tema 2: probabilidad

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II. PROBABILIDAD II. PROBABILIDAD MTRO. FRANCISCO JAVIER MTRO. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZA CRUZ ARIZA

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Page 1: Tema 2: Probabilidad

II. PROBABILIDADII. PROBABILIDAD

MTRO. FRANCISCO JAVIER MTRO. FRANCISCO JAVIER CRUZ ARIZACRUZ ARIZA

Page 2: Tema 2: Probabilidad

PROBABILIDADPROBABILIDAD

Es una medida Es una medida numérica que refleja la numérica que refleja la posibilidad de que posibilidad de que ocurra un evento.ocurra un evento.

Permite obtener Permite obtener conclusiones sobre las conclusiones sobre las características de la características de la variable de una variable de una poblaciónpoblación

Page 3: Tema 2: Probabilidad

PROBABILIDADPROBABILIDAD

ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS ES EL CONJUNTO DE TODOS LOS POSIBLES RESULTADOS DE UN POSIBLES RESULTADOS DE UN EXPERIMENTOEXPERIMENTO

No. total de posibles resultados

No. de resultados donde ocurre el evento

P(E) =

P(E) = n(E) n(S)

Page 4: Tema 2: Probabilidad

POSTULADOS BÁSICOSPOSTULADOS BÁSICOSEl rango de probabilidad de El rango de probabilidad de

ocurrencia de un evento, es de 0 ocurrencia de un evento, es de 0 a 1; es decir, del 0% al 100%.a 1; es decir, del 0% al 100%.

La suma de todos los posibles La suma de todos los posibles resultados del experimento resultados del experimento (espacio muestral) es siempre (espacio muestral) es siempre igual a 1.igual a 1.

Page 5: Tema 2: Probabilidad

EXPRIMENTO ALEATORIOEXPRIMENTO ALEATORIOSe conocen con antelación todos los

posibles resultados.No se sabe lo que ocurrirá en cada

experiencia particular.Se puede repetir indefinidamente en

las mismas condiciones.

Page 6: Tema 2: Probabilidad

Un EventoEvento es la colección de uno o más resultados del experimento

Un ResultadoResultado es el valor particular de un experimento.

Experimento:Experimento: lanzar un dadolanzar un dado..

Posibles resultados: Los Posibles resultados: Los números 1, 2, 3, 4, 5, 6 números 1, 2, 3, 4, 5, 6

Un posible evento: La Un posible evento: La ocurrencia de algún número ocurrencia de algún número en específico. Por ejemplo, en específico. Por ejemplo, que sea par: 2, 4, y 6.que sea par: 2, 4, y 6.

Page 7: Tema 2: Probabilidad

Los eventos son

Independientesndependientes si la ocurrencia de algún evento no afecta la ocurrencia de algún otro.

Los eventos pueden

ser Mútuamente Mútuamente ExcluyentesExcluyentes si la ocurrencia de algún evento significa que ningún otro pueda suceder al mismo tiempo.

Mútuamente excluyentes: Mútuamente excluyentes: Si el dado cae en 2, se Si el dado cae en 2, se excluyen los valores 1, 3, excluyen los valores 1, 3, 4, 5, 6 como resultados 4, 5, 6 como resultados alternos.alternos.

Independencia: Si el dado cae en 2 al primer lanzamiento, no influye que en el siguiente tiro caiga un 3. Sigue habiendo una probabilidad de uno a 6.

Page 8: Tema 2: Probabilidad

Dos Eventos son IndependientesIndependientes si el resultado de uno de ellos no influye en el resultado del otro.

Page 9: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLOS DE APLICACIÓN I.EJEMPLOS DE APLICACIÓN I.

Tasas de Tasas de mortandad para mortandad para cálculo de pólizas cálculo de pólizas de seguros.de seguros.

Predicción de Predicción de niveles de venta.niveles de venta.

Predicción de Predicción de tiempos de tiempos de realización de realización de proyectos proyectos empresariales.empresariales.

Page 10: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLOS DE APLICACIÓN II.EJEMPLOS DE APLICACIÓN II.

Estimación de Estimación de segmentos de segmentos de mercado.mercado.

Toma de Toma de decisiones en decisiones en materia de materia de inversión.inversión.

Page 11: Tema 2: Probabilidad

EXPERIMENTOS EXPERIMENTOS PROBABILÍSTICOSPROBABILÍSTICOS

EXPERIMENTO O EXPERIMENTO O ACONTECIMIENTOACONTECIMIENTO

POSIBLES POSIBLES RESULTADOSRESULTADOS

Prueba de degustación de Prueba de degustación de un productoun producto

Es aceptado / es rechazadoEs aceptado / es rechazado

Campaña publicitaria de un Campaña publicitaria de un artículoartículo

Aumentan las ventas / Aumentan las ventas / quedan igual /disminuyenquedan igual /disminuyen

Estudio de control de calidad Estudio de control de calidad de un lote productivode un lote productivo

Aprobado / no aprobadoAprobado / no aprobado

Monto de las ventas Monto de las ventas efectuadas a crédito en un mesefectuadas a crédito en un mes

$0 - $xxx.Xx$0 - $xxx.Xx

Invertir en un instrumento Invertir en un instrumento de inversiónde inversión

Ganar / recuperar la Ganar / recuperar la inversión / perderinversión / perder

Page 12: Tema 2: Probabilidad

DIMENSIONES DE LA PROBABILIDAD.

ClásicaClásica aplica cuando

existen n posibles

resultados posibles.

EmpíricaEmpírica el número de veces que el evento ocurre se divide entre el número de observaciones

SubjetivaSubjetiva la probabilidad se basa en cualquier información disponible

Page 13: Tema 2: Probabilidad

PROBABILIDAD CLÁSICAPROBABILIDAD CLÁSICA

Se emplea cuando los resultados Se emplea cuando los resultados experimentales son equiprobablesexperimentales son equiprobables

Suponiendo que en un experimento o Suponiendo que en un experimento o suceso se tienen suceso se tienen nn posibles posibles resultados, la probabilidad de resultados, la probabilidad de ocurrencia de cada resultado es de ocurrencia de cada resultado es de 1/1/n.n.

Page 14: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Un estudio de Un estudio de audiencia de audiencia de televisión, referente televisión, referente al número de horas al número de horas por día que veían por día que veían las personas en una las personas en una localidad sureña del localidad sureña del país, aplicado a 50 país, aplicado a 50 personas, arrojó los personas, arrojó los siguientes siguientes resultados:resultados:

Horas/ T.V.Horas/ T.V. No. No. PersonasPersonas

00 88

11 2020

22 1212

33 66

44 33

55 11

Page 15: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

Si se selecciona un cuestioSi se selecciona un cuestionarionario al al azarazar, ¿cuál es la probabilidad de , ¿cuál es la probabilidad de que que lala persona vea… persona vea…

a)a) 1 hora de tv: Como 20 personas, de 1 hora de tv: Como 20 personas, de un total de 50, afirmaron ver 1 hora un total de 50, afirmaron ver 1 hora de tv: de tv:

P(1)= 20/50= 0.40P(1)= 20/50= 0.4040% 40%

Lo cual implica que el 40% de las Lo cual implica que el 40% de las personas ven tv 1 hora diaria.personas ven tv 1 hora diaria.

Page 16: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 1EJEMPLO 1

b) 3 horas: P(3)= 6/50= 0.12 b) 3 horas: P(3)= 6/50= 0.12 12%12%

c) 2 horas o menos:c) 2 horas o menos:

P(0) + P(1) + P(2) = 8+20+12/50 = 0.80 P(0) + P(1) + P(2) = 8+20+12/50 = 0.80 80% Por consiguiente, el 20% de la 80% Por consiguiente, el 20% de la gente entrevistada ve tv durante más gente entrevistada ve tv durante más de 2 horas; es decir, 3 horas o más.de 2 horas; es decir, 3 horas o más.

Page 17: Tema 2: Probabilidad
Page 18: Tema 2: Probabilidad

P(A o B) = P(A) + P(B)

Sean dos eventos A y B mútuamente

excluyentes, la

Regla de la AdiciónRegla de la Adición establece que la

Probabilidad de ocurrencia de A o B se determina

sumando sus respectivas probabilidades.

Page 19: Tema 2: Probabilidad

LEY ADITIVA I.LEY ADITIVA I.

Se aplica cuando tenemos dos Se aplica cuando tenemos dos eventos y se desea conocer la eventos y se desea conocer la probabilidad de que ocurra al menos probabilidad de que ocurra al menos uno de ellos. uno de ellos.

Page 20: Tema 2: Probabilidad

LEY ADITIVA II.LEY ADITIVA II.

Supongamos que tenemos los Supongamos que tenemos los eventos “A” y “B”. Queremos eventos “A” y “B”. Queremos determinar la probabilidad de que determinar la probabilidad de que suceda “A” suceda “A” óó suceda “B”; suceda “B”; óó bien, bien, Sedan Sedan AMBOSAMBOS

Page 21: Tema 2: Probabilidad

LEY ADITIVA IIILEY ADITIVA III

La respuesta es fácil: La respuesta es fácil: tenemos que tenemos que determinar todos los determinar todos los puntos muestrales que puntos muestrales que pertenecen a “A”, a “B” pertenecen a “A”, a “B” o a ambos; lo que se o a ambos; lo que se conoce en teoría de conoce en teoría de conjuntos como la conjuntos como la uniónunión

(A U B)(A U B)

A B

A U BA U B

Page 22: Tema 2: Probabilidad

LEY ADITIVA IVLEY ADITIVA IV

Por otra parte, si Por otra parte, si quisiéramos determinar la quisiéramos determinar la probabilidad de que probabilidad de que sucedan ambossucedan ambos acontecimientos acontecimientos simultáneamentesimultáneamente; es ; es decir “A” decir “A” yy “B”, “B”, Tendríamos que escoger Tendríamos que escoger los puntos comunes de los puntos comunes de ambos eventos; o sea, la ambos eventos; o sea, la intersecciónintersección de estos de estos conjuntos.conjuntos.

A B

A ∩ B

Page 23: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 2EJEMPLO 2Supongamos una encuesta aplicada a 50 Supongamos una encuesta aplicada a 50

personas sobre los hábitos de consumo personas sobre los hábitos de consumo de refresco de cola.de refresco de cola.

Se obtuvieron los siguientes resultados:Se obtuvieron los siguientes resultados:20 prefieren Coca-Cola (C)20 prefieren Coca-Cola (C)14 prefieren Pepsi (E)14 prefieren Pepsi (E)5 consumen ambos indistintamente5 consumen ambos indistintamente

Page 24: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

La cardinalidad de “C” (número de La cardinalidad de “C” (número de elementos); elementos); nn(c) = 20(c) = 20

La cardinalidad de “E”; La cardinalidad de “E”; nn(c) = 20(c) = 20

La probabilidad de que a una La probabilidad de que a una persona le guste Coca-Cola es persona le guste Coca-Cola es de: p(C) = 20/50 = 0.4 de: p(C) = 20/50 = 0.4 40%40%

Page 25: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

La probabilidad de que a una La probabilidad de que a una persona le guste Pepsi es de: persona le guste Pepsi es de: p(E) = 14/50 = 0.28 p(E) = 14/50 = 0.28 28%28%

Page 26: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

C E

15 5 9

21

TOMAN

COCA,

PERO NO

PEPSI

TOMAN PEPSI,

PERO NO COCANO TOMAN NI

COCA, NI PEPSI

TOMAN

COCA Y

PEPSI

Page 27: Tema 2: Probabilidad

NOMENCLATURANOMENCLATURA

Toman Coca: Toman Coca: p(C)p(C)Toman Pepsi:Toman Pepsi: p(E) p(E)TomanToman CocaCoca oo PepsiPepsi p(C p(C UU E) E)Toman Coca Toman Coca yy Pepsi: Pepsi: p(Cp(C ∩ E)Toman Coca pero no Pepsi: p(C ∩ E’)Toman Pepsi pero no Coca: p(C’ ∩ E)No toman ninguna: p(C’ ∩ E’)

Page 28: Tema 2: Probabilidad

REPRESENTACIÓN GRÁFICAREPRESENTACIÓN GRÁFICA

C’ ∩ EC ∩ E’

C’ ∩ E’

C ∩ E

Page 29: Tema 2: Probabilidad

EJEMPLO 2EJEMPLO 2

¿Cuántas personas consumen ¿Cuántas personas consumen exlusivamente una marca?exlusivamente una marca?

P(C ∩ E’) + P(C’ ∩ E) = 24

• ¿Cuántas personas toman alguno de los dos: P(C U E) = P(C ∩ E’) + P(C ∩ E) + P(C’ ∩ E)=

= 15 + 5 + 9 = 29

Page 30: Tema 2: Probabilidad
Page 31: Tema 2: Probabilidad

Dos eventos A y B si la ocurrencia de uno no afecta la probabilidad de ocurrencia del otro.

La regla a seguir es: P(A y B) = P(A)P(B)

La Regla de la MultiplicaciónRegla de la Multiplicación requiere que dos eventos A y B sean

independentes.

Page 32: Tema 2: Probabilidad

5-year stock prices

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

1 2 3 4 5

Year

Stoc

k pr

ice

$

IBM

GE

P(IBM y GE) = (.5)(.7) = .35

Javier tiene 2 acciones, IBM y General Electric (GE). La probabilidad de que las acciones de IBM incrementen su valor este año, es de 0.5, mientras que la probabilidad de que las acciones de GE suban de valor es del 0.7. Ambos eventos son independientes. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas acciones incrementen su valor este año?

Page 33: Tema 2: Probabilidad

P(al menos una)

= P(IBM pero no GE)

+ P(GE pero no IBM)

+ P(IBM y GE)

(.5)(1-.7) + (.7)(1-.5) + (.7)(.5) = .85

¿Cuál es la probabilidad de que al menos una de las acciones suba de valor?.Esto significa que una, la otra, o ambas, puedan subir de valor

Page 34: Tema 2: Probabilidad

PROBABILIDAD CONDICIONALPROBABILIDAD CONDICIONAL

A

Se llama Se llama probabilidad deprobabilidad de AA condicionada acondicionada a BB, o , o probabilidad deprobabilidad de AA sabiendo que pasasabiendo que pasa BB::

)()(

)/(BP

BAPBAP

E espacio muestral

B

“tam

año”

de

uno

resp

ecto

al

otro

Error frecuente:Error frecuente: Probabilidad condicional es distinta a la intersección.Probabilidad condicional es distinta a la intersección. En ambos medimos efectivamente la intersección, En ambos medimos efectivamente la intersección,

peropero…… En P(AEn P(A∩∩B) con respecto a P(E)=1B) con respecto a P(E)=1 En P(A|B) con respecto a P(B)En P(A|B) con respecto a P(B)

Page 35: Tema 2: Probabilidad

Establece que para dos eventos, A y B, la

probabilidad conjunta de ocurrencia de ambos

eventos se obtiene multiplicando la

probabilidad del evento A por la probabilidad condicional de B dado

que A ocurrió.

La Regla Regla General de la General de la MultiplicaciónMultiplicación

se emplea para determinar la

probabilidad conjunta de la ocurrencia de

dos eventos.

Page 36: Tema 2: Probabilidad

La probabilidad conjunta, P(A y B), se determina por la siguiente

fórmula:

P(A y B) = P(A)P(B/A) ó

P(A y B) = P(B)P(A/B)

Page 37: Tema 2: Probabilidad

Especialidad Hombres Mujeres Total

Contaduría 170 110 280

Finanzas 120 100 220

Mercadotecnia 160 70 230

Alta Dirección

150 120 270

Total 600 400 1000

A continuación mostramos la matrícula de alumnos inscritos en distintas especialidades de la FCA:

Page 38: Tema 2: Probabilidad

P(C/M) = P(C y M)/P(M)

= [110/1000]/[400/1000] = .275

Si un estudiante es seleccionado al azar,¿Cuál es la probabilidad de que sea mujer (M) y esté inscrito en la especialidad en Contaduría (C)?

P(C y M) = 110/1000.

Dado que el estudiante es mujer, cuál es la probabilidad de que esté inscrita en Contaduría?

Page 39: Tema 2: Probabilidad
Page 40: Tema 2: Probabilidad

Ejemplo: Una bolsa contiene 7 fichas rojas y 5 azules. Seleccionamos 2, una detrás de la otra (Sin reemplazo). ¿Cómo podríamos representar este problema en un diagrama de árbol?

Un Diagrama de Diagrama de ÁrbolÁrbol se utiliza para ilustrar problemas de Probabilidad Condicional y Conjunta. Es particularmente util para analizar alternativas en las decisiones de negocios .

Page 41: Tema 2: Probabilidad

DIAGRAMA DE ÁRBOLDIAGRAMA DE ÁRBOL

R1

A1

R2

A2

R2

A2

7/12

5/12

6/11

5/11

7/11

4/11

Page 42: Tema 2: Probabilidad

TEOREMA DE BAYESTEOREMA DE BAYES

Es un método para calcular la probabilidad Es un método para calcular la probabilidad de un evento a partir de información de un evento a partir de información previa.previa.

Se emplea la siguiente fórmula:Se emplea la siguiente fórmula:

)/()()/()()/()(

)|(2211

111 ABPAPABPAP

ABPAPBAP