tema 6, distribuciones de probabilidad
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MAESTRÍA EN BANCA VALORES Y SEGUROS( 1RA EDICIÓN – 1RA VERSIÓN )
Msc Jorge Mario Jimenez Aviles
10 de 2011
Santa Cruz - Bolivia
PROBABILIDAD E INFERENCIA
ESTADISTICA
DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD
TEMA 6
CONTENIDO
Variables Aleatorias Discretas
Distribución Binomial
Distribución Poisson
Distribución Normal
Distribución exponencial
Variables aleatorias
Es una descripción numérica del resultado deun experimento aleatorio
De acuerdo a lo anterior las podemosclasificar como discretas o continuas
Las discretas son variable aleatorias con unrango finito ( o infinito contable)
Las continuas son variables que puedenasumir cualquier valor en un intervalo oconjunto de intervalos
EJEMPLOS DE VARIABLES ALEATORIAS
VARIABLES DISCRETAS
Para una variable aleatoria discreta la
distribución de probabilidad se
describe mediante una función de
probabilidad, representada por f(x).
Donde esta función define la
probabilidad de cada valor de la
variable analizada
DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA
Las condiciones requeridas para una función
son:
1
( ) ( )
( ) 0
( ) 1n
i
f x P X x
fx x
fx x
Cantidad discreta
Pro
ba
bil
idad
EJEMPLO
DIST. PROBABILIDAD
DIST. PROBABILIDAD NUMERO DE AUTOMOVILES POR DIA
VALOR ESPERADO
LA ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE
ALEATORIA DISCRETA ESTADA DADA POR
X F(X)
VARIANZA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA
Ejercicio
Dada la siguiente tabla de distribución de probabilidades deuna variable aleatoria y.
– Determine si es correcta la distribución de probabilidades
– Calcule E(y)
– Calcule Var(y) y d.s(y)
y F(y)
2 0.20
4 0.30
7 0.40
8 0.10
Total 1.00
Distribución Binomial
Es una distribución discreta de probabilidad conocidapor sus variadas aplicaciones que se relaciona conun experimento de etapas múltiples
Un experimento binomial tiene cuatro propiedades:
1. El experimento consiste en una sucesión de nintentos idénticos
2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito oFracaso
3. La probabilidad de éxito, representado por p, nocambia de un intento a otro. En consecuencia, laprobabilidad de fracaso, (1-p), no cambia de unintento a otro. Supuesto de estacionariedad
4. Los intentos son independientes
Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla de un
proceso Bernoulli
Un ejemplo de distribución Binomial es determinar
la probabilidad de que en n intentos al lanzar una
moneda salga cara (éxito) y no sello (fracaso)
La fórmula de combinatoria de n objetos
seleccionados en un grupo proporciona la
cantidad de resultados experimentales que
resultan en x éxitos
Cantidad de resultados experimentales con
exactamente x éxitos en n intentos
También es necesario conocer la probabilidad
asociada a cada uno de los resultados
experimentales el cual se puede determinar a
través de la siguiente relación
!
! !
n n
x x n x
( )(1 )x n xp p
Combinado las dos expresiones obtenemos la
función de distribución Binomial
( )( ) (1 )
( ) probabilidad de x exitos en n intentos
!
!( - )!
probabilidad de un exito en cualquier intento
(1- )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento
x n xn
f x p px
f x
n n
x x n x
p
p
Valor esperado de la distribución binomial de
probabilidad
Varianza de la distribución binomial de probabilidad( )E x np
2( ) (1 )Var x np p
Ejemplo
El gerente de una gran tienda necesita determinar cual esla probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan ala tienda hagan una compra. Él sabe que laprobabilidad de que un cliente compre es de 0.3
3 3!3
2 2! 3 2 !
2 (3 1)0.3 (1 ) 0.063p
Cantidad de resultados experimentales
Probabilidad de cada resultado
experimental en donde 2 de los tres
clientes compran
Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes
que ingresan a la tienda 2 compren
EJEMPLO
CALCULAR LA PROBABILIDAD DE QUE AL TIRAR UNA
MONEDA 5 VECES LAS CINCO SEAN CARA
Distribución Poisson
Es una distribución de probabilidad que muestra la
probabilidad de x ocurrencias de un evento en un
intervalo especificado de tiempo o e espacio
Las propiedades de un experimento de Poisson son:
– La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos
intervalos cualesquiera de igual longitud
– La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es
independiente de la ocurrencia o no ocurrencia en
cualquier otro intervalo
La distribución de Poisson se expresa como:
(x = cantidad de ocurrencia)
Ejemplo
Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanillade servicio en automóviles de un banco, durante unperíodo de 15 minutos en las mañanas de los díashábiles. Los datos históricos indican que en esteperíodo la cantidad de automóviles en promedio es 10.A la gerencia le interesa saber cual es la probabilidadexacta de que lleguen 5 automóviles en 15 minutos
5 1010(5) 0.0378
5!
ef
Distribución Normal de Probabilidad
Abraham de Moivre publicó en 1733 la Doctrina de lasProbabilidades y dedujo la distribución normal deprobabilidad
Es la distribución continua más importante deprobabilidad.
La función de densidad normal de probabilidad se
expresa como:
2 2( ) / 21( )
2
xf x e
Promedio
Desviación estándar
x
Características de esta distribución:
– Hay familias de distribuciones normales. Cada una
se identifica por su media y su desviación estándar
– El punto más alto es la media
– La media puede ser cualquier valor numérico
– La distribución de probabilidad normal es simétrica.
Las colas se prolongan hasta el infinito (nunca tocan
el eje de las x)
– Las desviaciones estándares determinan el ancho de
la curva
– El área total es 1
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
x
68.26%
95.44%
99.72%
0
DESV ESTAND = 1
La altura de una distribución normal varía por lo
cual en el cálculo del área se debe recurrir al
cálculo infinitesimal
Cuando tenemos una distribución normal con media
0 y desviación estándar 1 se habla de una
distribución normal estándar
CALCULO DE PROBABILIDADES PARA CUALQUIER
DISTRIBUCION NORMAL
LA ECUACION PARA CONVERTIR CUALQUIER
VARIABLE ALEATORIA NORMAL X CON UNA MEDIA Y
DESVIACION ESTANDAR ES
xz
(.00 1.00) .3413
( 1.00 1.00) .6826
P z
P z
xz
DISTRIBUCION NORMAL ESTANDAR
Ejemplo
Determine la probabilidad de que neumáticos fabricados
por Goodyear puedan superar las 40.000 millas, si se
tiene un promedio de 36.500 millas y una desv. estándar
de 5.000.
40000 365000.7 0.2580
5000z
P(x 40000)=?
TABLA DE AREAS BAJO LA CURVA DISTRIBUCION
NORMAL
Distribución exponencial de probabilidad
Es una distribución continua de probabilidadque se aplica para determinar lasprobabilidades de ocurrencias de un eventoen el tiempo y espacio
La función de densidad de esta distribución es:
De acuerdo a ésta la distribución exponencialde probabilidad (área bajo la curva)corresponde a:
/1( ) xf x e
/( ) 1 ox
oP x x e
0, 0x
Función Distribución
Tiempo Tiempo
( )f x( )f x
Ejemplo
Determinar la probabilidad de que un camión
que llega a un puerto sea cargado en 6
minutos o menos. Se sabe que en promedio
se demoran 15 minutos
( )f x
6 Tiempo(min)0
6 /15( 6) 1 0.3297P x e