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República Bolivariana de Venezuela

Ministerio del Poder Popular para la Educación Universitaria

Universidad Nacional Experimental Rómulo Gallegos

Área de Ingeniería, Arquitectura y Tecnología.

Cátedra: Estadística para Ingenieros

Estado Guárico

TEMA 8

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

PROF: ESTUDIANTES:

Ing. Luis Pimentel Balletta Génesis C.I. 23.564.910

Cepeda Luzmar C.I. 23.564.886

Ojeda Gabriel C.I. 23.564.118

Parra Arelys C.I. 24.237.067

Sección 1

San Juan de los Morros, Febrero 2015

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ÍNDICE

Introducción -----------------------------------------------------------------------------

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD ----------------------------------------

Distribución Normal -------------------------------------------------------------------

Campana de Gauss ------------------------------------------------------------------

Variable Aleatoria Continua ---------------------------------------------------------

Cálculo del Área bajo la Curva -----------------------------------------------------

Clasificación Estándar Z -------------------------------------------------------------

Distribución Binomial -----------------------------------------------------------------

Distribución de Poisson --------------------------------------------------------------

Variables Discretas -------------------------------------------------------------------

Conclusión ------------------------------------------------------------------------------

Referencias Bibliográficas ----------------------------------------------------------

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4

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6

7

9

10

16

24

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INTRODUCCIÓN

Una distribución de probabilidad es una representación de todos los

resultados posibles de algún experimento y de la probabilidad relacionada con

cada uno.

Así mismo, una distribución de probabilidad indica toda una gama de

valores que pueden representarse como resultado de un experimento, una

distribución de probabilidad es similar a la distribución de frecuencias relativas.

Sin embargo, en vez de describir el pasado, describe la probabilidad que un

evento se realice en el futuro, constituye una herramienta fundamental para la

prospectiva, puesto que se puede diseñar un escenario de acontecimientos

futuros considerando las tendencias actuales de diversos fenómenos naturales.

Las decisiones estadísticas basadas en la estadística inferencial son

fundamentales en la investigación que son evaluadas en términos de

distribución de probabilidades.

En este sentido, se estudiara de manera ágil a continuación los diversos

tipos de distribución probabilística, se caracterizará cada distribución, y se

estudiara diversos métodos de cálculo de dichas distribuciones.

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DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

En teoría de la probabilidad y estadística, una distribución de

probabilidad indica toda la gama de valores que pueden representarse como

resultado de un experimento si éste se llevase a cabo. Es decir, describe la

probabilidad de que un evento se realice en el futuro, constituye una

herramienta fundamental para la prospectiva, puesto que se puede diseñar un

escenario de acontecimientos futuros considerando las tendencias actuales de

diversos fenómenos naturales.

Distribución Normal

La distribución normal es una distribución de probabilidad de variable

continua que con más frecuencia aparece aproximada en fenómenos reales y

que describe los datos que se agrupan en torno a un valor central. Todo

proceso en el que solo existan causas aleatorias de variación sigue una ley de

distribución normal. La importancia de esta distribución radica en que permite

modelar numerosos fenómenos naturales (de ahí que se la denomine “normal”),

sociales y psicológicos; también puede obtenerse en los procesos industriales si

los procesos se llevan a un estado en el que solo existen causas comunes de

variación.

La gráfica de su función de densidad tiene una forma acampanada y es

simétrica respecto de un determinado parámetro estadístico. Esta curva se

conoce como curva de distribución normal, también denominada campana de

Gauss.

De hecho, la estadística descriptiva sólo permite describir un fenómeno,

sin explicación alguna. Para la explicación causal es preciso el diseño

experimental, de ahí que al uso de la estadística en psicología y sociología sea

conocido como método correlacional.

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La distribución normal también es importante por su relación con la

estimación por mínimos cuadrados, uno de los métodos de estimación más

simples y antiguos.

Algunos ejemplos de variables asociadas a fenómenos naturales que siguen

el modelo de la normal son:

caracteres morfológicos de individuos como la estatura;

caracteres fisiológicos como el efecto de un fármaco;

caracteres sociológicos como el consumo de cierto producto por un

mismo grupo de individuos;

caracteres psicológicos como el cociente intelectual;

nivel de ruido en telecomunicaciones;

errores cometidos al medir ciertas magnitudes;

etc.

La distribución normal también aparece en muchas áreas de la propia

estadística, como lo es la distribución muestral de las medidas muéstrales es

aproximadamente normal, cuando la distribución de la población de la cual se

extrae la muestra no es normal. Además la distribución normal es la más

extendida en estadística y muchos test estadísticos están basados en una

supuesta "normalidad". En probabilidad, la distribución normal aparece como el

límite de varias distribuciones de probabilidad, continuas y discretas.

Campana de Gauss

Llamada Campana de Gaussen honor del renombrado científico alemán

Carl Friedrich Gauss; es una representación gráfica de la distribución normal de

un grupo de datos. Éstos se reparten en valores bajos, medios y altos, creando

un gráfico de forma acampanada y simétrica con respecto a un determinado

parámetro.

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Aunque la campana de Gauss lleva el nombre del genio de las

matemáticas Carl Friedrich Gauss , realmente la distribución normal la

descubrió y publico por primera vez Abraham Moivre (por eso en algunos libros

se llama la distribución de Moivre – Gauss) en un artículo que reprodujo en la

segunda edición de su obra “The Doctrine of Chance” como aproximación de la

distribución normal para valores grandes de n. Este resultado fue ampliado por

Pierre – Simon de Laplace en su libro “Teoría analítica de las probabilidades”.

El nombre de Gauss se ha asociado a esta distribución porque la usó con

profusión cuando analizaba fenómenos astronómicos y algunos autores le

atribuyen un descubrimiento independiente del de DeMoivre.

El nombre de "campana" se lo dio Esprit Jouffret que uso este término

(superficie campana) por primera vez.

La función gaussiana es una función definida por la expresión:

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑒−

𝑥−𝑏 2

2𝑐2

Donde a, b y c son constantes reales (a> 0).

Las funciones gaussianas se utilizan frecuentemente en estadística

correspondiendo, en el caso de que a sea igual a 1

𝑐 2𝜋, a la función de densidad

de una variable aleatoria con distribución normal de media μ=b y varianza

σ2=c2.

Variable Aleatoria Continua

Es aquella que puede tomar infinitos valores dentro de un intervalo de la

recta real. En el caso de una variable aleatoria continua no tiene sentido

plantearse probabilidades de resultados aislados. La probabilidad de valores

puntuales es cero.

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El interés de estas probabilidades está en conocer la probabilidad

correspondiente a un intervalo. Así pues, dicha probabilidad se conoce

mediante una curva llamada función de densidad y suponiendo que bajo dicha

curva hay un área de una unidad.

Conociendo esta curva, basta calcular el área correspondiente para

conocer la probabilidad de un intervalo cualquiera.

Calculo del Área Bajo la Curva

No importa cuáles sean los valores de µ y σ para una distribución de

probabilidad normal, el área total bajo la curva siempre es 1, de manera que

podemos pensar en áreas bajo la curva como si fueran probabilidades.

Matemáticamente es verdad que:

1. Aproximadamente el 68% de todos los valores de una población

normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 1 desviación estándar de

la media.

2. Aproximadamente el 95.5% de todos los valores de una población

normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 2 desviaciones estándar

de la media.

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3. Aproximadamente el 99.7% de todos los valores de una población

normalmente distribuida se encuentra dentro de ± 3 desviaciones estándar

de la media.

Estas gráficas muestran tres formas diferentes de medir el área bajo la

curva normal. Sin embargo, muy pocas de las aplicaciones de la distribución

normal de probabilidad implican intervalos de exactamente (más o menos) 1, 2

ó 3 desviaciones estándar a partir de la media. Para estos casos existen tablas

estadísticas que indican porciones del área bajo la curva normal que están

contenidas dentro de cualquier número de desviaciones estándar (más o

menos) a partir de la media.

Afortunadamente también se puede utilizar una distribución de

probabilidad normal estándar para encontrar áreas bajo cualquier curva normal.

Con esta tabla se determina el área o la probabilidad de que la variable

aleatoria distribuida normalmente esté dentro de ciertas distancias a partir de la

media. Estas distancias están definidas en términos de desviaciones estándar.

Para cualquier distribución normal de probabilidad, todos los intervalos

que contienen el mismo número de desviaciones estándar a partir de la media

contendrán la misma fracción del área total bajo la curva para cualquier

distribución de probabilidad normal. Esto hace que sea posible usar solamente

una tabla de la distribución de probabilidad normal estándar.

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Calificación Estándar Z

Puntuación Z también conocido como puntuación estándar o calificación

estándar, es el método de cálculo de cuántas desviaciones estándar en un

conjunto de datos está por encima o por debajo de la media. La distancia entre

la media y una puntuación z dada en cada distribución normal corta una

proporción de la superficie total por debajo de la curva. Puntuaciones z son

particularmente informativos cuando la distribución a las que se refieren es

normal. El estándar de calificación transformación es útil, en particular cuando

tratando de comparar las posiciones relativas de elementos de distribuciones

con diferentes medios y; o con diferentes desviaciones estándar

Z: fórmula de calificación

La puntuación estándar puede calcularse mediante la fórmula siguiente:

𝒛 =𝒙 − 𝝁

𝝈

Donde

x es una puntuación cruda para ser normalizado

μ es la media de la población

σ es la desviación estándar de la población

La puntuación cruda es por debajo de la Media cuando z es negativa. Del

mismo modo la puntuación cruda es por encima de la Media cuando z es

positiva. La cantidad representada por puntuación estándar z es la distancia

entre la puntuación cruda y la media de la población en términos de desviación

estándar.

La colección de herramientas emplea el estudio de métodos y

procedimientos utilizados para que recopilar, organizar y analizar datos para

comprender la teoría de la probabilidad y estadística. El conjunto de ideas que

pretende ofrecer la manera de hacer la implicación científica de tales como

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resultado datos resumidos. En muchas aplicaciones es necesario calcular la

puntuación estándar para un determinado conjunto de datos. Con esta norma

en línea calculadora de puntuación sin esfuerzo puede hacer el cálculo de la

puntuación z para conjunto de datos.

Distribución Binomial

La distribución Binomial es un caso particular de probabilidadde variable

aleatoria discreta, y por sus aplicaciones, es posiblemente la más importante.

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que

cuenta el número de éxitos en una secuencia de n ensayos de Bernoulli

independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre

los ensayos. Un experimento de Bernoulli se caracteriza por ser dicotómico,

esto es, sólo son posibles dos resultados. A uno de estos se denomina éxito y

tiene una probabilidad de ocurrencia p y al otro, fracaso, con una probabilidad q

= 1 - p. En la distribución binomial el anterior experimento se repite n veces, de

forma independiente, y se trata de calcular la probabilidad de un determinado

número de éxitos. Para n = 1, la binomial se convierte, de hecho, en una

distribución de Bernoulli.

Para representar que una variable aleatoria X sigue una distribución

binomial de parámetros n y p, se escribe: 𝑋~𝐵(𝑛, 𝑝)

La distribución binomial es la base del test binomial de significación

estadística. Esta distribución corresponde a la realización de un experimento

aleatorio que cumple con las siguientes condiciones:

* Al realizar el experimento sólo son posible dos resultados: el suceso A,

llamado éxito, o su contrario A’, llamado fracaso.

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* Al repetir el experimento, el resultado obtenido es independiente de los

resultados obtenidos anteriormente.

* La probabilidad del suceso A es constante, es decir, no varía de una prueba

del experimento a otra. Si llamamos p a la probabilidad de A, p(A) = P, entonces

p(A’) = 1 – p = q

* En cada experimento se realizan n pruebas idénticas.

Todo experimento que tenga estas características se dice que sigue el

modelo de la distribución Binomial o distribución de Bernoulli.

En general, si se tienen nensayosBernoulli con probabilidad de éxito p y

de fracaso q, entonces la distribución de probabilidad que la modela es la

distribución de probabilidad binomial y su regla de correspondencia es:

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

Como el cálculo de estas probabilidades puede resultar algo tedioso se

han construido tablas para algunos valores de n y p que facilitan el trabajo.

Calculo de la distribución de probabilidad binomial por tres métodos:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

c) Utilización de las tablas binomiales

Por ejemplo:

¿Cuál es la probabilidad de obtener exactamente 2 caras al lanzar una misma

moneda 6 veces?

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𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

Donde:

P(X) es la probabilidad de ocurrencia del evento

p es la probabilidad de éxito del evento (en un intento) (0.5)

q es la probabilidad de fracaso del evento (en un intento) y se define como

q = 1 – p (0.50)

X = ocurrencia del evento o éxitos deseados = 2 (para efectos de la tabla

binomial tómese como r)

n = número de intentos = 6

a) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando el Minitab

15.

Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el

número 2 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se

desea saber la probabilidad de que caigan exactamente dos caras). (figura

1)

- Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Binomial

En seguida aparecerá la ventana "Binomial Distribution" ("Distribucion

Binomial").

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- Seleccionar Probability

- En el campo de "Number of trials" (Número de intentos) colocar 6 (n)

- En el campo de "Event probability" colocar 0.50 (probabilidad de éxito)

- En el campo de "Input column" colocar el puntero del mouse y

automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X el cual se

selecciona con el puntero del mouse y luego presionar "Select"

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- Una vez alimentado los datos presionar "OK".

- Para obtener así el resultado.

La probabilidad de que caigan 2 caras en el lanzamiento de una moneda

6 veces es 0.234375.

Por lo tanto: 𝑷 𝟐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓

15

b) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando la fórmula

𝑃 𝑋 = 𝑥 =𝑛!

𝑥! 𝑛 − 𝑥 !𝑝𝑥𝑞𝑛−𝑥

Al sustituir los valores en la fórmula se obtiene:

𝑃 2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 =6!

2! 6 − 2 !(0.5)2(0.5)6−2

𝑃 2 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑠 =720

2 24 0.25 (0.0625)

𝑷 𝟐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟒𝟑𝟕𝟓

c) Cálculo de la distribución de probabilidad binomial utilizando las tablas

binomiales.

- Para una combinación de n y p, la entrada indica una probabilidad de

obtener un valor específico de r (ocurrencia del evento).

- Para localizar la entrada, cuando p≤0.50, localizar el valor de p a lo largo del

encabezado de la tabla, y en la columna correspondiente localizar n y r en el

margen izquierdo.

- Para localizar la entrada, cuando p≥0.50, localizar el valor de p en la parte

inferior de la tabla, y n y r arriba, en el margen derecho.

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Resolviendo el mismo ejemplo pero utilizando las tablas binomiales se tiene

que: p = 0.50, n = 6 y r = 2

Obteniendo resultado directo de tablas; 𝑷 𝟐 𝒄𝒂𝒓𝒂𝒔 = 𝟎. 𝟐𝟑𝟒𝟒

Distribución de Poisson

La distribución de Poisson fue descubierta por Siméon – Denis Poisson,

es una distribución de probabilidaddiscreta que expresa, a partir de una

frecuencia de ocurrencia media, la probabilidad de que ocurra un determinado

número de eventos durante cierto período de tiempo. Concretamente, se

especializa en la probabilidad de ocurrencia de sucesos con probabilidades muy

pequeñas, o sucesos "raros".

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Características:

En este tipo de experimentos los éxitos buscados son expresados por

unidad de área, tiempo, pieza, etc:

- n° de defectos de una tela por m2

- n° de aviones que aterrizan en un aeropuerto por día, hora, minuto, etc.

- n° de bacterias por c m2 de cultivo

- n° de llamadas telefónicas a un conmutador por hora, minuto, etc, etc.

- n° de llegadas de embarcaciones a un puerto por día, mes, etc, etc.

Para determinar la probabilidad de que ocurran x éxitos por unidad de

tiempo, área, o producto, la fórmula a utilizar es:

𝑃 𝑋, 𝜆 =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑋!

Donde:

𝑝(𝑋) = probabilidad de que ocurran x éxitos, cuando el número promedio de ocurrencia

de ellos es 𝜆.

𝜆 = media o promedio de éxitos por unidad de tiempo, área o producto

𝑒 = 2.718 (base de logaritmo neperiano o natural)

𝑋 = variable que nos denota el número de éxitos que se desea que ocurra

Hay que hacer notar que en esta distribución el número de éxitos que

ocurren por unidad de tiempo, área o producto es totalmente al azar y que cada

intervalo de tiempo es independiente de otro intervalo dado, así como cada área

es independiente de otra área dada y cada producto es independiente de otro

producto dado.

Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson por tres métodos:

a) Utilización del Minitab 15.

b) Utilización de la fórmula

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c) Utilización de las tablas de Poisson

Por ejemplo:

Si un banco recibe en promedio (𝜆 =) 6 cheques sin fondo por día.

¿Cuáles son las probabilidades de que reciba:

a) cuatro cheques sin fondo en un día dado (x),

b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos?

(𝑒 = 2.718281828)

a) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando el

Minitab 15.

Resolviendo para:

a) 𝑥 = 4; 𝜆 = 6 cheques sin fondo por día

- Titular la columna C1 como X y en el renglón 1 columna 1 se coloca el número

4 (el cual representa el número de ocurrencia del evento, ya que se desea

saber la probabilidad de que el banco reciba 4 cheques sin fondos en un día

dado).

- Seleccionar: Calc / Probability Distributions / Poisson

- En seguida aparecerá una ventana "Poisson Distribution" ("Distribución de

Poisson").

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- Seleccionar Probability

- En el campo de "Mean" (media = 𝜆 ) colocar 6 (promedio de cheques diarios

recibidos sin fondos)

- En el campo de "Input column" colocar el puntero del mouse y

automáticamente aparecerá en el recuadro de la izquierda C1 X.

Seleccionarlo con el puntero del mouse y presionar "Select"

20

- Una vez alimentado los datos presionar "OK".

- Para obtener así el resultado.

a. Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo

en un día dado es:

𝑷(𝟒 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑𝟖𝟓𝟑

(𝟏𝟑.𝟑𝟗%)

Resolviendo de igual manera para:

b. 𝑋 = 10; 𝜆 = 6 𝑥 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco

en dos días consecutivos.

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- Para obtener así el resultado.

b. Por lo tanto la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo en

dos días consecutivos es:

𝑷(𝟏𝟎 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟒𝟖𝟑𝟕

(𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟑𝟕%)

b) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando la

fórmula.

𝑃 𝑋, 𝜆 =𝜆𝑥𝑒−𝜆

𝑋!

Resolviendo para:

a) 𝑥 = 4; 𝜆 = 6 cheques sin fondo por día y sustituyendo en la fórmula.

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𝑃 𝑋 = 4, 𝜆 = 6 =64𝑒−6

4!

𝑃 𝑋 = 4, 𝜆 = 6 =1296 × 0.0025

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𝑃 4 𝑐ℎ𝑒𝑞𝑢𝑒𝑠 sin 𝑓𝑜𝑛𝑑𝑜 = 0.133853

(13.38%)

Resolviendo de igual manera para:

b) 𝑋 = 10; 𝜆 = 6 𝑥 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan al banco

en dos días consecutivos.

𝑃 𝑋 = 10, 𝜆 = 12 =1210𝑒−12

10!

𝑃 𝑋 = 10, 𝜆 = 12 =61917364224 × 0.000006144212

3628800

𝑷(𝟏𝟎 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝐬𝐢𝐧 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐) = 𝟎. 𝟏𝟎𝟒𝟖𝟑𝟕

(𝟏𝟎.𝟒𝟖𝟑𝟕%)

c) Cálculo de la distribución de probabilidad de Poisson utilizando las

tablas de Poisson

- Valores directos para determinar probabilidades de Poisson.

- Para un valor dado de λ, la entrada indica la probabilidad de obtener un

valor específico de X

Para el mismo ejemplo, resolviendo para:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba cuatro cheques sin fondo en

un día dado?

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Se tiene 𝑥 = 4; 𝜆 = 6 cheques sin fondo por día; obteniendo resultado

directo de tablas:

𝑷 𝟒 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 = 𝟎. 𝟏𝟑𝟑𝟗

(𝟏𝟑.𝟑𝟗%)

Para el mismo ejemplo, resolviendo para:

b) ¿Cuál es la probabilidad de que el banco reciba diez cheques sin fondo en

dos días consecutivos?

Se tiene 𝑋 = 10; 𝜆 = 6 𝑥 2 = 12 cheques sin fondo en promedio que llegan

al banco en dos días consecutivos, obteniendo resultado directo de tablas:

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𝑷 𝟏𝟎 𝒄𝒉𝒆𝒒𝒖𝒆𝒔 𝒔𝒊𝒏 𝒇𝒐𝒏𝒅𝒐 = 𝟎. 𝟏𝟎𝟒𝟖

(𝟏𝟎.𝟒𝟖%)

Variables Discretas

Una variable discreta es una variable que sólo puede tomar valores

dentro de un conjunto numerable, es decir, no acepta cualquier valor sino

sólo aquellos que pertenecen al conjunto. En estas variables se dan de

modo inherente separaciones entre valores observables sucesivos. Dicho

con más rigor, se define una variable discreta como la variable que hay entre

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dos valores observables (potencialmente), hay por lo menos un valor no

observable (potencialmente).

Como ejemplo, el número de animales en una granja (0, 1, 2, 3...). En

lógica matemática, una variable proposicional (también llamada variable

sentencial o letra sentencial) es una variable discreta que puede ser

verdadera o falsa. Las variables proposicionales son los bloques de

construcción básicos de las fórmulas proposicionales, usadas en lógica

proposicional y en lógicas superiores.

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CONCLUSIONES

La estadística es la ciencia que se trata de cuantificar la probabilidad

de la ocurrencia o el efecto de cualquier evento, sujeto, proceso, fenómeno

o interacciones resultantes. Hay que recalcar que la estadística es

solamente un medio y no el fin. En este sentido, mediante la presente

investigación se estudio Las distribuciones de probabilidad las cuales están

relacionadas con la distribución de frecuencias. De hecho, podemos pensar

en la distribución de probabilidad como una distribución de frecuencias

teórica. Una distribución de frecuencias teórica es una distribución de

probabilidades que describe la forma en que se espera que varíen los

resultados.

Así mismo, se observo la aplicación y manejo de las distribuciones de

probabilidad más comunes, la binomial, la de Poisson y finalmente la

distribución normal. Se investigó además de la utilización y funcionamiento

de la Minitab 15 el razonamiento, cálculo manual y por tablas como método

original como se realizaba antes de que el Minitab existiera como tal.

Así mismo, con el desarrollo de esta investigación y gracias a la

comprensión de conceptos y el manejo del programa Minitab se entendió

que es una poderosa herramienta estadística que bien aplicada podrá ser de

gran ayudar para facilitar los cálculos para la solución de problemas. Lo cual

continúa con el propósito esencial: Ahorro de costos y mejora continua en

cualquier ámbito en que nos desarrollemos.

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

Levin Richard I. y Rubin David S. (1997) Estadística para

Administradores. 6ta Edición. Editorial Prentice Hall. Capitulo 5.

Probabilidad II. Distribuciones, pp.232 – 264 (versión de prueba obtenida de

www.minitab.com)

www.monografias.com,http://www.monografias.com/trabajos29/distribuci

on-probabilidades/distribucion-probabilidades.shtml)

www.wkipedia.com,http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_bino

mial

www.wikipedia.com,http://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_norm

al