probabilidad y estadística
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Información básica de la probabilidad.TRANSCRIPT
INSTITUTO TECNOLÓGICO SUPERIOR DE MISANTLA
PROBABILIDAD Y
E S T A D I S T I C A
CURSO PROPEDEUTICO PARA EL INGRESO A LA
MAESTRÍA EN INGENIERÍA INDUSTRIAL
PRINCIPIOS DE PROBABILIDAD
Mtro. Isidro R. Montoro irodrí[email protected]
PROBABILIDAD
Enfoques de la
probabilidad
Reglas de la
probabilidad
Árboles de
probabilidad
Técnicas
combinatorias
Frecuencia
relativa
Subjetivo
Clásico
Regla de la
suma
Regla de la
multiplicación
Probabilidad
condicional
Teorema de
Bayes
Permutaciones
Combinaciones
1. FUNDAMENTOS DE PROBABILIDAD
1.1 Conceptos básicos y campo de
aplicación de la probabilidad
1.1.1 El concepto de incertidumbre
t = ?
Tiempo t para
gestar un ser
humano
Figura 1.1 Proceso con incertidumbre
El proceso natural de gestación de un ser humano es determinístico: conocemos sus causas, evolución y resultado principal (el nacimiento de un bebé). Sin embargo, existe incertidumbre respecto a varios aspectos de este resultado. Por ejemplo no existe un modelo matemático que permita determinar en forma exacta el instante t en que ha de nacer un bebé. Lo único que se conoce empíricamente respecto a este tiempo es que tiene un valor promedio de 9 meses (38 semanas)., por lo cual, las observaciones pueden ser mayores o menores a este dato. Así t se considera aleatorio.
Tiempo t en
segundos para
gestar para la
caída de un
objeto desde h
metros
Figura 1.2 Proceso sin incertidumbre
El término incertidumbre se refiere a aquella situación en la cual no se tiene completo conocimiento sobre un proceso dado. La falta de conocimiento puede referirse a la descripción del proceso, sus causas o sus resultados.
Lo opuesto a incertidumbre se denomina certidumbre o determinismo
1 El tiempo para que se geste un ser humano: tiene incertidumbre ya
que no existe una ecuación o conjunto de ecuaciones que permitan
establecer en forma exacta este valor.
2 El tiempo para caída libre de un objeto: es determinístico y se
obtiene de las leyes de movimiento establecidas por Isaac Newton.
La incertidumbre aparece por:
1 La incapacidad para explicar el proceso (falta de conocimiento)
2 La incapacidad para modelar o representar el proceso (por
ignorancia, alta complejidad del proceso, limitación de las
herramientas matemáticas y computacionales.
3 La incapacidad para medir u observar en forma precisa el proceso
bajo estudio
Nótese que la incertidumbre se refiere al analista no al proceso
3 Ambigüedad Aunque existe una clasificación de las caausas y resultados se es incapaz de
asignar algunas observaciones a ellas (no especificidad)
4 Confusión Reúne características de vaguedad y ambigüedad.
1 Aleatoridad
Se conocen los posible resultados del proceso bajo estudio pero no sus causas,
o, aunque se conocen las causas y los resultados, no es capaz de establecer una
descripción determinística del proceso.
2Vaguedad e
imprecisión
Incapacidad para definir en forma clara o precisa una clasificación de las
observaciones para las causas o resultados. En términos lingüisticos se
denomina vaguedad y enterminos numéricos impresión.
Nivel de
compljidad
Tipo de
incertidumbreDescripción
Taxonomía de la incertidumbre
0 Determinismo Completo conocimiento del proceso bajo estudio
Mediante el análisis probabilístico se estudian procesos donde
existen incertidumbre en forma de aleatoriedad. Las otras formas de
incertidumbre se estudian mediante la lógica difusa, teoría de las
posibilidades y la teoría de la evidencia.
La lógica difusa Surgió como una herramienta importante para el
control de sistemas y procesos industriales complejos, así como
también para la electrónica de entretenimiento, sistemas de
diagnósticos y otros sistemas expertos.
Entrada
EJEMPLO
Observar o medir las personas
Proceso Salida
Bajo Medio
Alto
Resultados: Alto, Medio, Bajo
Figura Análisis de las estatura de un grupo de personas
El proceso bajo estudio es observar o medir la estatura de las personas que asisten a un salón de clase.
Determinismo: existe una definición perfecta de los resultados Bajo<1.50m 1.50m<medio<1.70m Alto>1.70mc Aleatoriedad: Requiere una perfecta definición de los resultados (Qué es Alto, Medio, y Bajo), pero la incertidumbre está en cómo se darán estos resultados: ¿con qué frecuencia llega una persona alta? Vaguedad e imprecisión: ¿Cuáles valores pertenecen a cada categoría lin- güística (Alto, Medio, Bajo)? Una persona con una estatura de 1.49 es Baja o Media?
Ambigüedad: ¿1.70m es una estatura media o alta? Confusión: No se sabe si es un resultado alto o medio o qué es alto o medio
AZAR Y ALEATORIEDAD
El término azar se refiere a la ausencia de causa o explicación
Se aplica a:
1 Aquella situación en la cual no se conocen las causas que producen un evento dado
2Aquella situación en la cual, auque se conocen las causas que producen un evento dado,
no puede explicarse más que por intervención del azar.
Otro sinónimo para aleatorio es el término estocástico
El término aleatoriedad se refiere a aquella situación en la cual la ocurrencia de un
evento dado no puede explicarse más que por intervención del azar.
2Aunque se conozcan las causas y los resultados no es capaz de establecer una ley o
relación determinística permanente entre ellos.
3 La secuencia de resultados no puede condensarse en una ecuación o descripción
4 Existe duda sobre la veracidad de una afirmación o negación
1 No se conocen las causas que lo producen
El término aleatorio se refiere a algo carente de causa u orden o que es impredecible.
Se dice que un proceso es aleatorio cuando:
La incertidumbre se refiere a la persona que anliza el proceso no al proceso en sí;
entonces, es la falta de conocimiento del ser humano la que hace que algunos procesos
deban considerarse aleatorios.
POSIBILIDAD Y PROBABILIDAD
El término posibilidad se refiere al conocimiento o creencia de que un evento dado
puede existir u ocurrir.
Otro sinónimo para posible es el término plausible
Grado de posibilidad Probabilidad
El término probabilidad define matemáticamente el grado de certidumbre
sobre la ocurrencia de un evento o eventos.
0.0 0.1
Total incertidumbre sobre la ocurrencia
del evento
Total certidumbre sobre la ocurrencia
del evento
Todo esfuerzo tendente a disminuir el nivel de incertidumbre en el proceso de
toma de decisiones incrementará la posibilidad de tomar decisiones más
inteligentes y mejor informadas.
Nuestro objetivo será explicar los métodos con los que se puede medir la
verosimilitud o posibilidad de sucesos inciertos.
Probabilidad. Es la verosimilitud numérica, medida entre 0 y 1 de que
ocurra un suceso incierto. 0 ≤ P(X) ≤ 1
El proceso que da lugar a un suceso se llama experimento.
Un experimento es toda acción bien definida que produce un
resultado único y bien definido, denominado resultado.
Un experimento podría consistir en inspeccionar un
producto para determinar si cumple determinadas
especificaciones de fabricación. Los resultados posibles
son: 1) defectuosos o 2) no defectuosos
Probabilidad. Posibilidad de ocurrencia de un evento futuro.
El concepto de Probabilidad es necesario cuando se opera con procesos
físicos, biológicos, químicos, económicos y sociales que generan
observaciones que no es factible predecir con exactitud.
P(suceso cierto) = 1
P(suceso imposible)=0
Propiedades de la probabilidad
1. 0 ≤ P(Ei) ≤ 1
2. ∑ P(Ei) = 1
Un conjunto es una colección de objetos
El conjunto de todos los resultados posibles de un experimento es el
espacio muestral
ENFOQUES DE LA
PROBABILIDAD
Clásico
Subjetivo
Frecuencia relativa
En el método de la frecuencia relativa se utilizan datos obtenidos en observacio-
nes empíricas. Se tiene en cuenta la frecuencia con que ha ocurrido un suceso en
el pasado y se estima la probabilidad de que vuelva a ocurrir a partir de esos
datos históricos.
Enfoque de la frecuencia relativa
La probabilidad de un suceso de acuerdo con el enfoque de la frecuencia relativa
viene dada por:
Ejemplos: Supongamos que durante el último año natural hubo 50 nacimientos
en un hospital de la localidad. Treinta y dos de los recién nacidos fueron niñas.
El enfoque de frecuencia relativa revela que la probabilidad de que el recién
nacido siguiente (o cualquier recién nacido tomado al azar) sea una niña es:
¿Cuál es la probabilidad de que el recién nacido sea niño?
Actividad #4: Mencione dos ejemplos de este enfoque de probabilidad
Este enfoque exige que asignemos la probabilidad de cualquier suceso
basándose en las mejores pruebas disponibles. El enfoque subjetivo se utiliza
para asignar una probabilidad a un suceso que no ha ocurrido nunca.
Enfoque subjetivo
Un ejemplo podría ser la probabilidad de que una mujer sea elegida para
gobernar el Estado de Veracruz.
El enfoque clásico es el que más a menudo se relaciona con los juegos de azar.
Enfoque clásico
La probabilidad clásica de un suceso E viene determinada por:
Actividad #4: Mencione dos ejemplos del enfoque subjetivo.
La probabilidad clásica implica determinar a priori (antes del hecho) la probabilidad
de un suceso.
Enfoque clásico
Ejemplos
1. La probabilidad de obtener sol de un solo lanzamiento al aire de una moneda
equilibrada es: ½
2. La probabilidad de sacar un 3 cuando se tira un dado de seis caras posibles
de un suceso es:
3. La probabilidad de sacar un as de una baraja de 52 cartas es:
Actividad #4: Mencione dos ejemplos del enfoque clásico.
El «craps» es un juego de azar en el que intervienen dos dados. Las
reglas de una de las versiones del juego establecen que se gana
inmediatamente si se saca «craps» que es un 7 o un 11, en la primera
tirada. Pero si se saca cualquier número distinto de «craps» hay que
volver a sacar ese mismo número (que se llama marca o punto) antes de
sacar 7 u 11. Si se saca 7 u 11 antes que la marca se pierde.
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar un juego de «craps» a la primera
tirada?
b) Si la marca es 6, ¿qué es más probable, ganar o perder?
Ejemplo 4. La probabilidad de ganar en el «craps»
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Resultados del primer dado
Resultados
del segundo
dado
El espacio muestral de todos los casos posibles
es la suma de los dos:
a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar un juego de «craps» a la primera
tirada?
Ejemplo 4. La probabilidad de ganar en el «craps»
a) Hay 36 casos posibles. Sólo 8 de ellos dan 7 u 11, que equivalen a
ganar.
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Resultados del primer dado
Resultados
del segundo
dado
b) Si se saca un 6, la probabilidad de repetir el resultado es:
1 2 3 4 5 6
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12
Resultados del primer dado
Resultados
del segundo
dado
INTERPRETACIÓN: Como 8/36 es mayor que 5/36, es más probable
perder porque se vuelve a sacar «craps» que ganar porque se saquen de
nuevo 6 puntos.
b) Hay 36 casos posibles. Sólo 5 de ellos dan 6, que equivalen a ganar el
juego.
ACTIVIDAD 5
1. De 75 personas que solicitan un trabajo, 20 no son de bachillerato. Si se elige al
azar a una persona, a) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea de bachillerato?
b) ¿Qué enfoque de la probabilidad ha utilizado para contestar?
2. ¿Qué enfoque utilizaría para determinar la probabilidad de que se sequen los
embalses que suministran agua a toda la costa Oeste? ¿por qué piensa que
sería este enfoque el adecuado?
3. En los últimos días laborales, Raúl ha estado enfermo 120 días, ¿Cuál es la
probabilidad de que éste enfermo hoy?
LA PRÁCTICA DE LAS APUESTAS CON VENTAJA
Si la ventaja de que ocurra un suceso se establece en A:B, la probabilidad de
ocurrencia es:
Si se estima que la ventaja de que un suceso E ocurra es 5 a 1, y se escribe 5:1,
la probabilidad de que ocurra se puede cifrar en:
La ventaja de que no suceda es 1:5, y la probabilidad de que ocurra es
RELACIONES ENTRE SUCESOS
SUCESOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES. Son sucesos que no pueden ocurrir
al mismo tiempo.
SUCESOS EXHAUSTIVOS COLECTIVAMENTE. El conjunto de todos los
resultados posibles de un experimento constituye el de los sucesos colectivamente
exhastivos.
SUCESOS INDEPENDIENTES. Dos sucesos son independientes si la ocurrencia
de uno de ellos no tiene ninguna influencia en que ocurra otro.
SUCESOS COMPLEMENTARIOS. Dos sucesos son complementarios si la no
aparición de uno de ellos obliga a que ocurra el otro. Los sucesos complementarios
son colectivamente exhaustivos.
Mencione un ejemplo de este suceso
Mencione un ejemplo de este suceso
Mencione un ejemplo de este suceso
Mencione un ejemplo de este suceso
NOTACIÓN DE CONJUNTOS
Conceptos básicos de la teoría de conjuntos
Utilizaremos letras mayúsculas, A, B, C, . . . , Z para indicar los
conjuntos de puntos.
Los elementos de un conjunto dado lo denotaremos con letras
minúsculas (no necesariamente deben ser letras), así por ejemplo,
los elementos de un conjunto A son a, b, c, d, e, escribiremos
A = {a, b, c, d, e}
1.2 TEORIA DE CONJUNTOS
UNION
La unión de dos conjuntos A y B la denotaremos por A B y es el conjunto formado
por los elementos que pertenecen al menos a uno de ellos ó a los dos. Lo que se
denota por: A B = { x/x A ó x B }
Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10, 11, 12 }
A B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }
UNIONES, INTERSECCIONES Y DIAGRAMA DE VENN
DIAGRAMA DE VENN
Método de comprensión
INTERSECCION
La INTERSECCIÓN de dos conjuntos A y B la denotaremos por A B y es el
conjunto formado por los elementos que están en A y en B. Lo que se denota por:
A B = { x/x A y x B }
Y se lee el conjunto de elementos x que están en A y están en B.
A B
DIAGRAMA DE VENN
Ejemplo 1: Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }
Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A este conjunto se le
llama intersección de A y B; y se denota por A B, algebraicamente se escribe
así:
A B = { x/x A y x B }
Ejemplo 2: Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }
Q P = { a, b, o, r, s, y }
CONJUNTOS AJENOS
Sí la intersección de dos conjuntos es igual al conjunto vacío, entonces a estos
conjuntos les llamaremos conjuntos ajenos, es decir:
Si A B = ø entonces A y B son ajenos.
A y B son disjuntos
COMPLEMENTO
El complemento de un conjunto respecto al universo U es el conjunto de elementos
de U que no pertenecen a A y se denota como A' y que se representa por
comprehensión como: Ac={ x U/x y x A }
Ejemplo: Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 } A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A U
El complemento de A estará dado por: Ac= { 2, 4, 6, 8 }
DIFERENCIA
Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B y es el conjunto
de los elementos de A que no están en B y se representa por comprehensión como:
A - B=A\B={ x/x A ; X B }
Ejemplo: Sea A= { a, b, c, d } y B= { a, b, c, g, h, i }
A – B= { d } B – A = { g, h, i }
B - A = B\A={ x/x B ; X A}
DIFERENCIA SIMÉTRICA
La diferencia simétrica de los conjuntos A y B representada por AB, consiste en
aquellos elementos que pertenecen a A o a B:, pero no a ambos. Es decir,
AB
AB =(A\B)(B\A)
Leyes de Morgan
10a. (AUB)c=A
cB
c10a. (AB)
c=A
cUB
c
Tabla 1.1 Leyes del Algebra de conjunto
5a. A
6a. AU=U
5b. AU=A
6b. A
Leyes de involución
7. (Ac)c = A
Leyes de complemento
8a. AcU
9a. Uc=
8b. AAc=
9b. cU
4a. AC)C) 4a. A(BC)=(AB)(AC)
Leyes asociativas
Leyes conmutativas
Leyes distributivas
Leyes de identidad
1a. A 1b. A
Leyes de idempotencia
2a. (ACC) 2b. (ACC)
3a. A 3b. A
REGLAS DE LA PROBABILIDAD
REGLA DE LA MULTIPLICACIÓN
Se utiliza para determinar la probabilidad conjunta de A y B equivalentemente
(A∩B).
• Si se utiliza “y” multiplicamos
La regla de la multiplicación establece que:
1. Si A y B son sucesos independientes, habremos de multiplicar la
probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B.
P (A∩B)=P(A)P(B)
2. Si A y B son suceso dependientes, habremos de multiplicar la
probabilidad del suceso A por la probabilidad del suceso B siempre
que A haya ocurrido ya.
P (A∩B)=P(A)P(B|A)
REGLA DE LA SUMA
Se utiliza para determinar la probabilidad de A o B equivalentemente (AB)
• Si se utiliza “o” sumamos
La regla de la suma establece que:
1. Si A y B son sucesos mutuamente excluyentes, habremos de
sumar la probabilidad del suceso A a la probabilidad del suceso B.
P(AB)=P(A)+P(B)
2. Si A y B son sucesos no mutuamente excluyentes, habremos de
sumar la probabilidad del suceso A a la probabilidad del suceso B
y restar la probabilidad conjunta de los sucesos A y B.
P(AB)=P(A)+P(B)—P(A∩B).
OTRA REGLA DE LA SUMA QUE SE OCUPA A MENUDO ES LA SIGUIENTE:
P(A) + P(AC) = 1
PROBABILIDAD CONDICIONAL
Probabilidad de que un determinado suceso ocurra dado que, haya
ocurrido ya un suceso anterior. Por ejemplo que ocurra el suceso A dado
que haya ocurrido ya el suceso B.
NOTACIÓN:
P(A | B)
<<Probabilidad de A dado B>>
CÁLCULO:
( )( | )
( )
P A BP A B
P B
( )( | )
( )
P B AP B A
P A
NOTACIÓN:
P(B | A)
<<Probabilidad de B dado A>>
Tamaño Plástico Metal Mixto Total
Grande 12 8 5 25
Medio 23 31 1 55
Pequeño 6 6 8 20
Total 41 45 14 100
Material de la montura
Datos recogidos por la Sra. Elena directora de ventas del centro óptico E-Z-C. la señora
Elena anotó el material y el tamaño de las monturas de gafas de las 100 últimas ventas.
Los resultados se muestran en la siguiente tabla.
• La tabla consta de 9 celdas, tres en sentido horizontal para el material y tres en
sentido vertical para el tamaño. Los totales de cada categoría se muestran al final
de las filas y columnas.
• Los valores al margen derecho indican los totales de cada tamaño, y los valores
del margen inferior los totales de cada material.
PROBABILIDAD CONDICIONAL Y CONJUNTA
El valor inscrito en una celda de una tabla de probabilidades es la probabilidad
conjunta (Tamaño ∩ Material).
A partir de una tabla de frecuencias se puede construir una tabla de probabilidades
Los valores del margen inferior y del margen derecho indican probabilidades
marginales
Tamaño Plástico Metal Mixto Total
Grande 12/100=0.12 8/100=0.08 5/100=0.05 25/100=0.25
Medio 23/100=0.23 31/100=0.31 1/100=0.01 55/100=0.55
Pequeño 6/100=0.06 6/100=0.06 8/100=0.08 20/100=0.20
Total 41/100=0.41 45/100=0.45 14/100=0.14 100/100=1
Material de la montura
ÁRBOLES DE PROBABILIDAD
Cuando se tiene que hallar las probabilidades de varios sucesos conjuntos,
suele ser útil dibujar un árbol de probabilidades.
Un árbol de probabilidades o diagrama de árbol indica todas las
probabilidades asociadas a un conjunto completo de sucesos específicos.
Para tener una idea clara de cómo construir un diagrama de árbol manejemos el
siguiente ejemplo:
Paola tiene un pantalón y una falda para combinar con cuatro blusas de color (B,
V, A, R) y decide mostrarse en el espejo para ver que combinación es la mejor:
Pantalón
Falda
B
V
A
R
B
V
A
R
Los diagramas de árboles son importantes por que nos ayudan a tomar
mejores decisiones en campos tan diversos como:
• Producción
• Análisis y Evaluación de Proyectos de Inversión
• Control de Calidad
• Manufactura
• Estudios de Mercado
• etc.
A manera de ejemplo presentaremos a continuación un ejemplo de
control de calidad.
Los departamentos de control de calidad en una empresa tienen la responsabilidad
de garantizar que sus productos cumplan determinadas especificaciones de
producción. Ud. cómo encargado del departamento de calidad tiene la
responsabilidad de minimizar la producción de piezas defectuosas de ensamble y
garantizar que los defectos no salgan de la factoría. En la figura que presentamos a
continuación se recoge un diagrama de árbol de una empresa que soporta un índice
de defectos del 15%,. Es decir, el 15% de las unidades producidas en la fábrica no
cumplen las especificaciones mínimas. Entonces P(D)=0.15 y P(DC)=0.85. Se elige
al azar dos unidades de la línea de montaje y se anota si hay alguna defectuosa.
Línea de montaje
Se extrae la primera unidad Se extrae la segunda unidad
D1=0.15
D1C
=0.85
D2=0.15
D2C
=0.85
D2=0.15
D2C
=0.85
D1& D2=(0.15)(0.15)=0.0225
Suceso A
D1& D2C =(0.15)(0.85)=0.1275
Suceso B
D1C
& D2 =(0.85)(0.15)=0.1275
Suceso C
D1C
& DC2 =(0.85)(0.85)=0.7275
Suceso D
OBSERVACIONES:
• Los cuatro sucesos son colectivamente exhaustivos
• El árbol anterior está destinado a sucesos independientes
• Pero los árboles también son útiles si los sucesos so dependientes
EJEMPLO:
El diagrama de árbol del centro óptico de la Sra. Elena aparece en la
siguiente figura. Las probabilidades de los tamaños se toman de la
probabilidades marginales. Por ejemplo, la probabilidad de grande es
25/100. P(G)=25/100.
Tamaño Plástico Metal Mixto Total
Grande 12/100=0.12 8/100=0.08 5/100=0.05 25/100=0.25
Medio 23/100=0.23 31/100=0.31 1/100=0.01 55/100=0.55
Pequeño 6/100=0.06 6/100=0.06 8/100=0.08 20/100=0.20
Total 41/100=0.41 45/100=0.45 14/100=0.14 100/100=1
Material de la monturaTamaño Plástico Metal Mixto Total
Grande 12 8 5 25
Medio 23 31 1 55
Pequeño 6 6 8 20
Total 41 45 14 100
Material de la montura
Tamaño Material
L=Grande
M=Medio
S=Pequeño
P=Plástico
W=Metal
C=Mixto
P=Plástico
W=Metal
C=Mixto
P=Plástico
W=Metal
C=Mixto
Probabilidades
marginales
Probabilidades
condicionales Probabilidades conjuntas
Tamaño Material
L=Grande (0.25)
M=Medio (0.55)
S=Pequeño(0.20)
P(P|L)=12/25
P(P|M)=23/55
P(W|M)=31/55
P(C|M)=1/55
P(W|L)=8/25
P(C|L)=5/25
Tamaño Plástico Metal Mixto Total
Grande 12 8 5 25
Medio 23 31 1 55
Pequeño 6 6 8 20
Total 41 45 14 100
Material de la montura
P(L∩P)=(25/100)x(12/25)=0.12
P(L∩W)=(25/100)x(8/25)=0.08
P(L∩C)=(25/100)x(5/25)=0.05
P(M∩P)=(55/100)x(23/55)=0.23
P(M∩W)=(55/100)x(31/55)=0.31
P(M∩C)=(55/100)x(1/55)=0.01
P(S∩P)=(20/100)x(6/20)=0.06
P(S∩W)=(20/100)x(6/20)=0.06
P(S∩C)=(20/100)x(8/20)=0.08
P(P|S)=6/20
P(W|S)=6/20
P(C|S)=8/20
Probabilidades
marginales
Probabilidades
condicionales Probabilidades conjuntas
Tamaño Material
P=Plástico (0.41)
W=Metal (0.45)
C=Mixto(0.14)
P(L|P)=12/41
P(L|W)=8/45
P(M|W)=31/45
P(S|W)=6/45
P(L|C)=5/14
P(M|C)=1/14
P(S|C)=8/14
P(M|P)=23/41
P(S|P)=6/41
Tamaño Plástico Metal Mixto Total
Grande 12 8 5 25
Medio 23 31 1 55
Pequeño 6 6 8 20
Total 41 45 14 100
Material de la montura
P(P∩L)=(41/100)x(12/41)=0.12
P(P∩M)=(41/100)x(23/41)=0.23
P(P∩S)=(41/100)x(6/41)=0.06
P(W∩L)=(45/100)x(8/45)=0.08
P(W∩M)=(45/100)x(31/45)=0.31
P(W∩S)=(45/100)x(6/45)=0.06
P(C∩L)=(14/100)x(5/14)=0.05
P(C∩M)=(14/100)x(1/14)=0.01
P(C∩S)=(14/100)x(8/14)=0.08
Tamaño Material
D
DC
D
DC
D
DC
1.- Se lanza un dado perfecto y se consideran los sucesos
A = obtención de un número impar,
B = obtención de un número par y
C = Obtención de un 1 o un 2.
¿Son independientes los sucesos A y B?
¿Son independientes los sucesos A y C?
Solución
Para ver si son independientes los sucesos A y B comprobaremos si P(A/B) = P(A).
Está claro que la probabilidad de obtener un número impar cuando ha ocurrido
un número par es cero, luego P(A/B) = 0. Por otro lado, la probabilidad de
obtener un número impar es ½. Tenemos entonces que P(A/B) ≠ P(A)
y los sucesos A y B no son independientes.
Para analizar la independencia de A y C comprobaremos si P(A/C) = P(A).
Observamos que P(A/C)=1/2 (esta claro que la probabilidad de
obtener un número impar cuando ha ocurrido un 1 es ½), luego
ya tenemos comprobado que P(A/B) = P(A) = ½ y por lo tanto
habrá independencia entre A y B.
2.- Si P(A) = 1/3, P(B) = ¼ y P(A∩B) = 1/10, calcular las probabilidades siguientes:
a) P(A|B)
b) P(B|A)
c) P(A| A∩B)
d) P(A∩B|B)
e) P(AB / A∩B)
f) P(AC/B)
Solución
( ) 1/10 2( / )
( ) 1/ 4 5
P A BP A B
P B
( ) 1/10 3( / )
( ) 1/ 3 10
P A BP B A
P A
( ) ( )( / ) 1
( ) ( )
P A A B P A BP A A B
P A B P A B
( ) ( ) 1/10 2( / )
( ) ( ) 1/ 4 5
P A B B P A BP A B B
P B P B
(( ) ( ) ( )( / ) 1
( ) ( )
P A B A B P A BP A B A B
P A B P A B
( / ) 1 ( / ) 1 2 /5 3/5CP A B P A B
3.- Se extrae aleatoriamente una carta de una baraja de 52 cartas
(4 palos de 13 cartas cada palo). Hallar la probabilidad de los
siguientes sucesos:
a. Extraer un as
b. Extraer una jota de corazones
c. Extraer el tres de tréboles o el seis de diamantes
d. Extraer un corazón
e. Extraer cualquier palo excepto corazones
f. Extraer un diez o una pica
g. No extraer ni un cuarto ni un trébol
Solución:
El espacio muestral para este suceso estará formado por todas las posibles
cartas de la baraja de 52 cartas. Sabemos que hay 4 palos
(T = tréboles, D = diamantes, P = picas y C = corazones) con
13 cartas de cada palo (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, jota, reina, rey).
El espacio muestral podrá representarse por los 52 puntos siguientes:
ESPACIO MUESTRAL
T • • • • • • • • • • • • •
D • • • • • • • • • • • • •
P • • • • • • • • • • • • •
C • • • • • • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
Para cada suceso, la probabilidad será el número de elementos del espacio
muestral relativo al suceso (casos favorables) dividido por el número total
de sucesos del espacio muestral (casos posibles).
a. El suceso extracción de un as tiene los siguientes casos favorables:
T • • • • • • • • • • • • •
D • • • • • • • • • • • • •
P • • • • • • • • • • • • •
C • • • • • • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
4 1( )
52 13
o
o
Casosfavorables N de ases en la barajaP as
Casosposibles N total de cartas en la baraja
b. El suceso extracción de una jota de corazones tiene los siguientes
casos favorables:
T • • • • • • • • • • • • •
D • • • • • • • • • • • • •
P • • • • • • • • • • • • •
C • • • • • • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
1( )
52
CasosfavorablesP JC
Casosposibles
Tendremos entonces lo siguiente:
c. El suceso extracción del tres de tréboles o el seis de diamantes tiene los
siguientes casos favorables:
T • • • • • • • • • • • • •
D • • • • • • • • • • • • •
P • • • • • • • • • • • • •
C • • • • • • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
2(3 6 )
52
CasosfavorablesP T D
Casosposibles
Tendremos entonces lo siguiente:
d. El suceso extracción de un corazón tiene los siguientes casos favorables:
T • • • • • • • • • • • • •
D • • • • • • • • • • • • •
P • • • • • • • • • • • • •
C • • • • • • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
13 1( )
52 4
CasosfavorablesP C
Casosposibles
Tendremos entonces lo siguiente:
e. El suceso extracción de cualquier palo excepto corazones es el
complementario del anterior, luego la forma más rápida de calcular su
probabilidad es la siguiente:
1 3( ) 1
4 4
CP C
f. El suceso extracción de un diez o una pica tiene los siguientes casos
favorables:
T • • • • • • • • • • • • •
D • • • • • • • • • • • • •
P • • • • • • • • • • • • •
C • • • • • • • • • • • • •
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 J Q K
16 4(10 )
52 13
CasosfavorablesP P
Casosposibles
Tendremos entonces lo siguiente:
g. El suceso no extraer ni un cuatro ni un trébol es el complemento de
extraer un cuatro o un trébol, luego la forma más rápida de calcular su
probabilidad es la siguiente:
(4 ) ((4 ) ) 1 (4 )
16 36 91 1
52 52 13
C C CP T P T P T
Casosfavorables
Casosposibles
4.- Una bola se extrae aleatoriamente de una caja que contiene 6 bolas rojas,
4 bolas blancas y 5 bola azules. Hallar la probabilidad de los siguientes sucesos:
Que la bola sea roja
Que la bola no sea azul
Que la bola sea roja o blanca
Que la bola no sea ni roja ni blanca
Podemos representar el espacio muestral de la forma siguiente:
R R R R R R
B B B B
A A A A A
R R R R R R
B B B B
A A A A A
El suceso extracción de bola roja tiene los siguientes casos favorables
.( )
.
6 2
15 5
Casosfavorables No debolasrojasenlacajaP R
Casosposibles No totaldebolasenlacaja
Tendremos entonces lo siguiente:
El suceso que la bola no sea azul es el complementario de que la bola
sea azul, luego la forma más rápida de calcular su probabilidad es la
siguiente:
5 1 2( ) 1 ( ) 1 1 1
15 3 3
C CasosfavorablesP A P A
Casosposibles
El suceso extracción de bola roja o blanca tiene los siguientes casos favorables
10 2( )
15 3
CasosfavorablesP R B
Casosposibles
Tendremos entonces lo siguiente:
R R R R R R
B B B B
A A A A A
El suceso que la bola no sea ni roja ni blanca es el complementario de
que la bola sea roja o blanca, luego la forma más rápida de calcular su
probabilidad es la siguiente:
2 1( ) (( ) ) 1 ( ) 1
3 3
C C CP R B P R B P R B
La probabilidad a priori es la probabilidad estimada antes de que
ocurra el suceso, y puede variar después de un análisis posterior.
Las probabilidades a posteriori (posterior) son probabilidades
condicionales basada en información adicional.
Teorema de Bayes
Si los sucesos Ai son una partición y B un suceso tal que p(B) ≠ 0
TEOREMA DE BAYES Y PROBABILIDAD CONDICIONAL
Regla de la probabilidad total
Se llama partición a conjunto de sucesos Ai tales que
A1 A2 ... An = W y Ai Aj = i j
es decir un conjunto de sucesos mutuamente excluyentes y que cubren todo
el espacio muestral
Regla de la probabilidad total: Si un conjunto de sucesos Ai forman una partición del espacio muestral y p(Ai) 0 Ai, para cualquier otro suceso B se cumple.
PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD
1) p(Ac) = 1 - p(A)
Ac representa el suceso complementario de A, es decir el formado por todos los resultados que no están en A.
2) A1 A2 p(A1) p(A2)
3) p() = 0
4) p(A) 1
5) p(A B) = p(A) + p(B) - p(A B) (Regla general de la adición)
Ejemplo
Un 15% de los pacientes atendidos en un hospital son hipertensos,
un 10% son obesos y un 3% son hipertensos y obesos.
¿Qué probabilidad hay de que elegido un paciente al azar sea obeso o hipertenso?
A = {obeso} B = {hipertenso}
A B = {hipertenso y obeso} A B = {obeso o hipertenso}
p(A) = 0,10; p(B) = 0,15; p(A B) = 0,03 p(A B) = 0,10 + 0,15 - 0,03 = 0,22
Ejemplo
La prevalencia de infarto cardíaco para hipertensos es del 0,3%
y para no hipertensos del 0,1%. Si la prevalencia de hipertensión
en una cierta población es del 25% ¿Cuál es la prevalencia del infarto
en esa población?
A1 = {ser hipertenso} A2 = {no serlo} estos sucesos constituyen una partición B = {padecer infarto} datos: p(B|A1) = 0,003; p(B|A2) = 0,001; p(A1) = 0,25
evidentemente p(A2) =0,75
p(B) = 0,003x0,25 + 0,001 x 0,75 = 0,0015
Teorema de Bayes
Si los sucesos Ai son una partición y B un suceso tal que p(B) ≠ 0
Diagnóstico médico (en general clasificaciones no biunívocas):
El diagnóstico consiste en establecer la enfermedad de un paciente,
a partir de una serie de síntomas. Pero los síntomas y las enfermedades
no están ligados de un modo biunívoco.
Llamemos Ei al conjunto de enfermedades
E1: tuberculosis pulmonar;
E2 :cáncer de pulmón;
E3: bronquitis obstructiva; etc.
Ei
y Sj a los síntomas y síndromes asociados con las mismas.
S1: tos;
S2: estado febril;
S3: hemotisis; etc
Sj
La información accesible en los libros de patología, o en un archivo de
historias clínicas es del tipo.
Para E1: algunos (digamos el 20%) tienen hemotisis;
muchos (80%) tienen tos; etc.
y lo mismo para las demás enfermedades.
En términos de probabilidad condicionada, esta información es
p(S3|E1) = 0,2; p(S1|E1) = 0,8 etc.
Para diagnosticar la tuberculosis se ha de evaluar, para los síntomas que
presenta el paciente p(E1|Si) para lo que se puede usar el teorema de Bayes
si las enfermedades forman una partición (son mutuamente excluyentes
y se consideran todas las enfermedades compatibles con el síntoma) y
se conocen sus prevalencias.
Nótese que un mismo conjunto de síntomas podría dar lugar a un diagnóstico
diferente en poblaciones en las que las prevalencias fueran diferentes.
Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente,
del total de las piezas producidas en una fábrica. Los porcentajes de producción
defectuosa de estas máquinas son del 3%, 4% y 5%.
a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa
b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad
de haber sido producida por la máquina B.
c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada pieza
defectuosa?
Solución:
Sea D= "la pieza es defectuosa" y N= "la pieza no es defectuosa".
La información del problema puede expresarse en el diagrama de árbol adjunto.
a. Para calcular la probabilidad de que la pieza elegida sea defectuosa,
P(D), por la propiedad de la probabilidad total,
P(D) = P(A) · P(D/A) + P(B) · P(D/B) + P(C) · P(D/C)
= 0.45 · 0.03 + 0.30 · 0.04 + 0.25 · 0.05 = 0.038
b. Debemos calcular P(B/D). Por el teorema de Bayes,
c. Calculamos P(A/D) y P(C/D), comparándolas con el valor de P(B/D) ya calculado.
Aplicando el teorema de Bayes, obtenemos:
La máquina con mayor probabilidad de haber producido la pieza defectuosa es A
TÉCNICAS COMBINATORIAS
Los métodos para determinar cuantos subconjuntos se pueden obtener
de un conjunto de objetos de denominan técnicas combinatorias.
En ocasiones el trabajo de enumerar los posibles sucesos que ocurren
en una situación dada se convierte en algo difícil de lograr o, simplemente,
tedioso. El análisis combinatorio, o cálculo combinatorio, permite enumerar
tales casos o sucesos y así obtener la probabilidad de eventos más complejos.
En el caso de que existan más de un suceso a observar, habría que contar
el número de veces que pueden ocurrir todos los sucesos que se desean
observar, para ello se utiliza el principio fundamental de conteo:
Si un suceso se puede presentar de n1 formas, y otro se puede presentar de
n2 formas, entonces el número de formas en que ambos sucesos pueden
presentarse en ese orden es de n1·n2.
principio fundamental de conteo:
En otras palabras, basta multiplicar el número de formas en que se pueden
presentar cada uno de los sucesos a observar.
Este principio nos remite automáticamente al factorial de un número natural
El factorial de un número n, denotado n!, se define como:
Ahora, n es muy grande el proceso de cálculo se vuelve tedioso y muy cargado,
incluso para una computadora, por lo que se utiliza la aproximación de Stirling a n!:
donde e2.71828..., que es la base de los logaritmos neperianos.
En Excel existe la función FACT(n) que calcula el factorial de un número entero
no negativo n.
En el análisis combinatorio se definen las permutaciones, con o sin repetición,
y las combinaciones.
Permutaciones (u ordenaciones) con repetición
Las permutaciones son también conocidas como ordenaciones, y de hecho toman
este nombre porque son ordenaciones de r objetos de n dados. En este curso
las representaremos como ORnr ó nORr
Por ejemplo: Sea A={a,b,c,d}, ¿cuántas "palabras" de dos letras se pueden obtener?
Se pide formar permutaciones u ordenaciones de 2 letras, cuando el total de letras es 4.
En este caso r=2 y n=4.
Las "palabras" formadas son: aa, ab, ac, ad, ba, bb, bc, bd, ca, cb, cc, cd, da, db, dc, dd.
En total son 16.
En general, si se toman r objetos de n, la cantidad de permutaciones u ordenaciones
con repetición obtenidas son:
ORnr = nORr = n r
Permutaciones (u ordenaciones) sin repetición
En este caso, a diferencia del anterior, se realizan ordenaciones de r objetos de n dados
atendiendo a la situación de cada objeto en la ordenación. Su representación será.
Pnr ó nPr.
Por ejemplo: Sea el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántas ordenaciones sin repetición
se pueden obtener?
Lo que resulta es: ab, ac, ad, ba, bc, bd, ca, cb, cd, da, db, dc. Son 12 en total.
En general, si se toman r objetos de un total de n, la cantidad de permutaciones
Pnr = nPr =
El Excel cuenta con la función PERMUTACIONES(n,r) que realiza el cálculo.
Combinaciones
Es una selección de r objetos de n dados sin atender a la ordenación de los mismos.
Es decir, es la obtención de subcojuntos, de r elementos cada uno, a partir de un
conjunto inicial de n elementos. La denotaremos con
Cnr, nCr ó
Por ejemplo: Si tomamos el mismo conjunto A={a,b,c,d}, ¿cuántos subconjuntos
de 2 elementos cada uno se pueden obtener?
Haciéndolos se obtienen: {a,b}, {a,c}, {a,d}, {b,c}, {b,d}, {c,d}.
Son seis los subconjuntos
En general, si de n objetos dados se hacen combinaciones de r objetos cada una,
el número de combinaciones obtenidas son:
o, que es lo mismo,
Cnr = nCr =
Teorema del binomio o Binomio de Newton:
El teorema del binomio, o Binomio de Newton por haber sido éste quien propuso
el método general para su desarrollo, es un binomio elevado a una potencia n,
que en su caso más simple es un número natural.
En términos generales, el teorema del binomio establece que para
"a,bЄR y n Є N, se tiene que:
Para el caso concreto de esta presentación, se cambiará la notación y se utilizará
la propiedad de conmutatividad de los números reales: