trabajo 2 probabilidad

PROBABILIDAD

TRABAJO COLABORATIVO # 2

APRENDIZ

FAVIO INGA

COD 7 604 2782

NUMAR AUGUSTO MUÑOZ

COD 76 335 834

JAVIER AUGUSTO GONZALEZ

COD

JAIME ALBERTO PEREZ TOBAR

COD.76322350

GRUPO 100402_254

TUTOR

CARMEN EMILIA RUBIO

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD

CALIMA DARIÉN

19/11/201

1

INTRODUCCIÓN

A partir de leer los capítulos 4-5 Y 6 se desarrollaran los ejercicios propuestos para este

trabajo colaborativo 2 de la unidad 2 del módulo de probabilidad, nosotros como estudiantes,

adquirimos destrezas en el desarrollo adecuado de problemas que se nos pueden presentar a lo

largo de nuestra vida así como en las carreras profesionales que nos ofrece la UNAD. En forma

muy general este documento nos presenta el desarrollo de 33 ejercicios propuestos sobre

variables aleatorias y distribuciones de probabilidad utilizando las formulas correspondientes

para solucionar cada uno de ellos.

Donde cada integrante debe aportar en el foro 3 ejercicios.

2

OBJETIVOS

Desarrollar un taller de ejercicios sobre los contenidos de los capítulos 4, y 5 de la

Unidad 2 del curso PROBABILIDAD, los cuales nos permitirán profundizar en los temas

tratados.

Identificar las distintas variables que nos ofrece cada ejercicio con el fin de poder aplicar

la fórmula adecuada.

Realizar cada ejercicio indicando los pasos efectuados para el desarrollo de cada uno de

ellos.

Resolver las preguntas planteadas en cada ejercicio.

3

4

La Desviación estándar es otra alternativa para medir la variabilidad y se denotada por σ x y que corresponde a la raíz cuadrada positiva de

la varianza.

El valor esperado de una variable aleatoria discreta X es una medida de posición para la distribución de X; Y se simboliza con μ y se calcula al sumar el producto de cada valor de X con su probabilidad correspondiente. En otras palabras, la media o valor esperado de una variable

aleatoria discreta X es:

La varianza, se calcula ponderando el cuadrado de cada desviación con respecto a la media, con la probabilidad asociada con la desviación.

En otras palabras, la varianza de una variable aleatoria discreta X con media μx y función de probabilidad f(x), es:

VALOR ESPERADO Y VARIANZA DE UNA

VARIABLE

La función de distribución acumulada de una variable aleatoria continua X es la probabilidad de que X tome un valor menor o igual a algún x

específico.

Una variable aleatoria X es continua si el número de valores que puede tomar están contenidos en un intervalo (finito o infinito) de números reales

Función de la distribución acumulada: Es la función de la variable en la que al sustituir x por un valor, el valor de la función es la probabilidad de que la variable

tome valores menores o iguales que dicho valor x. Se denota F ( x ) . F ( x )=P ( x≤ x )=∑

t ≤ x

f (t )El uso de probabilidades acumuladas es una alternativa

para describir la distribución de probabilidad de una variable aleatoria.

La función de densidad de probabilidad f(x) de una variable aleatoria continua, se define como tal si para cualquier intervalo de números reales.

Función de probabilidad Cuando la distribución de probabilidad se describe a partir de una ecuación, se le denomina función de probabilidad. Esta función f (x) = P(X = x) va del conjunto de los valores posibles de la variable aleatoria discreta X.

ALEATORIA CONTINÚA

Una variable aleatoria X es discreta si el número de valores que puede tomar es finito (o infinito contable).

La distribución de probabilidad es la descripción del conjunto de posibles valores de X, junto con la probabilidad asociada con cada uno de estos valores.

ALEATORIA DISCRETA

VARIABLES ALEATORIAS

Ejercicios capítulo 4.

2.- Sea X una variable aleatoria continua con función de densidad

f (x) = a (3x - x2 ) 0 ≤ x ≤ 2

0 en otro caso

a.- Determine el valor de a para que la función sea efectivamente una función de densidad de

probabilidad

Para que sea distribución de probabilidad debe cumplir La variable x corresponde a 0, 1, 2 y 3

a= [(3(0)+(0)2+3(1)+(1)2+3(2)+(2)2+3(3)+(3)3)]=1

a=0+4+10+18

a=32=1

a=1/32

a=0.031

El valor corresponde a=0.031

b.- Calcule P (1 < X < 2)

= 1/32[(3(2)2+2(2)3/6) + (3(1)2+2(1)3/6)]

= 1/32[(28/6+5/6)]

= 1/32(33/6)

= 33/192

= 0.17

3.- Una empresa ha medido el número de errores que cometen las secretarias recién contratadas a

lo largo de los últimos tres años (X), encontrando que éstas cometen hasta cinco errores en una

5

página de 20 líneas y que esta variable aleatoria representa la siguiente función de probabilidad.

Si se escoge una secretaria al azar, cual es la probabilidad de que cometa máximo 2 errores? Cuál

es la probabilidad de que cometa exactamente 2 errores?

X 0 1 2 3 4 5

F(X) 0.50 0.28 0.07 0.06 0.05 0.04

Por lo tanto F(X) es una función de probabilidad

0, X<0

0.50, 0 ≤X<1

0.78, 1 ≤X<2

F(X) 0.85, 2 ≤X<3

0.91, 3 ≤X<4

0.96, 4 ≤X<5

1 X ≥ 5

Σ F(X)=0.50+0.28+0.07+0.06+0.05+0.04=1

µX=E(X)=(0*0.50)+(1*0.28)+(2*0.28)+(2(0.07)+(3*0.06)+(4*0.05)+(5*0.04)

µX=E(X)=0+0.28+0.14+0.18+0.2+0.2

µX=E(X)=1

4.- Un jugador tiene tres oportunidades de lanzar una moneda para que aparezca una cara, el

juego termina en el momento en que cae una cara o después de tres intentos, lo que suceda

primero. Si en el primero, segundo o tercer lanzamiento aparece cara el jugador recibe $20000,

6

$40000 o $80000 respectivamente, si no cae cara en ninguno de los tres pierde $200000. Si X

representa la ganancia del jugador:

a.- Encuentre la función de probabilidad f(x)

b.- Encuentre el valor esperado E(x), la varianza V(x) y la desviación estándar S(x)

Solución

a

½ X=20000

F(X) ¼ X=40000

1/8 X=80000

1/8 X=-200000

b. E(X)= Σ F(X)*x

E(X)=20000*(1/2)+40000*(1/4)+40000*(1/4)+80000*(1/8)-200000*(1/8)

E(X)=10000+10000+10000-25000

E(X)=5000

LA VARIANZA (V(X)]

a2(x)=V(X)=E[(X-M)2]= Σ [(X-M)2*F(X)]

a2(x)=(20000-5000)2*(1/2)+(40000-5000)2+(1/4)+(80000-5000)2*(1/8)+

(-200000-5000)2*(1/8)

a2(x)=112500000+306250000+703125000+5253125000

a2(x)=6375000000

7

5.- Una persona pide prestado un llavero con cinco llaves, y no sabe cuál es la que abre un

candado. Por tanto, intenta con cada llave hasta que consigue abrirlo. Sea la variable aleatoria X

que representa el número de intentos necesarios para abrir el candado.

a.- Determine la función de probabilidad de X.

b.- ¿Cuál es el valor de P (X ≤ 1)

Solución

La probabilidad de abrir a la primera es 1/5

La probabilidad de abrir a la segunda es 4/5*1/4=0,2

La probabilidad de abrir a la tercera es 3/5*1/3= 0,2

La probabilidad de abrir a la cuarta es 2/5*1/2=0,2

La probabilidad de abrir a la quinta es 1/5*1/1= 0,2

P(X=x) = P(X=0) + P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4)

P(X=x)= 1/5 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2 + 0,2

P(X=x) = 1

6.- Suponga que un comerciante de joyería antigua está interesado en comprar una gargantilla de

oro para la cual las probabilidades de poder venderla con una ganancia de $ 250, $ 100, al costo,

o bien con una pérdida de $150 son: respectivamente: 0.22, 0.36, 0.28, 0.14 ¿Cuál es la ganancia

esperada del comerciante?

8

X $250 $100 $0 $150

F(X) 0.22 0.36 0.28 0.14

Σ F(X)=0.22+0.36+0.28+0.14=1

µX=E(X)=($250*0.22)+($100*0.36)+($0*0.28)+($150*0.14)

µX=E(X)=$55+$35+0+$21

µX=E(X)=70

8.-- Una empresa industrial compra varias máquinas de escribir nuevas al final de cada año,

dependiendo el número exacto de la frecuencia de reparaciones en el año anterior. Suponga que

el número de máquinas X, que se compra cada año tiene la siguiente distribución de

probabilidad.

X 0 1 2 3

F(X) 1/10 3/10 2/5 1/5

Σ F(X)=1/10+3/10+2/5+1/5=1

µX=E(X)=(0*1/10)+(1*3/10)+(2*2/5)+(3*1/5)

µX=E(X)=0+0.3+08+0.6

µX=E(X)=1.7


9

1.- Se sabe que el 75% de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta

enfermedad. Si se inoculan 6 ratones, encuentre la probabilidad de que:

a.- ninguno contraiga la enfermedad

b.- menos de 2 contraigan la enfermedad

c.- más de 3 contraigan la enfermedad

n=6

P=75%=0.75

Q=1-P=1-0.75=0.25

b. X=2

Aplicamos la formula

B(x;n;p)= nCx Px Q(n-x)

(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(6-2)

(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(4)=

c.



(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(6-2)

(2;6;0.25)= 6C2 (0.75)2 (0.75)(4)=


(3;6;0.25)= 6C3 (0.75)3 (0.75)(6-3)

(3;6;0.25)= 6C3 (0.75)3 (0.75)(3)=

2.- Un estudio examinó las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio reveló

que 70% cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, sólo disfrazan el problema

real”. De acuerdo con este estudio, de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar:

10

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que al menos 3 tengan esta opinión?

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que máximo 3 tengan esta opinión?

c.- De cuantas personas se esperaría que tuvieran esta opinión.

n=5

P=70%=0.70

Q=1-P=1-0.70=0.30

X=3



(3;5;0.30)= 5C3 (0.70)3 (0.75)(5-3)

(3;5;0.30)= 5C3 (0.70)3 (0.75)(2)=0.1157625

3.- a.- ¿Cuál es la probabilidad de que una mesera se rehusé a servir bebidas alcohólicas a dos

menores si ella verifica al azar las identificaciones de 5 estudiantes de entre 9 estudiantes, de los

cuales 4 no tienen la edad legal para beber?.

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que al revisar las identificaciones de los 5 estudiantes del grupo

de 9, no encuentre ninguna que sea de alguno que no tenga la edad legal para beber?

Solución

a. n= 5

Y= 2

R= 4

N = 9 ((4C2) * (9-4 (5-2)) / ((9C5)) = 0.4761

P= 46,935 % es la probabilidad de que se rehusé a servir a dos menores al azar.

b. n=5

11

y=4

r=5

N=9((5(4)*(9-5(5-4))/((9C5))=0.1587

p=15,87 % es la probabilidad de que a ninguno de los 5 le den a beber.

4.- Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las

transgresiones de cierta actriz famosa es de 0,8. ¿Cuál es la probabilidad de que:

a.- la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo?

b.- La tercera persona en escuchar este rumor sea la segunda en creerlo?

Solución

P(x;n,p)=(n/X)p^{x}7^{n-x}

P(x;n,p)=(n/x)p^{x}7^{n-x}

P(4;6,8)=(3/1)(.8)^3(.2)^2=0.06144

8.- Un científico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta

que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es

del 1,7%.

a.- Cual es la probabilidad de que se requieran 8 ratones?

n=2

P=1.7%=0.017

Q=1-P=1-0.0.017=0.983

X=8


12


(8;2;0.017)= 2C8 (0.017)8 (0.983)(8-2)

(8;2;0.017)= 2C8 (0.017)8 (0.983)(6)=

b.- Cual es la probabilidad de que se requieran entre 4 y 6 ratones?

2X<X<6

X=3,4,5

X=3


(3;2;0.017)= 2C3 (0.017)3 (0.983)(3-2)

(3;2;0.017)= 2C3 (0.017)3 (0.983)(1)=0.007244

X=4


(4;2;0.017)= 2C4 (0.017)4 (0.983)(4-2)

(4;2;0.017)= 2C4 (0.017)4 (0.983)(2)=0.0016136

X=4


(5;2;0.017)= 2C5 (0.017)5 (0.983)(5-2)

(5;2;0.017)= 2C5 (0.017)5 (0.983)(3)=3.83174

P=(X=4)+ P=(X=5) + P=(X=6)

3 (0.983)2*(0.017)2+ 4 (0.983)3*(0.017)2+ 5 (0.983)4*(0.017)2

1 1 1

3 0.966*0.000289+ 4 0.949*0.000289+ 5 0.0932*0.000289

1 1 1

0.00083+0.00109+0.000134

13

0.0022

9.- Suponga que cierto estudiante tiene una probabilidad de 0,75 de aprobar el examen de inglés

en cualquier intento que haga.

a.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo logre aprobar en el tercer intento?

P(0.25)2*(0.75)=0.0468

b.- ¿Cuál es la probabilidad de que lo apruebe antes del tercer intento?

P(0.25)*(0.75)2=0.1406

12.- Según los registros universitarios fracasa el 5% de los alumnos de cierto curso. ¿cuál es la

probabilidad de que de 6 estudiantes seleccionados al azar, menos de 3 hayan fracasado?

La variable X corresponde a 0,1,2 donde n=6 estudiantes seleccionados y p=5%=0.05 para eso

utilizamos una distribución binomial

∫(x,p,n)= n *px*(1-p)n-x

X

Para X=0,1,……..n

F(0;0.05;6) 6 *0.050*(1-0.05)6=1*1*0.735=0.735

0

F(1;0.05;6) 6 *0.051*(1-0.05)5=6*0.05*0.4=0.2322

1

F(2;0.05;6) 6 *0.052*(1-0.05)4=15*0.0025*0.8145=0.0305

2

14

P(X≤X)= F(x;p;n)

P(X<3)= 0.735+0.2322+0.0305=0.3362 probabilidad que tres alumnos hayan fracasado


5.- El Departamento de Talento Humano de una universidad ha hecho un estudio sobre la

distribución de las edades del profesorado y ha observado que se distribuyen normalmente con

una media de 27 años y una desviación típica de 2,5 años. De un total de 400 profesores hallar:

a) ¿Cuántos profesores hay con edad menor o igual a 30 años?

µ=27

s =2.5

P(X<27)X2= X-M = 30- 27 = 3 = 1.2

2.5

X=1.2

P(30 ≤x≤27) ≥1-1/1.22

P(30 ≤x≤27) ≥1-1/1.44

P(30 ≤x≤27) ≥1-0.694

P(30 ≤x≤27) ≥0.306

Los profesores hay con edad menor o igual a 30 años

400*0.3060=122.4

b) ¿Cuántos de 40 años o más?

K= 40-27/2.5

K=13/2.5=5.2

15

P(40 ≤x≤27) ≥1-1/5.22

P(40 ≤x≤27) ≥1-1/27.04

P(40 ≤x≤27) ≥1-0.0369

P(40 ≤x≤27) ≥0.9631

Los profesores hay con edad menor o igual a 40 años

400*0.9631=385.24

6.- En una panadería se cortan panecillos con un peso que se ajusta a una distribución normal de

media 100 g y desviación típica 9. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un panecillo cuyo peso

oscile entre 80 g y la media?

µ=100

=9

P-(K X- µ≤ K ≥1-1/k2 P(-K µ ≤x≤K µ)≥1-1/k2

Tomando el factor de la izquierda, se tiene

P(-K µ ≤x≤K µ)≥1-1/k2 P(100 ≤x≤80)

Esto quiere decir que:

-K µ=100

K µ=80

Al despejar K de cualquiera de ellas se tiene:

K= µ-80/

K= 100-80/9

16

K=20/9=2.2

P(100 ≤x≤80) ≥1-1/2.22

P(100 ≤x≤80) ≥1-1/4.84

P(100 ≤x≤80) ≥1-0.2066

P(100 ≤x≤80) ≥0.7934

De modo que se puede afirmar que se obtendrán panecillos con una probabilidad del

79.34%.

7.- Se ha determinado que para varones normales en una cierta población normalmente

distribuida, la temperatura media es de 37ºC y desviación estándar de 0,5ºC. Si se consideran

1000 de estas personas ¿Cuántas se puede esperar que tengan una temperatura comprendida entre

37ºC y 37,6ºC?

K= µ-37.6/

K= 37.6-37/0.5

K=0.6/0.5=1.2

P(37.6 ≤x≤37) ≥1-1/1.22

P(37.6 ≤x≤37) ≥1-1/1.44

P(37.6 ≤x≤37) ≥1-0.6944

P(37.6 ≤x≤37 ) ≥0.3056=30.56%

Se puede esperar que la temperatura comprendida entre 37ºC y 37,6ºC=30.56%

17

8.- Un calentador de agua requiere por término medio 30 minutos para calentar 40 galones de

agua hasta una temperatura determinada. Si los tiempos de calentamiento se distribuyen

normalmente con una desviación estándar de 0,5 minutos ¿Qué porcentaje de los tiempos de

calentamiento son superiores a 31 minutos?

Solución

µ=30 y σ=0,5N=40

T1-x−u

0-31−30

0.5-

10.5

-2

P(z¿2¿=1−p (z>2 )=1−0,97725=0.0228

Porcentaje de los tiempos de calentamiento superiores a 31 minutos es de:

40*0.0228=0.912*100=91.2%

9.- Suponiendo que las tallas de los adultos de un país A siguen una distribución normal con

media 180 cm. y desviación típica 5 cm. y que las tallas de los adultos en un país B siguen una

distribución también normal, pero con media 180 cm. y desviación típica 15 cm., contestar de

manera justificada en cuál de los dos países es más probable encontrar adultos con talla superior

a 195 cm. y dónde es más probable encontrar adultos con talla comprendida entre 175 y 185 cm.

K= µ-180/

K= 175-180/15

K=5/15=0.33

P(175 ≤x≤180) ≥1-1/0.332

18

P(175 ≤x≤180) ≥1-1/0.1089

P(175 ≤x≤180) ≥1-9.1

P(175 ≤x≤180 ) ≥8.1

CONCLUSIÓN

Gracias al desarrollo de este taller podemos darnos cuenta que las variables aleatorias y

las distribuciones de probabilidad son de gran utilidad ya quedando un buen uso de las fórmulas

que estas nos ofrecen podemos dar solución rápida a problemas que se nos pueden presentar en

cualquier parte de nuestro trabajo, ya sea en investigación o en la vida cotidiana.

Por tanto podemos inferir que las teorías y métodos de probabilidad son de fundamental

importancia para la vida personal y laboral de cada profesional, permitiéndole así poder dar

soluciones técnicas a situaciones que se puedan presentar.

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REFERENCIA BIBLIOGRAFICAS

disfrutalasmatematicas.com. (10 de Septiembre de 2014). Matematicas. Obtenido de http://www.disfrutalasmatematicas.com/combinatoria/combinaciones-permutaciones.html

UNAD. (02 de Agosto de 2014). datateca. Obtenido de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100402/100402.zip

UNAD. (13 de Agosto de 2014). datateca. Obtenido de http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100402/2014II_guia_trabajo_colaborativo2_PROBABILIDAD.pdf

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