geometría, estadística y probabilidad

Geometría, estadística y probabilidad
Objetivos de aprendizaje • Identifica la circunferencia y el círculo con sus elementos, para
valorarlos en la construcción de figuras circulares. • Identifica poliedros regulares y sus características para representarlos
en estructuras del entorno. • Emplea las medidas de tendencia central de datos agrupados en
situaciones estadísticas. • Identifica variables aleatorias en eventos probabilísticos, valorando su
importancia para la solución de situaciones del contexto. • Analiza datos probabilísticos realizando los cálculos necesarios.
204 Unidad 3 • Geometría, estadística y probabilidad
Todos los derechos reservados - Prohibida su reproducción
© Santillana S. A. Prohibida su fotocopia. Ley de Derechos de Autor n.° 15/1994.
Verificar el estado de los neumáticos de un automóvil y usar el tipo adecuado para cada vehículo pueden disminuir en gran número la tasa de accidentes viales. Para seleccionar el tipo adecuado de neumático, es necesario observar el código que tienen, ya que este describe sus características. En cuanto a su estado, se debe verificar periódicamente que los cuatro estén bien equilibrados y con las presiones de inflado correctas.
Punto de partida De acuerdo con un estudio del Comisariado Europeo del Automóvil (CEA), el precio y la marca son los factores que más buscan los consumidores al comprar neumáticos; sin embargo, comprar los neumáticos que más se ajusten a las necesidades en función del uso del vehículo debería ser el factor número uno a la hora de tomar esta decisión.
• Sergio compró un neumático cuyo código es 235/55R17. Representa en un dibujo este neumático; luego calcula la longitud de su su diámetro total (DT). Recuerda que 1 pulg = 2,52 cm y 1 cm = 10 mm.
• Contesta oralmente. ¿De qué manera crees que se llevó a cabo el estudio estadístico que arrojó los datos anteriores?
¿Qué aprenderás? • Elementos de la circunferencia.
• Ángulos de la circunferencia.
55
Es el alto. Significa que mide el 55% del ancho; es decir, 55% de 195.
16
Se refiere al diámetro en pulgadas.
Cuando utilizas un dibujo para explicar los datos de un problema, estás desarrollando la habilidad de representar.
195/55R16
¿Qué aprendiste? Evaluación sumativa¿Qué recuerdas?
Evaluación diagnóstica
1 La expresión OB CB significa que
A. OB es paralela a CB .
B. OB es perpendicular a CB .
C. OB y CB miden igual.
D. OB y CB se intersecan en el punto C.
2 La recta perpendicular a un segmento en su punto medio se denomina
A. Altura.
B. Bisectriz.
C. Mediana.
D. Mediatriz.
3 Si se biseca un ángulo recto, la medida de cada uno de los ángulos resultantes es igual a
A. 30º.
B. 45º.
C. 90º.
D. 180º.
4 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 4 cm y 3 cm, ¿cuál es la medida de la hipotenusa, en centímetros?
A. 5.
B. 6.
C. 7.
D. 25.
5 De acuerdo con la figura siguiente, ¿cuál es el valor de h?
6 cm h
A. 10 cm.
B. 14 cm.
C. 100 cm.
D. 196 cm.
6 Si los catetos de un triángulo rectángulo miden 9 cm y 12 cm, ¿cuál es el perímetro de ese triángulo, en centímetros?
A. 15.
B. 21.
C. 27.
D. 36.
A
B
D
F
I
C
G
E
8 Si la figura presenta simetría axial respecto al eje e, entonces dos puntos homólogos son
A. A y E.
B. B y C.
C. C y F.
D. D y H.
Observa la siguiente distribución de frecuencias para contestar las preguntas 8, 9 y 10.
Distribución de frecuencias de los estudiantes de un colegio, según el nivel que cursan
Nivel Frecuencia absoluta
A. 0,16.
B. 0,24.
C. 0,36.
D. 1,00.
9 ¿Cuántos estudiantes hay matriculados en los tres niveles de premedia?
A. 103.
B. 197.
C. 260.
D. 300.
10 ¿Qué porcentaje de los estudiantes de premedia de este colegio están en noveno grado?
A. 26%.
B. 24%.
C. 40%.
D. 60%.
12 ¿Cuál es el artículo más vendido en la tienda?
A. camisas.
B. corbatas.
C. pañuelos.
D. pantalones.
Resuelve el siguiente problema.
12 Las pulgadas de una pantalla corresponden a la medida de la diagonal de la pantalla, como se muestra en la imagen. ¿De cuántas pulgadas es una pantalla si su largo mide 18 pulg y su ancho 11 pulg?
Distribución, por cantidad, de los artículos más vendidos en una tienda para caballeros
camisas pantalones corbatas calcetines pañuelos
4%
37%
11%
20%
28%
Conceptos
1. Ángulos en una circunferencia
Elementos de una circunferencia Joaquín quiere dibujar una forma circular en una obra de arte. Para determinar el espacio que utilizará, hace un dibujo en la pared solamente con ayuda de los implementos que se muestran a la derecha.
• Luego de dibujar la circunferencia en la pared, Joaquín observa que su radio mide 30 cm. Con base en lo anterior, marca con un el dibujo que la representa; en caso contrario, marca con una .
• Explica cómo crees que fueron utilizados los implementos para dibujar la circunferencia.
La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos del plano que están a igual distancia de un punto fijo llamado centro (O en la figura).
El círculo es la superficie formada por la circunferencia y los puntos que se hallan en el interior de esta.
Algunos de sus elementos son los siguientes:
N Radio (OC). Segmento que une el centro con un punto cualquiera de la circunferencia.
N Cuerda (FI). Segmento que une dos puntos de la circunferencia.
N Diámetro (JD). Cuerda que pasa por el centro de la circunferencia.
N Secante (AB) )
N Tangente (EK) )
. Recta que corta a la circunferencia en un único punto. Es perpendicular al radio en el punto de tangencia.
N Arco (GH)7 . Sección de la circunferencia comprendida entre dos puntos de ella.
N Semicircunferencia (JD)7 . Arco correspondiente a la mitad de una circunferencia.
15 cm
30 cm
60 cm
I J
Recuerda El diámetro de una circunferencia mide el doble de un radio de esa misma circunferencia.
r d d = 2 • r
r d 2=

R. T.: Primero clavó uno de los clavos, luego ató con cuerda el lápiz al clavo y después
dibujó la circunferencia.
Actividades Evaluación formativa
Identifica el nombre del segmento marcado con rojo en cada circunferencia de centro O. Marca su nombre con un .
1. Cuerda
Representa en la circunferencia de centro O los elementos solicitados.
3. Radio OD.
O
Representa los elementos indicados en los ejercicios del 9 al 14. Usa la circunferencia de centro O.
9. Un radio OH
10. Una cuerda HK
11. Un diámetro KP
14. Una recta tangente en K.
Indicador de logro Reconoce los elementos de una circunferencia.
O
D
Verifica si cada afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Escribe V o F, según corresponda. Luego, justifica tu respuesta.
15. La circunferencia contiene todos los puntos del círculo.
Justificación:
Justificación:
17. El círculo contiene todos los puntos de la circunferencia.
Justificación:
18. El radio es la cuerda de menor longitud en una circunferencia.
Justificación:
19. El radio contiene solo un punto de la circunferencia.
Justificación:
20. Una recta tangente a una circunferencia es perpendicular a cualquier cuerda en el punto de tangencia.
Justificación:
21. Una recta puede cortar a una circunferencia en tres puntos distintos.
Justificación:
22. Las rectas secantes a una circunferencia pasan solo por un punto de la circunferencia.
Justificación:
23. La medida del diámetro de una circunferencia es igual a la mitad de la medida del radio.
Justificación:
24. La máxima longitud que puede alcanzar una cuerda es la del diámetro de la circunferencia.
Justificación:
Representa cada situación descrita mediante un dibujo.
25. María dibujó una circunferencia. En ella trazó el radio OA, el diámetro BC perpendicular al radio y la cuerda DE paralela al diámetro.
26. Elías trazó una circunferencia de radio OH. En ella dibujó la cuerda PQ perpendicular al radio OH y la recta secante PH .
Falso, porque no contiene los puntos del interior de la circunferencia.
Verdadero, porque los puntos de la circunferencia equidistan del centro.
Verdadero, porque contiene todos los puntos de la circunferencia y además su interior.
Falso, porque el radio no es una cuerda.
Verdadero, porque el otro extremo es el centro de la circunferencia.
Falso, solo es perpendicular al radio.
Falso, la puede cortar en dos puntos como máximo.
Falso, pasan por dos puntos de la circunferencia.
Falso, el diámetro mide el doble del radio.
Verdadero, el diámetro es la cuerda de mayor longitud en una circunferencia.
B
C
O
Resuelve los siguientes problemas.
27. La suma de las medidas de un diámetro y de un radio de una misma circunferencia es 120 cm. ¿Cuál es la medida de un radio de esa circunferencia?
28. La suma de las medidas de tres radios de una misma circunferencia es 90 cm; ¿cuál es la medida de un diámetro de esa circunferencia?
29. El esquema adjunto muestra el área mínima de un pasillo que una persona en silla de ruedas requiere para poder maniobrar. Para la construcción de un edificio, dos ingenieros presentaron sus propuestas para los pasillos de la construcción. Si el dueño del local quiere que los pasillos sean aptos para una persona en silla de ruedas, ¿cuál de los diseños de los recuadros verdes seleccionó? (El área celeste representa los pasillos).
100 cm
30 cm
OP = 120 cm.
OT = 160 cm
Evaluación formativa
Detente Usa r para representar la medida del radio. Luego, representa la situación del problema mediate una ecuación.
Cada radio mide 40 cm.
El diámetro mide 60 cm.
La maniobra requiere un diámetro de 130 cm, lo cual se cumple en el diseño del ingeniero Rojas.
211Matemática 8
Conceptos
Ángulo central La torta de cumpleaños de David se cortará en ocho porciones de igual tamaño.
• ¿De qué manera crees que se puede lograr que las porciones sean de igual tamaño? ¿En qué punto del pastel deben coincidir los cortes para lograr porciones de igual tamaño? Explica.
• ¿A qué elemento de una circunferencia corresponderían las líneas de los cortes?
• ¿Cuál debería ser la medida de los ángulos determinados por los cortes? Explica.
Un ángulo central es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados contienen dos radios de ella.
La medida de un ángulo central es igual a la del arco que este subtiende.
ángulo central arco subtendido
Arco que subtiende: AB #
Para trazar un ángulo central de una circunferencia, se pueden dar los siguientes dos pasos:
Paso 1. Con ayuda de un compás, dibuja una circunferencia de centro O.
Paso 2. Usa una regla para trazar dos rayos que intersequen a la circunferencia y tengan su origen en O.
ángulo central
O
Su medida se denota por m AOBB o m BOAB .
Recuerda N En un ángulo los rayos son los lados y el
origen es el vértice.
N Un ángulo subtiende un arco de la circunferencia si este está comprendido entre los lados del ángulo.
Sh ut te rs to ck
Los cortes deben coincidir en el centro de la torta. A partir de este punto deben
hacerse cortes utilizando el mismo ángulo.
Son radios.
Cada ángulo debe medir 45o, ya que es el resultado de dividir 360o entre 8.
Representa gráficamente, en una circunferencia de 2 cm de radio, el ángulo indicado en cada caso. Usa regla y compás.
1. Un ángulo central que subtienda un arco AB , en el
cual mAB 45c= $
, en el
.
Completa la tabla con la notación simbólica correspondiente, de acuerdo a los datos de la circunferencia adjunta.
O A
B C
6. En la figura, QT y RP son diámetros de la
circunferencia de centro C. ¿Cuánto miden PT #
y RT #
7. En la figura se muestra una circunferencia de centro
O, donde m AOB 102cB = , mAD 15c= $
y CBm 125c= $
?
Indicadores de logro Identifica ángulos centrales en una circunferencia. Traza ángulos centrales en una circunferencia.
P
TQ
R
C
Conceptos
Ángulo inscrito Contesta las preguntas con base en la figura de la izquierda.
• ¿Cuál ángulo es mayor, el ángulo central AOBB o el ángulo ACBB ?
• Usa un transportador para medir ambos ángulos. Anota sus medidas.
m AOBB = m ACBB =
• ¿Qué relación observas entre las medidas de estos ángulos?
• Dibuja, en la circunferencia, los ángulos ADBB y AEBB , con C, D y E puntos distintos. Mide estos ángulos. ¿Qué relación observas entre estas medidas y los ángulos anteriores?
• Describe tres características comunes de los ángulos ACBB , ADBB y AEBB .
Un ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados secantes a ella. Su medida es igual a la mitad del arco que subtiende.
ángulo inscrito
arco subtendido
Arco que subtiende: AB #
Para trazar un ángulo inscrito en una circunferencia se pueden dar los siguientes pasos:
Paso 1. Traza una circunferencia con un compás. Marca un punto P de la circunferencia.
Paso 2. Con ayuda de una regla, dibuja dos rayos que corten a la circunferencia y que tengan origen en P.
P
214
Recuerda Una recta es secante a una circunferencia si la interseca en dos puntos.
E
Miden igual que ACBB .
Los tres subtienden el arco AB $
.
Los lados de estos ángulos pertenecen a rectas secantes a la circunferencia.
R. T.:
Completa la tabla con la notación simbólica correspondiente, de acuerdo a los datos de la circunferencia adjunta.
Ángulo inscrito
P U
4. Representa en forma simbólica dos ángulos que NO sean inscritos en la figura del ejercicio anterior.
Representa gráficamente lo que se solicita en cada circunferencia. Usa regla y compás.
5. Traza el ángulo inscrito PQRB . Marca con rojo el arco que subtiende este ángulo.
6. Traza el ángulo inscrito que subtienda el arco CD $
, con mCD 120c= $
7. Traza el ángulo inscrito que subtienda el arco AB $
, donde mAB 60c=
$ .
8. Dibuja el ángulo inscrito que subtiende al arco RS , donde mRS = 90º.
Calcula la medida del ángulo a en cada caso.
9.
a
80°
Indicadores de logro Identifica ángulos inscritos en una circunferencia. Traza ángulos inscritos en una circunferencia.
PQSB
QPTB
PTRB
PTS %
Calcula la medida de los ángulos α y β. Considera O como centro de la circunferencia.
11.
O
B
A
C
58º
α
12.
β
O
A B
+ informados Todos los ángulos inscritos que subtienden el mismo arco tienen igual medida.
C D
O α
β γ
mBα = mBβ = mBγ
Detente En el ejercicio 14 recuerda que la suma de los ángulos internos de todo triángulos es igual a 180o. Toma en cuenta también que en todo triángulo, a lados congruentes se oponen ángulos que son congruentes entre sí.
α = 116o α = 53o
Resuelve los siguientes problemas. Considera O como centro de la circunferencia.
17. Los arcos BC, CD, DE, EF, FG, GH y HI son congruentes. Si mBBAI = 84º, determina la medida de BCOH.
OA
E
F
G
HI
18. En la circunferencia de la figura, mBCBA = 5α – 9 y mBCOA = 2α + 65,2. ¿Cuál es la medida del BCBA?; ¿y del BCOA?
A
O
19. En la figura, ABCDEF es un hexágono regular. ¿Cuál es la medida de α?
O αA
B C
E F
20. En la figura, ΔABC es isósceles. ¿Cuál es la medida de x?
A
B
O
44º
21. Calcula la medida de α y β en la siguiente semicircunferencia.
O AB
C α
Detente Cada ángulo central de un hexágono regular mide 60o.
Conceptos
Ángulo semiinscrito Contesta las preguntas con base en la circunferencia de centro O y diámetro AB , ubicada a la derecha.
• ¿Cuál es la medida de cada uno de los arcos en que AB divide a la circunferencia? Explica tu respuesta.
• Usa un transportador para medir el ángulo ABCB . Anótala.
m ABCB =
• ¿Qué relación hay entre la medida del arco y el ángulo ABCB ?
Un ángulo semiinscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice en la circunferencia, uno de sus lados tangente a la circunferencia y el otro secante a ella. Su medida es igual a la mitad del arco que subtiende.
El ángulo semiinscrito ABCB subtiende el
arco AB #
A
B
C
O
R
Para trazar un ángulo semiinscrito en una circunferencia, se pueden dar los siguientes pasos:
Paso 1. Dibuja una circunferencia de centro O. Coloca la punta del compás en un punto P de la circunferencia. Traza un arco desde P manteniendo la abertura del compás.
Paso 2. Con ayuda de una regla traza el segmento que contiene los puntos O y P y que corte el arco dibujado en Q.
Paso 3. Traza cuatro arcos, dos con la punta del compás en Q, y los otros dos, en O. La abertura del compás debe ser mayor que la usada en el paso 1.
Paso 4. Dibuja la recta que une las intersecciones de esos arcos. Dibuja un rayo con origen en P y que interseque a la circunferencia de centro O en otro punto distinto de P.
O P
O P
O P Q
de la circunferencia.
El ABCB mide la mitad del arco.
adjunta. Anota su representación simbólica.
R S T
O
B
C
A
RT y AC son tangentes a la circunferencia de centro O en S y B, respectivamente.
1.
2.
3.
4.
Representa gráficamente dos ángulos semiinscritos en la circunferencia de abajo. Usa regla y compás. Luego, represéntalos en forma simbólica.
5.
6.
7.
a 43º
Calcula la medida de los ángulos α y β, según corresponda. Considera L1 recta tangente a la circunferencia de centro O.
12.
13.
14.
15. En la figura CD es tangente a la circunferencia de centro O, y mAB $
= 123°. ¿Cuál es la medida de α?
O
α
A
C DB
16. En la circunferencia de centro O se tiene que L1 es tangente y α = 29°. ¿Cuál es la medida de x?
O
L1
x
α
Detente Cada ángulo central de un hexágono regular mide 60o.
α
17. En la circunferencia de centro O se tiene que AB = CB, m CB 7
= 132° y C es punto de tangencia. ¿Cuál es la medida de β?
O
A
B
Cβ
L1
18. En la circunferencia de centro O, m CBOB = 32º. ¿Cuál es la medida del m BACB ?
O A
B
C
19. En la figura AC es tangente a la circunferencia de centro O. Si mBBDC = 70°, calcula la medida del BBCA.
O
A
B
C
D
20. En la circunferencia de centro O, se tiene que la medida mBAOB = 48º. Calcula la medida de α.
O
2. Poliedros regulares
Conceptos iniciales Juan Manuel dibujó los siguientes desarrollos de cuerpos geométricos utilizando únicamente polígonos regulares.
• ¿Cuál cuerpo geométrico se forma con la figura 1? Enciérralo.
• Describe el cuerpo geométrico que seleccionaste.
• ¿Cuál cuerpo geométrico se forma con la figura 3? Enciérralo.
• Describe el cuerpo geométrico que seleccionaste.
Figura 1 Figura 3Figura 2
+ informados Platón, el conocido filósofo y matemático griego, probó que solamente existen cinco poliedros regulares. Por esta razón, estos reciben también el nombre de sólidos de Platón.
Antes de estudiar este tema, observa la información ubicada en el sitio:
http://www.santillana.com.pa/OD/ poliedroM8
Posee seis vértices.
Posee 20 vértices.
Conceptos
Un poliedro es un sólido geométrico limitado solo por superficies poligonales.
Los elementos de un poliedro son:
• Las caras, que son polígonos.
• Las aristas, que son las intersecciones de las caras.
• Los vértices, que son las intersecciones de las aristas.
cara
arista
vértice
Elementos de un poliedro
Los poliedros pueden ser convexos o cóncavos. Un poliedro es convexo cuando todas sus caras son polígonos convexos. En cambio, un poliedro es cóncavo si alguna de sus caras es un polígono cóncavo.
Poliedro convexo Poliedro cóncavo
Los poliedros convexos se clasifican en poliedros regulares y poliedros irregulares.
Los poliedros regulares son aquellos cuyas caras son polígonos regulares congruentes y, además, cumplen la característica de que en cada vértice se interseca el mismo número de caras.
Indicadores de logro Identifica los poliedros regulares. Describe los poliedros regulares.
Poliedro regular Polígono de sus caras
Caras que concurren
en un vértice
Hexaedro regular (cubo) Cuadrado
Octaedro regular Triángulo equilátero
Dodecaedro regular Pentágono regular
Icosaedro regular Triángulo equilátero
5 20 caras 30 aristas 12 vértices
Los poliedros irregulares son aquellos cuyas caras no son todas congruentes o en los cuales no concurre el mismo número de caras por vértice.
Los poliedros regulares son cinco y sus características se describen en la siguiente tabla:
polígono cóncavo
223Matemática 8
Identifica los elementos de los poliedros regulares. Anota el nombre correspondiente.
1. 2.
Identifica los elementos de cada poliedro. Realiza las actividades propuestas.
3. Pinta con rojo dos caras de cada poliedro.
4. Marca con azul cuatro vértices de cada poliedro.
5. Repinta con verde dos aristas consecutivas de cada poliedro.
Clasifica las afirmaciones como verdaderas (V) o falsas (F). Escribe V o F, según corresponda. Luego, justifica tu respuesta.
6. Las caras de todos los poliedros son polígonos regulares.
Justificación:
7. Todas las aristas de un tetraedro regular son congruentes.
Justificación:
Justificación:
Justificación:
Justificación:
11. Las caras de los poliedros regulares son polígonos regulares.
Justificación:
vértice vértice
arista arista
cara cara
Es falso, porque solo los poliedros regulares tienen todas sus caras regulares. F
Es verdadero, porque todas las caras de un tetraedro son triángulos equiláteros congruentes.
V
F
V
F
V
Es falso, porque sus caras son triángulos equiláteros.
Es verdadero, sus caras son triángulos equiláteros.
Es falso, porque sus caras son cuadrados.
R. T.:
Relaciona cada poliedro regular con las características correspondientes.
12.
13.
14.
15.
16.
Identifica cuál poliedro regular se puede construir con cada uno de los siguientes desarrollos. Anota su nombre y dos características de él.
17.
18.
+ informados En los poliedros convexos se cumple la siguiente relación, llamada fórmula de Euler:
C + V = A + 2
C: número de caras
V: número de vértices
A: número de aristas
N Comprueba la fórmula de Euler para los poliedros regulares estudiados.
N Contesta las siguientes preguntas según la información anterior:
a. ¿Cuántos vértices tendrá un poliedro que tiene seis caras y 12 aristas?
b. ¿Cuántas aristas tendrá un poliedro que tiene 12 caras y 20 vértices?
Los cinco poliedros regulares se pueden construir utilizando modelos como los que encontrarás en el siguiente sitio:
http://www.santillana.com.pa/OD/ poliedro2M8
Imprime los modelos y construye los poliedros regulares. Emplea estas construcciones para observar las características de los poliedros estudiados.
Puente con las TIC
Tiene 20caras que son triángulos equiláteros congruentes.
Tiene 30 aristas.
Tiene 12 aristas.
Tiene seis aristas.
Tiene seis vértices.
Dodecaedro
regulares y posee 20 vértices.
Octaedro
8 vértices
30 aristas
225Matemática 8
Conceptos
Área Valeria elaboró dos cajas de cartón de distinto tamaño; una tiene caras cuadradas, y la otra, rectangulares. ¿Cuál de las dos cajas requiere menos papel para ser envuelta completamente?; ¿por qué?
• Calcula el área de cada caja. Para ello, determina el área de cada una de sus caras y luego súmalas.
Caja 1 N
Caja 2 N
• Contesta la pregunta del problema.
Para calcular el área de un poliedro regular, se calcula el área de una de sus caras y luego se multiplica por el número total de caras.
Ejemplos
• Calcular el área de un hexaedro regular de 24,3 cm de arista.
El hexaedro regular tiene seis caras que son cuadrados.
El área de una de las caras es:
A = l2 = 24,32 = 590,49 cm2
Por lo tanto, el área del hexaedro regular es:
6 • 590,49 = 3542,94 cm2
• Calcular el área de un octaedro regular de 8 cm de arista.
El octaedro regular tiene ocho caras que son triángulos equiláteros.
Para calcular el área de una de sus caras, se determina la medida de la altura del triángulo mediante el teorema de Pitágoras:
h2 + 42 = 82
h2 + 16 = 64
h2 = 64 – 16
h ≈ 6,93 cm
Por lo tanto, el área de una de las caras es:
A = b • h
8 • 27,72 = 221,76 cm2
2. Poliedros regulares
A = 700 cm2
A = 600 cm2
La caja 1 requiere menos papel porque su área es menor que la de la 2.
Calcula el área total de cada poliedro regular.
1. Hexaedro regular de 6 dm de arista.
2. Octaedro regular, si el área de una de sus caras es de 27,71 cm2.
3. Dodecaedro regular si el área de dos de sus caras es 3139,2 m2.
4. Tetraedro regular de 12 cm de arista.
5. Octaedro regular, si la suma de las áreas de tres de sus caras es 41,4 pie2.
6. Hexaedro regular, si la diagonal de una de sus caras mide 8 pulg.
Calcula el área de una cara y el área total de cada poliedro regular.
7.
Indicador de logro Calcula el área de poliedros regulares.
Recuerda El área A de un polígono regular se calcula así:
A 2 P ap:=
10. Durante una campaña electoral, uno de los partidos políticos hizo material de propaganda con forma de hexaedro regular. La empresa que confeccionó este material les cobró B/. 1,65 por cada 100 cm2 de cartón que empleara. Si solicitaron 850 hexaedros regulares de 18 cm de arista cada uno, ¿cuánto pagó en total el partido político por ese material?
11. Gilberto confeccionó un octaedro regular de 10 dm de arista. Él forró dos caras de esa figura con papel verde, una con papel rojo, y el resto de las caras, con papel azul. ¿Cuántos decímetros cuadrados del octaedro forró con cada color?
12. Natalia compró dos perfumes con envases distintos, el primero tiene forma de dodecaedro regular, y el segundo, de cubo.
a. Si la medida de la arista del primer envase es de 4 cm y la apotema mide aproximadamente 1,6 cm, ¿cuál es el área total del primer envase?
b. Si la medida de la diagonal del segundo envase es de 18 cm, ¿cuál es el área total del segundo envase?
c. ¿Cuál es el área de las caras laterales del segundo envase?
Pagó B/. 27 264,6 en total.
Usó 350 dm2 de papel verde.
Usó 25 3 dm2 de papel rojo.
Usó 125 3 dm2 de papel azul.
A = 192 cm2
A = 972 cm2
A = 648 cm2
13. Raquel y Mario construyeron, en el colegio, un sólido geométrico cada uno. Raquel confeccionó un dodecaedro regular de 12 cm de arista y 8,26 cm de apotema. Mario hizo un tetraedro regular de 16 cm de arista. ¿Cuál de los dos jóvenes construyó el poliedro con mayor área total?
14. David forró con papel rojo 12 de las caras de una caja con forma de icosaedro regular. Si la arista de la caja mide 12 cm, ¿qué área cubrió David con papel rojo?
15. En un octaedro regular como el de la figura de la derecha, una hormiga recorre una distancia de 12 cm desde el punto de salida al primer vértice que encuentra, ¿cuál es el área total del octaedro?
16. En el octaedro de la actividad anterior, si la hormiga parte del punto de salida y recorre todas las aristas del octaedro, pero sin pasar dos veces por la misma arista, ¿cuántos centímetros avanza en total?
Analiza la información propuesta y contesta las preguntas con base en la información de la derecha.
17. ¿Cuántas caras tiene el cubo truncado?
18. ¿Cuál es el área del triángulo que se forma, en cada esquina de las caras, al recortar el cubo?
19. ¿Cuál es el área del octágono regular que se forma al recortar el cubo, si la apotema mide aproximadamente 3,7 cm?
Un cubo truncado, como el de la derecha, es un poliedro que resulta de cortar las esquinas de un cubo en igual proporción.
5 cm 5 cm
A = 498,83 cm2
14 caras
A = 74 cm2
229Matemática 8
¿Qué aprendiste? Evaluación sumativa¿Qué recuerdas?
Evaluación diagnóstica
A. Pasa por el centro de la circunferencia.
B. Contiene solo un punto de la circunferencia.
C. Contiene dos puntos de la circunferencia.
D. Mide igual que un diámetro.
2 Observa la siguiente figura.
A B
A. BDBE.
B. BABO.
C. BACF.
D. BFOE.
A
C
O
B
En la circunferencia de la figura, en la cual O es el centro, si m AOB = 60°, ¿cuál es m ACB?
A. 30°.
B. 60°.
C. 90°.
D. 120°.
4 Un diámetro de una circunferencia mide 145 m, entonces la medida, en metros, de un radio de esa circunferencia corresponde a
A. 36,25.
B. 72,5.
C. 145.
D. 290.
5 La medida de un ángulo central de una circunferencia es 38°, entonces la medida del arco que subtiende ese ángulo corresponde a
A. 19o.
B. 38o.
C. 76o.
D. 152o.
A
C
B
En la figura, si BC es tangente a la circunferencia en B y mAB
% = 130°, ¿cuál es la mBABC?
A. 65°.
B. 115°.
C. 130°.
D. 230°.
7 Observa la figura.
D
O
B
AC
En la circunferencia, en la cual O es el centro y mBC %
= 104°, ¿cuál es mBACB?
A. 26°.
B. 38°.
C. 76°.
D. 142°.
8 El poliedro regular que posee ocho caras y 12 aristas en total se denomina
A. Tetraedro.
B. Hexaedro.
C. Octaedro.
D. Dodecaedro.
9 Las caras de un dodecaedro regular son polígonos regulares. ¿De qué polígono se trata?
A. Triángulo.
B. Cuadrilátero.
C. Pentágono.
D. Hexágono.
A.
B.
C.
D.
11 12
231Matemática 8
Conceptos
Variables cuantitativas y cualitativas En 2015 el Instituto Nacional de Estadística y Censo (INEC) presentó la 56.ª edición del compendio anual Panamá en Cifras, el cual contiene indicadores nacionales e internacionales correspondientes al periodo 2010-2014, relacionados con aspectos físicos, demográficos, económicos, sociales y ambientales del país.
En el área social, una de las categorías analizadas es “Trabajo y salarios”. Dentro de esta categoría dos de los aspectos que se consideraron son la actividad económica de las personas mayores de 15 años y el sueldo mensual recibido en balboas.
• Anota dos posibles respuestas en relación a la variable “actividad económica”.
• Anota dos posibles respuestas en relación a “sueldo mensual recibido en balboas”.
• Observa que en las respuestas anteriores, unas corresponden a datos numéricos y otras no. Describe dos variables más que correspondan a datos numéricos y dos que no correspondan a datos numéricos.
Datos numéricos
Datos no numéricos
Una variable es una característica de los individuos de la población que es objeto de estudio.
Las variables se clasifican de acuerdo al tipo de valores que pueden tomar.
• Si los valores que toma la variable son numéricos, se llama variable cuantitativa.
Ejemplo
Se preguntó a un grupo de mujeres sobre su edad en años. Dos posibles respuestas son: 25 años y 40 años. La variable “edad en años” es cuantitativa.
• Si los valores que toma la variable no son numéricos, se denomina variable cualitativa.
Ejemplo
Se preguntó a un grupo de personas sobre su grado de escolaridad. Dos posibles respuestas son: primaria completa y universidad completa. La variable “grado de escolaridad” es cualitativa.
En el siguiente sitio puedes observar y descargar los datos de Panamá en Cifras publicados desde 1999 hasta la actualidad:
http://www.santillana.com.pa/OD/ variablesM8
Docente Mecánico
Clasifica las variables. Anota si es cuantitativa o cualitativa.
1. La masa de los miembros de una familia.
2. La calificación de “bueno”, “malo” o “regular” del servicio de transporte público de una comunidad.
3. La posición en que llegan los atletas que participaron en una maratón.
4. Ciudad de procedencia de los estudiantes de una universidad.
5. Dinero promedio semanal, en balboas, que gastan los estudiantes de un colegio en el kiosco.
6. Cantidad de litros de leche que produce por día cada una de las vacas de una granja.
7. Color de cabello de un grupo de personas.
8. Coeficiente intelectual de un grupo de estudiantes.
9. Tiempo, en minutos y segundos, que tardaron los atletas para completar una maratón.
10. Grupo sanguíneo de los pacientes de un hospital.
11. Número de horas extras que trabajan los empleados de una empresa, durante un año.
12. Número de miembros de las familias en una reserva indígena.
Identifica la variable en cada situación. Luego indica de qué tipo es (cuantitativa o cualitativa).
13. Se desea conocer cuál es el rendimien- to de los alumnos de un colegio. Para ello se seleccionan 15 alumnos de cada nivel y se clasificarán en bueno, malo, regular y excelente.
14.
Una fábrica desea estimar qué porcentaje de productos salen defectuosos mensualmente, para lo cual analizarán la calidad de los productos de un día del mes.
15. .
Para conocer qué aerolínea prefieren los panameños, se encuestará a 500 usuarios del servicio.
Indicador de logro Clasifica variables en cuantitativas o cualitativas.
Cuantitativa
Cualitativa
Cualitativa
Cualitativa
Cuantitativa
Cuantitativa
Cualitativa
Cuantitativa
Cuantitativa
Cualitativa
Cuantitativa
Cuantitativa
Clasificación: Cuantitativa
Conceptos
Variables discretas y continuas En un estudio sobre las características de la flota vehicular de una ciudad se analizó, entre otros aspectos, la cantidad de carros que transita cada mañana por una carretera y la velocidad a la que estos se movilizan.
• Marca con un los posibles valores que pudo tomar la variable “cantidad de vehículos que transita por una carretera”. En caso contrario, marca con
10 000
11 203,458935
80008935,5
• Marca con un los posibles valores que pudo tomar la variable “velocidad a la que transitan los vehículos por una carretera”, en kilómetros por hora. En caso contrario, marca con .
70
9085,21
80,6480,52
• Describe qué diferencia observas entre los valores que puede tomar cada una de las dos variables analizadas en el estudio.
Las variables cuantitativas se clasifican en discretas y continuas.
Variable discreta Variable continua
Una variable cuantitativa es discreta si entre cualesquiera dos valores que puede tomar la variable hay, al menos, un valor que no puede tomar.
Una variable cuantitativa es continua si entre cualesquiera dos valores que puede tomar la variable siempre hay otro que también puede tomar.
Ejemplo El “número de hermanos” es una variable discreta, ya que entre dos posibles valores, como 3 y 4 hermanos, no hay otro valor posible (nadie puede tener 3,5 hermanos).
Ejemplo La variable “estatura en metros” es continua, pues si dos valores son 1,68 m y 1,69 m, hay al menos uno entre ellos, como 1,685 m. De igual manera, hay al menos uno entre 1,685 m y 1,69, por ejemplo 1,688, y así sucesivamente.
Recuerda Un número real está comprendido entre otros dos, si es mayor que uno, pero menor que el otro.
3. Variables estadísticas

La segunda variable puede tomar cualquier valor, mientras que la primera solo
puede tomar valores enteros.
1. La masa de 150 sandías.
2. El número de sillas por piso que hay en un edificio.
3. La cantidad de ventanas por aula que hay en un colegio.
4. La cantidad de agua que consume cada familia de un barrio.
5. El número de puntos producidos en un año por un jugador de baloncesto.
6. El número de televisores que se encuentran en un hogar.
7. La edad en años cumplidos de los estudiantes de un grupo de octavo grado.
8. La cantidad de estudiantes que cuentan con beca en una universidad.
9. La cantidad de dinero de las trasferencias de un banco en un día.
10. La superficie boscosa reforestada en un país.
11. El salario mensual de un grupo de familias
Completa, según cada enunciado.
12. Una asociación de desarrollo encuestará a 30 personas del total de vecinos de la comunidad para saber qué es más prioritario construir en el barrio: un hospital o una escuela.
a. Menciona la variable de la investigación.
b. De qué tipo es esta variable.
13. En un centro de salud hicieron un estudio para determinar el estado nutricional de los miembros de la comunidad. Para esto, calcularon el índice de masa corporal de todos los pacientes que asistieron a su cita durante tres semanas. Considera que el IMC se calcula dividiendo la masa corporal de una persona (en kilogramos), entre su estatura al cuadrado (en metros).
a. Menciona la variable de la investigación.
b. De qué tipo es esta variable.
14. En un estudio sobre el turismo de una zona se analizaron, entre otros aspectos, la cantidad de personas que visitan el sitio y su lugar de procedencia.
a. Menciona las dos variables de la investigación y clasifícalas.
b. Escribe dos variables más que se pudieron analizar en este estudio y clasifícalas.
Indicador de logro Clasifica variables cuantitativas en continuas o discretas.
continua
discreta
discreta
continua
discreta
discreta
discreta
discreta
continua
continua
continua
Cualitativa
Cuantitativa continua
Lugar de procedencia, variable cualitativa.
Días de estadía, variable cuantitativa discreta.
Destino favorito de turismo en la zona, variable cualitativa.
R. T.:
235Matemática 8
Conceptos
Media y rango para datos no agrupados El entrenador de un equipo de fútbol registró en una tabla la cantidad de goles marcados en cada partido del campeonato.
Partido 1 2 3 4 5 6 7 8 Cantidad de goles 6 4 2 3 0 1 2 2
El entrenador quiere conocer el promedio de goles. Por eso, suma todos los goles marcados y los divide por la cantidad de partidos jugados.
• Remarca el recuadro del cálculo planteado por el entrenador.
7 6 4 2 3 1 2 2+ + + + + +
8 6 4 2 3 0 1 2 2+ + + + + + +
• ¿Cuál fue el promedio de goles por partido?
• ¿Cuál fue la mayor y la menor cantidad de goles marcados por el equipo en el campeonato?
En una colección de datos no agrupados, la media aritmética o promedio (x) se calcula sumando todos los datos (xn) y dividiendo el resultado por la cantidad de datos de la muestra (n). En ocasiones, esta medida no se encuentra entre los datos de la muestra.
... x n
+ + + +
El rango (R) corresponde a la diferencia entre el dato mayor y el menor.
Ejemplo
• La estatura de diez basquetbolistas (en centímetros) es: 207 - 200 - 205 - 208 - 198 - 210 - 205 - 206 - 208 - 209
,x 10 207 200 205 208 198 210 205 206 208 209
10 2056 205 6= + + + + + + + + + = =
En la muestra, el dato mayor es 210 y el menor, 198, por lo que R = 210 – 198 = 12
• El promedio de estatura de los basquetbolistas es 205,6 cm y la mayor diferencia en sus alturas (rango) es de 12 cm.
4. Datos no agrupados
2,5 goles por partido.
Calcula la media aritmética (x) y el rango (R) para cada grupo de datos. Redondea a la décima si es necesario.
1. 21 - 24 - 36 - 45 -25 27 - 26 - 30 - 29 - 28
2. 2,7 - 3,2 - 2,8 - 2,8 - 3,1 - 2,5 2,2 - 1,5 - 2,2 - 3,9 - 2,6
3. 150 - 160 - 161 - 171 - 178 148 - 155 - 160 - 165
Analiza la situación y luego responde.
Lucía y Francisco participarán en el próximo campeonato de skate. Cada uno registró en una tabla el tiempo de entrenamiento (en horas) durante la última semana antes de las competencias.
Lucía
Tiempo (h) 6,5 4,3 3,2 5,2 4,5
Francisco
Tiempo (h) 6 5,5 4,5 5 3,5
4. En promedio, ¿cuántas horas diarias entrenó cada uno?
Lucía N Francisco N
5. ¿Cuál es el rango de horas de entrenamiento de cada uno?
Lucía N Francisco N
6. ¿Quién entrenó más horas en promedio durante la semana? ¿Se refleja esto en el rango de horas? Justifica tu respuesta.
Verifica si la afirmación es verdadera (V) o falsa (F). Justifica tu respuesta.
7. Si se agrega un dato a una muestra de cinco elementos y promedio 37, el valor del promedio aumenta.
Justificación:
8. Si los datos de una muestra son 4 - 5 - 5 - 6 - 2
- 1 - 12, entonces el dato mayor supera a x R 2+` j.
Justificación:
Calcula el valor de m, de manera que se cumpla la condición dada.
9. 2 - 12 - 15 - 17 - 13 - 19 - 11 - m - 14 - 14 Condición: x = 14,7
10. 3,3 - 3,8 - 2,4 - 2,3 - 3,2 - m - 2,8 Condición: el dato mayor es m y R = 1,2.
Indicador de logro Calcula la media aritmética en diferentes situaciones.
Sh ut te rs to ck
x = 29,1
R = 24
x = 160,9
R = 30
x = 2,7
R = 2,4
Según el dato que se agregue, el
El dato mayor es 12 y x R 2+ = 10,5.
m = 30
m = 3,5
237Matemática 8
Conceptos
Moda para datos no agrupados Analiza la siguiente situación y luego responde.
En la gráfica se representó la cantidad de impresoras tipo A, B o C que fueron vendidas en los últimos 4 meses en una tienda.
Cantidad 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20
Impresoras vendidas Tipo
• En promedio, ¿cuántas impresoras se vendieron?
• ¿Cuál fue el modelo de impresora más vendido? N
• ¿Cuántas de estas impresoras fueron vendidas? N
La moda (Mo) es el dato que tiene mayor frecuencia absoluta. Una muestra puede tener una, dos, varias modas o ninguna.
Ejemplos
• En la tabla se muestra la cantidad de días en que se registraron las temperaturas máximas.
Temperatura (ºC) 30 31 32 33
Cantidad de días 14 66 57 29
Mo = 31 ºC
La temperatura con mayor frecuencia fue de 31 ºC.
• El consumo de electricidad de una familia durante los últimos 10 meses (en kWh) fue: 267 - 279 - 262 - 226 - 298 - 291 - 272 - 276 - 297 - 241. Esta muestra no tiene moda, ya que ningún dato se repite.
Yo opino que Antes de imprimir un documento debes estar seguro de que es realmente necesario hacerlo. Así se evita el consumo excesivo de papel y de tinta.
N ¿Qué tipo de documentos crees que no es necesario imprimir?
7
Identifica si cada grupo de datos tiene moda y escribe su valor cuando sea posible.
1. 3,45 - 3,85 - 2,35 - 2,65 - 3,45 - 3,85 - 2,35 2,35 - 3,85 - 3,85 - 3,65 - 2,65 - 2,25 - 3,85
2. 2 - 6 - 7 - 5 - 4 - 7 - 6 - 2 - 1 - 4 - 5 3 - 5 - 7 - 8 - 7 - 5 - 4 - 1 - 7 - 5
3. 12 - 18 - 19 - 21 - 24 - 15 16 - 20 - 13 - 25 - 10 - 9
Completa la tabla y la gráfica. Luego, determina la moda.
4. Las notas finales de una evaluación se clasificaron de la siguiente forma:
Resultado f Insuficiente 14 Elemental 8 Adecuado
Total 45
:
La cantidad de casas (C) y departamentos (D) arrendados durante un mes en tres sectores (norte,
centro y sur) de una ciudad son los siguientes:
Norte
C - C - D - D - D - C - C - D C - C - C - D - C - D - C - D
Centro
D - C - D - C - D - C - D - C - C D - D - D - D - C - D - D - C - D
Sur
C - C - D - C - D - C - C - C - D D - C - C - C - C - D - D - C - D
6. ¿Cuál es el tipo de habitación (C o D) más arrendado en los siguientes sectores?
a. Norte N
Anota la cantidad. N
7. Al considerar los tres sectores, ¿cuál es el tipo de habitación más arrendado? Anota la cantidad.
Indicador de logro Calcula la moda en diferentes situaciones.
239
No hay moda.
11
C
11
D
9
Conceptos
Mediana para datos no agrupados Los siguientes datos son las notas de los alumnos de los grupos 8.° A y 8.° B de un colegio.
8.° B 4,2 4,4 6,7 6,3 6,4 6,6 4,2 5,3 6,0 6,8 6,5 5,3 4,1 6,8 4,8 6,0 6,0 4,1 4,3 6,0
8.° A 5,6 5,5 4,5 6,3 5,4 5,8 6,4 5,6 5,4 5,3 5,2 5,3 5,8 5,5 4,8 4,9 5,4 5,6 6,7 5,8
• Utiliza una calculadora para determinar el promedio de cada grupo.
8.° A N 8.° B N
• Escribe, de menor a mayor, las notas de cada grupo
• Explica cómo calcularías el dato que se ubica en la mitad de los datos ordenados anteriormente.
Para hacer una descripción general de la distribución de datos cuantitativos se pueden utilizar distintos parámetros estadísticos que sirven para interpretar la información entregada en una tabla o en una gráfica.
La mediana (Me) indica en torno a qué valor del centro se distribuyen los datos. La mediana divide todos los datos en dos partes iguales. Para calcular la mediana, para datos no agrupados, se consideran dos casos:
Cuando el número de datos es impar
Se ordenan los datos en forma creciente y el valor que toma la posición central será la mediana.
Cuando el número de datos es par
Se ordenan los datos en forma creciente y se calcula el promedio entre los dos valores centrales.
Ejemplo
• Si los datos son los siguientes 1,2 - 3,2 - 4 - 2 - 4,5 - 5,6 - 6,7 - 4,3, al ordenarlos de menor a mayor se obtiene: 1,2 - 2 - 3,2 - 4 - 4,3 - 4,5 - 5,6 - 6,7. Como hay ocho datos, la mediana es el promedio entre 4 y 4,3, o sea, 4,15.
+ informados En un grupo de datos la mediana representa un valor tal que el 50% de los datos son menores o iguales que él y el otro 50% son mayores o iguales que él.
Detente Antes de calcular la mediana en un grupo de datos, siempre es necesario ordenarlos de menor a mayor.
5,545,54
8.o A: 4,5 - 4,8 - 4,9 - 5,2 - 5,3 - 5,3 - 5,4 - 5,4 - 5,4 - 5,5 - 5,5 - 5,6 - 5,6 - 5,6 - 5,8 - 5,8 - 5,8 - 6,3 - 6,4 - 6,7
8.o B: 4,1 - 4,1 - 4,2 - 4,2 - 4,3 - 4,4 - 4,8 - 5,3 - 5,3 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,0 - 6,3 - 6,4 - 6,5 - 6,6 - 6,7 - 6,8 - 6,8
Se suman los dos datos centrales y se calcula el promedio de ellos.
Calcula la mediana de las siguientes distribuciones de datos.
1. 2 - 3 - 4 - 5 - 6 - 7 - 8 - 9 - 0 - 6 - 7 - 4 - 2 - 4 - 2
Me N
2. 2,3 - 2,34 - 3,24 - 2,3 - 5,3 - 4 - 3,34 - 1,02 - 0,98 - 3,54 - 2,02 - 3,45 - 1,3 - 4,9
Me N
Calcula la mediana, la moda, la media y el rango de las siguientes distribuciones de datos.
3. 8 - 12 - 14 - 10 - 12 - 14 - 16 - 18 - 10 - 6
Me N
Mo N
x N
R N
4. 2,3 - 4,4 - 2,3 - 4,4 - 8,7 - 7,6 - 5,6 - 7,6 - 2,3
Me N
Mo N
x N
R N
Evalúa si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Justifica en ambos casos.
5. La mediana siempre pertenece al conjunto de datos.
6. En un grupo de 12 datos, la mediana corresponde al sexto dato.
7. Cuando la variable de estudio es cualitativa, es posible calcular la mediana.
Justificación:
Analiza la siguiente información y responde.
Se quiere saber cuántos hermanos y cuántas mascotas tienen los estudiantes de un grupo de 8.° grado de un colegio. Los resultados se registraron de la siguiente forma.
¿Cuántos hermanos tienes?
¿Cuántas mascotas tienes?
2
4
6
8
10
ia
8. En la tabla, ¿cuál es la mediana de los datos?
9. En la gráfica, ¿cuál es la mediana de los datos?
10. En la tabla, ¿cuál es el valor que tienen la frecuencia más alta y la más baja?
11. En la tabla, ¿cuál es la media de los datos?
12. En la gráfica, ¿cuál es la media de los datos?
Indicador de logro Calcula la mediana en diferentes situaciones.
4
3,29
12
12
12
6,4
5,02
2,3
4,4
F
La mediana puede tomar un valor distinto, que no esté en los datos.
F
Como la cantidad de datos es par, la mediana es el promedio entre los datos 6.o y 7.o.
F
Me = 2
Me = 2
La más alta es dos hermanos, y la más baja, un hermano.
x = 1,69
x = 1,5cuantitativa.
241Matemática 8
Distribución de frecuencias para datos agrupados A Daniel le encargaron que elaborara un informe sobre la cantidad de autos que pasan por una carretera entre las 7 a. m. y las 8 a. m. durante 24 días. Él obtuvo los datos siguientes. ¿De qué manera puede resumir esa información en una tabla, si ninguno de los datos se repite?
53 85 64 52
76 60 91 96
81 65 54 78
88 98 66 51
69 75 89 67
97 77 72 90
• ¿Qué tipo de información fue la que recolectó Daniel?
• Si tuvieras que clasificar los datos que obtuvo Daniel en cinco grupos, ¿de qué manera lo harías?
• ¿Cuántos datos tendría cada grupo?
• Elabora una propuesta de tabla que describa los datos de Daniel.
5. Datos agrupados
Glosario Al organizar datos estadísticos, suele pasar que algunos datos se repiten.
N La frecuencia absoluta es la cantidad de veces que se repite un determinado valor de la variable.
N La frecuencia relativa corresponde a la parte del total que representa cada valor de la variable; esta puede expresarse como un número decimal o como porcentaje.
Recuerda La suma de las frecuencias absolutas es igual al total de datos.
La frecuencia relativa se calcula dividiendo cada frecuencia absoluta entre la suma de las frecuencias absolutas. De esta manera, se obtiene la frecuencia como número decimal. Si se desea, se puede expresar también como porcentaje. Por ejemplo: 0,20 = 20%.
Además, las frecuencias relativas se deben redondear de manera que la suma de ellas dé 1 si están expresadas como decimal o 100% si es en porcentaje.
Sh ut
te rs
to ck
Cantidad de autos entre
Frecuencia 4 6 5 4 5
Son los datos correspondientes a una variable cuantitativa discreta.
El primer grupo tendría cuatro datos; el segundo, seis; el tercero, cinco; el cuarto cuatro;
y el quinto, cinco.
Conceptos
Indicador de logro Representa datos en distribuciones de frecuencias para datos agrupados.
Al organizar datos estadísticos, si los datos son muy variados o no se repiten, conviene agruparlos y construir una distribución de frecuencias para datos agrupados.
Por ejemplo, para el problema anterior Daniel podría construir una tabla como la siguente, agrupando los datos en clases:
Cantidad de autos
entre 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99
Frecuencia 4 6 5 4 5
Para construir una distribución de frecuencias con clases se deben dar los siguientes pasos:
1. Se calcula el rango, que es el valor que se obtiene al restar el dato menor del dato mayor.
2. Se elige la cantidad de grupos (las clases) que se desean y se divide el rango entre esa cantidad, con lo cual se obtiene la amplitud (o tamaño) que tendrá cada clase.
3. Se definen los límites de las clases de manera que todas tengan la misma amplitud.
4. Se realiza el conteo de las frecuencias absolutas y luego se calculan las frecuencias relativas.
5. Si es necesario se calculan las marcas de clase. Para esto, se suman el límite inferior y el superior y se divide entre 2.
Ejemplo
Elaborar una distribución de frecuencias para representar los datos siguientes:
Masa, en kilogramos, de los niños atendidos en una clínica
4 13 15 25 22 2 10 15 12 24 12 10 8 17 8 8 18 12 6 21 14 20 12 22 7 22 6 24 14 10
1. Se calcula el rango: 25 – 2 = 23
2. Se determina la amplitud de las clases. En este caso se
harán seis clases: 23 ÷ 6 ≈ 3,8
3. Se redondea la amplitud al entero mayor más próximo. En este caso sería 4.
4. Se definen los límites de las clases. Para esto, se inicia con el menor dato y se suma la amplitud (4) cada vez.
Las clases son:
[2, 6) [6, 10) [10, 14)
[14, 18) [18, 22) [22, 26]
5. Se calculan las frecuencias absoluta y relativa para completar la tabla.
Distribución de frecuencias absolutas y relativas de los niños
atendidos en una clínica según su masa
Masa Frecuencia absoluta
[2, 6) 2 0,07 = 7% (2 + 6) ÷ 2 = 4
[6, 10) 6 0,20 = 20% (6 + 10) ÷ 2 = 8
[10, 14) 8 0,26 = 26% (10 + 14) ÷ 2 = 12
[14, 18) 5 0,17 = 17% (14 + 18) ÷ 2 = 16
[18, 22) 3 0,10 = 10% (18 + 22) ÷ 2 = 20
[22, 26] 6 0,20 = 20% (22 + 26) ÷ 2 = 24
TOTAL 30 1 = 100%
El paréntesis cuadrado indica
redondo que está excluido. La
última clase siempre incluye
Completa la siguiente distribución de frecuencias. Luego contesta las preguntas propuestas.
Distribución de frecuencias absolutas y relativas de los camiones de una empresa según el consumo de combustible (en litros)
Consumo (en litros)
1. ¿Cuántas clases tiene la distribución de frecuencias?
2. ¿Cuál es la amplitud de cada clase?
3. ¿Cuáles son las dos últimas clases en la tabla de distribución de frecuencias? Anótalas en la tabla.
4. ¿Cuáles son dos posibles valores para la variable “consumo de combustible” que se ubican en cada una de las siguientes clases?
a. Clase [11, 14):
b. Clase [26, 29):
5. Completa las columnas correspondientes a las frecuencias absolutas y a las frecuencias relativas en la tabla anterior.
Resuelve las actividades 6 y 7 según la información del siguiente recuadro.
En un grupo de datos numéricos, el mayor valor es 11, y el menor, 3.
6. Calcula el rango para el grupo de datos descrito.
7. Define cinco clases para el grupo de datos. Luego, anota, en la línea correspondiente, la marca de clase (m) de cada una de las clases.
a. , m =
b. , m =
c. , m =
d. , m =
e. , m =
Resuelve las actividades de la 8 a la 12 según los siguientes datos.
Estatura, en centímetros, de 40 estudiantes de octavo grado
142 159 155 148 145
148 163 164 156 165
156 170 168 169 159
163 168 155 168 158
164 172 152 152 154
150 160 168 154 165
144 158 152 168 168
158 154 160 170 171
8. Calcula el rango.
9. Determina la amplitud de clase si se definen 10 clases.
10. Define las 10 clases. Luego, anota, en la línea correspondiente, la marca de clase (m) de cada una de las clases.
a. , m =
b. , m =
c. , m =
d. , m =
e. , m =
f. , m =
g. , m =
h. , m =
i. , m =
j. , m =
11. Completa la distribución de frecuencias. Expresa la frecuencia relativa en números decimales.
12. Responde las siguientes preguntas con base en la información representada en la tabla anterior.
a. ¿En cuál clase se ubica la menor cantidad de estudiantes?
b. ¿En cuál clase se ubica la mayor cantidad de estudiantes?
c. ¿Qué porcentaje de los estudiantes miden entre 160 cm y 163 cm?
d. ¿Cuántos estudiantes miden menos de 160 cm?
e. ¿Qué porcentaje de los estudiantes miden 160 cm o más?
13. Construye una tabla de distribución de frecuencias para el siguiente grupo de datos. Define cinco clases.
Distribución de frecuencias de 40 estudiantes de octavo según su estatura en centímetros
Estatura Frecuencia absoluta
167 159 168 165 150 170 172 159
158 163 156 151 173 175 164 158
153 158 157 164 169 163 160 174
Kilómetros Frecuencia
absoluta Frecuencia
[155, 160) 7 0,29 157,5
[160, 165) 5 0,21 162,5
[165, 170) 4 0,16 167,5
[170, 175] 5 0,21 172,5
TOTAL 24 1
40 1
R. T.:
245Matemática 8
5. Datos agrupados
Media o promedio para datos agrupados En un colegio se pidió a los estudiantes que elaboraran un ensayo, el cual se calificaría con una escala de 1 a 800. La tabla siguiente muestra los puntajes obtenidos por un grupo de 8.o grado en el ensayo.
Puntaje obtenido por un grupo de 8.o grado
Puntaje Marca de clase (MC) Cantidad de estudiantes (f )
[500, 600) 550 12
[600, 700) 650 18
[700, 800] 750 15
• Marca con un la afirmación correcta. En caso contrario marca .
La clase que tiene menor frecuencia absoluta es [500, 600).
El grupo está formado por 45 estudiantes.
15 estudiantes obtuvieron 750 puntos.
Recuerda Para calcular la marca de una clase, primero se suman los extremos de la clase y luego se divide ese total por 2.
Por ejemplo, en la clase [500, 600), la marca de clase es:
2 500 600 550+ =
Conceptos
La media aritmética o promedio (x) de datos agrupados en clases se calcula multiplicando la marca de cada clase (Mc) por su respectiva frecuencia absoluta (fi); luego, se suman estos valores y se divide el resultado por el número total de datos de la muestra (n).
x = Mc1 f1 + Mc2 f2 + Mc3 f3 + … + McN fN
n
N: cantidad de clases fi : frecuencia absoluta de la i-ésima clase n: total de datos
Ejemplo
En el caso de los puntajes obtenidos por los estudiantes, mostrados en la tabla de arriba, la media aritmética es aproximadamente 656,7 puntos y se calcula así.
x = 550 12 + 650 18 + 750 15 45 = 6600 + 11 700 + 11 250
45 = 29 550
1. Explica, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular la media aritmética en un conjunto de datos agrupados.
Interpreta la información de las tablas. Luego, complétalas y responde las preguntas.
Notas obtenidas por el grupo 8.o A
Nota Marca de clase (Mc) Frecuencia
[2,0; 3,0) 4
[3,0; 4,0) 5
[4,0; 5,0) 6
[5,0; 6,0) 8
[6,0; 7,0] 4
Nota Marca de clase (Mc) Frecuencia
[2,0; 3,0) 2
[3,0; 4,0) 7
[4,0; 5,0) 5
[5,0; 6,0) 5
[6,0; 7,0] 6
2. ¿Cuál es la media aritmética (x) de los datos representados en cada tabla?
3. ¿Cuál de los dos grupos obtuvo un promedio más alto?
Analiza la siguiente información. Luego, completa la tabla de frecuencias y responde. En la siguiente tabla se representa la cantidad de personas que visitaron una exposición de arte en el museo de una ciudad durante 40 días.
Cantidad de personas que visitaron una exposición en el museo
Cantidad de personas
[100, 118) 6
[118, 136) 10
[136, 154) 12
[154, 172) 10
[172, 190] 2
4. ¿Cuál es la media aritmética (x) de los datos representados en la tabla?
5. Si en promedio visitan 100 personas diariamente el museo, ¿qué se puede concluir respecto a esta exposición?
Indicador de logro Calcula la media aritmética para datos agrupados.
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
2,5
3,5
4,5
5,5
6,5
promedio usual.
Primero se multiplica la marca de cada clase por su respectiva
frecuencia; luego, se suman estos valores y se divide el
resultado por el número total de datos de la muestra (n).
247Matemática 8
Moda para datos agrupados En la tabla de la izquierda se describe la edad, en años cumplidos, de los pacientes atendidos en una clínica durante una semana. Analiza esa información y contesta la siguiente pregunta.
• Si se define la clase modal como la que tiene mayor frecuencia, ¿cuál es la clase modal en el grupo de datos de la tabla? Explica qué significado tiene este resultado en el contexto de los datos mostrados.
5. Datos agrupados
en una clínica durante una semana
Edad Frecuencia
Conceptos
Para determinar la moda (Mo) en un conjunto de datos agrupados en clases, se pueden dar los siguientes pasos:
1. Identificar la clase modal [a, b), que es la clase con mayor frecuencia absoluta (f).
2. Utilizar la expresión Mo = a + (b − a) • f fa fa + fs
p, donde:
fa = frecuencia de la clase modal – frecuencia de la clase anterior, y
fs = frecuencia de la clase modal – frecuencia de la clase siguiente.
Ejemplo
En el caso de los puntajes obtenidos por los estudiantes, mostrados a la derecha, la moda se calcula así.
• Clase modal: [600, 700)
• Frecuencia anterior: 12
• Frecuencia siguiente: 15.
Por lo tanto, la moda se calcula con la siguiente fórmula:
Mo = 600 + (700 − 600) 18 − 12 (18 − 12) + (18 − 15)
≈ 667
Puntaje Cantidad de estudiantes (f )
[500, 600) 12
[600, 700) 18
[700, 800] 15
La clase modal es [60, 85).
Significa que del total de pacientes atendidos, se presentaron más en edades
comprendidas entre 60 y 85 años.
Indicador de logro Calcula la moda para datos agrupados.
1. Explica, con tus propias palabras, el procedimiento para calcular la moda en un conjunto de datos agrupados.
Interpreta la información de las tablas. Después, responde las preguntas.
Masa corporal, en kilogramos, de los estudiantes del grupo 8.o A
Masa Frecuencia
[50, 60) 6
[60, 70) 12
[70, 80) 8
[80, 90) 4
[90, 100] 2
Masa corporal, en kilogramos, de los estudiantes del grupo 8.o B
Masa Frecuencia
[50, 60) 4
[60, 70) 10
[70, 80) 12
[80, 90) 5
[90, 100] 1
2. ¿Cuál es la moda en las masas de los estudiantes del 8.o A?
3. ¿Cuál es la moda en las masas de los estudiantes del 8.o B?
4. Anota dos conclusiones con base en los resultados de la moda.
Analiza la siguiente información. Luego, responde las preguntas. En la siguiente tabla aparecen los salarios mensuales, en miles de balboas, de 94 familias de una comunidad.
Ingreso mensual, en miles de balboas, de 94 familias de una comunidad
Ingreso mensual Frecuencia
[0,4; 0,8) 26
[0,8; 1,2) 32
[1,2; 1,6) 14
[1,6; 2) 14
[2; 2,4] 8
5. ¿Cuál es la moda de los datos representados en la tabla?
6. Anota una conclusión relacionada con el cálculo de la moda.
Primero se identifica la clase modal [a, b). Luego, se usa la
expresión Mo = a + (b − a) • f fa fa + fs
p , donde:
fs = frecuencia clase modal – frecuencia clase siguiente.
Mo = 66
Mo = 72,2
En el 8.o A, la masa corporal que más se repitió fue 66 kg.
En el 8.o B. la masa corporal que más se repitió fue 72,2 kg.
Mo = 0,9
El ingreso mensual que más se repite es B/. 900.
249Matemática 8
Mediana para datos agrupados Los datos de la izquierda corresponden a la masa corporal, en kilogramos, de 24 estudiantes de octavo grado. • Ordena los datos en forma creciente. Encierra los dos datos que se ubican en la mitad y
calcula su media aritmética (x).
• Completa la siguiente distribución de frecuencias. Usa cuatro clases.
Masa corporal de estudiantes de 8.o grado
Masa (kg) Frecuencia absoluta (f ) Frecuencia acumulada (F)
57 - 57 - 60 - 62 - 63 - 68 - 72 - 70 - 67 - 72 - 64 - 65
55 - 56 - 55 - 56 - 56 - 72 - 70 - 60 - 50 - 66 - 74 - 67
5. Datos agrupados
Recuerda La frecuencia acumulada (F) es la suma de las frecuencias absolutas de los valores menores o iguales a un valor determinado.
Conceptos
Para calcular la mediana (Me) de datos agrupados en clases se pueden dar los siguientes pasos:
1. Identificar el total de datos n.
2. Buscar la primera clase [a, b) en la que la frecuencia acumulada F sea mayor a n
2 .
Me = a + (b − a) • f n 2
− Fa
f p
Fa es la frecuencia acumulada anterior a la clase en estudio y f es la frecuencia absoluta de la clase en estudio.
Ejemplo
En el caso de las masas corporales de los estudiantes, presentada en la actividad de arriba, la mediana (Me), para los datos agrupados, se calcula así:
• Se identifica el total de datos. N n = 24.
• Se busca la primera clase [a, b) en la que la frecuencia acumulada F sea mayor a n
2 . N [62, 68)
a = 62
b = 68
n = 24
Fa = 10
f = 7
− 10
Por lo tanto, la mediana es aproximadamente 63,71 kg.
50 - 55 - 55 - 56 - 56 - 56 - 57 - 57 - 60 - 60 - 62 - 66 - 64 - 65 - 66 - 67 - 67 - 68 - 70 - 70 - 72 - 72 - 72 - 74
x = 63,5 kg
Indicador de logro Calcula la mediana para datos agrupados.
Analiza la información, completa la tabla y realiza las actividades 1 y 2. La siguiente distribución de frecuencias resume la información obtenida de la medición del coeficiente intelectual (CI) en 65 niños.
Medición del coeficiente intelectual en 65 niños
Coeficiente intelectual (CI)
1. Calcula la mediana (Me) de los datos.
2. Clasifica las afirmaciones en falsas y verdaderas. Para ello, marca con las verdaderas y con las falsas.
a. El 50% de los niños del estudio tiene un coeficiente intelectual igual a la mediana.
b. El 50% de los coeficientes intelectuales de los niños del estudio es igual o mayor que el valor de la mediana.
Analiza la siguiente información y luego resuelve las actividades 3 y 4. En un gimnasio se implementará un programa de acondicionamiento físico. Para proporcionar el mejor tipo de entrenamiento, se preguntó a algunos de los clientes que asisten en el horario matutino por su tiempo de entrenamiento diario (medido en minutos). Los resultados se ven reflejados en la siguiente gráfica.
Tiempo de entrenamiento (min)
3. Calcula la mediana (Me).
4. Escribe una conclusión con base en el resultado de la mediana.
Detente La gráfica anterior se llama histograma y se emplea para representar conjuntos de datos agrudados.
En el eje horizontal se muestran las clases; por ejemplo, la primera es [0, 12).
En el eje vertical se ubican las frecuencias; por ejemplo, la frecuencia de la primera clase es 25.
Me = 107,05
Me = 31,5
31,5 minutos diarios o más.
3
17
39
58
65
Conceptos iniciales En una actividad para reunir fondos para el viaje de fin de año, un grupo de octavo grado ideó un juego de ruleta en el que se entregarán premios por participar.
• ¿Cuáles son los posibles resultados al hacer girar la ruleta?
Azul, , amarillo, y
.
• Si el premio mayor se entrega cuando la ruleta cae en el color verde, ¿cuántas posibilidades de ganar tiene una persona?
• Una persona afirma que es seguro que al hacer girar la ruleta, el color que saldrá será azul o rojo. ¿Es correcta esta afirmación? Justifica.
6. Probabilidad Juego de la ruleta
Observación: la ruleta está dividida en 12 sectores circulares congruentes.
Recuerda N Un experimento aleatorio es aquel en el
que no se puede determinar con certeza su resultado.
N Un experimento determinístico es aquel en el que es posible predecir lo que ocurrirá.
Conceptos
El espacio muestral (Ω) es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.
Ejemplo
Si el experimento es lanzar un dado, el espacio muestral asociado a la cantidad de puntos de cada cara es:
Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6},
donde la cardinalidad (#); es decir, la cantidad de elementos del espacio muestral es 6:
# Ω = 6
Un suceso o evento (E) es un subconjunto del espacio muestral de un experimento aleatorio.
Existen distintos tipos de sucesos.
Suceso seguro. Está compuesto por todos los elementos del espacio muestral. Por ejemplo E: obtener un número menor que 7 en el lanzamiento de un dado. E = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
Suceso imposible. El suceso no tiene elementos del espacio muestral. Por ejemplo E: obtener un número mayor que 10 en el lanzamiento de un dado. E = ∅.
Suceso probable. Está compuesto por uno o varios elementos del espacio muestral, pero no por todos. Por ejemplo E: obtener un número par en el lanzamiento de un dado. E = {2, 4, 6}.
Glosario Simbología matemática
∅ conjunto vacío
rojo gris
verde
Solo una, ya que solamente un sector de los 12 es verde.
No es correcta la afirmación; ambos son eventos probables pero no seguros.
Indicadores de logro Identifica el espacio muestral de un experimento aleatorio. Clasifica experimentos en seguros, probables e imposibles.
Clasifica los siguientes sucesos en seguro, probable o imposible. Para ello, considera el experimento aleatorio de extraer al azar una esfera de la caja.
1 3
6 87 9 10 2 4 5
1. Extraer una esfera de color verde con un número menor que 6.
2. Extraer una esfera verde con un número mayor que 10.
3. Extraer una esfera de cualquier color con un número mayor o igual que 1 y menor que 11.
Identifica el espacio muestral de los siguientes experimentos aleatorios y luego escríbelo.
1 2 4
73
Ω = {
Ω = {
Ω = {
Identifica el espacio muestral y la cardinalidad de cada uno de los siguientes experimentos.
7. Tomar, al azar, una esfera de una bolsa en la que hay una esfera amarilla, una roja, una azul, una verde y una naranja, para ver de qué color es.
8. Sacar, al azar, un lápiz de una bolsa en la que hay tres lápices rojos, cuatro amarillos, cinco verdes y uno morado.
Identifica los elementos de cada suceso.
9. Lanzar un dado y obtener número impar.
10. Lanzar dos monedas al aire y obtener cara en la primera.
Calcula la cardinalidad del espacio muestral para cada uno de los siguientes experimentos.
11. Tirar dos dados para ver cuánto suman los números de las dos caras.
12. Lanzar simultáneamente tres monedas para observar qué cara de ellas cae.
13. Claudia tiene dos blusas: una azul y otra verde. Además, posee tres faldas: una roja, una negra y otra violeta. ¿De cuántas formas diferentes puede Claudia vestirse con estas prendas?
14. Un médico general clasifica a sus pacientes de acuerdo a su sexo (masculino o femenino) y su tipo de sangre (A, B, AB, O). ¿De cuántas formas puede clasificar a los pacientes?
4.
5.
6.
problable
imposible
seguro
1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}
Ω = {amarilla, roja, azul, verde, naranja} #Ω = 5
Ω = {rojo, amarillo, verde, morado} #Ω = 4
#Ω = 36
#Ω = 8
Cálculo de la probabilidad Un experimento aleatorio consiste en lanzar cuatro monedas al aire y observar si se obtiene cara o sello.
• Escribe todos los elementos del espacio muestral del experimento.
Ω = {(C, C, C, C), (C, C, C, S), , ,
, , , ,
, , , ,
, , , }
• ¿Cuántos elementos del espacio muestral cumplen con la condición de obtener al menos una cara?
6. Probabilidad
+ informados Algunas propiedades en el cálculo de la probabilidad P de ocurrencia de un suceso A son:
N 0 G P(A) G1
N Si A es un suceso imposible, P(A) = 0.
N Si A es un suceso seguro, P(A) = 1.
Conceptos
Si en un experimento aleatorio el espacio muestral está compuesto por un número finito de sucesos y todos ellos tienen la misma probabilidad de ocurrencia, entonces se puede calcular la probabilidad de ocurrencia mediante la regla de Laplace.
La regla de Laplace establece que la probabilidad de ocurrencia de un suceso E es el cociente entre la cantidad de casos favorables y la cantidad de casos posibles.
P(E) = Cantidad de casos favorables Cantidad de casos posibles
= #E #Ω
La probabilidad de un suceso se puede expresar como una fracción, como un número decimal o como un porcentaje.
Ejemplos
N Al lanzar un dado de seis caras y observar el puntaje de la cara superior, la probabilidad del suceso A: “obtener el número 5” es:
P(A) = Cantidad de casos favorables Cantidad de casos posibles
= 1 6
N La probabilidad de obtener un sello al lanzar una moneda es de 1
2 o de 0,5 o de un 50%.
Sh ut
te rs
to ck
S, C, C, S
C, S, C, S
S, C, C, C
C, S, S, C
S, C, S, C S, C, S, S
S, S, C, C S, S, S, SS, S, C, S S, S, S, C
15 de los 16 posibles resultados.
Indicador de logro Aplica el cálculo de probabilidades en distintas situaciones.
1. Interpreta la información de la tabla y luego complétala.
Cantidad de casos favorables de los sucesos
Experimento aleatorio Cantidad de casos posibles
A: obtener un número
de trébol.
Sacar una carta de una baraja inglesa, en la que no se consideran las
cartas con las letras A, J, Q y K.
Analiza la siguiente situación y responde las preguntas. Se extrae una ficha al azar de una bolsa que contiene siete fichas rojas, tres azules y cinco negras.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha sea roja?
3. ¿Cuál es la probabilidad de que la ficha sea azul o negra?
Calcula la probabilidad de ocurrencia de los siguientes sucesos.
4. Obtener un múltiplo de 3 al lanzar un dado.
5. Obtener dos caras al lanzar dos monedas.
6. Obtener un as de corazón de una baraja inglesa completa.
7. Obtener un 8 de una baraja inglesa completa.
D Baraja inglesa
+ informados La baraja inglesa es un conjunto de cartas, compuesto por 52 unidades repartidas en cuatro palos (espadas, corazones, diamantes y tréboles). Cada palo está formado por 13 cartas, de las cuales nueve son numerales (numeradas de 2 a 10) y cuatro literales (contienen las letras A, J, Q y K).
Sh ut
te rs
to ck
15 7
15 8
6 2
4 1
1 52
52 4
Analiza la siguiente información y luego resuelve. Se seleccionan todas las cartas de trébol de una baraja inglesa y se extrae una de

geometría, estadística y probabilidad

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