes

" Sean los eventos A y B tales que: P ( A) ! 0

y P ( B) ! 0. Se cumple que:

" Si A y B son independientes → A y B no son

disjuntos.

" Si A y B son disjuntos → A y B no son

independientes



TeoremaSi los eventos A y B son independientes,

entonces:a) A y Bc son independientes

b)

Ac

y B son independientesc) Ac y Bc son independientes.



Ejemplo" Un televidente ve de manera independiente los

programas A y B. La probabilidad de que vea el

programa A es 0,2 y de que vea el programa B es0,3, hallar la probabilidad de que:

" vea los dos programas

"

no vea ninguno de los dos programas" vea alguno de los dos programas

" vea sólo el programa A

" vea sólo el programa B

" vea sólo uno de los dos programas



Ejemplo"

Sean los eventos A y B

"

vea los dos programas

"

no vea ninguno de los dos programas

}{

}{

B programael vea B

A programael vea A

=

=

06.03.02.0)()()() =!==" B P A P B A P a

56.07.08.0)()()() =!==" C C C C

B P A P B A P b



Ejemplo" vea alguno de los dos programas

"

vea sólo el programa A

44.056.01)(1))((1)()

=!=

"!=#!=# C C C

B A P B A P B A P c

14.07.02.0

)()()()()

=!=

="=# C C

B P A P B A P B A P d



Ejemplo"

vea sólo el programa B

"

vea sólo uno de los dos programas

24.08.03.0)()()()()

=!=

="=# C C

A P B P A B P A B P e

38.024.014.0

)()()()

=+=

!+!=" A B P B A P B A P f



Ejemplo" Se lanza un dado 10 veces, encontrar

la probabilidad de que el seis

aparezca por lo menos una vez.



Ejemplo}{ vez unamenoslo por aparece seis El A =

}{ iolanzamient el enaparece seis El Ai =

Ai (i =1,2,...,10) son independientes

Ai

C (i =1,2,...,10) son independientes

A = Ai

i=1

10

! ! AC = A

i

C

i=1

10

"



EjemploP A( ) =1! P A

C ( ) =1! P Ai

C

i=1

10

!"

#$

%

&'

=1! P A1

C ( ) P A2

C ( )...P A10

C ( )

6

5)(

6

1)( =!=

C

ii A P A P

P( A) =1! 5

6

"

#$

%

&' 5

6

"

#$

%

&'...

5

6

"

#$

%

&'=1!

5

6

"

#$

%

&'

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7. probabilidad 2

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