Probabilidad y Estadí stica II

1. Conjunto y Técnicas de Conteo

1.1. Definición y notación de conjuntos

Definición

Un conjunto es una colección bien definida de objetos, entendiendo que dichos objetos

pueden ser cualquier cosa: números, personas, letras, otros conjuntos, etc. Algunos

ejemplos son:

A es el conjunto de los números naturales menores que 5.

B es el conjunto de los colores verde, blanco y rojo.

C es el conjunto de las letras a, e, i, o y u.

D es el conjunto de los palos de la baraja francesa.

Los conjuntos se denotan habitualmente por letras mayúsculas. Los objetos que

componen el conjunto se llaman elementos o miembros. Se dice que «pertenecen» al

conjunto y se denota mediante el símbolo ∈ la expresión a ∈ A se lee entonces como «a

está en A», «a pertenece a A», «A contiene a a», etc. Para la noción contraria se usa el

símbolo ∉. Por ejemplo:

3 ∈ A , ♠ ∈ D

amarillo ∉ B, z ∉ C

Notación

Existen varias maneras de referirse a un conjunto. En el ejemplo anterior, para los

conjuntos A y D se usa una definición intensiva o por comprensión, donde se especifica

una propiedad que todos sus elementos poseen. Sin embargo, para los conjuntos B y C se

usa una definición extensiva, listando todos sus elementos explícitamente. Es habitual

usar llaves para escribir los elementos de un conjunto, de modo que:

B = {verde, blanco, rojo}

C = {a, e, i, o, u}

Esta notación mediante llaves también se utiliza cuando los conjuntos se especifican de

forma intensiva mediante una propiedad:

A = {Números naturales menores que 5}

D = {Palos de la baraja francesa}

Otra notación habitual para denotar por comprensión es:

A = {m : m es un número natural, y 1 ≤ m ≤ 5}

D = {p : p es un palo de la baraja francesa}

F = {n2 : n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},

En estas expresiones los dos puntos («:») significan «tal que». Así, el conjunto F es el

conjunto de «los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10

(ambos inclusive)», o sea, el conjunto de los diez primeros cuadrados de números

naturales. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical («|») u oblicua

«/». Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto

1.2. Operaciones y leyes de conjuntos

Las operaciones básicas del álgebra de conjuntos son:

Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene todos los elementos de A y de B. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A o a B. Se nota A U B.

La disyunción V, se utiliza en el sentido inclusivo, es decir, significa “y/o”.

Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que

contiene todos los elementos comunes de A y B. La intersección de dos conjuntos

A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen a A y a B.

Se nota A B.

Si A y B no tienen elementos en común, es decir, si A B = , entonces diremos

que A y B son conjuntos disjuntos.

Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que

contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B. La diferencia entre dos

conjuntos A y B es el conjunto formado por todos los elementos que pertenecen

a A y no pertenecen a B. Se nota por A \ B.

El conjunto A \ B se lee “A menos B” y recibe también el nombre de

complementario relativo del conjunto B respecto del conjunto A.

Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto Ac que contiene

todos los elementos que no pertenecen a A. El complementario de un conjunto A

es el conjunto formado por todos los elementos del conjunto universal que no

pertenecen a A. Se nota Ac.

Obsérvese que el complementario de A es igual a la diferencia entre U y A, es

decir, Ac = U \ A.

Producto cartesiano. El producto cartesiano de dos conjuntos A y B es el

conjunto A × B que contiene todos los pares ordenados (a, b) cuyo primer

elemento pertenece a A y su segundo elemento pertenece a B.

Ejemplos:

{1, a, 0} ∪ {2, b} = {2, b, 1, a, 0}

{5, z, ♠} ∩ {♠, a} = {♠}

{5, z, ♠} \ {♠, a} = {5, z}

{♠, 5} Δ {8, #, ♠} = {5, #, 8}

{1, a, 0} × {2, b} = {(1, 2), (1, b), (a, 2), (a, b), (0, 2), (0, b)}

Recuperado el 7 de enero de 2015 de http://es.wikipedia.org/wiki/%C3%81lgebra_de_conjuntos

Leyes de los conjuntos

Ley de Idempotencia:

Ley conmutativa:

Ley asociativa:

Ley distributiva:

Ley de identidad:

Ley involutiva:

Ley de complementario:

Ley de De Morgan:

1.3. Diagrama de Venn Euler

Una representación gráfica para los conjuntos son los diagramas de Venn. El conjunto

universal se representa por el interior de un rectángulo y todos los demás conjuntos se

representan por regiones cerradas incluidos en el mismo.

1.4. Principios aditivo y multiplicativo

Principio Aditivo:

Principio Multiplicativo:

1.5. Permutaciones

1.6. Combinaciones

1.7. Ejercicios de aplicación

2. Teoría de la Probabilidad

2.1. Espacio muestral

2.2. Eventos

2.3. Axioma y teorema de la probabilidad

2.4. Espacio finito y equiprobable

2.5. Probabilidad condicional

2.6. Probabilidad total y teorema de Bayes

2.7. Independencia

3. Introducción a la estadística

3.1. Estadística en los negocios: qué y para qué

3.2. Descripción del uso de la estadística en los negocios, uso actual y uso potencial

3.3. Principales análisis estadísticos usados en los negocios

4. Definición de estadística y probabilidad

4.1. La estadística como un proceso generador de información

5. Recolección de datos

5.1. Muestreo y encuestas

5.2. Registros administrativos

5.3. Investigaciones especiales

6. Gráficas básicas

6.1. Principios generales de las gráficas estadísticas

6.2. Histogramas, gráficas de pastel

6.3. Gráficas de relación