ejemplos de distribuciones probabilidad

Universidad tecnológica de Torreón

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Ejemplos de Distribuciones

Probabilidad

Armando Saúl García Favela

Distribución de bernoulli.

1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9

¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?

° La probabilidad de que obtengamos la carta 9.

P(x=1) = (1/9) 1

* (8/9) 0 = 1/9 =

0.111

° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9.

P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)

1 = 8/9 =

0.888

2) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16,

para así poder darles un premio, pero la maestra los

seleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es la

probabilidad de que salga el alumno numero 16?

° La probabilidad de que seleccione al alumno numero

16.

P(x=1) = (1/16) 1

* (15/16) 0 =

1/16 = 0.0625

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno

numero 16.

P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)

1 =

15/16 = 0.9375

3) Hay una urna con 342 boletos, para ganar un

automóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿que

probabilidad hay para que pueda salir premiado el

boleto número 342?

° La probabilidad de que saque el boleto número 342.

P(x=1) = (1/342) 1

* (341/342) 0

= 1/342 = 0.00292

° La probabilidad de que NO seleccione al alumno

numero 342.

P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)

1 =

341/342 = 0.99707

4) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir que

salga cruz".

Se trata de un solo experimento, con dos resultados

posibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá

0,5. El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1

- 0,5 = 0,5.

La variable aleatoria X medirá "número de cruces que

salen en un lanzamiento", y sólo existirán dos

resultados posibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir

cara) y 1 (una cruz).

Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli,

ya que cumple todos los requisitos.

° La probabilidad de obtener cruz.

P(x=1) = (0.5) 1

* (0.5) 0 = 0.5 = 0.5

° La probabilidad de no obtener cruz.

P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)

1 = 0.5 = 0.5

En un examen formado por 20 preguntas, cada una de

las cuales se responde declarando

“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que,

históricamente, en el 75% de los casos la

respuesta correcta es “verdadero” y decide responder

al examen tirando dos monedas, pone

“falso” si ambas monedas muestran una cara y

“verdadero” si al menos hay una cruz. Se

desea saber qué probabilidad hay de que tenga al

menos 14 aciertos.

Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de

la distribución y el punto k a partir

del cual se calculará la probabilidad. En este caso

n=20, p=0,75 y el punto k=14.

Resultados con Epidat 3.1

Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretas

Binomial (n,p)

n: Número de pruebas 20

p: Probabilidad de éxito 0,7500

Punto K 14

Probabilidad Pr[X=k] 0,1686

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828

Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172

Media 15,0000

Varianza 3,7500

La probabilidad de que el alumno tenga más de 14

aciertos se sitúa en 0,61.

Distribución poisson

Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el

3% de los alumnos de contabilidad son muy

inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si

tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean

muy inteligentes

n= 100

P=0.03

=100*0.03=3

x=5

Ejemplo2.- La producción de televisores en

Samsung trae asociada una probabilidad de

defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85

televisores, obtener la probabilidad que existan 4

televisores con defectos.

n=85

P=0.02

P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746

X=4

=1.7

Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos 15 de ellos

hablan ruso calcular la probabilidad de que si

tomamos 20 al azar 3 de ellos hablan ruso

n=20

P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418

X=3

=3

Ejemplo4.-El 8% de los registros contables de una

empresa presentan algún problema, si un auditor

toma una muestra de 40 registros ¿Calcular

probabilidad de que existan 5 registros con

problemas?

n=40

P=0.08 P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793

=3.2

X=5

Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el 20% de las

personas tienen defecto de la vista si tomamos

una muestra de 50 personas al azar ¿Calcular

Probabilidad que existan 5 registros con

problemas?

n=40

P=0.08

=10

EJERCICIOS DE DISTRIBUCIÓN DE

PROBABILIDAD NORMAL

1.-Una población normal tiene una media de 80

una desviación estándar de 14.0

µ = 80

σ = 14 z

a) Calcule la probabilidad de un valor localizado

entre 75.0 y 90.0

p (75 ≤ x ≤ 90)

z =

z =

p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017

b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó

menor.

p(x ≤ 75)

z

p(x ≤ 75) = 0.3594

Probabilidad acumulada.

0.7611

0.3594


0.3594

c) Calcule la probabilidad de un valor localizado

entre 55.0 y 70.0

p (55 ≤ x ≤ 70)

z =

z =

p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022


0.2389

0.0367

2.-Los montos de dinero que se piden en las

solicitudes de préstamos en Down River Federal

Savings tiene una distribución normal, una

media de $70,000 y una desviación estándar de

$20,000. Esta mañana se recibió una solicitud de

préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que:

µ= $70,00

σ =$20,0 z

a) El monto solicitado sea de $80,000 o superior?

p(x ≥ 80,000)

z–

=

p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085

b) El monto solicitado oscile entre $65,000 y

$80,000?

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000)

z–

=


0.6915


0.6915

0.4013

z–

=

p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.4013 =

0.2902

c) El monto solicitado sea de $65,000 o superior.

p(x ≥ 65,000)

z–

=

p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987

3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con

una población de más de 250,000 habitantes, la

media del tiempo de viaje de ida al trabajo es

de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo

pertenece a la ciudad de Nueva York, donde el

tiempo medio es de 38.3 minutos. Suponga

que la distribución de los tiempos de viaje en

la ciudad de Nueva York tiene una distribución

de probabilidad normal y la desviación

estándar es de 7.5 minutos.


0.4013

µ = 38.3 min.

σ = 7.5 min. z

a) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de

Nueva York consumen menos de 30

minutos?

p( x ≤ 30)

z–

=

p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35%

b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre

30 y 35 minutos?

p(30 ≤ x ≤ 35)

z–

=

z–

=

p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 =

19.65%

c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre

30 y 40 minutos?


0.1335

30 38.3 μ


0.3300

0.1335

p(30 ≤ x ≤ 40)

z–

=


0.5910

0.1335

z–

=

p(30 ≤ x ≤ 40) =

0.5910 – 0.1335 =

0.4575 = 45.75%

4.- Las ventas

mensuales de

silenciadores en el área de Richmond, Virginia,

tiene una distribución normal, con una media

de $1,200 y una desviación estándar de $225.

Al fabricante le gustaría establecer niveles de

inventario de manera que solo haya 5% de

probabilidad de que se agoten las existencias.

¿Dónde se deben establecer los niveles de

inventario?

1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65

1.65–

30 38.3 μ

µ = 1,200 σ = 225


5% = .0500

z

z

5% ó 0.0500

X = 1,571.25

x = 1,571.25

5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para

asistir a una universidad privada en Estados

Unidos era de $20,082. Suponga que la

distribución de los costos anuales se rigen por

una distribución de probabilidad normal y que

la desviación estándar es de $4,500. El 95% de

los estudiantes de universidades privadas

paga menos de ¿Qué cantidad?

1.64

–

x = 27,462.

µ = 20,082 σ = 4,500

Probabilidad Valor acumulada. de z

95% = .9500 =

z

z

X = 27,46275

95% ó 0.9500

Distribución de gamma.

El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución de Poisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta la llegada del segundo paciente.

Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente” sigue una distribución Gamma (6, 2).


Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a, p)

a : Escala 6,0000

p : Forma 2,0000

Punto X 1,0000

Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9826

Cola Derecha Pr [X>=k] 0,0174

Media 0,3333

Varianza 0,0556

Moda 0,1667

La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.

Ejercicio 2

Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:

1. El tiempo medio de supervivencia.

2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.


Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas

Gamma (a,p)

a : Escala 0,8100

p : Forma 7,8100

Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9000

Cola Derecha Pr[X>=k] 0,1000

Punto X 14,2429

Media 9,6420

Varianza 11,9037

Moda 8,4074

El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.

Ejemplo 3: El tiempo de reparación, en horas, de una

pieza es una g (0.5 , 2). El precio de venta de la misma

es de 5 mil euros y el de fabricación de mil euros. ¿A

cuanto debemos cobrar la hora de reparación para

obtener un beneficio medio de 3 mil euros?

Se nos pide una cantidad K, de modo que el beneficio

medio, E(B), sea 3.

El beneficio es B=5- (K X +1), entonces, E(B)= 4 - K*

E(X) = 4 - K* (2 / 0.5) lo igualamos a 3, de donde se

deduce que K=1/4, es decir 250 euros, para obtener un

beneficio de 3 mil euros.

Un fabricante de focos afirma que su producto durará

un promedio de 500 horas de trabajo. Para conservar

este promedio esta persona verifica 25 focos cada

mes. Si el valor y calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05,

él se encuentra satisfecho con esta afirmación. ¿Qué

conclusión deberá él sacar de una muestra de 25

focos cuya duración fue?:

520 521 511 513 510 µ=500 h

513 522 500 521 495 n=25

496 488 500 502 512 Nc=90%

SOLUCIÓN.

t= x -μ

SI n α = 1- Nc = 10%

v = n-1 = 24

t = 2.22

EJEMPLO2 El profesor Pérez olvida poner su

despertador 3 de cada 10 días. Además, ha

comprobado que uno de cada 10 días en los que pone

el despertador acaba no levantándose a tiempo de dar

su primera clase, mientras que 2 de cada 10 días en

los que olvida poner el despertador, llega a tiempo

adar su primera clase.

(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen

en el enunciado.

(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez

llegue a tiempo a dar su primera clase?

510 510 475 505 521 X=505.36

506 503 487 493 500 S=12.07

Solución: En primer lugar conviene identificar el

experimento aleatorio que estamos realizando. Este

consiste en tomar un dia al azar en la vida del profesor

Pérez y analizarlo en base a los siguientes sucesos.

(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el

suceso:

O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el

despertador

T ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera

clase.

Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un

sistema completo de sucesos. A continuación

traducimos en términos de probabilidad de los sucesos

anteriores todos los datos que nos dan en el

enunciado.

P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .

(b) El suceso”llegar a tiempo a su clase” es el

complementario de T , por tanto nos piden que

calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema

completo de sucesos, podemos aplicar la formulas de

la probabilidad total, de donde tenemos que:

P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).

En la expresión anterior aparecen varios de los datos

que nos ha proporcionando el enunciado, sin embargo

no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯).

Para calcularlo utilizamos que

P(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la

expresión anterior se puede escribir como:P(T¯) =

+ =0.69

EJEMPLO3

La longitud de los tornillos fabricados en una fábrica

tienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular

la probabilidad de que en una muestra de tamaño

n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5

mm:

P (μ<20.5)

Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una

distribución t de n-1 grados de libertad

T=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5

P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)

P (T<2.5) = 0.9902

P (μ<20.5)=0.9902

La probabilidad que la longitud media de la muestra de

25 tornillos sea inferior a 20.5 mm es del 99.02%

EJEMPLO4

Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de

los siguientes casos:

1. En una distribución t-Student con 3 grados de

libertad.

2. En una distribución t-Student con 30 grados de

libertad.

Solución.

1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que

verifica:

S [W · w0=95] = 0=95

Para encontrar este valor en la tabla de la distribución

t-Student bastará:

- ) Localizar en la primera columna los grados de

libertad, en este caso: 3.

- ) Localizar en la primer fila la probabilidad

acumulada, en nuestro caso: 0=95=

- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las

posiciones anteriores hasta cruzarnos en el punto

w0=95.

Por tanto el percentil w0=95, en una t-Student con 3

grados de libertad será el valor:

w0=95 = 2=3534

Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos

horizontalmente hasta la primera columna, llegaremos

al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos

verticalmente hacia la primera fila la llegaremos al

valor 0.95 (probabilidad acumulada).

Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-

Student para colas probabilísticas que van desde 0=75

hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25,

tendremos que realizar la siguiente consideración:

S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]

Como la distribución t-Student es simétrica, se verifica:

w0=25 = ¡w0=75

Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]

Por tanto, buscando en la tabla con los datos:

Grados de libertad: 3

Cola de probabilidad: 0.75

Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=7649

2. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de

modo similar al caso anterior, pero buscando en la fila

30 de la tabla. Resultando:

w0=95 = 1=6973

Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828

EJEMPLO5

Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01

Solución.

Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil

I8>7; 0=99 hemos de tener en cuenta que:

df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)

df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)

0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la

tabla)

El valor donde se cruzan todos estos datos será el

percentil buscado.

Por tanto: I9>7; 099 = 6=840

ejemplos de distribuciones probabilidad

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