DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADDAMARIS MUOZ RODRIGUEZ2 EPROCESOS INDUSTRIALESLIC.GERARDO MATA

CONTENIDOQu es la distribucin de probabilidad?DISTRIBUCIN BINOMIALEJEMPLOSEJERCICIODISTRIBUCION BERNOULLIEJEMPLOSEJERCICIODISTRIBUCIN DE POISSONEJEMPLOSEJERCICIODISTRIBUCIN EXPONENCIAL EJEMPLOEJERCICIO

Qu es la distribucin de probabilidad?Se aplica en las variables aleatorias con probabilidades de xito y fracasoSolo tiene dos resultados con xito o fracasoEjemploLanzamiento de dos monedas , solo tiene dos Caras . guila y selloA cada una se le debe dar el titulo de xito o fracaso a la hora de distinguir resultadosNOTA: Se aplica ala variable aleatoria que se hace envase de una lista con todos los resultados posibles con posibilidades a obtenerDISTRIBUCIN BINOMIALUnadistribucin binomial tiene las siguientes caractersticas:1.En cada prueba del experimento slo son posibles dos resultados:xitoyfracaso.2.Laprobabilidad de xito es constante, es decir, que no vara de una prueba a otra. Se representa porp.3.Laprobabilidad de fracasotambin esconstante, Se representa porq, q = 1 p4.Elresultadoobtenido en cada prueba esindependientede los resultados obtenidos anteriormente.5.Lavariable aleatoria binomial,X, expresa elnmero de xitos obtenidosen lasnpruebas. Por tanto, los valores que puede tomarXson:0, 1, 2, 3, 4, ..., n. Ladistribucin binomialse expresa porB(n, p) FORMULA QUE SE APLICA

nes el nmero de pruebas.kes el nmero de xitos.pes la probabilidad de xito.qes la probabilidad de fracaso.EJEMPLO1.1- Se lanza al aire diez veces una moneda. Sea X el nmero de caras que aparecen. Cul es ladistribucin de X?SolucinHay diez ensayos de Bernoulli independientes, cada uno con probabilidad de xito de p 0.5.La variable aleatoria X es igual al nmero de xitos en los diez ensayos. Por consiguiente,X Bin(10, 0.5).1.2-Un lote contiene varios miles de componentes, de stos 10% estn defectuosos. Se extraensiete componentes de la poblacin. Sea X el nmero de componentes defectuosos en la muestra.Cul es la distribucin de X?SolucinPuesto que el tamao muestral es pequeo en comparacin con la poblacin (es decir, menora 5%), su nmero de xitos representa una distribucin binomial. Por tanto, se modela X conla distribucin binomial Bin(7, 0.1).1.3- Determine la funcin de masa de probabilidad de la variable aleatoria X si X Bin(10, 0.4).Determine P(X 5).Solucin: Se emplea la ecuacin (4.4) con n 10 y p 0.4. La funcin de masa de probabilidad es

1.4- Se lanza al aire ocho veces un dado. Determine la probabilidad de que no salgan ms de dos nmeros seis.Solucin: Cada lanzamiento del dado es un experimento Bernoulli con una probabilidad de xito de 1/6.Sea X el nmero de seises en los ocho lanzamientos. Entonces X Bin(8, 1/6). Se necesita determinar a P(X 2). Con el uso de la funcin de masa de probabilidad,

Ejercicios

El 60% de profesionales leen su contrato de trabajo, incluyendo las letras pequeas. Suponga que el nmero de empleados que leen cada una de las palabras de su contrato se puede modelar utilizando la distribucin binomial. Considerando un grupo de cinco empleados:

Cul es la probabilidad de que:a) Los cinco lean cada una de las palabras de su contratob) Al menos tres lean cada una de las palabras de su contratoc) Menos de dos lean cada una de las palabras de su contrato

DISTRIBUCION BERNOULLIEs una distribucin al cual solo tiene dos resultados. Al primero se le llama xito y al otro fracaso.La probabilidad de xito se denota por p. Por consecuencia, la probabilidad de fracasoes 1 p. Lo anterior representa un ensayo de Bernoulli con pprobabilidad de xito p.EJEMPLO1.1- Cuando se lanza un dado hay una probabilidad de 1/6 de que salga 6. Sea X 1 si el dadocae seis y X 0 en cualquier otro caso. Cul es la distribucin de X?SolucinLa probabilidad de xito es p P(X 1) 1/6. Por lo que X Bernoulli(1/6).1.2- Cuando se lanza al aire una moneda hay una probabilidad de 0.5 de que caiga en cara. SeaX 1 si la moneda cae en cara y X 0 si cae en cruz. Cul es la distribucin de X?SolucinPuesto que X 1 cuando cae cara, sta es resultado de xito. La probabilidad de xito,P(X 1), es igual a 0.5. Por tanto, X Bernoulli(0.5).1.3-Diez por ciento de los componentes fabricados mediante determinado proceso est defectuoso.Se selecciona un componente aleatoriamente. Sea X 1 si el componente est defectuoso yX 0 en cualquier otro caso. Cul es la distribucin de X?SolucinLa probabilidad de xito es p P(X 1) 0.1. Por lo que X Bernoulli(0.1).EJEMPLO1.4- Con referencia al ejemplo 4.3, determine mX y s2XSolucinPuesto que X Bernoulli(0.1), la probabilidad de xito p es igual a 0.1. Al usar las ecuaciones(4.1) y (4.2), mX 0.1 y s2X 0.1(1 0.1) 0.09.1.5- Sean X y Y variables aleatorias de Bernoulli. Sea Z XY.a) Demuestre que Z es una variable aleatoria de Bernoulli.b) Demuestre que si X y Y son independientes, entonces pZ pXpY.EJERCICIOUn ingeniero que labora en el departamento de control de calidad de una empresa elctrica, inspecciona una muestra al azar de 10 alternadores de un lote. Si el 20% de los alternadores del lote estn defectuosos. Cul es la probabilidad de que en la muestraa) ninguno est defectuoso, b) uno salga defectuoso, c) al menos dos salgan defectuosos d) ms de tres estn con defectos e) no ms de tres estn con defectos..

DISTRIBUCIN DE POISSONEs un anlisis para averiguar el nmero de eventos que se producen al azar en un determinado intervalo de tiempo y probabilidad en lnea. Es funcin asimtrica y tiene la fuerte conexin con hipergeomtrica, distribucin binomial y exponencial.FORMULA

DONDE:e es la base del logaritmo natural igual a 2.71828..k es el nmero de ocurrencias de un evento; la probabilidad de que viene dada por la funcink! es el factorial de k es un nmero real positivo, igual que el nmero esperado de ocurrencias durante el intervalo dado. Por ejemplo, si los eventos ocurren en promedio 3 veces por minuto, y uno est interesado en la probabilidad de un evento k que ocurren veces en un intervalo de 10 minutos, uno podra utilizar una distribucin de Poisson como el modelo con = 103 = 30

EJEMPLO 1.1- Si X Poisson(3), calcule P(X 2), P(X 10), P(X 0), P(X 1) y P(X 0.5).Solucin: Cuando se usa la funcin de masa de probabilidad (4.9), con 3, se obtiene

1.2- Si X Poisson(4), calcule P(X 2) y P(X 1).

EJEMPLO1.3- La abuela hornea galletas de chispas de chocolates en grupos de 100. Ella agrega 300 chispasen la masa. Cuando las galletas estn hechas, le ofrece una. Cul es la probabilidad de quesu galleta no tenga chispas de chocolate?Solucinste es otro caso de partculas en suspensin. Sea X el nmero de chispas en su galleta. Lamedia del nmero de chispas es tres en cada galleta, de forma que X Poisson(3). De ah queP(X 0) e 330/0! 0.0498.1.4- Unas partculas estn suspendidas en un medio lquido con concentracin de seis partculaspor mL. Se agita por completo un volumen grande de la suspensin, y despus se extrae 3 mL.Cul es la probabilidad de que slo se retiren 15 partculas?SolucinSea X el nmero de partculas extradas. El nmero promedio de partculas en un volumende 3 mL es 18. Entonces X Poisson(18). La probabilidad de que se extraigan slo 15 partculas es:1.5- Suponga que el nmero de visitas a cierto sitio web durante un intervalo fijo sigue una distribucinde Poisson. Suponga que la media de la razn de visitas es de cinco en cada minuto.Determine la probabilidad de que haya slo 17 visitas en los siguientes tres minutos.SolucinSea X el nmero de visitas en tres minutos. La media del nmero de visitas en tres minutoses (5)(3) 15, por lo que X Poisson(15). Utilizando la funcin de masa de probabilidadde Poisson(15),

EJERCICIOSupngase que la produccin de un da de 850 piezas manufacturadas contiene 50 piezas que no cumplen con los requerimientos del cliente. Se seleccionan del lote dos piezas al azar y sin reemplazo. Sea la variable aleatoria X igual al nmero de piezas de la muestra que no cumplen. Cul es la funcin de distribucin acumulada de X?SOLUCION:

DISTRIBUCIN EXPONENCIAL La distribucin exponencial tiene una gran utilidad prctica ya que podemos considerarla como un modelo adecuado para la distribucin de probabilidad del tiempo de espera entre dos hechos que sigan un proceso de Poisson.

FORMULAEJEMPLO

1.1- Una masa radiactiva emite partculas de acuerdo con un proceso de Poisson a una media de razn de 15 partculas por minuto. En algn punto inicia un reloj. Cul es la probabilidad de que transcurran cinco segundos antes de la siguiente emisin? Cul es la media del tiempo de espera hasta que se emite la siguiente partcula?Solucin: El tiempo se medir en segundos. T denota el tiempo en segundos que transcurre antes de que se emita la siguiente partcula. La media de la razn de las emisiones es de 0.25 por segundo, por lo que el parmetro de razn es 0.25 y T Expo(0.25). La probabilidad de que transcurran ms de cinco segundos antes de la siguiente emisin es igual a:

EjercicioEl tiempo durante el cual ciertamarcade batera trabaja en forma efectiva hasta que falle (tiempo de falla) se distribuye segn el modelo exponencial con un tiempo promedio de fallas igual a 360 das.a)qu probabilidad hay que el tiempo de falla sea mayor que 400 das?.b)Si una de estas bateras ha trabajado ya 400 das, qu probabilidad hay que trabaja ms de 200 das ms?c)Si se estn usando 5 de tales bateras calcular la probabilidad de que ms de dos de ellas continen trabajando despus de 360 das.