probabilidad & estadística 2

Probabilidad y Estadística 2

[Aplicaciones con Texas Instruments Voyage 200]

2010 En este manual encontrarás aplicaciones para diversos temas de Probabilidad y Estadística 2, hipótesis de prueba, intervalos de confianza, regresión lineal, bondad de ajuste, gráfica de distribuciones de probabilidad, todo con ayuda de la Texas Instruments Voyage 200.

Materia para: Todas las Ingenierías

EELLAABBOORRAADDOO PPOORR::

II..II.. ÁÁNNGGEELL GGAARRCCÍÍAAFFIIGGUUEERROOAA HHEERRNNÁÁNNDDEEZZ

[ PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA 2 ] Invierno 2009

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200 Página 3

Tabla de funciones matemáticas poco usadas para la TI-V200

Función Forma de

escritura en HOME

Descripción simple Ejemplo.

Valor absoluto

abs(expr)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Logaritmo log(expr) ó log(expr,base)

Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro, seguido de una coma y la base del logaritmo, si se omite se toma como base 10.

Raíz de cualquier

orden

��

(expr)^(n/m)

Debes teclear primero la expresión que va a elevarse a la raíz dada, luego el símbolo de potencia y entre paréntesis la división correspondiente de la raíz que tengas.

Cosecante csc(expr) Sólo debes teclear esta combinación de letras seguido de los respectivos paréntesis de apertura y cierre con la expresión dentro.

Secante sec(expr)

Cotangente cot(expr)

arc coseno cos-1(expr)

Para las primeras tres funciones simplemente teclea “2nd” + tecla seno coseno ó tangente correspondiente. Para las últimas 3 debes entrar al menú de funciones trigonométrica con “2nd” + número 5 de la parte numérica y entrar al submenú Trig. y dar ENTER sobre la opción deseada.

arc seno sen-1(expr)

arc tangente

tan-1(expr)

arc cosecante

csc-1(expr)

arc secante sec-1(expr)

arc cotangente

cot-1(expr)


Índice General Página 4

Índice General

I. Introducción…………………………………………………………………………….5

II. Detalle Técnico………………………………………………………………………..7

III. Detalle General de Teclas………………………………………………………..9

IV. Introduciendo datos y expresiones correctamente…………………11

V. Índice de Probabilidad & Estadística 2…………………………………….21

VI. Contenido…………………………………………………………………………24-70

VII. Ejercicios propuestos……………………………………………………………..71

VIII. Bibliografía……………………………………………………………………………..81


Introducción Página 5

Introducción

Bienvenido al curso Texas Instruments Voyage200, éste curso tiene la finalidad de que aprendas

el manejo eficiente y práctico de esta calculadora graficadora muy poderosa, ya que posee un gran

campo de aplicación en todas las ingenierías y por ende en la mayoría de las materias que verás a

lo largo de tu carrera, para que estudies como ingeniero y trabajes como tal.

Esta calculadora si bien tiene mucha funcionalidad y gran ventaja, es importante dejar en claro

que no debe ser usada como un medio de hacer trampa o como un sustituto del aprendizaje

impartido por el maestro, sino de un apoyo claro y específico en cada materia para agilizar

cálculos y para entender mejor los temas vistos en clase. Las materias en las que te puede ayudar

grandemente de tronco común (1°, 2° y 3° semestre) son las siguientes:

1. Química General

2. Algebra Lineal

3. Calculo Diferencial

4. Calculo Integral

5. Ecuaciones Diferenciales

6. Probabilidad y Estadística 1

7. Probabilidad y Estadística 2

8. Física 1

9. Física 2

10. Física 3

11. Fisicoquímica

12. Termodinámica

Y de las demás materias disciplinarias

(Programa Académico de Ingeniería Industrial):

13. Diseño de Experimentos

14. Computación 2

15. Resistencia de Materiales 1

16. Circuitos Eléctricos 1

17. Investigación de Operaciones 1

18. Investigación de Operaciones 2

19. Tecnología de los Materiales

20. Ingeniería Económica 1

21. Ingeniería Económica 2

22. Control Estadístico del Proceso

23. Medición del Trabajo

24. Metrología

25. Administración Financiera

Las materias en Negritas son las

que recomiendo fuertemente para

el uso de esta calculadora porque

facilita mucho el trabajo y también

existen programas específicos y

didácticos para cada una.


Introducción Página 6

PRÉSTAMO

Existen 54 calculadoras TI-V200 disponibles para préstamo en el resguardo de ésta facultad, tú

puedes pedir que se te preste de forma inmediata una calculadora, se te presta gratuitamente por

espacio de 1 mes y puedes renovar el préstamo cuantas veces desees. Para esto debes acudir con

el encargado del material tecnológico y audiovisual, él se encuentra en el segundo piso de la

facultad casi enfrente del centro de cómputo junto a la jefatura de Ingeniería Industrial, se atiende

de 7:00 A.M. a 2:00 P.M., lo único que necesitas para que te presten la calculadora es lo siguiente:

• Copia de tu credencial de la Universidad

• Copia de tu toma de materias actual

• Copia de tu Inscripción/Reinscripción actual

Como verás es muy sencillo y en definitiva recibes a cambio una gran ayuda.


Detalle Técnico Página 7

Detalle Técnico

Cuando pidas prestada una calculadora debes fijarte que contenga:

� 1 Calculadora

� 1 Carcasa

� 4 Pilas AAA recargables ó alcalinas (en caso de estar disponibles)

� 1 Bolsita protectora

Este es el préstamo básico, sin embargo si tú deseas instalarle algún programa desde tu

computadora debes solicitar también:

� 1 Cable TI-USB Silver-Link

Para instalación de programas complementarios ó extras, consultar el MANUAL DE INSTALACIÓN

DE SOFTWARE PARA CALCULADORA TEXAS INSTRUMENTS VOYAGE 200.

Pasos al Iniciar sesión:

1. Coloca las 4 pilas AAA adecuadamente. Estas se encuentran dentro de la bolsa protectora de la

calculadora. La parte donde se colocan las pilas es en la parte posterior de la misma.

IMPORTANTE: No muevas la pila de botón.

2. Retira la carcasa de la calculadora:


Detalle Técnico Página 8

3. Colócala por atrás para protegerla mejor.


Detalle General de Teclas Página 9

Detalle General de Teclas

La tecla DIAMANTE (una tecla verde al lado de la tecla ON), al presionarla una vez activa todas las

teclas que tengan leyenda verde sobre las teclas normales. Su función es múltiple y generalmente

te permite desplazarte entre programas y configurar ciertas aplicaciones de la parte gráfica.

La tecla 2nd (tecla azul al lado de la tecla DIAMANTE), al presionarla una vez activa todas las teclas

que tengan leyenda azul. Su función principal es complementar las expresiones numéricas, y en

algunos casos entrar a menús avanzados.

Las teclas F1-F8, se pueden utilizar cuando en la pantalla aparezcan opciones variadas en la parte

superior, generalmente se usan sólo para abrir menús en los programas.

Las teclas del Cursor sirven para moverte en gráficas, sobre la línea de entrada y en el historial de

Home, así como en otros programas, te irás familiarizando con el poco a poco.

La tecla APPS, despliega el menú general de la calculadora, donde se encuentran todas las

aplicaciones y programas de la misma.

La tecla MODE, despliega la pantalla para modificar la configuración general de la calculadora.

La tecla Shift, tiene la misma funcionalidad que la tecla shift del teclado de una computadora, al

dejarlo presionado y desplazarte con el cursor de un lado a otro puedes seleccionar una serie de

Cursor

Parte Numérica

Teclado Extendido Teclas especiales Shift,

DIAMANTE, 2nd

Teclas F1-F8

Tecla APPS

Tecla CLEAR Tecla ESC


Detalle General de Teclas Página 10

datos o expresiones para después copiarlos con la combinación DIAMANTE + letra C, y pegarlos en

cualquier otra aplicación con la combinación DIAMANTE + letra V.

La tecla CLEAR sirve de forma general para borrar la línea de entrada de la calculadora y en

algunas otras aplicaciones borra gráficas y elementos marcados para graficar.

La tecla ESC se usa para cancelar opciones hechas o errores cometidos dentro de un programa.


Introduciendo datos & expresiones correctamente Página 11

Introduciendo datos y

expresiones

correctamente

Se ha dedicado un capítulo completo a la

explicación de cómo introducir datos y

expresiones correctamente debido a que se

han identificado numerosos errores de

escritura en muchos estudiantes a la hora de

teclear los datos, lo cual es de vital

importancia ya que de teclear

incorrectamente la información nos puede

arrojar resultados incorrectos o muy

diferentes a lo que queremos en realidad,

independientemente del programa en el que

estemos éstas reglas son para cualquier

aplicación en el que se esté trabajando, es

conveniente tomarse un tiempo para

entender y practicar estos sencillos ejercicios

para que escribas correctamente la

información en cada tarea que resuelvas.

Signo Menos

Es importante que a la hora de teclear una

expresión en la calculadora se teclee el signo

menos adecuado en cada caso. Se debe

seguir la siguiente regla:

“Cuando se escriba una expresión en la que

se inicie con signo negativo debe usarse la

tecla con signo negativo entre paréntesis

”. Esto mismo se usa con las

calculadoras científicas habituales. Veremos

un par de ejemplos. Enciende tu calculadora,

tecla ON:

Muévete con el cursor a través de las

aplicaciones y posiciónate en HOME y da

ENTER:

Por ejemplo, si queremos escribir:

�7� 8

Damos ENTER :

Vemos que se despliega correctamente y se

reacomoda en la línea de entrada. Este error

del uso del signo menos es muy común y

debe usarse ya sea en el inicio de una

expresión o en la de un exponente que

queramos a una potencia negativa o después

de que se ha cerrado un paréntesis. Para

borrar la línea de entrada teclea CLEAR.



Si se hubiera puesto el otro signo menos

hubiera salido un resultado completamente

diferente e incorrecto. Otro ejemplo:

��

Vemos que se lee correctamente, si

hubiéramos puesto el signo contrario:

Vemos que nos indica que hay un error de

sintaxis en la línea de entrada.

“En cualquier otra posición de una

expresión que no sea el inicio, el signo

negativo que debe usarse es el de la tecla

blanca .”

Por ejemplo:

�� 8� � 13

Para el primer término como esta al inicio se

usa el signo menos de la tecla negra y para el

último término se usa el signo menos de la

tecla blanca:

Como tip podemos decir que en la línea de

entrada el signo menos de la tecla negra está

un poco más pequeño y más arriba que el de

la tecla blanca.

Paréntesis

El uso correcto de los paréntesis es muy

importante ya que de igual manera va a

definir nuestras expresiones. Los paréntesis

dividen expresiones completas en la línea de

entrada de la calculadora, hay algunas

funciones como la función exponencial,

logaritmo natural o las trigonométricas que

cuando lo tecleas inmediatamente te abre un

paréntesis y lo hace con la finalidad de que

definas correctamente lo que va dentro de

esa función. Es importante recordar que

“Todo paréntesis que se abre debe

cerrarse”. Por ejemplo supongamos que

deseamos escribir:

sin 7� 8�� ln �

Al teclear la función de seno se abre

automáticamente el paréntesis e

inmediatamente después debemos escribir



el argumento del seno para después cerrarlo

con el paréntesis de cierre:

Es importante también cerrar

ordenadamente cada paréntesis que se abra,

veamos otro ejemplo:

√cos � � sin 2�

Abrimos la raíz dando en 2nd + tecla de

signo de multiplicación y si te fijas se

abre el paréntesis inmediatamente después

del símbolo de la raíz y luego debemos

escribir la expresión de adentro y cerrar con

el paréntesis final para indicar que todo va

dentro de la raíz:

Fíjate en el orden de los paréntesis, el

primero es el que encierra a todos los demás,

damos ENTER:

Signo de División

Este es otro error algo común a la hora de

escribir las expresiones, y hay que seguir otra

regla muy simple cuando usamos el signo de

división:

“Cuando haya más de un término en el

numerador o denominador en una división,

estas expresiones deben encerrarse entre

paréntesis”

Por ejemplo si deseamos escribir:

3�9� 13

Como hay un solo término en la parte de

arriba no es necesario teclear el paréntesis,

pero como en la parte de abajo hay más de

uno, debemos teclear los paréntesis en la

parte de abajo, la forma de escritura se

podría resumir con este tip:

� �� !é�#$ %&/� �� !é�#$ %&

Vemos en la pantalla como se ve

correctamente la escritura de la expresión

que queremos. ¿Qué hubiera pasado si no

ponemos los paréntesis? Observa:



Vemos que al dar ENTER la calculadora

entiende otra cosa completamente distinta.

Es un muy buen tip que observes lo que

escribiste al dar ENTER en la parte izquierda

de la pantalla y veas si esa expresión es la

que quieres.

Otro ejemplo:

�� 8��7�� 3� � 15

Como en el numerador y denominador hay

más de un término deben escribirse ambos

paréntesis al inicio y al final de cada

expresión, damos ENTER:

Nótese que en el denominador como la

expresión inicia con un término con signo

negativo se empieza usando el menos de la

tecla negra, y el siguiente es con la tecla

menos blanca. Recordemos que los

paréntesis dividen expresiones completas,

por eso aunque este en medio de la línea de

entrada se usa el signo negativo negro.

También notamos que la calculadora

factoriza la parte de arriba y cambia signos

por comodidad, siendo esto una igualdad

exacta.

Exponentes

Otro error relativamente común son los

exponentes. Por ejemplo si queremos

escribir:

��)

Como veras a simple vista en la calculadora

no existe una tecla con raíz cúbica, solo esta

la de raíz cuadrada, para escribir una raíz del

orden que sea se debe usar el exponente con

la sencilla regla:

√�� * �� +⁄

Cuando se escribe un exponente en

fracciones en la calculadora, de igual

manera debe ponerse entre paréntesis

después del símbolo de exponente:

Al dar ENTER vemos la expresión correcta de

la equis con su exponente. De igual manera

se recalca la importancia de poner entre

paréntesis esta expresión ya que de no

hacerlo la calculadora entenderá otra cosa,

observa:



Vemos que al no ponerlo la calculadora

entiende que se trata de una equis cuadrada

entre tres y no es la expresión adecuada. Por

eso es MUY IMPORTANTE el escribir

correctamente la información en la

calculadora ya que de no hacerlo nos dará

resultados incorrectos.

Listas ó Matrices

Cuando escribas en listas o matrices

(generalmente las usaras en materias como

Algebra Lineal, Investigación de Operaciones

1, Ingeniería Económica 1, Ingeniería

Económica 2) es importante que recuerdes

que las comas “,” también dividen

expresiones y por lo tanto si por ejemplo

escribes un dato con signo negativo es como

si iniciara una nueva expresión y debe

teclearse con el signo menos de la tecla

negra.

Por ejemplo al escribir la lista:

-5, �6,8, �2,10

Se abren y cierran las llaves tecleando “2nd”

+ paréntesis de apertura o cierre

:

Vemos que al dar ENTER la lista se crea con

los datos de signo correctos, de poner el otro

signo menos ocurriría un error de sintaxis.

Funciones solve, factor, expand

Si estás trabajando en materias como calculo

diferencial, cálculo integral, algebra lineal es

posible que te sean útiles éstas funciones. En

general se te explicarán en el curso de la

materia que tomes si es que te son de ayuda.

De todas maneras aquí se te explica un poco

de cómo usarlas. Todas estas funciones están

en el menú F2 Algebra, al dar ENTER sobre

cada una se copia a la línea de entrada para

usarse:

Función Solve

La función solve resuelve igualdades o

inecuaciones en la línea de entrada de HOME

lo único que necesitas es introducir la

ecuación en la línea de entrada, la respectiva

igualdad o inecuación, luego la respectiva

coma e inmediatamente después la variable

que deseas que la calculadora encuentre, de

esta forma:

1%23��4�54$ó , 35�$572�&

Por ejemplo nos piden encontrar los valores

de X que satisfacen la expresión:

�� 6�� 5� 30 * 75



En la línea de entrada de HOME se debe

introducir de esta forma:

1%23�� 6�� 5� 30 * 75, �&

Ahora simplemente damos ENTER:

Y se llega al resultado.

Función Factor

La función factor como su nombre lo indica

factoriza expresiones (de ser posible) y

devuelve la multiplicación adecuada que

daría como resultado esa expresión. Su

forma de escritura es:

954!%��1$% &

Como te puedes dar cuenta no tiene ni coma

ni variable a buscar ya que no necesita de

una variable para encontrar, sino que va a

factorizar con las variables que tengas dentro

de la expresión. Por ejemplo te piden

factorizar la siguiente expresión:

�� 9�� 7� � 63

Para introducirlo en la línea de entrada de

HOME sería así:

954!%�� 9�� 7� � 6&

Damos ENTER y vemos:

Nos devuelve la factorización adecuada de

binomios que daría como resultado ese

polinomio.

Función Expand

La función expand es la función inversa de

factor, cuando introduzcas una expresión

elevada a una potencia o una multiplicación

de expresiones lo que va a hacer es

desarrollar esa multiplicación para que la

visualices por completo. Su forma de

escritura es similar a la de factor:

��5 ��1$ó &

Por ejemplo supongamos que necesitas

desarrollar la expresión:

�2�� 9&�

En la línea de entrada de HOME se debe de

introducir así:

��5 ��2�� 9&�&




Operador With

El operador “with” es un comando

condicionante, en la calculadora se puede

combinar con varias funciones de la misma

para restringir la búsqueda de una respuesta

ó para sustituir un valor en una variable en

una expresión dada. Su símbolo es |. Tú

puedes combinarlo de la siguiente forma:

1. Pidiéndole que sustituya un valor en una

variable, esto es útil cuando quieres sustituir

un valor cualquiera en una expresión grande

y tendrías que hacer varias operaciones a

mano, por ejemplo:

5� 7��

3�� 12�� 5�

Y quieres sustituir digamos 7 en donde haya

equis y evaluarlo. Primero debes teclear la

expresión completa en la línea de entrada y

luego teclear este operador, el operador

“with” sale tecleando “2nd” + letra K del

teclado extendido. En la línea de entrada

quedaría así:


Como puedes ver opera la expresión,

también antes de dar ENTER puedes

presionar DIAMANTE y te devolverá un valor

numérico aproximado.

2. También lo puedes usar para restringir la

búsqueda de respuestas. Por ejemplo buscas

sólo la solución positiva de X para:

�� 2� � 15 * 0

Para ésta igualdad como sabemos ocupamos

la función solve y al finalizar de escribir la

función restringimos la búsqueda a X>0:

1%23�� 2� � 15 * 0, �&|� ; 0

En la línea de entrada quedaría así:


El símbolo de “>” sale con “2nd”+ símbolo de

punto de la parte numérica.



Mensajes de Error Comunes

Los mensajes de error comunes suceden

cuando en la línea de entrada cometiste un

error de sintaxis o que falta una variable o

alguna expresión necesaria.

Uno de los más comunes es el mensaje de

“Missing )”:

Nos indica que falta un paréntesis ya sea de

cierre o apertura en la línea de entrada. Este

error hace referencia a la regla que dice

“Cada paréntesis que se abre debe cerrarse”

Otro error común es el de “Syntax”:

Este error nos indica que hemos escrito algo

mal en la línea de entrada, generalmente se

debe a los signos negativos, es decir que

hemos usado los inadecuados.

También tenemos éste otro error, el de “Too

few arguments”

El cual nos indica que hacen falta

argumentos para la función, esto se explicará

con el uso mismo de los programas y

software para que sepas como y donde

ponerlos.

Un último factor importante en el uso de la

calculadora es que después de que le des

una orden ya sea dando ENTER o con

cualquier otra tecla de resolución dejes que

la calculadora “piense” o resuelva lo que le

has pedido, cuando esta “ocupada” lo dice

en la esquina inferior derecha, aparece el

recuadro de BUSY, lo cual indica que esta

ocupada y no debes teclear nada hasta que

te devuelva una respuesta.

Borrando Variables

Es importante que de cuando en cuando

después de haber usado tu calculadora

elimines las variables con valores asignados

que se hayan podido guardar en la memoria,

esto ocurre algunas veces cuando ocupas la

función solve ó cuando usas el Numeric

Solver, para eliminar las variables estando en

HOME simplemente teclea F6 CleanUp y da

ENTER sobre la primera opción “Clear a-z”:

Al hacer esto borras automáticamente todos

los valores que podrían contener las

variables de la “A” a la “Z”. Es importante

que hagas esto cuando inicias un nuevo

problema.



Multiplicación Implícita de Variables

Otro error bastante común a la hora de

teclear los datos es que nosotros al escribir a

mano damos por hecho la multiplicación

implícita de variables en una expresión, por

ejemplo al escribir:

�< 3�� 2<=

Nosotros por intuición y por lo que nos han

enseñado sabemos sin problema que en la

primer y último termino hay una

multiplicación de variables X por Y y Y por Z.

En la Texas debemos especificar ésta división

de variables ya que si las tecleamos juntas la

Texas pensará que se trata de una variable

única llamada XY ó YZ:

La forma correcta es teclear el signo de

multiplicación entre ambas variables:

Podemos ver la diferencia, como tip puedes

observar el pequeño punto entre la X y la Y,

así como entre la Y y la Z indicando la

independencia de cada variable. Es

importante teclear esto correctamente, ya

que en el uso de alguna función podría no

reconocer la variable que quieres que

resuelva, por ejemplo:

Podemos ver que al resolver una igualación a

15 y pedirle encontrar Y, no existe ésta

variable ya que para la Texas solo hay

variables X, XY y YZ, lo correcto sería:

Cuando todo falla

Se ha llegado a ver situaciones en donde la

pantalla se “frizea” ó se queda trabada, esto

ocurre generalmente cuando no esperaste

una respuesta de la misma cuando estaba en

estado BUSY, siempre debes esperar

después de darle un comando de resolución

o respuesta (ya sea ENTER o cualquier otro) a

que te devuelva un valor o mensaje, NO LA

FUERCES, se paciente y siempre fíjate en el

estado de la misma, éste se encuentra

siempre activo en la esquina inferior derecha

de la pantalla, da siempre un teclazo a la vez

y ordenadamente. De todas maneras si se te

llegara a trabar presiona al mismo tiempo

estas 3 teclas “2nd” + ON + tecla de mano:

+ + . Esto reiniciará la

calculadora completamente y sin problemas.



Ephy

Pensando en el gran número de usos en el

área de Química y sus modalidades

combinadas (Fisicoquímica, Termodinámica,

Química Orgánica, etc.) instalé en todas las

calculadoras una práctica tabla periódica de

los elementos que puedes consultar. Para

entrar a ella estando en HOME teclea en la

línea de entrada la combinación “EPHY()” y

da ENTER:

Da ENTER nuevamente para continuar:

Y verás:

Y puedes desplazarte por cada elemento, y

para ver su información da ENTER sobre el

símbolo del elemento que deseas ver y verás

su ficha completa:

La desventaja es que está en francés, pero

los símbolos químicos no cambian, son

iguales para todos, además de que es

bastante entendible, la información es

explícita, la información de cada elemento es

la siguiente:

• Nombre

• Masa Atómica

• Electronegatividad

• Densidad (gr/cm3)

• Punto de Ebullición (°C)

• Punto de Fusión (°C)

• Valencia

• Configuración Electrónica

• Radio Atómico

• Por quién fue descubierto y en que

año.

Para salir de la tabla simplemente da ESC:


Índice de Probabilidad y Estadística 2 Página 21

Índice de Probabilidad y Estadística 2

C a p í t u l o 1 Antes de Iniciar

1.1 Estadística Descriptiva.……………………………………………………………………….24

i) (Media, Varianza, Desv. Standard, Sumatorias, etc)

1.2 Calculando datos de distribuciones: Normal, Ji-Cuadrada, t de student, F de

Fisher……….…………………………………..…………………………………………………………………….28

C a p í t u l o 2 Hipótesis relativas a medias

2.1 Prueba Z…………………..………………………………….…………………………………….31

2.2 Prueba T…………………………………………………….…..………………………………….33

2.3 Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2 medias…………………………..36

2.4 Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T………………………39

2.5 Intervalo de confianza para 2 muestras, Prueba Z & Prueba T……………44

C a p í t u l o 3 Hipótesis relativas a varianzas

3.1 Hipótesis relativas a 1 varianza …..………………………………………………………48

3.2 Hipótesis relativas a 2 varianzas ………………………………………………………….49

C a p í t u l o 4 Inferencias relativas a proporciones

4.1 Intervalo de confianza para 1 proporción……………………………………………52

4.2 Intervalo de confianza para 2 proporciones………………………………………..53

4.3 Intervalo unilateral……………………………………………………………………………..54

4.4 Hipótesis relativa a 1 proporción………………………………………………………..55



4.5 Hipótesis relativa a 2 proporciones…………………………………………………..56

4.6 Análisis de tablas IXC…………………………………………………………………………58

4.7 Bondad de Ajuste………………………………………………………………………………62

C a p í t u l o 5 Regresión Lineal

5.1 Regresión lineal…………………………………………………………………………………67


Estadística Desriptiva Página 24

Estadística Descriptiva

Antes de pasar al tema de distribuciones de

probabilidad que es el tema siguiente, vamos

a dar ejemplo de cómo puedes calcular una

serie de datos de estadística descriptiva

(medidas de tendencia central, medidas de

dispersión) que los solicitan a menudo en

materias como Probabilidad y Estadística 1,

Probabilidad y Estadística 2, Diseño de

Experimentos y Control Estadístico de

Procesos. Veamos un ejemplo sencillo, en el

contexto de un problema nos dan los

siguientes datos:

6 7 7 8 8 8 8 9 9 9 9 9 9 9 10 10 10 10 10 11

Y para resolverlo debemos encontrar la

mediana, promedio, Desv. Standard, rango,

Cuartil primero, segundo y tercero. Esto a

mano sería algo tedioso de estar haciendo

sobre todo si sólo tenemos una calculadora

científica normal. La TI-V200 te puede ayudar

a resolver todos estos datos rápidamente.

Primero debemos entrar al programa Stat

List/Editor. Para esto presionamos tecla

APPS:

Nos movemos a través de las aplicaciones de

la calculadora y encontramos el programa

que como referencia es un ícono con una

tabla:

Damos ENTER en éste ícono

Luego nos sale una pantalla donde nos va a

preguntar donde deseamos que se guarden

todas las variables que se van a crear cuando

hagamos operaciones, listas, estadística

descriptiva, etc. y es ésta:

Esto depende de cada uno de nosotros

donde queramos que se guarden, por

sencillez vamos a seleccionar una carpeta

que se crea automáticamente que dice

“statvars”, damos un teclazo a la derecha

para seleccionar esta carpeta que se

encuentra casi siempre al final de la lista:

Y damos ENTER 2 veces y nos da acceso al

programa:

Este es el Stat list Editor, es un programa

muy poderoso de estadística y probabilidad,

tiene muchas aplicaciones hasta Control

Estadístico de Proceso y Diseño de

Experimentos. Por ahora nos enfocaremos

en nuestro problema. Lo primero que

debemos hacer es escribir todos los datos en

una lista para que después de un solo golpe

saque todos los datos, nos movemos con el



cursor al inicio del primer dato de la columna

que dice “list1”:

Vemos que en la parte inferior de la pantalla

hay una línea de entrada en donde se va a

introducir cada dato. Para empezar a

introducir los datos simplemente tecleamos

cada dato espaciado por un ENTER:

Vemos que lo escribe como primer dato en la

lista y así hacemos sucesivamente hasta

llenar los 20 datos.

…

Si lo hiciste correctamente debes estar

posicionado para introducir el dato número

21. Ahora bien ya que has escrito todos los

datos, para calcular todo desplegamos

primero del Menú “Calc” que corresponde a

la tecla F4:

Damos ENTER en la primera opción que hace

relación a “1-Var Stats”:

Aquí en esta pantalla te va a pedir que

introduzcas en primer lugar el nombre de la

lista que creaste en el rubro “List:”, el

nombre de la lista que creas siempre esta

hasta arriba de la columna, como verás se

llama “list1”, así que tecleamos tal cual este

nombre:

La siguiente pregunta de “Freq” hace

referencia a la frecuencia es decir el número

de veces que se repite este dato, como

sabemos que sólo se repite una vez así lo

dejamos tal cual esta, las demás opciones las

dejamos como están, damos ENTER 2 veces:



Y listo vemos toda la información de la

estadística descriptiva:

Media de los valores x. ∑x Suma de los valores x. ∑x2 Suma de los valores x2. Sx Desviación estándar de muestra de x. σx Desviación estándar de población de x. n Número de puntos de datos. MinX Mínimo de los valores x. Q1X Primer cuartil de x. MedX Mediana de x. Q3X Tercer cuartil de x. MaxX Máximo de los valores x. ∑ (x-)2 Suma de cuadrados de las

desviaciones con respecto a la media de x.

Puedes moverte con el cursor hacia abajo

para ver la información completa:

Damos ENTER para salirnos de ésta pantalla.

De igual forma puedes hacerlo con 2 listas a

la vez, para mostrarlo haremos al mismo

tiempo la estadística descriptiva de éstas 2

series de datos:

Muestra1 Muestra2

5 8

9 9

4 7

6 3

De igual forma posiciónate con el cursor

sobre el primer dato de la columna “list2” y

escribe cada dato, y después lo mismo para

“list3”:

Introducimos los datos:

Lo mismo para la lista 3 correspondiente a la

muestra 2:

Ya que hemos introducido los datos, ahora

en lugar de seleccionar la primera opción de

“1-Var Stats”, seleccionamos la segunda de

“2-Var Stats”:

Solo que ahora la lista X será “list2” y la lista

Y será “list3”, debes recordar siempre el

nombre del título de la lista:



Para ver los resultados damos ENTER:

Y te deja de igual forma expresados los

datos, solo debes recordar y hacer la

referencia de que los valores de X hacen

referencia a la lista2 que a su vez hace

referencia a la muestra 1 de tu problema:


Calculando datos de distribuciones (Normal, Ji-Cuadrada, t de student, F de Fisher) Página 28

Calculando datos de distribuciones (Normal,

Ji-Cuadrada, t de student, F de Fisher).

Con la Texas Instruments Voyage 200 jamás

tendrás que usar nuevamente las tediosas y

estorbosas tablas de distribuciones, la

calculadora te permite calcular en algún

intervalo que desees o de área que necesites

el punto a comparar para resolver los

diversos ejercicios del curso de probabilidad

y estadística 2. Entramos al programa Stat

List Editor, damos en tecla APPS y ENTER en

este programa:














programa:

Básicamente para encontrar los puntos a

comparar para resolver tus problemas se

encuentran todos en el menú F5 “Distr”

correspondiente al menú de distribuciones y

luego desplegando el submenú de “Inverse”:

Como verás aquí se encuentran todas las

distribuciones que usarás en ésta materia.

Por ejemplo, tienes un nivel de significancia

de 0.05 en tu problema y estas usando la

prueba Z, para encontrar el punto a

comparar, seleccionamos la opción de

Normal, y en el apartado de “Area”

tecleamos 1- el nivel de significancia que

tengamos, es decir 0.95 y en µ=0 y σ=1

SIEMPRE:

Damos ENTER 2 veces y vemos:



Ahora bien, éste punto a comparar depende

de tu hipótesis alternativa, si tu hipótesis

alternativa la defines como > µ este es el

valor correcto, si lo defines como < µ, debes

usar el mismo valor con signo negativo, es

decir -1.64405, esto se debe a que la

distribución Z es simétrica, por eso en ambos

valores sólo cambia el signo:

Sólo varía cuando tu Hipótesis alternativa la

defines como ≠ es cuando debes hacer un

pequeño cambio en el nivel de significancia y

calcularlo como 1-(0.05/2), es decir repartir

el valor de 0.05 en 0.025 para ambas colas

quedando así:

De igual forma como es simétrica el valor

menor será -1.95996. Y comparas tu valor,

esto depende claro está del nivel de

significancia que tengas, aquí ponemos de

ejemplo 0.05, pero podría ser 0.10, ó 0.01.

De igual forma otra distribución simétrica es

la distribución t de student:

Aquí es en donde te será de gran ayuda la

calculadora, ya que para ésta distribución

generalmente tienen que cargas con varias

hojas de la distribución. De igual forma el

“Area” la introduces como (1- el valor de

significancia) con la misma regla que

acabamos de seguir con la distribución

anterior, es decir dependiendo de tu

hipótesis alternativa. Supongamos que tienes

en tu problema un nivel de significancia de

.01 y 5 datos:

De igual manera introducimos el área como

0.99 y en los “Deg of Freedom” (Grados de

Libertad) como n-1 es decir 4:


Ese es el valor a comparar de tu prueba,

recuerda que esto es suponiendo que tu

hipótesis alternativa es > µ, si fuera < µ es el

mismo valor pero con signo negativo, debido

a que esta distribución también es simétrica.

Otra distribución que usarás bastante es la

distribución Ji-Cuadrada:



Esta distribución NO ES SIMÉTRICA, es por

esto que depende mucho de como definas tu

hipótesis alternativa es el valor que debes

buscar, por ejemplo tengo en mi problema

un valor de significancia de 0.05 con 7 datos

(6 grados de libertad, G.L.= n-1) y defino mi

hipótesis alternativa como > µ:

Y veo mi valor a comparar que es 12.5916, si

fuera como < µ sería:

Como puedes ver el valor a comparar cambia

dramáticamente, y cuando es un intervalo es

decir con la prueba ≠ debes encontrar ambos

valores, con la misma regla de 1-(0.05/2) y

para el intervalo menor 0.05/2:

Este sería el límite inferior, y el superior

sería:

La Chi calculada tendría que caer entre

1.2373 y 14.4494 para que se aceptara la

Hipótesis nula.

Exactamente lo mismo ocurre para la

distribución F de Fisher, tampoco es

simétrica y depende de tu hipótesis

alternativa el valor que debes buscar ya sea

en el inicio o fin de la cola.


Prueba Z Página 31

Prueba Z

Con la TIV200 puedes calcular fácilmente el

valor de la Prueba Z, la probabilidad y si

quieres graficar esta hipótesis relativa a

medias y muchas otras que veremos más

adelante, veamos un ejemplo:

µ= 73.2, n=45, σ = 8.6, >? = 76.8, @ * A. AC

Supongamos que les piden comprobar la

hipótesis alternativa de que µ>73.2.

Enciende tu calculadora tecla “ON” .

Vemos que aparece la pantalla principal

donde nos da opciones de elegir el programa

que queremos utilizar, nos desplazamos con

las flechas de

desplazamiento que se encuentran en la

parte superior derecha de la calculadora, nos

posicionamos sobre la que dice “Stat List

Editor” y damos ENTER:














programa:

Este es el Stat list Editor, es un programa

muy poderoso de estadística y probabilidad,

muy útil en casi todo el curso de

probabilidad y estadística 2, tiene

aplicaciones hasta para Computación 2 y

Control Estadístico de Proceso, ahorra

muchas operaciones tediosas y repetitivas,

pero por ahora nos abocaremos solo a lo

concerniente a este curso.

Presionamos F6 , “Tests”. Vemos que se

despliega un menú con varias opciones,

todas estas son pruebas de hipótesis, unas

relativas a medias, otras a varianza, por

cuestiones de traducción iremos viendo cada

una y lo que significa cada una.

Seleccionamos la primera opción que dice

“Z-Test”, y damos ENTER :


Prueba Z Página 32

Y nos aparece esta pantalla:

En esta pantalla nos pregunta como

queremos introducir la información, si con la

información estadística ya dada (que es este

caso) ó toda la base de datos de la prueba,

este sería si nos dan una lista de datos muy

grande pero no es el caso, por eso

seleccionamos la opción “Stats” y damos

ENTER :

Aquí es donde debemos introducir en cada

ventanita los datos que tenemos arriba, la µ0

es equivalente a la µ, las demás variables

“n”, σ y �D son iguales, después de escribirlas

nos movemos entre ventanitas con las

flechas de dirección arriba y abajo ,

:

El único valor que no ocupa es E . Luego de

haber tecleado todos los valores y nos

pasamos a la ventana de “Alternate Hyp” y

nos pregunta precisamente cuál es la

hipótesis alternativa, damos a la derecha

y nos despliega las 3 opciones posibles y que

ves en clase, para este caso usaremos la

primera en donde µ >µ0 y damos ENTER:

Y en la última ventana nos pregunta si

queremos graficar la distribución normal

“Draw” a la que se refiere este problema o

solo calcular y mostrar los resultados

“Calculate”, para éste ejemplo usaremos solo

la opción “Calculate”:

Y damos ENTER:

Nos muestra los resultados, los resultados

importantes son “z” y “P”, z que es el valor a

encontrar y P que es la probabilidad de

ocurrencia de esta prueba. Damos ENTER de

nuevo para salirnos de esta pantalla. La

inferencia en este ejemplo es que debido a

que 2.808 > 1.645 la Hipótesis nula se

rechaza. No necesitas usar tablas de nuevo,

otra forma de verlo es comparando la P que

nos da la calculadora con tu nivel de

significancia, si tu nivel de significancia es

mayor que P la hipótesis nula se rechaza.


Prueba T Página 33

Prueba T

Veamos este ejemplo:

Hay 5 mediciones del contenido de

alquitrán en unos cigarros (mg): 14.3, 14.5,

14.2, 14.4, 14.5. Y se cree que la media es de

14, probar la hipótesis alternativa H1: µF

14 que sea diferente de 14. N.S.= 0.01

Lo primero que hay que hacer es anotar la

lista de los 5 datos, esto es muy sencillo,

damos una vez hacia abajo para

posicionarnos al inicio de la lista1 y

simplemente escribimos dato por dato y un

ENTER después de cada dato:

Ya que terminamos de anotar la lista de

datos presionamos F6 y seleccionamos

la segunda opción “T-Test” o Prueba T en

español y damos ENTER:

De nuevo nos pregunta como queremos

introducir la información, solo que ahora si

vamos a seleccionar la opción “Data” que es

introducir los datos, para esto damos una vez

a la derecha para ver el menú y sombrear

la opción de Data y damos ENTER para

seleccionarla, ENTER de nuevo:

Nos aparece esta pantalla:

Ahora introducimos la información

correspondiente, la µ0, en la ventana de

“List” se refiere a la lista de datos, sobre esta

ventana simplemente escribimos el nombre

de la lista en donde pusimos los datos que se

llama “list1” tecleando:

En la opción de “Freq” se refiere a la

frecuencia de ocurrencia en los datos, en

este caso se deja el 1 que tiene

predeterminado porque ocurre solo una vez

en cada dato, en hipótesis alternativa

seleccionamos la primera opción:

Por último dejamos la opción “Calculate”

para solo ver los resultados:


Prueba T Página 34

Damos ENTER:

Vemos los resultados:

µ0, es la media a probar

t, es el valor de la prueba t

P value, es el valor de la probabilidad de

ocurrencia.

df, son los grados de libertad (degrees of

freedom)

>?, es la media de la muestra

Sx, es la desviación standard de la muestra

n, es el numero de datos

Como tip podemos decir que si tu “P value”

es menor que tu nivel de significancia E, la

hipótesis nula se rechaza siempre. Damos

ENTER de nuevo para salirnos de esta

pantalla. Como “P value” es < 0.01 se rechaza

Ho. Tu maestro seguramente haga la

comparación con el valor t y en la prueba

zeta con el valor z, pero esta es otra forma

de verlo si así deseas aplicarlo, de ambas

formas es correcto.

Esta aplicación de introducir la información

con lista de datos se puede hacer para

cualquier prueba que así lo admita. Esta es

una gran herramienta cuando hay listas de

datos muy grandes y tediosos de calcular.

Veamos este otro ejemplo:

Se toma una muestra de días de entrega

que hace una empresa a otra y son los

siguientes: 9,10,19,13,14,18,10,12, con un

nivel de significancia de 0.01, probar la

afirmación que la media de los días de

entrega es 10.5 contra la alternativa de que

no sea igual a este valor

Usaremos ésta misma lista para este

problema solo reescribiremos encima de

estos valores los nuevos, nos movemos con

las flechas de dirección

hasta el primer dato, y sombreado

simplemente escribimos el nuevo valor y

damos ENTER:

Y así nos vamos todo la lista hasta tener

nuestros 8 datos:

Ya con nuestros datos completos damos

nuevamente en F6 y seleccionamos la

prueba t:

Nuevamente seleccionamos el modo de

introducir información con datos:


Prueba T Página 35

Volvemos a llenar la información

correspondiente, pero ahora en la última

opción seleccionamos “Draw” para ver la

gráfica:

Damos ENTER y observamos:

Vemos que grafica la curva de la distribución

t, y sombrea las colas que es el valor p, y

resolvemos que como p > 0.01 se acepta la

Ho.

Para regresar al Stat List Editor presionamos

tecla “2nd” + tecla APPS .

NOTA IMPORTANTE:

Es importante señalar que cuando se

grafique estas funciones de probabilidad no

debe haber ninguna otra función para

graficar en la parte del graficador de

funciones ya que esto podría causar que la

grafica se empalme con otra y no se visualice

correctamente, para asegurarnos que no

haya nada en esta parte antes de hacer lo

anterior simplemente presionamos F2 y

seleccionamos la cuarta opción que dice

“FnOff” y damos ENTER:

Esto desactiva automáticamente cualquier

función que se halle seleccionada en esta

parte.


Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2 medias Página 36

Prueba T & Prueba Z con diferencia entre 2

medias

También resuelve la tediosa fórmula de la

diferencia entre medias, veamos este

ejemplo:

Hay 2 muestras de producción de 2 minas:

Mina 1: 8260, 8130, 8350, 8070, 8340.

Mina 2: 7950, 7890, 7900, 8140, 7920, 7840.

Se desea probar si hay diferencia

significativa entre ambas muestras, es decir

que sean iguales o que sean diferentes, con

un nivel de significancia de 0.01:

Nos posicionamos de nuevo sobre el primer

dato de la lista 1 y vamos cambiando los

datos a los nuevos, solo de la mina 1, el resto

de datos los borramos con la tecla :

Nos movemos con las flechas de dirección

hasta el primer dato de “list2”:

Hacemos lo mismo para la segunda mina

escribiendo cada dato:

Ahora presionamos F6 para ver nuestro

menú de pruebas y seleccionamos la cuarta

opción “2-SampTTest…”, que significa “2

muestras con prueba T” y damos ENTER,

para saber seleccionar la prueba correcta

recuerda que cuando son datos menores a

30 se usa la prueba T cuando son mayores a

30 se usa la prueba Z:

Seleccionamos el modo de introducir la

información con datos es decir la opción

“Data” y damos ENTER:

Ahora solo llenamos la información con el

nombre de las listas “list1” y “list2” que es

donde se encuentran nuestros datos, la

frecuencia se queda con 1 porque solo

ocurre 1 vez en cada lista de datos:

En la hipótesis alternativa seleccionamos la

primera suponiendo que fueran diferentes y

la opción “Pooled” especifica si las varianzas

deben o no agruparse para el cálculo. YES =

varianzas agrupadas. Se asume que las

poblaciones tienen la misma varianza. NO =

varianzas no agrupadas. Las poblaciones

pueden tener varianzas distintas. En este

caso las dejamos con la opción NO y que solo

nos calcule los resultados:



Damos ENTER y vemos todos los resultados:

t, Valor t de Student calculado a partir de la diferencia entre las medias P Value, Probabilidad mínima con la que puede rechazarse la hipótesis nula. dg, Grados de libertad para el estadístico t x1, x2, Medias de las muestra para las sucesiones de datos de List 1 y List 2. Sx1, Sx2, Desviaciones estándar de las muestras para las sucesiones de datos de List 1 y List 2. n1,n2, Tamaños de las muestras Sxp, Desviación estándar agrupada. Se

calcula cuando Pooled = YES

Debido a que P Value es menor que nuestro

nivel de significancia se rechaza Ho, se infiere

que son diferentes los niveles de producción

de ambas minas.

Ahora un ejemplo de prueba Z entre 2

muestras:

n1= 32, n2=32, μ1=0.136, μ2= 0.083,

σ1=0.004, σ2=0.005, NS=0.05

Se desea probar la afirmación de que la

resistencia de cierto alambre puede

reducirse en 0.050. Ho: µ1- µ2=0, H1= µ1- µ2>0.050

Presionamos F6 , se despliega nuestro

menú de pruebas y nos posicionamos sobre

la tercera opción “2-SampZTEST” o en

español “2-Muestras con prueba Z” y damos

ENTER:

Cambiamos la opción que nos da para

introducir la información a “Stats” con las

flechas de dirección y

damos ENTER:

Nos sale una pantalla donde debemos

introducir los datos correspondientes a cada

muestra:

Llenamos la información, vemos que los

símbolos que usa la calculadora son los

mismos que se usan en clase, solo cambia �D1

y 2 por las µ1 y 2. Solo existe una diferencia

sensible en el dato �D1 y es debido a como se

introduce este dato y es porque la

calculadora hace prueba entre medias

directamente y en algunas clases la ven

como la diferencia entre medias, para que

sea consistente debemos restar a la �D1 la



diferencia de prueba del problema, en este

caso es el 0.05, de manera que se vea así:

O también de manera contraria sumando

0.05 a �D2, para que se mantenga la

proporción, con cualquiera de las 2 opciones

sale el resultado correcto.

Y cambiamos la última opción “Alternate

Hyp” y dejamos que solo calcule los

resultados:

Por ultimo damos ENTER para ver los

resultados:

Debido a que nuestra P es menor que el NS,

se rechaza Ho.


Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z & Prueba T Página 39

Intervalo de confianza 1 muestra Prueba Z &

Prueba T

De igual forma ya entrados en este tema en

ocasiones se te pide construir intervalos de

confianza para un a muestra y generalmente

sólo hay 2 formas en las que te puedan dar la

información para resolver el problema: con

lista de datos ó con estadísticos, la Texas

Instruments Voyage 200 te puede devolver

rápidamente el intervalo resultante y

también introducir los datos de cualquiera

de las 2 formas que tengas el problema, ya

sea con lista de datos o con estadísticos,

vamos a mostrar ambas formas para que

veas como se hace.

Intervalo de confianza prueba Z (1 muestra)

con datos

Veamos un ejemplo:

Los siguientes datos son los puntajes obtenidos para 45 personas de una escala de depresión (mayor puntaje significa mayor depresión):

2 5 6 8 8 9 9 10 11 11 11 13 13 14 14 14 14 14 14 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20

Construya un intervalo de confianza al 99%

para el puntaje promedio poblacional,

asumamos que los datos tienen distribución

normal, con varianza poblacional

desconocida.

Para resolver este problema debemos como

ya hemos visto primero borrar los datos que

tengamos en nuestras listas de datos:

Luego viene la parte “tediosa”, que es

introducir los 45 datos en una sola lista,

recuerda que aunque los datos te los den en

una tabla representan una sola muestra es

por esto que deben escribirse en 1 sola lista,

tecleamos cada dato seguido de un ENTER

para introducir toda la información:

Se termina:

Ya que hemos introducido correctamente los

45 datos (siempre es bueno checar

rápidamente la información), como no nos

proporcionan la desviación standard

poblacional, debemos calcularla, para esto

desplegamos del menú F4 la opción de “1-

Var Stats” y la seleccionamos dando ENTER:

Y tecleamos tal cual en la pregunta de “List:”

el nombre de la lista 1 que corresponde a

“list1”, lo demás lo dejamos como está y

damos ENTER:



De aquí debemos tomar la información

necesaria, recuerda que el dato de aquí que

nos interesa es Sx que corresponde a la

desviación standard muestral, anótala (o

recuérdala) Sx = 4.32517. Damos ENTER para

salirnos de esta información y ahora

debemos abrir el menú de intervalos

corresponde a la tecla F7 “Ints” (Intervals en

inglés) y seleccionamos la primera opción

que dice “Z-interval” ó intervalo de Z:

Aquí de igual forma te va a preguntar de qué

forma vas a introducir la información, si con

datos (data) o con estadísticos (stats),

seleccionamos que con datos y damos

ENTER:

Luego despliega esta pantalla:

Aquí la información a introducir es muy clara,

la variable de sigma hace referencia a la

desviación estándar poblacional, estimamos

la muestral por esto tecleamos este dato en

esta ventana, en “list:” tecleamos como ya

sabemos el nombre de nuestra lista de datos

que corresponde a “list1”, en “Freq” hace

referencia al número de veces que se repiten

esos datos en la lista, casi siempre será de 1,

así que se deja así tal cual y en la última

opción de “C level” se refiere al nivel de

confianza del intervalo, por default la

calculadora lo configura a 0.95 (95%), aquí

solo debes cambiarlo a 0.99 (99%) y listo ya

que hemos introducido la información

adecuada debe verse de esta forma:


Aquí es importante que aprendas como

interpretar la información:

C Int Intervalo de confianza se debe leer de

ésta forma:

12.89 G H G 16.22

Siempre de esta forma, éste es el resultado

más importante.

= promedio de la muestra

ME= Margen de Error

Sx = Desv Std. Muestral

n = número de datos de la muestra

σ = Desv. Std. Poblacional



Podemos concluir diciendo:

El puntaje promedio poblacional se

encuentra entre 12.89 y 16.22 con una

confianza 99%.

Recuerda que en general éste tipo de

intervalos se usan para muestras grandes >

de 30 datos y con la desviación standard

poblacional conocida.

Intervalo de confianza prueba Z (1 muestra)

con estadísticos

Se ha tomado una muestra aleatoria de 100

individuos a los que se ha medido el nivel

de glucosa en sangre, obteniéndose una

media muestral de 110 mg/cc. Se sabe que

la desviación típica de la población es de 20

mg/cc.

a) Obtén un intervalo de confianza, al 90%,

para el nivel de glucosa en sangre en la

población

Éste tipo de problemas son los más comunes

y todo procede de igual forma en el menú de

intervalos F7, sólo que ahora en lugar de

introducir la información con datos (data) lo

introducimos con stadísticos (stats):

Ahora bien si has seguido este capítulo verás

en la pantalla que se queda guardada la

información con la que trabajamos hace un

momento. Solo hay que sustituirla por la

nueva información:

Si te das cuenta lo único que tienes que

hacer es relacionar los datos correctamente,

conocer los símbolos de la estadística y los

problemas se te harán muy sencillos. Lo que

queda por cambiar es el nivel de confianza a

0.90 que representa el 90% del nivel de

confianza que piden:


Y de igual forma vemos el intervalo y el

margen de error.



Intervalo de confianza prueba t (1 muestra)

con datos

Los tiempos de reacción, en mili segundos, de 17 sujetos frente a una matriz de 15 estímulos fueron los siguientes: 448, 460, 514, 488, 592, 490, 507, 513, 492, 534, 523, 452, 464, 562, 584, 507, 461 Suponiendo que el tiempo de reacción se distribuye Normalmente, determine un intervalo de confianza para la media a un nivel de confianza del 95%.

De igual forma lo primero que hay que hacer

es introducir en una nueva lista todos

nuestros datos, usemos la lista 2:

Siempre es bueno hacer un chequeo rápido

de que toda la información es correcta.

Luego como ya sabemos del menú F7 que

corresponde a los intervalos seleccionamos

la segunda opción “T-interval”:

Y de igual forma nos hará la pregunta

respecto a de que forma deseamos

introducir la información con datos (data) o

con estadísticos (stats), seleccionamos que

con datos “data”:

Y de igual forma debemos decirle el nombre

de la lista donde se encuentran nuestros

datos y tecleamos tal cual el titulo de nuestra

lista de datos que corresponde a “list2”, la

frecuencia que hace referencia al número de

veces que se repite ese dato lo dejamos con

1 y el “C level” (nivel de confianza) lo

cambiamos a 0.95 y damos ENTER:

Vemos en intervalo de confianza y

concluimos que:

482.8 G H G 527.9

El puntaje promedio poblacional se

encuentra entre 482.8 y 527.9 con una

confianza 95%. Recuerda lo que expresa cada

símbolo en la calculadora:

= promedio de la muestra

ME= Margen de Error

Sx = Desv Std. Muestral

Df = Degrees of Freedom (grados de libertad)

n = número de datos de la muestra



Intervalo de confianza prueba t (1 muestra)

con estadísticos

En una muestra de 65 sujetos las

puntuaciones en una escala de extroversión

tienen una media de 32,7 puntos y una

desviación típica de 12,64.

Calcule a partir de estos datos el

correspondiente intervalo de confianza, a

un nivel del 90%, para la media de la

población.

Quizá para este momento ya sepas como

resolver estos problemas. Tecleamos del

menú de Intervalos F7 la opción 2 que

corresponde al intervalo T:

Sólo que ahora elegimos el método de

introducción de información con STATS:

Y ahora debemos introducir los datos que

nos dan y cambiar el nivel de confianza a

0.90 que representa 90% de confianza:


Y listo vemos el resultado del intervalo,

margen de error y grados de libertad.

Esta es una excelente forma de que

compruebes tus resultados

Recuerda que se usa prueba Z cuando tienes

datos mayores o iguales a 30, si tienes

menos datos se usa la prueba T.


Intervalo de confianza para 2 muestras Prueba Z & Prueba T Página 44

Intervalo de confianza para 2 muestras

Prueba Z & Prueba T

Ahora pasaremos a problemas un poco más

complejos como lo son los intervalos para

medias con 2 muestras, en general todo es

básicamente lo mismo, sólo que ahora

deberemos hacer 2 listas cuando tengamos

datos e introducir 2 veces los estadísticos

cuando nos den información del estilo.

Intervalo de confianza prueba t (2 muestras)

con datos

Se ha realizado un estudio para investigar el efecto del ejercicio físico en el nivel de colesterol en la sangre. Para ello se midió el nivel de colesterol en 11 personas que no realizan habitualmente ejercicio físico (grupo 1) y otras 11 personas que sí lo realizan (grupo 2). Las mediciones obtenidas, expresadas en mg/dl, fueron las siguientes:

Grupo 1 Grupo 2 182 198 232 210 191 194 200 220 148 138 249 220 276 219 213 161 241 210 480 313 262 226

Construye un intervalo de confianza al 95%

para la media, no se asumen varianzas

iguales.

Vamos a introducir de igual forma en 2 listas

por separado cada grupo, usaremos la lista3

y lista4:

Ya que hemos introducido la información de

igual forma nos vamos al menú F7 de

intervalos y seleccionamos en ésta ocasión la

opción número 4 que hace referencia “2-

SampTInt” (2 muestras intervalo T):

Y de igual forma la introducción de datos

debe ser con DATA o datos:

Damos ENTER:

Igual que antes ahora hace todas las

preguntas al doble, la lista 1 y lista 2, para

nosotros son “list3” y “list4”, es importante

que recuerdes el titulo de la lista donde

metes cada serie de datos, las frecuencias las

dejamos con 1 y en la última pregunta que

dice POOLED hace referencia especifica si las

varianzas deben agruparse para el cálculo.

YES = las varianzas se agrupan. Se da por

sentado que las varianzas de población son

iguales. NO = las varianzas no se agrupan. Las

varianzas de población pueden ser distintas.



Esta información en general viene dada en el

contexto del problema, generalmente te

dicen si las varianzas se consideran iguales o

no, en este problema nos dicen que las

varianzas no son iguales por lo tanto lo

dejamos en NO:

C Int Intervalo de confianza que contiene la probabilidad del nivel de confianza de la distribución. x1-x2 Medias de muestra de las sucesiones de datos de la distribución aleatoria normal. ME Margen de error. df Grados de libertad. x1, x2 Medias de muestra de las sucesiones de datos de la distribución aleatoria normal. Sx1, Sx2 Desviaciones estándar de la muestra de List 1 y List 2. n1, n2 Número de muestras de las sucesiones de datos. Sxp Desviación estándar agrupada. Se

obtiene cuando Pooled = YES

Intervalo de confianza prueba t (2 muestras)

con estadísticos

En un estudio sobre los préstamos

realizados por dos entidades financieras se

toma una muestra aleatoria simple de seis

préstamos de la primera entidad,

observando que el importe medio es de

9.972 euros y una desviación típica de 7.470

euros, y otra muestra aleatoria simple,

independiente de la anterior, de nueve

préstamos, tal que su importe medio es de

2.098 euros y su desviación típica de 10.834

euros. Admitiendo que las dos

distribuciones de préstamos son normales

con la misma varianza, obtener al nivel del

95% un intervalo de confianza para la

diferencia entre sus medias poblacionales.

Este problema de igual forma se puede

resolver directamente en la Texas, nos

vamos inmediatamente al menú de

intervalos y seleccionamos la prueba T con 2

muestras:

Ahora cambiamos simplemente a modo de

introducción de información a STATS:


Vemos que se queda guardada la

información que estábamos usando del

problema anterior, aquí debes tener cuidado

de no revolverte con los datos, te

recomiendo que primero borres todas las

ventanas para luego introducir poco a poco

la nueva

información:



Ahora simplemente introducimos con

cuidado cada dato, la media de x1 es 9.972,

la desviación standard 1 es 7.470 y n1 es

igual a 6:

Y terminamos con la demás información,

media de x2 es 2.098 su desv. standard 2 es

10.834 y n2 es igual a 9:

Damos ENTER:

Y vemos de igual forma el intervalo en la

parte superior.

Intervalo de confianza prueba Z (2 muestras)

con estadísticos

Supongamos que las notas en la asignatura

de Inferencia siguen una distribución

normal en los dos grupos existentes. Se

selecciona una muestra aleatoria simple de

35 alumnos del primer grupo y otra de 37

alumnos del segundo grupo, ambas

independientes, y se obtienen como

desviaciones poblacionales 1.1180 y 0.9

respectivamente y una media muestral de

7.7 y 8.3 respectivamente. Obtenga un

intervalo de confianza para la diferencia

entre sus medias poblacionales al nivel de

confianza del 90%.

De igual forma si has estado siguiendo este

capítulo deducirás como resolver este

problema, del menú de Intervalos

correspondiente a F7 seleccionamos la

opción de “2-SampZInt” y damos ENTER:

Seleccionamos la opción de introducir la

información con datos estadísticos:

E introducimos los datos adecuadamente

correspondientes a grupo, cuidando de

cambias el nivel de confianza a 0.90:

Damos ENTER:

Y vemos el intervalo de confianza en la parte

superior, recuerda que se interpreta como

�.995 G !1 � !2 G �.205, también

recuerda que el ME es el margen de error de

la prueba. Hasta este punto tu quizás te



preguntes ¿Cómo voy a saber que intervalo

usar?, ¿el de la prueba T o la prueba Z?,

básicamente lo restringe un par de cosas,

cuando en el problema hay muestras

grandes n>30 se usa la prueba Z y si son más

de 30 datos debes tener también la

desviación estándar poblacional o la varianza

poblacional, de no tener estas características

se usa la prueba T SIEMPRE.


Hipótesis relativa a 1 varianza Página 48

Hipótesis Relativa a 1 Varianza

Lamentablemente el Stat List Editor no tiene

funciones para este tema, sin embargo te

puede ayudar en gran medida a encontrar

los valores de la distribución Ji-cuadrada,

Normal, F, t, y otras de manera sencilla y sin

utilizar tablas para nada.

Xi-Cuadrada:

Supongamos que te piden encontrar el

límite en donde se rechazaría la Ho, con un

nivel de significancia de .05, con n=15,

sabemos que los grados de libertad = n-1.

En lugar de sacar un montón de tablas de la

distribución Xi-Cuadrada, haz lo siguiente:

Presiona F5 , se despliega el menú de

distribuciones, muévete con las flechas de

dirección y posiciónate

sobre la segunda opción que dice “Inverse” y

despliega el submenú:

Posiciónate sobre la tercera opción que dice

“Inverse Chi-square” y da ENTER:

Nos da 2 opciones, “Area” en este caso le

ponemos 0.95 que es el área que estamos

buscando para el límite superior 1-0.05= 0.95

y en “Deg of Freedom” o grados de libertad

ponemos 14:


Nos da automáticamente el límite superior el

cual si se pasara la Xi calculada se rechazaría

Ho. De igual manera si el nivel de confianza

que nos pidieran fuera de 0.01, ponemos el

área de 0.99. Este ejemplo aplica solo

cuando la hipótesis alternativa indica que

σ>σ1, si fuera σ<σ1 en la parte de “Área”

tendríamos que poner 0.05 o 0.01

dependiendo del nivel de confianza que nos

pidan. Al igual si la hipótesis nos dice que sea

diferente de σFσ1, dependiendo del

intervalo de confianza sacamos el área hacia

la derecha y también hacia la izquierda. Por

ejemplo si es nivel de confianza de 0.05 con

10 grados de libertad ponemos en Área

0.975 con 10 grados de libertad para el límite

superior y luego calculamos de nuevo con

Área 0.025 con los mismos 10 grados de

libertad para el límite inferior. Y así tenemos

nuestro intervalo.


Hipótesis relativas a 2 varianzas Página 49

Hipótesis relativas a 2 varianzas

Ejemplo:

Dos técnicas de alumbrado se comparan

midiendo la intensidad de la luz en puntos

determinados situados en áreas iluminadas.

Si 16 mediciones en la primer área tienen

una S1 de 2.7 y 21 mediciones en la segunda

área con una S2 de 4.2, ¿Puede concluirse

que el alumbrado de la segunda área es

menos uniforme? Utilice un nivel de

significancia N.S. 0.01

De acuerdo para resolver este problema con

nuestra calculadora es muy sencillo, primero

vamos a calcular el valor de la prueba F y

luego ver el límite en la gráfica.

Damos en F6 , se despliega nuestro

menú de pruebas, nos desplazamos con las

flechas de dirección hasta

la novena opción que dice “2-SampFTest…” y

damos ENTER:

Nos pregunta como con casi con todas las

pruebas la forma de introducir los datos,

aquí podemos ver que se trata de datos

estadísticos, por eso seleccionamos la opción

“Stats” y damos ENTER:

3Ahora nos sale una pantalla donde nos pide

introducir la información correspondiente,

Sx1 y Sx2 corresponden a S1 y S2 de nuestro

problema y n1 a las primeras 16 mediciones

y 21 a las segundas. Llenamos cada ventanita

de la información adecuada de manera que

quede así:

Al dar a la derecha en la opción de “Alternate

Hyp” o hipótesis alternativa seleccionamos la

primera que es cuando la primera varianza es

mayor a la segunda y damos ENTER y le

pedimos que solo calcule los resultados con

la opción “Calculate”:

Damos ENTER y vemos los resultados:

En esta pantalla lo importante que debemos

copiar es el valor de F calculado y la

probabilidad “P Value”. Ahora para saber el

límite en donde se rechazaría Ho hacemos

esto:

Damos en F5 que es el menú de

distribuciones y desplegamos el submenú de

“Inverse…”



Y nos posicionamos sobre la cuarta opción

“Inverese F…” y damos ENTER:

Nos sale esta pantalla:

Nos damos cuenta que la calculadora ya

relacionó ambos problemas, debido a que

hace un momento usamos la prueba F y

ahora nos desplazamos a la distribución F

solita tomó los valores de los grados de

libertad correspondientes a cada muestra y

los asigno al numerador y denominador,

ahora para encontrar el límite superior en la

parte donde dice “Area”, ponemos 0.99 que

es el área que completa el nivel de

significancia de 0.01 y damos ENTER:

Inmediatamente nos da el valor del limite

superior que es 3.08, ahora solo

comparamos nuestro valor encontrado que

fue 0.4132 no es mayor que 3.08, por lo

tanto se acepta Ho y se infiere que ambas

técnicas no varían en intensidad.

Ahora veamos la grafica para que se

entienda lo que se hace:

Nuevamente en el menú de distribuciones

F5, abrimos el submenú de “Shade” y

seleccionamos la cuarta opción “Shade F” y

damos ENTER:

Nos sale una ventana donde nos pregunta el

límite inferior y superior para sombrear, en

el límite inferior ponemos -∞

y en el límite superior ponemos nuestro

valor F calculado, es decir 0.4132, y lo más

importante en la última opción de “Auto-

Scale” le cambiamos a “Yes”:




Observamos que el área sombreada es

mayor al nivel de significancia es por esto

que no rebasa el límite superior que haría

que nuestra Ho se rechazara.


Intervalo de confianza para 1 proporción Página 52

Intervalo de confianza para 1 proporción

La TIV200 puede encontrar el intervalo de

confianza respecto a proporciones de forma

sencilla en lugar de hacer esa larga tira de

operaciones para ambos intervalos:

Ejemplo: Una muestra aleatoria de 200

demandas hechas contra una compañía de

seguros, 75 excedieron 12,000 pesos.

Construye un intervalo con un N.C. de 95%.

Para la proporción real de demandas hechas

contra esta compañía que exceda a 12,000

pesos.

Presionamos F7 desplegamos el menú

“Ints” que quiere decir intervalos, nos

movemos con las flechas de dirección hasta

posicionarnos en la quinta opción que dice

“1-PropZInt” (Intervalo de una proporción) y

damos ENTER :

Nos despliega esta pantalla:

Debemos llenar los datos adecuados, ahora

bien, en “Successes, X” se refiere al número

de resultados de muestra positivos de las

pruebas, en nuestro ejemplo es 75, y “n” es

el número de muestras, en nuestro caso es

200 y el “C Level” se refiere al porcentaje de

nivel de confianza del intervalo, en nuestro

caso es .95:

Damos ENTER 2 veces:

Y listo el intervalo se lee así

“C Int” Es el intervalo de confianza, se lee

0.3079 < p < 0.4421, La Texas siempre te lo

deja expresado en decimales, para pasarlo a

porcentaje simplemente multiplica por 100 y

queda 30.79 < p < 44.21, una operación muy

sencilla que puedes pasarla mentalmente.

“p_hat” Se refiere a la proporción calculada

de éxitos.

“ME” Es el margen de Error de la prueba,

igualmente para pasarla a porcentaje por

100 y listo.

Una manera sencilla de comprobar tus

resultados en un examen.


Intervalo de confianza para 2 proporciones Página 53

Intervalo de confianza para 2 proporciones

En una ciudad A se toma una muestra

aleatoria simple de 98 cabezas de familia de

las cuales 48 han sido poseedores de

acciones de telefónica. En otra ciudad B se

selecciona otra muestra aleatoria simple de

tamaño 127 cabezas de familia de las cuales

21 han sido poseedores de acciones de

telefónica. Obtener un intervalo de

confianza al 95.5% para la diferencia entre

proporciones de cabezas de familia que han

sido poseedores de este tipo de acciones en

ambas ciudades.

De igual forma el intervalo para 2

proporciones se encuentra en el menú F7

correspondiente a intervalos y

seleccionamos la opción número 6 de “2-

PropZInt” correspondiente a intervalo de

proporciones y damos ENTER:

Aquí debemos introducir la información

adecuada, solo debes hacer la relación de

que “Successes, x1” hace referencia al

número de éxitos de la muestra 1, es este

caso corresponde a 48, debes introducir éste

número tal cual y lo mismo para la muestra

2, y el nivel de confianza cambiarlo a 0.955

ya que corresponde al 95.5% de nivel de

confianza requerido:

Damos ENTER 2 veces y vemos el resultado:

Aquí es bueno hacer una pausa para que

identifiques cada dato, como ya sabes el

primer valor hace referencia al intervalo, que

es el resultado, “phatdiff” es la diferencia de

“p1 hat” y “p2 hat”, p1 hat y p2 hat hacen

referencia a la proporción calculada de éxitos

de la muestra 1 y la muestra 2

respectivamente. El “ME” es el margen de

error del intervalo.


Intervalo unilateral Página 54

Intervalo Unilateral

Hay 4 fallas en 2000 partes utilizadas

continuamente, construye un intervalo

unilateral con un nivel de confianza del 99%

para la probabilidad de que 1 de tales

partes falle en las condiciones establecidas

No existe una función como tal para resolver

directamente este problema, sin embargo, la

parte difícil la resuelve la Texas. Sabemos

que los grados de libertad para este

problema se dan por G.L= 2*(x+1), x es el

número de fallas en el problema, por lo tanto

GL=10. Damos en F5 , en el menú de

distribuciones, desplegamos el submenú de

“Inverse” y nos posicionamos sobre la

tercera opción “Inverse Chi-square” y damos

ENTER:

En Área ponemos 0.99 (porque corresponde

también al pocentaje de confianza) y en “Deg

of Freedom” o grados de libertad escribimos

el 10 calculado anteriormente:

Damos ENTER 2 veces y obtenemos:

Ahora este resultado 23.20925 lo

multiplicamos por la relación “1/(2*n))” que

es la otra parte de la fórmula donde n es

2000 o el número de muestras y obtenemos

el resultado.


Hipótesis Relativa a 1 Proporción Página 55

Hipótesis Relativa a 1 Proporción

Un fabricante de bombas de pozo profundo

asegura que como máximo el 30 % de sus

bombas requieren reparación en sus

primeros 5 años de operación. Si una

muestra aleatoria de 120 bombas incluye 47

que requieren reparación en los primeros 5

años, Prueba la Ho de que p=0.30 contra la

H1 de que p > 0.30 a un N.S. de 0.05

Detectamos inmediatamente que n=120,

x=47 y p=0.30. Damos en F6 y nos

posicionamos con las flechas de dirección

sobre la quinta opción “1-

PropZTest” y damos ENTER:

Nos despliega la pantalla para introducir la

información correspondiente, p0 es la p de

nuestro problema “Successes, X”, es 47 y

“n”, es 120:

La opción de “Alternate Hyp”, o hipótesis

alternativa la cambiamos a “prop > p0”. Todo

esto con las flechas de dirección

.

Y por último dejando que solo calcule los

resultados en la opción “Calculate”. Damos

ENTER y vemos:

Z, es Valor normal estándar calculado para la

proporción.

P Value, es la Probabilidad mínima con la

que puede rechazarse la hipótesis nula

p_hat, es la proporción de muestra estimada

n, es el tamaño de la muestra.

Con estos resultados podemos comparar que

como P Value .0142167 < .05 (el nivel de

significancia) se rechaza Ho. O visto de otra

forma, como Z 2.1912 es > 1.645 se rechaza

Ho.


Hipótesis Relativa a 2 Proporciones Página 56

Hipótesis relativa a 2 proporciones

Veamos un ejemplo:

Un artículo del New York Times en 1987

reportó que se puede reducir el riesgo de

sufrir ataques al corazón ingiriendo aspirina.

Para llegar a esta conclusión el cronista se

basó en los resultados de un experimento

diseñado, en donde participaron dos grupos

de personas. A un grupo de 11,034 personas

se le suministró una dosis diaria de una

pastilla que no contenía ninguna droga (un

placebo), y de estos 189 sufrieron

posteriormente ataques corazón, mientras

que al otro grupo de 11,037 se les

suministró una aspirina, y sólo 104 lo

sufrieron. Usando una prueba de hipótesis y

un nivel de significancia del 1%, considera

Usted que el cronista del New York Times

estaba en lo correcto?

Para éste problema debemos usar la prueba

de proporciones para 2 muestras, recuerda

que las pruebas están en el menú F6 que

corresponde a las pruebas “Tests” y

corresponde a la opción 6 “2-PropZTest”:

Y damos ENTER:

Aquí de igual forma se introduce la

información adecuada, cada muestra, y el

successes 1 y 2 correspondientes al número

de éxitos de la muestra 1 y 2

respectivamente, en éste caso n1=11034

successes, x1 = 189, n2=11037 y successes,

x2=104. Para la hipótesis alternativa

recuerda que la Texas maneja una

nomenclatura diferente, sólo hay 3 como

podrás ver:

Para tu problema en clase quizá lo veas

como una H1: p1-p2 > 0, esto tú lo defines,

tú defines tu hipótesis alternativa, este

proceso de pensamiento no te lo puede

sustituir nadie, debes leer el problema y

entender que se desea probar, nos dice que

quizá haya una diferencia significativa en la

diferencia de proporciones, es por esto que

se resta y se dice que p1-p2>0, despejando

esta expresión queda p1>p2, que es como lo

maneja la Texas. Y ponemos que sólo calcule

los datos:


Vemos que nos calcula el valor de la prueba Z

que es el resultado a comparar. En la

siguiente imagen se muestra que representa

cada valor cuando lo haces a mano:


Hipótesis Relativa a 2 Proporciones Página 57

Ahora para terminar de resolver el problema

ya que tenemos el estadístico Z, calculamos

el punto Z para comparar, para esto lo

calculamos en el menú de distribuciones, en

el submenú de “Inverse“ y luego inverse

Normal:

Ya en la pantalla de introducción de

información simplemente tecleamos como

ya sabemos σ=1 y µ=0 y en “Área” hace

referencia al nivel de significancia, como es

1% el área restante es 0.99:


Y vemos el punto a comparar que es 2.326.

Concluimos diciendo que debido a que

nuestra Zcalculada es > Ztablas (5>2.326) se

rechaza la hipótesis nula de que no hay

diferencia entre las proporciones de las

personas que sufren infarto con relación a la

toma o no de la aspirina, y por lo tanto se

concluye que el tomar una aspirina diaria

reduce las posibilidades de sufrir infarto en

el futuro.


Análisis de tablas IXC Página 58

Análisis de tablas IXC

Éste les va a encantar, en este tema se hacen

muchos cálculos tediosos y cansados a mano

en tablas, la Texas las resuelve fácilmente y

te devuelve las tablas resueltas cada una.

Veamos un ejemplo:

Se desea determinar si en realidad existe

una reacción entre el aprovechamiento de

unos empleados en el programa de

capacitación y su rendimiento en el trabajo.

Se considera una muestra de 400 casos que

se muestra en la siguiente tabla:

<prom promedio >prom

Deficiente 23 60 29

Promedio 28 79 60

Muy Bueno

9 49 63

Con un NS.=0.01 prueba la Ho de que el

aprovechamiento en el programa de

capacitación y el éxito en el trabajo son

independientes.

Bien lo primero que hay que hacer es crear la

matriz de datos, que es la tabla misma de

datos que nos dan, es decir una matriz de

3x3, es muy sencillo y nos tomará menos

tiempo que hacer todos los cálculos a mano.

Para esto hay 2 formas, te mostraré primero

la más sencilla:

Estando en “Stat List Editor” damos en tecla

APPS para ir al menú general de los

programas y damos ENTER sobre el

programa Data/Matrix Editor:

Le damos en New:

Y aquí tenemos que cambiar el primer

apartado de “Type” de Data a Matrix:

Luego en el apartado de “Folder” nos hace la

pregunta de donde quieres que se guarde

ésta matriz, es muy importante que la

pongas en el mismo folder donde vayas a

trabajar con el Stat/List Editor, ya que de lo

contrario no reconocerá la matriz, por

comodidad yo te recomiendo que siempre lo

pongas en el folder “statvars” que se crea

por default cuando empiezas a trabajar en el

Stat/list Editor. El apartado de “Variable” es

el nombre que le deseas poner a la matriz

puede ser cualquier combinación de letras

no mayor de 8 caracteres, para este ejemplo

le pondremos “p”:

Y por último si hiciste todo bien, en “Row

dimensión” y “Col dimensión” hace

referencia a número de renglones y número

de columnas respectivamente, vemos

nuestra tabla problema y vemos que es de

3x3, así que solo tecleamos estos 2 valores:




Aquí solo debemos teclear la información del

problema en cada ventana:

Y listo ya se ha guardado la matriz, para

regresar al Stat/List Editor puedes regresar

dando “2nD”+ tecla APPS ó simplemente

dando en tecla APPS para luego buscar éste

programa. Ésta es la forma más sencilla de

crear la matriz, si quieres ver la otra forma

sigue leyendo esta parte ó si no para

continuar con el problema continua en la

página siguiente.

Para la otra forma de guardar la matriz nos

tenemos que pasar a HOME primero, para

esto presionamos tecla DIAMANTE +

letra “Q” del teclado extendido :

Bien ahora en Home lo que tenemos que

hacer es lo siguiente: para crear una matriz

debemos abrir corchetes y separar con

comas cada elemento o dato por fila y para

indicar un salto a la siguiente fila con “;”

(punto y coma, sale con “2nd” + letra M),

todo esto se introduce en la línea de entrada

debe quedar así:

K23,60,29; 28,79,60; 9,49,63M

Te mostrare tecla por tecla:

Debe verse así en la línea de entrada:

Ahora le ponemos antes de finalizar:

, con esto le estamos diciendo a la

calculadora que queremos que esta matriz se

llame “p”:

Ahora si damos ENTER y vemos:



Vemos que la matriz se creo con los datos

correctos, es hora de regresar al “Stat List

Editor”, para esto presionamos tecla “2nd”

+ tecla APPS :

Ahora presionamos F6 , se despliega

nuestro menú de Pruebas y nos

posicionamos sobre la octava opción “Chi2 2-

way” y damos ENTER:


Ahora tomaré un momento para explicarles

lo que significa cada información “Observed

Mat” es la matriz de entrada la cual la

llamamos “p” solo tenemos que poner esta

letra en esta línea de entrada, en “Store

Expected to” pregunta donde deseas que se

guarde la matriz calculada de valores

esperados, por default la Texas la guarda en

una matriz que se llama “expmat”, así la

vamos a dejar luego mostrare como la

puedes leer, en “Store CompMat to”

pregunta donde deseas que guarde la Matriz

calculada de contribuciones, por default la

guarda en una matriz llamada “compmat”,

igualmente así la dejamos, y en “Results”, lo

dejamos en “Calculate”. Solo escribimos la

“p” en la primera ventana y damos ENTER 2

veces:

Vemos los resultados:

Chi-2, es Estadística Ji cuadrado:

suma((observado - esperado)^2/esperado,

es el resultado más importante y que

debemos copiar inmediatamente por el que

tanto tiempo se tardan en encontrar a mano

y el que se compara para rechazar o aceptar

Ho; P Value, es la Probabilidad mínima con

la que puede rechazarse la hipótesis nula

df, son los grados de libertad (degrees of

freedom).

Damos ENTER para salirnos de esta pantalla y

ahora, ya se podría resolver rápidamente el

problema comparando el resultado Chi-2 de

la calculadora con el valor donde se

rechazaría Ho, para calcular este valor sin las

estorbosas tablas damos en F5 ,

desplegamos el segundo menú de “Inverse”

y seleccionamos la tercera opción de

“Inverse Chi-square” y damos ENTER:



Inmediatamente nos da los grados de

libertad que se tienen que usar porque la

Texas relaciona ambos problemas porque los

guarda en la misma expresión “df”, en área

damos 0.99 porque es el complemento del

nivel de significancia:

Damos ENTER 2 veces:

Vemos que el número de prueba es 13.2767,

con esto resolvemos rápidamente diciendo:

Dado que 20.1789 es > 13.2767 se infiere

que el aprovechamiento en el programa de

capacitación y el éxito en el trabajo son

dependientes. Esto sería muy fácil sin

necesidad de anotar nada en el cuaderno, sin

embargo debido a que algunos profesores

piden procedimiento vamos a observar las

matrices calculadas para que las copies en tu

cuaderno y compruebes tus propios

resultados:

Regresamos a Home presionamos tecla

DIAMANTE + letra “Q” del teclado

extendido , borramos todo de la línea de

entrada con la tecla CLEAR :

Para ver las matrices que se calcularon

simplemente escribe en la línea de entrada la

palabra “expmat” y da ENTER:

Y ahora borramos la línea de entrada con

CLEAR y escribimos “compmat” y damos

ENTER:

Vemos las 2 matrices, la esperada y la de

contribuciones, ambas que tendrías que

hacer a mano haciendo dato por dato.

Es una herramienta excelente para tablas

grandes y para comprobar tus resultados.


Bondad de Ajuste Página 62

Bondad de Ajuste

En una partida de Rol se lanza 200 veces un dado de cuatro caras obteniéndose 60 veces el número 1, 45 veces el número 2, 38 veces el número 3 y 57 veces el número 4. Se puede aceptar, a un nivel de confianza del 95%, que estos resultados corresponden a un dado homogéneo.

xi ni

1 60

2 45

3 38

4 57

Para la bondad de ajuste de igual forma se

debe hacer un par de listas una es la lista de

observaciones (Observed List) y la otra es la

lista de esperados (Expected List),

generalmente en los problemas que te

dejarán te dan por default la lista de

observaciones, ésta ya es una lista preparada

para introducirse, y la “expected list”

generalmente debes calcularla y en algunos

casos (como este) obviarla, y generalmente

esta lista tiene que ver con probabilidades. Si

se supone que un dado de 4 caras (difícil de

imaginar) es homogéneo la probabilidad de

que salga cualquier número debe ser la

misma es decir 0.25 cada una y si se lanzó

200 veces la lista de esperados o “expected

list” debería ser 200 x .25 en cada caso. Ok

ya que tenemos la información pensada

debemos introducirla, primero introducimos

en una lista1 normal el número de valores

posibles:

Ahora en la lista2 introducimos los datos de

la lista observada:

Ya tenemos una lista de datos lista para que

la calculadora resuelva, falta la “expected

list”, ahora introducimos en una tercera lista

el número de probabilidad que tiene el

experimento en cada caso de que salga ese

número suponiendo que el dado fuera

homogéneo, es decir 0.25 en cada caso:

Luego nos posicionamos sobre el título de la

“list4” y damos ENTER:

Ahora bien ya que estamos posicionados

sobre la línea de entrada, como puedes darte

cuenta dice “lis4=”, quiere decir que le

puedes introducir una formula o expresión

cualquiera para que la opere y te de cómo

resultado otra lista, vamos a indicarle que

esta lista4 va ser igual a la lista3 multiplicado

por 200:




Esta list4 es nuestra lista de esperados, ya

que tenemos nuestras 2 listas debemos

desplegar del menú de pruebas que

corresponde al menú F6 “Tests” y

seleccionar la opción 7 “Chi2 GOF”:

GOF hace referencia a las siglas “Goodness of

Fit” (“Bondad de ajuste” en inglés), damos

ENTER y vemos:

Ahora lo único que debemos hacer es teclear

el nombre del título de nuestra lista

observada y el titulo de la lista esperada, que

corresponde a “list2” y “list4”

respectivamente:

Ahora bien para terminar debemos

introducir Deg of Freedom que hace

referencia a los grados de libertad de la

prueba, generalmente los grados de libertad

es igual a n-1; nuestra prueba nos dice que

son 4 posibilidades por lo tanto nuestros

grados de libertad son 3, entonces

introducimos este dato y por último le

pedimos que solo calcule los resultados:


Y listo vemos el resultado de la Chi calculado

que es 6.36 y al Pvalue que es .09535, la

“complist” aparecerá del lado derecho de las

listas y corresponde a (ni-npi)2/npi.

Ahora bien para decidir debemos encontrar

el valor de la Chi-2 con 3 grados de libertad

para comparar la prueba, para esto damos

en el menú de distribuciones F5 y

desplegamos el submenú de “inverse” y

seleccionamos nuestra distribución “Chi-

square” (ji-cuadrada):



Como el nivel de significancia que nos piden

es de .05 el área corresponde a 0.95 y en Deg

of Freedom, corresponde a los grados de

libertad de la prueba que habíamos dicho es

3:


El valor crítico es 7.81, como el valor del

estadístico (6.36) es inferior al valor crítico,

aceptamos la hipótesis nula. Estos resultados

son compatibles con el hecho de que el dado

sea homogéneo.

Para que quede claro veremos otro ejemplo:

En la encuesta telefónica realizada el pasado curso por los alumnos los resultados fueron muy dispares, mientras algunos realizaron las cuatro entrevistas programadas otros no consiguieron cumplimentar ninguna de ellas. La distribución del número de entrevistas conseguidas por los 57 alumnos que participaron en el proyecto fue la siguiente:

No. Entrevistas No. Alumnos

0 6

1 16 2 24

3 9

4 2

Total 57

A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que estas diferencias han sido debidas al azar? O por el contrario están motivadas por alguna otra causa.

De igual forma empezamos primeramente

borrando los datos que teníamos en las listas

anteriores. Ahora introducimos ambas listas,

las de No. de entrevistas y las de No. de

alumnos:

Nuevamente lo primero es suponer que los

resultados obtenidos son debidos al azar lo

cual implicaría que en todas las llamadas hay

la misma probabilidad de conseguir

respuesta y que el resultado de cada llamada

es independiente de las restantes. Entonces

el número de entrevistas conseguidas por

cada alumno es la suma de cuatro variables

de Bernoulli y por consiguiente, la

distribución sería una Binomial con n = 4 y P

desconocida. La probabilidad de éxito de la

binomial va a ser la proporción de éxitos:

El total de llamadas ha sido 57·4 = 228.

Las llamadas con éxito han sido 1·16 + 2·24 +

3·9 + 4·2 = 99.

La proporción es 99/228 = 0.4342

Ahora bien para calcular estas probabilidades

rápidamente nos posicionamos sobre el

título de la lista 3 y damos ENTER:



Ahora bien aquí de igual forma que en el

ejercicio anterior debemos introducir la

fórmula deseada, vamos a llamar la función

binomial, para esto tecleamos “2nd” +

número 2 de la parte numérica que dice

CATALOG en azul:

Este es el catálogo general de funciones de

toda la calculadora ordenados

alfabéticamente del software AMS, la

función que buscamos está en la aplicación

estadística del Stat List Editor, para encontrar

estas funciones presionamos tecla F3 que

dice “Flash Apps” (aplicaciones flash):

Aquí de igual forma están todas las funciones

de las aplicaciones ordenadas

alfabéticamente, y del lado derecho indican

el nombre del programa al que pertenecen,

para encontrar rápido nuestra función

tecleamos letra B y nos desplazamos al inicio

de ésta letra:

Y vemos que la función que buscamos ahí

esta en “BinomPdf(”, y en la parte inferior

nos dice como debemos introducir las

variables:

Vemos que nos dice que debe introducirse N

(que es 4), P que la calculamos y

corresponde a 0.4342 y X que va a ser la

lista1, damos ENTER para que se copie a la

línea de entrada:

Vemos que llama la función del programa

estadístico y debemos introducir en el orden

que pide la información N,P,X, y cerramos

con paréntesis al final :


Las binomiales calculadas para el numero de

entrevistas, es aquí donde se ve la

versatilidad de la calculadora, tu puedes

llamar cualquier función de algún otro

programa o aplicación y usarla para resolver

tu problema, sólo debes fijarte en como

introducir los datos. Ahora bien ya que



tenemos la lista de probabilidades nos

posicionamos sobre el titulo de la lista4 y

damos ENTER:

Y ahora como ya sabemos debemos

multiplicar las probabilidades de la lista 3 por

el total de llamadas que es 57:


Vemos inmediatamente los datos calculados

de la lista esperada. Ahora lo que sigue es ya

encontrar el valor de la Ji-calculada que

corresponde como ya sabemos del menú F6

de pruebas la opción número 7:

De nuevo le decimos el titulo de las listas que

corresponden a list2 y list4 de observados y

esperados respectivamente y los grados de

libertad igual a 3 debido a que como ya

calculamos un parámetro lo reducimos en 1

más, (5-1-1), damos ENTER y vemos:

Y vemos el resultado inmediatamente de la

Chi-Calculada que equivale a 0.989745.

Damos ENTER de nuevo.

Ahora como ya sabemos solo resta calcular la

Chi cuadrada a comparar, solo que ahora lo

calculamos con 0.90 en el apartado de área:


Como el valor del estadístico 0,989 es menor que el valor crítico, 6,25 se acepta la hipótesis nula. Los resultados obtenidos por los alumnos

pueden ser fruto del azar.


Regresión Lineal Página 67

Regresión lineal

Esta es otra gran herramienta cuando Excel

no esta cerca o en un examen complejo.

También lo llegarás a usar en la materia de

Computación 2.

Ejemplo:

La siguiente tabla muestra producción de

soja, en millones de toneladas, en la región

Cerrados de Brasil, como función del área

cultivada en millones de acres.

Área 25 30 32 40 52

Producción 15 25 30 40 60

Obtener la ecuación de la recta de regresión

en la que x= área y y= producción.

Coeficientes deben ser exactos hasta al

menos dos posiciones decimal.

Esto como sabemos a mano es mucho

trabajo tedioso, la Texas lo hace más sencillo

y muestra la ecuación de regresión

fácilmente, primero regresamos al “STAT

LIST EDITOR” presionando “2nd” + tecla

APPS :

Lo primero que debemos hacer es borrar los

datos de las 2 listas de los ejercicios

anteriores, para esto nos posicionamos con

las flechas de desplazamiento

sobre el primer dato de la

lista 1 y damos en la tecla cuantas veces

sea necesario para quitar todos los datos de

la lista ó bien posiciónate sobre el titula de

cada lista, da ENTER una vez luego CLEAR y

ENTER nuevamente, lo mismo hacemos con

la lista2:

Para nosotros “list1” va a ser la lista de las

equis X y “list2” va a ser la lista de las Y, nos

posicionamos sobre el primer valor a

introducir en “list1” y tecleamos cada dato

seguido de un ENTER, recordemos que las

Áreas son la lista equis:

Ahora nos movemos con las flechas de

dirección hasta el inicio de list2 y tecleamos

de igual manera cada dato seguido de un

ENTER de los datos Producción:

Presionamos F4 y desplegamos el menú

“Calc”, ahora desplegamos el submenú

“Regressions” que es la tercera opción y

seleccionamos la segunda opción de este

submenú que dice “LinReg(ax+b)” y damos

ENTER:



Ahora bien nos despliega la siguiente

pantalla:

Aquí la calculadora nos pregunta cual es la

lista de datos del eje X y del eje Y “X List”

escribimos simplemente “list1” y en “Y List”

escribimos “list2”:

Ahora la siguiente opción dice “Store RegEqn

to” nos pregunta si deseamos guardar la

ecuación de regresión a encontrar en la lista

de graficador de funciones, desplegamos y

cambiamos la opción a “y1(x)” que es donde

vamos a poder ver la grafica de la ecuación

lineal:

Las demás opciones no las vamos a utilizar,

solo damos ENTER y vemos:

Se lee así:

y= ax+b ,

“a=”, es el coeficiente de la equis

“b=” es el valor del termino independiente

en la ecuación

“r^2=” , es el Coeficiente de determinación

“r”, es el coeficiente de correlación para el

modelo lineal.

Se construye como dice:

< * 1.6164� � 23.069

Y este es la ecuación buscada.

Damos ENTER se nuevo y vemos que se creo

al final de las listas una columna con el

nombre “resid” que son valores residuales

del ajuste de curvas: y =(a*x+b).

Ahora nos regresamos al inicio de nuestra

lista con las flechas de dirección y damos en

F2 el menú de “Plots” que quiere decir

graficas o planos, seleccionamos la primera

opción que dice “Plot Setup” y damos

ENTER:




Ahora damos en F1 para definir el

primer dibujo y se ve:

En la primera opción que dice “Plot Type”,

lo dejamos tal cual con la opción de

“Scatter”, nos desplazamos hacia abajo y en

la opción “Mark” es el tipo de marca es decir

como quieres que la calculadora marque

cada punto de dato, puedes ver que hay 5

opciones, 1: Box (que lo marque cada punto

con una caja), 2: Cross (con una cruz), 3: Plus

(con un signo mas +), 4: Square (con un

cuadro), 5: Dot (con un punto). Por sencillez

dejaremos la primera opción:

En la opción “x” tecleamos simplemente

como ya sabemos “list1” y en “y” tecleamos

“list2”:


Vemos que ya hay algo que graficar en “Plot

1”, con una palomita del lado izquierdo

señalando que se esta usando para graficar,

ahora simplemente damos en F5 que

dice “Zoom Data” y vemos:

Los puntos que ves con cuadritos son los 5

puntos xy de la tabla del problema y la línea

es la ecuación resultante que encontró la

calculadora. Presionamos F3 y aparece

un cursor parpadeando, te puedes mover

con las flechas de dirección derecha e

izquierda para moverte sobre los puntos y

arriba y abajo para cambiarte de los puntos a

la ecuación graficada:



Ahora supongamos que nos preguntan

cuanta producción habría si usaran 54.5

millones de acres (podemos ver no está en la

tabla), es decir una estimación futura de

cuanta producción habría. Damos en F5

el menú “Math” y seleccionamos la primera

opción que dice “Value” y damos ENTER:

Nos pregunta en la parte inferior “Eval x=?”,

es decir, “evaluar equis en?” y escribimos

simplemente 54.5:

Y damos ENTER:

Inmediatamente podemos leer en “yc” en la

parte de abajo 64.2277, con esto podemos

deducir que si se sembraran 54.5 millones de

acres se producirían 60.2277 millones de

toneladas de soja. Este es un ejemplo de un

comportamiento lineal en un fenómeno

común de la vida real. Y como vemos sirve

para estimar en un futuro su

comportamiento con datos históricos.

Con esto concluimos el curso para

Probabilidad y Estadística 2 apoyado con la

TI-V200, espero que te haya sido de utilidad

y que le des un buen uso, te recomiendo que

resuelvas los problemas que se dejan a

continuación de cada tema para que

adquieras habilidad a la hora de resolver tus

ejercicios.


Ejercicios Propuestos Página 71

Ejercicios Propuestos

Intervalos de Confianza

1. Una máquina de refrescos está ajustada

de tal manera que la cantidad de líquido

despachada se distribuye aproximadamente

en forma normal con una desviación

estándar igual que .15 decilitros. Encuentra

un intervalo de confianza del 95% para la

media de todos los refrescos que sirve esta

máquina si una muestra aleatoria de 36

refrescos tiene un contenido promedio de

2.25 decilitros.

2. Las alturas de una muestra aleatoria de 50

estudiantes mostraron una media de 174.5

centímetros y una desviación estándar de 6.9

centímetros.

a) Determina un intervalo de confianza de

98% para la altura promedio de todos los

estudiantes.

b) ¿Qué se puede afirma con un 98% de

confianza acerca del posible tamaño del

error si se estima que las alturas promedio

de los estudiantes es de 174.5 cm?

3. Una máquina produce piezas metálicas de

forma cilíndrica. Se toma una muestra de

piezas cuyos diámetros son: 1.01, 0.97, 1.03,

1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03

centímetros. Encuentre un intervalo de

confianza del 99% para el diámetro

promedio de las piezas de esta máquina, si

supone una distribución aproximadamente

normal.

4. Una muestra aleatoria de 12 alumnas

graduadas de una escuela secretarial

mecanografió un promedio de 79.3 palabras

por minuto. Suponiendo una distribución

normal para la cantidad de palabras

mecanografiadas por minuto, encuentre un

intervalo de confianza del 95% para el

número promedio de palabras

mecanografiadas por todas las graduadas de

esta escuela, calcula también el margen de

error.

5. Se realizó un estudio para determinar si

determinado tratamiento metálico tenía

algún efecto en la cantidad de metal

eliminado en una operación de inmersión en

ácido. Se sumergió una muestra de 100

piezas en un baño durante 24 hrs sin el

tratamiento, dando un promedio de 12.2

milímetros de metal removido y una

desviación estándar muestral de 1.1

milímetros. Una segunda muestra de 200

piezas se expuso al tratamiento y después

una inmersión en el baño durante 24 hrs, lo

que resultó en una eliminación promedio de

9.1 milímetros de metal con una desviación

estándar muestral de 0.9 milímetros. Calcula

una estimación del intervalo de confianza del

98% para la diferencia de las medias

poblacionales. ¿El tratamiento reduce la

cantidad promedio de metal removido?

Calcula el margen de error del intervalo

6. En un estudio que se realizó en los Virginia

Polytechnic Institute and State University en

1983 sobre el desarrollo de una relación

simbiótica entre las raíces de los árboles y un



hongo que transfiere minerales a los árboles

y absorbe azúcares de los árboles, se

plantaron 20 robles rojos con el hongo

Pisolithus tindtorus en un invernadero.

Todos los árboles se plantaron en el mismo

tipo de terreno y recibieron la misma

cantidad de sol y agua. La mitad no recibió

nitrógeno al momento de plantarse con

objeto de que sirviera como control y la otra

mitad recibió 368 ppm de nitrógeno de la

forma NaNO3. Al final de 140 días, se

registraron los siguientes valores en gramos

para los pesos de los troncos:

Sin Nitrógeno Con nitrógeno

0.32 0.26

0.53 0.43

0.28 0.47

0.37 0.49 0.47 0.52

0.43 0.75

0.36 0.79

0.42 0.86

0.38 0.62

0.43 0.46

Calcula un intervalo de confianza del 95%

para la diferencia de los pesos promedio de

los troncos entre aquellos que no recibieron

nitrógeno y los que recibieron 368 ppm del

mismo. Asuma que las poblaciones están

normalmente distribuidas con varianzas

iguales.

7. Se registraron los siguientes datos en días,

que representan los tiempos de

recuperación de pacientes tratados

aleatoriamente con uno de 2 medicamentos

para aliviarlos de graves infecciones en la

vesícula:

Medicamento 1 Medicamento 2

n1=14 n2=16 1=17 2=19 S1

2=1.5 S22=1.8

Encuentra un intervalo de confianza del 99%

para la diferencia µ2 - µ1 en el tiempo

promedio de recuperación para los 2

medicamentos, suponiendo poblaciones

normales con varianzas iguales.

Tip. Recuerda que la Texas siempre hace la

diferencia de medias como µ1 – µ2, considera

esto cuando introduzcas la información.

8. Una muestra aleatoria de tamaño n1=25

que se toma de una población normal con

una desviación estándar σ1=5, tiene una

media 1=80. Una segunda muestra

aleatoria de tamaño n2=36, tomada de una

población normal diferente con una

desviación estándar σ2=3, tiene una media

2=75. Encuentre un intervalo de confianza

del 94% para µ1 – µ2.

9. Los siguientes datos representan los

tiempos de duración de las películas que

producen por 2 compañías cinematográficas.

CIA Tiempo (minutos)

1 103 94 110 87 98

2 97 82 123 92 175 88 118

Calcula un intervalo de confianza del 90%

para la diferencia entre los tiempos

promedio de duración de las películas que

producen las 2 compañías. Suponga que las

diferencias del tiempo de duración tienen

una distribución aproximadamente normal.



10. Se selecciona una muestra aleatoria de

500 fumadores de cigarro y se encuentra que

86 de ellos prefieren la marca X. Encuentra

un intervalo de confianza de 90% para la

fracción de la población de fumadores que

prefieren la marca X. ¿Qué se puede afirmar

con una confianza de 90% acerca de la

posible magnitud del error si se estima que la

fracción de fumadores que prefieren la

marca X es 0.172?

11. Se está considerando un nuevo sistema

de lanzamiento de cohetes para el

despliegue de cohetes pequeños de corto

alcance. El sistema actual tiene una p = 0.8

como probabilidad de lanzamiento exitoso.

Una muestra de 40 lanzamientos

experimentales se realiza con el nuevo

sistema y 34 de ellos tienen éxito. Determina

un intervalo de confianza del 95% para p.

¿Consideras que el nuevo sistema es mejor?

12. Un especialista en genética está

interesado en la proporción de hombres y

mujeres en la población que tienen un leve

desorden sanguíneo. En una muestra

aleatoria de 1000 hombres 250 presentan

esta afección, mientras que en otra del

mismo número de mujeres, 275 de ellas lo

padecían. Calcula un intervalo de confianza

de 95% para la diferencia entre la proporción

de hombres y mujeres que sufren este

desorden sanguíneo.

13. Una firma productora de cigarros asegura

que su marca A de cigarros sobrepasa en

ventas a su marca B en 8%. Si se encuentra

que 42 de 200 fumadores prefieren la marca

A y 18 de 150 fumadores la B, calcula un

intervalo de confianza del 94% para la

diferencia entre las proporciones de ventas

de las 2 marcas y determina si la diferencia

del 8% es una afirmación válida.



Pruebas de Hipótesis

1. Una muestra aleatoria de 36 refrescos de

una máquina despachadora promedio de

21.9 decilitros, con una desviación estándar

de 1.42 decilitros. Prueba la hipótesis de que

µ = 22.2 decilitros, en contraposición a la

hipótesis alternativa, µ<2.2, en el nivel de

significancia de 0.05.

2. La altura promedio de las mujeres en el

grupo de primer año de una institución de

enseñanza superior es de 162.5 cm con una

desviación estándar de 6.9 cm. ¿Hay alguna

razón para creer que existe un cambio en la

altura promedio si una muestra aleatoria de

50 mujeres del grupo actual tiene una altura

promedio de 165.2 cm? Utiliza un valor de P

para tu conclusión.

3. Prueba la hipótesis de que el contenido

promedio en recipientes de un lubricante en

particular es de 10 litros si los contenidos de

una muestra aleatoria de 10 recipientes son:

10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3

y 9.8 litros. Utiliza un nivel de significancia de

0.01 y suponga que la distribución de los

contenidos es normal.

4. Una muestra aleatoria de 8 cigarros de

una marca determinada tiene un contenido

promedio de nicotina de 4.2 miligramos.

¿Está esto de acuerdo con la afirmación del

fabricante de que el contenido promedio de

nicotina no excede de 3.5 miligramos? Utiliza

un valor P para tu conclusión y supón que la

distribución de los contenidos de nicotina es

normal.

5. Una muestra aleatoria de tamaño n1=25,

tomada de una población normal con una

desviación estándar de σ1=5.2, tiene una

media 1=81. Una segunda muestra aleatoria

de tamaño n2=36, tomada de una diferente

población normal con una desviación

estándar de σ2=3.4, tiene una media 2= 76.

Prueba la hipótesis de que µ1 = µ2 en

contraposición a la alternativa µ1 ≠ µ2. Utiliza

un valor P en tu conclusión.

6. Un fabricante afirma que la resistencia

promedio a la tensión de los tornillos A

exceden la de los tornillos B al menos en 12

kg. Para probar esta afirmación, se examinan

50 piezas de cada tipo de tornillo bajo

condiciones similares. El tornillo tipo A tuvo

una resistencia promedio a la tensión de 86.7

kg, con una desviación estándar de 6.28 kg,

mientras para el tornillo B, estos mismos

parámetros fueron de 77.8 kg y 5.61 kg

respectivamente. Comprueba la afirmación

del fabricante utilizando un nivel de


7. Se realizó un estudio para determinar si el

material que se trata en un curso de física se

entiende mejor cuando un laboratorio forma

parte del curso. Se seleccionaron

aleatoriamente estudiantes para participar

en, ya sea, un curso de 3 semestres/hora sin

laboratorio ó un curso de 4 semestres/hora

con laboratorio. En la sección con laboratorio

11 estudiantes tuvieron una calificación

promedio de 85 con una desviación estándar

de 4.7, y en la sección sin laboratorio, 17

tuvieron una calificación promedio de 79,

con una desviación estándar de 6.1. ¿Dirías

que el curso con laboratorio incrementa la



calificación promedio hasta 8 puntos como

máximo? Utiliza un valor P en tu conclusión

y supón que las poblaciones tienen

distribuciones aproximadamente normales

con varianzas iguales.

8. Para determinar si un nuevo suero detiene

la leucemia, se seleccionan 9 ratones, los

cuales ya la han contraído y están en una

etapa avanzada de la enfermedad. Cinco

reciben el tratamiento y 4 no. Los tiempos de

supervivencia, en años, desde el momento

en que comenzó el experimento son los

siguientes:

C/Tratamiento 2.1 5.3 1.4 4.6 0.9

S/Tratamiento 1.9 0.5 2.8 3.1

En el nivel de significancia de 0.05, ¿puede

afirmarse que el suero es eficaz? Asume que

las 2 distribuciones son normales con

varianzas iguales.

9. Los siguientes datos dan las mediciones de

densidad, en número de organismos por

metro cuadrado, de 2 estaciones

recolectoras de drenaje, una ubicada en

Cedar Run y otra en Roanoke River:

Cantidad de organismos por m2

Estación 1 Estación 2

5030 4930 2800 2810

13700 11910 4670 1330

10730 8130 6890 3320

11400 26850 7720 1230

860 17660 7030 2130

2200 22800 7330 2190

4250 1130

15040 1690

Puede concluirse, en el nivel de significancia

de 0.05, ¿que las densidades promedio en las

2 estaciones son iguales? Supón que las

observaciones vienen de poblaciones

normales con varianzas diferentes.

10. Se llevó a cabo un experimento con 15

estudiantes hombres, a quienes se les

entrenó para realizar un movimiento

horizontal continuo del brazo, de derecha a

izquierda, desde un microinterruptor hasta

una barrera, golpeándola coincidentemente

a la llegada de la manecilla de un reloj a la

posición de las 6 en punto. Se registró el

valor absoluto de la diferencia entre el

tiempo, en milisegundos, que toma el

golpear la barrera y el momento en el que la

manecilla llega a la posición de las 6 en

punto (500 ms). Cada participante realizó la

prueba 5 veces bajo condiciones de no fatiga

y con fatiga, y las sumas de las diferencias

delos 5 intentos se registró como sigue:

Sujeto Diferencias absolutas

Sin fatiga Con fatiga 1 158 91

2 92 59

3 65 215

4 98 226

5 33 223

6 89 91

7 148 92

8 58 177

9 142 134

10 117 116

11 74 153 12 66 219

13 109 143

14 57 164

15 85 100



Un incremento de la diferencia absoluta de

tiempo promedio cuando la tarea se lleva a

cabo bajo condiciones de fatiga respaldaría la

afirmación e que la práctica bajo condiciones

de fatiga distorsiona los mecanismos que

gobiernan el comportamiento. Suponga que

las poblaciones están normalmente

distribuidas y compruebe esta afirmación.

11. Supón que, en el pasado, 40% de todos

los adultos favorecían la pena capital. ¿Se

tiene alguna razón para creer que la

población de adultos que favorece la pena

capital hoy en día ha aumentado si, en una

muestra aleatoria de 15 adultos 8 la

favorecen?, Utiliza un nivel de significancia

de 0.05

12. Se está considerando utilizar un nuevo

sistema de radar para un misil de defensa. El

sistema está verificándose mediante la

experimentación con un simulador en el cual

se fingen las situaciones de muerte ó no

muerte. Si en 300 intentos, ocurren 250

muertes, acepta ó rechaza, en el nivel de

significancia de 0.04, la afirmación de que la

probabilidad de una muerte con el nuevo

sistema no excede la probabilidad de 0.8 del

sistema existente.

13. En un estudio de fertilidad de la mujer se

seleccionó un grupo con menos de 2 años de

asadas y el otro de esposas con 5 años de

casadas. Supón que de 240 de 300 esposas

con menos de 2 años de casadas planeaba

tener hijos algún día en comparación con 288

de 400 esposas con 5 años de casadas.

¿Puede concluirse que la proporción de

esposas con menos de 2 años de casadas y

que planeaban tener niños es

significativamente más grande que la

proporción de esposas con 5 años de

casadas? Haz uso del valor P.

14. Una firma manufacturera de cigarros

distribuye dos marcas. Si se encuentra que

56 de 200 fumadores prefieren la marca A y

que 29 de 150 fumadores prefieren la marca

B, ¿puede concluirse en el nivel de

significancia de 0.06 que la marca A aventaja

en ventas a la marca B?

15. Se lleva a cabo un estudio para comparar

el tiempo que tardan hombres y mujeres en

armar un producto determinado. Las

experiencias anteriores indican que la

distribución de tiempos tanto para hombres

como para mujeres es aproximadamente

normal, pero la varianza de los tiempos para

las mujeres es menor que la de los hombres.

Una muestra aleatoria de tiempos para 11

hombres y 14 mujeres arroja los siguientes

datos:

Hombres Mujeres

n1= 11 n2=14

S1=6.1 S2=5.3

Prueba la hipótesis de que σ12=σ2

2 en

contraposición a la alternativa σ12>σ2

2.

Utiliza un nivel de significancia de 0.01.

16. Los siguientes datos representan los

tiempos de duración de las películas que

producen por 2 compañías cinematográficas.



CIA Tiempo (minutos)

1 102 86 98 109 92

2 81 165 97 134 92 87 114

Prueba la hipótesis de que σ12=σ2

2 en

contraposición a la alternativa σ12≠σ2

2,

donde σ12 y σ2

2 son las varianzas para los

tiempos de duración de la películas

producidas por las compañías 1 y 2,

respectivamente. Utiliza un nivel de




Análisis de Tablas

1. Un estudio transversal para conocer la

prevalencia de osteoporosis y su relación con

algunos factores de riesgo potenciales

incluyó a 400 mujeres con edades entre 50 y

54 años. A cada una se le realizó una

densitometría de columna y en cada caso se

completó un cuestionario de antecedentes.

Antecedente de dieta pobre en calcio

Osteoporosis

Si No

Expuestos 58 62

No Expuestos 22 258

Se desea determinar si en realidad existe una

relación entre la dieta pobre en calcio y la

osteoporosis.

Con un NS.=0.01 prueba la Ho de que el

antecedente de una dieta pobre en calcio y

los factores de riego de osteoporosis son

independientes.

2. Para evaluar el efecto de la exposición a asbesto sobre el riesgo de fallecer por cáncer de pulmón, un estudio comparó un grupo de 6.245 trabajadores expuestos a este agente con otro grupo de 7.895 trabajadores sin exposición a este factor. A lo largo de 22 años de seguimiento, en el primer grupo se presentaron 76 defunciones por cáncer en el aparato respiratorio, en tanto que en el grupo no expuesto el número de defunciones por esta causa fue 28. El tiempo total de seguimiento del grupo expuesto fue de 116.157 personas-año, mientras que en el segundo grupo fue de 177.636.

Defunción por Cáncer

Exposición a Asbesto

Si No Total

Expuestos 76 6129 6245

No Expuestos 28 7867 7895 Total 104 14036 14140

Con un nivel de significancia de 0.05 prueba

la Ho de que la exposición al asbesto y la

defunción por cáncer son independientes.

3. Considere la siguiente tabla de 2x2, que

contiene los resultados de un estudio que

analiza la efectividad del uso de cascos de

seguridad en ciclistas, para prevenir lesiones

en la cabeza en caso de accidentes.

Lesión en Cabeza

Uso de casco

Si No Total

Si 17 218 235

No 130 428 558

Total 147 646 793

Con un nivel de significancia de 0.05 prueba

la Ho de que el uso del casco y la lesión en la

cabeza en los ciclistas son independientes.



Regresión Lineal

1. Los datos de la siguiente tabla representan las estaturas (X, cm) y los pesos (Y, kg) de una muestra de 12 hombres adultos. Para cada estatura fijada previamente se observó el peso de una persona seleccionada de entre el grupo con dicha estatura, resultando:

X 152 155 152 155 157 152 157 165 162 178 183 178

Y 50 61.5 54.5 57.5 63.5 59 61 72 66 72 84 82

Con estos datos plantear una ecuación de regresión simple que permita pronosticar los pesos conociendo las tallas.

2. De los siguientes datos halla la ecuación de regresión simple:

Xi Yi

0.8 1

1 2

1.2 3

1.3 5

3. Si representamos los datos como puntos de coordenadas (xi yi) en el plano los siguientes pares de puntos vemos que, efectivamente, estos podrán ajustarse a una recta, lo que nos indica que la velocidad de reacción aumenta linealmente con la concentración de la glucógenasa.

Xi Yi

0.2 8 0.5 10

1 18

2 35

3 60

Halla la ecuación de regresión lineal de la

recta que representa ésta relación y grafica

ésta ecuación resultante.

4. Encuentra la recta de regresión de los

siguientes pares de puntos y grafica la

ecuación resultante:

Xi Yi

-6 2

-3 2.8

0 3.9

3 4.2

6 5.8

9 6.2

12 7.5

15 8.2

20 9.3

25 10.9



Bondad de Ajuste

1. En una encuesta preelectoral realizada a 500 personas se obtuvo la siguiente distribución en función de sus edades y de su intención de voto: Edad Partido 18 – 35 35 – 50 50 o más A 10 40 60 B 15 70 90 C 45 60 35 D 30 30 15 A un nivel de confianza del 90% ¿Puede afirmarse que la intención de voto es independiente de la edad?


Bibliografía Página 81

Bibliografía

Sitio Web:

http://www.ugr.es/~jsalinas/weproble/T9res.PDF

http://www.monografias.com/trabajos27/regresion-simple/regresion-simple.shtml

http://www.um.es/docencia/jpastor/miweb_files/ficheros/ambientales/ambientales_2005_2006/

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http://dta.utalca.cl/estadistica/ejercicios/obtener/descriptiva2/Ejerciciosresueltosdescripcualitati

vas.pdf

http://www.ugr.es/~jsalinas/weproble/T12res.PDF

probabilidad & estadística 2

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