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Tema 4 Estadística y probabilidad

4.1 Variables estadísticasEjemplo :Dentro del I.E.S Barajas hay una serie de personas divididas en "clases" (grupos diferenciados) que sonalumnos, profesores, personal de mantenimiento, personal administrativo y conserjes. La población delCentro serían todas esas personas cuyos individuos son cada hombre/mujer de uno de esos colectivos.Una muestra es una parte de la población: por ejemplo, los alumnos/alumnas del PCPI 2º serían unamuestra de la población del Centro.Supongamos ahora, que queremos saber los gustos de la población del Centro. Pongamos por caso quequeremos averiguar tres cosas:� Tu primer plato favorito.� Tu cantante favorito.� Tu libro favorito.

Es decir, nos gustaría saber que es lo que está de "moda" entre la población del Centro. Pero claro,teniendo en cuenta que la población tiene del orden de unos mil individuos, si le hago las tres preguntasa cada uno de ellos me va a llevar mucho tiempo. Claramente esto se te va de las manos!!!!Qué decido? Pues no pregunto a todos, solo a unos cuantos, es decir, tomo una muestra .Puedo obtar por la vía cómoda y decir, nada mi muestra son los alumnos de PCPI 2º con sus profesores.En una clase me ventilo todas las respuestas, y con un par de encontronazos por los pasillos, acabo conlos profesores. Anotas las respuestas, llegas a tus conclusiones y dices esto es lo que pasa en el Centro.Pero claro, tanto para los profesores como para los alumnos, están haciendo el estudio con individuosque no reunen las características generales de la población del Centro. Estarías desviándote de larealidad!El camino a seguir, debería ser elegir una muestra que si "recogiese" toda la riqueza del Centro.Podríamos primero hacer un estudio general de cómo son los alumnos y profesores; es decir, establecercomo una pequeñas grandes familias dentro de cada colectivo. Por ejemplo, podría clasificar los alumnosen función de las etapas educativas que están cursando: E.S.O., Bachillerato, PCPI, Grado Medio yGrado Superior. Ahora en cada una número a sus miembros. Una vez hechas estas listas decido que voya generar cincuenta números aleatorios para cada una de ellas. Los alumnos elegidos para cada familiaserían los que están asociados a cada número.Supongamos que el número de alumnos de cada familia es el que viene dado por la siguiente tabla:

familia E.S.O. Bachillerato PCPI G.M. G.S.

número 250 150 500 200 69

Esto seguiría sir ser representativo del Centro, pues no elijo proporcionalmente al número de individuosde cada familia. La familia de PCPI es la más númerosas pero sólo tendría 50 alumnos en esa muestra,igual que el G.S. que son sólo 69 alumnos.Es decir, habría que fijarse primero cuántos individuos ha de tener la muestra, luego repartir esosindividuos entre las familias de la población proporcionalmente al números de sus individuos y finalmentegenerar los números aleatorios correspondientes para extraer los individuos de los listados de cadafamilia.Nos vamos a centrar en hacer un estudio de cómo son los alumnos de PCPI2º. Hay multitud decualidades, características que podemos estudiar de esos adolescentes como pudiera ser:� Color de pelo que puede ser negro, castaño, rubio, rojizo y algún que otro matiz. Sería una

variable estadística cualitativa, el color del pelo..� Color de ojos que pueden ser marrones, verdes, azules, negros, grises ....... Sería una variable

estadística cualitativa, el color de ojos.� Número de televisores de la casa que puede ser 0,1,2,3,4,5...... Sería una variable cuantitativa

discreta.� Estatura del alumno que puede ser 170,180,150,142,156,167,196,212,...... Sería una variable

cuantitativa continua.� Números de hermanos del alumno que puede ser 0,1,2,3,4,5,6,. Sería una variable estadística

cuantitativa discreta.

1

� Número de pie del alumno que puede ser 43,44, 37,38, 46, 38,41,.... Sería una variablecuantitativa continua.

De todas estas, vamos a considerar el color de ojos, para construir una tabla estadística.

Color de ojos Recuento f i F i hi H i hien % H ien %

marrón IIIIIIIIII 10 10 1015

1015

1015

� 100 � 66. 667% 1015

� 100 � 66. 667%

azul I 1 11 115

1115

115

� 100 � 6. 6667% 1115

� 100 � 73. 333%

verde IIII 4 15 415

1515

� 1 415

� 100 � 26. 667% 1515

� 100 � 100.0%

n � 15

Ahora vamos a tomar una variable estadística cuantitativa discreta, el número de pantalones.

nº de pantalones xi Recuento f i F i hi H i

0 I 1 1 115

115

5 I 1 2 115

215

6 I 1 3 115

315

7 IIIIIIIIIIII 12 15 1215

1515

� 1

n � 15

Ahora vamos a tomar una variable estadística cuantitativa continua, la altura.

altura xi Recuento f i F i hi H i

183 I

175 I

176 II

165 I

180 I

177 I

170 I

168 I

173 I

174 II

169 I

185 I

178 I

No tiene sentido completar la tabla con valores tan distinto, vamos a agruparlos.Tomas los valores mayor y menor� �165,185�Calculamos su diferencia: 185� 165 � 20

Estaría bien tener cinco grupos de datos diferenciados. Por ello, calculamos 205

� 4. Y tomamos

intervalos cerrados por la izquierda y abiertos por la derecha de longitud 5. Es decir, el extremo inferiordel intervalo estará dentro de el, mientras que el extremos superior del intervalo no estará dentro de el.Nos quedará la tabla siguiente:

2

clase marca de clase Recuento f i F i hi H i

�165,170� 167.5 III 3 3 315

315

�170,175� 172.5 IIII 4 7 415

715

�175,180� 177.5 IIIII 5 12 515

1215

�180,185� 182.5 II 2 14 215

1415

�185,190� 187.5 I 1 15 115

1515

La marca de clase es el punto medio del intervalo.Tareas 14-03-2013: todos los ejercicios de la página 263.

CUADERNO DE TRABAJO1. Clasifica los siguientes carácteres estadísticos según sean cualitativos, variables discretas o

variables continuas:a) marca de los coches�variable estadística cualitativab) peso de los coches�variable estadística cuantitativa continuac) número de los coches vendidos de las diferentes marcas�variable estadística cuantitativa discretad) el color de los coches vendidos en un concesionario�variable estadística cualitativae) la velocidad del viento medida en un observatorio meteorológico�variable estadística cuantitativacontinua2 Indica cuál es la población de cada uno de los siguientes estudios estadísticos y si es

conveniente tomar una muestra:a) Altura y peso de los alumnos de una clase�la población serían los alumnos de la clase y como sonpocos no hace falta tomar una muestra.b) Marca de los coches de una ciudad�la población serían todos los coches de la ciudad en estudio, ycomo son muchos, convendría tomar una muestra.c) La opinión de los fumadores sobre la ley antitabaco�la población serían los fumadores, y como sonbastantes, convendría tomar una muestra.d) la opinión de los 1500 trabajadores de una empresa sobre las nuevas medidas de seguridadinstaladas�la población serían los trabajadores de la empresa y se haría una muestra.

4.2 Representaciones gráficasTareas 15 -03-2013:Consultando la prensa o desde internet, encontrar las siguientes representaciones gráficas:1. Diagrama de barras2. Histograma3. Polígono de frecuencias4. Diagrama de sectores5. Pirámide de población6. Cartograma7. PictogramaEs decir, se imprime o recortan para colocarlas en una hoja con nombre y apellidos que seentregará!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

EjemploDados los datos siguientes de la clase de PCPI 2º:

3

Color de ojos Recuento f i F i hi H i hien % H ien %

marrón IIIIIIIIII 10 10 1015

1015

1015

� 100 � 66. 667% 1015

� 100 � 66. 667%

azul I 1 11 115

1115

115

� 100 � 6. 6667% 1115

� 100 � 73. 333%

verde IIII 4 15 415

1515

� 1 415

� 100 � 26. 667% 1515

� 100 � 100.0%

n � 15

Se pide:� diagrama de barras de frecuencias absolutas y su polígono correspondiente.

� diagrama de sectores para las frecuencias absolutas.Tendremos que hacer tres porciones de queso en un círculo, cada porción ha de representar uncolor.� marron� 10

Será la siguiente relación entre magnitudes directamente proporcionales:

frecuencia grados

15 360

10 x

� x � 360� 1015

� 240

� verde� 4Será la siguiente relación entre magnitudes directamente proporcionales:

4

frecuencia grados

15 360

4 x

� x � 360� 415

� 96

� azul� 1Será la siguiente relación entre magnitudes directamente proporcionales:

frecuencia grados

15 360

1 x

� x � 360� 115

� 24

Nos queda el siguiente diagrama de sectores:

1

2

3

EjemploVamos a trabajar ahora con una variable estadística cuantitativa continua.

5

clase marca de clase Recuento f i F i hi H i

�165,170� 167.5 III 3 3 315

315

�170,175� 172.5 IIII 4 7 415

715

�175,180� 177.5 IIIII 5 12 515

1215

�180,185� 182.5 II 2 14 215

1415

�185,190� 187.5 I 1 15 115

1515

Tareas 20-03-2013: todos los ejercicios de la página 265

PROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS4 El número de asignaturas que han suspendido los alumnos de una clase es :

�2,3,0,1,1,5,3,2,1,0,0,2,3,5,0,5,4,1,1,1,2,0,1,2,2�.Completa la tabla.

xi recuento f i hi

0 IIIII 5 525

1 IIIIIII 7 725

2 IIIIII 6 625

3 III 3 325

4 I 1 125

5 III 3 325

n � 5 � 7 � 6 � 3 � 1 � 3 � 25Tareas 03-04-1013: ejercicios 5,6,7 de las fotocopias.8 Confecciona un diagrama de barras que refleje los siguientes datos:

xi 0 1 2 3 4 5

f i 2 8 6 6 4 3

6

9 Realiza un diagrama de sectores para los siguientes datos:

color de pelo f i hi en % ángulo central

moreno 124 124706

� 100 � 18% 18%de 360 � 65º

castaño 214 214706

� 100 � 30% 30%de 360 � 108º

rubio 315 315706

� 100 � 45% 45%de 360 � 162º

pelirrojo 53 53706

� 100 � 8% 8%de 360 � 29º

n � 706

n � 124� 214� 315� 53 � 70618� 30� 45� 8 � 101Nos sale más de 100 por el redondeo

� 18%de 360 � 18 � 360100

� 64. 8 � 65º

� 30%de 360 � 30 � 360100

� 108º

� 45%de 360 � 45 � 360100

� 162º

� 8% de 360 � 8 � 360100

� 28. 8 � 29º

10 Las notas de Matemáticas de todos los alumnos de 3º E.S.O. quedan reflejadas en la siguientetabla. Confecciona un diagrama de barras y el polígono de frecuencias.

notas 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

alumnos 12 9 3 5 6 8 11 5 7 4

El diagrama de barras quedaría:

7

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

El polígono de frecuencias sería:

0

2

4

6

8

10

12

14

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

4.3 Medidas de centralización

PROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS11 Al tirar un dado 25 veces salen los siguientes resultados:�1,3,5,2,3,3,4,5,2,5,2,2,4,4,6,5,1,2,5,2,2,3,1,6,6�Calcula las medidas de centralización.Construimos una tabla con los datos, las frecuencias absolutas, las frecuencias absolutas acumuladas yel producto de los datos por su frecuencia absoluta.

xi f i F i xi � f i

1 3 3 1 � 3 � 3

2 7 10 2 � 7 � 14

3 4 14 3 � 4 � 12

4 3 17 4 � 3 � 12

5 5 22 5 � 5 � 25

6 3 25 6 � 3 � 18

3 � 14� 12� 12� 25� 18 � 84

Asi resulta que:� Mo � 2 pues su frecuencia absoluta, f2 � 7, es la mayor.� Me � 3 pues al tener 25 datos, el que está en el medio es el dato que ocupa el lugar 13º. Miramos

en la columna de las frecuencias absolutas acumuladas y vemos que F2 � 10 y F3 � 14. Esto nos

8

dice que hasta el segundo valor hay 10 datos y hasta el tercero, 14 datos. De ahí, que el dato queestá en el medio sea un 3.

� x� � 8425

� 3. 36 � 3

Se observa que dos medidas de centralización son 3, lo que nos dice que el dado está un poco "trucado",ya que hay una tendencia a que salga 3.12 Calcula las medidas de centralización para la siguiente distribución de frecuencias.

clase marca de clase: xi f i F i xi � f i

�2,6� 4 8 8 4 � 8 � 32

�6,10� 8 17 25 8 � 17 � 136

�10,14� 12 10 35 12 � 10 � 120

�14,18� 16 6 41 16 � 6 � 96

32� 136� 120� 96 � 384

Las medidas de centralización resultantes serían:� Mo � 8 o bien Mo � �6,10� pues su frecuencia absoluta, f�6,10� � 17, es la mayor.� Me � 8 o bien Me � �6,10� pues las frecuencias absolutas acumuladas son F�2,6� � 8 y F�6,10� � 25 y

tenemos 41 datos, por lo que el dato que estará en medio es el que ocupa el lugar 21.

� x� � 38441

� 9. 3659

Dado que las tres medidas de centralización "coinciden", los datos se concentran en �6,10�.Tareas 05-04-2013: página 267 del libro, todos los ejercicios.13 Las ventas realizadas por una cajera de un supermercado durante dos horas de su trabajo son

las siguientes:

120 131 142 157 15 27 94 57 238 56 23 58 13 214 147 32

62 12 49 58 149 210 120 131 210 139 31 69 66 156 204 15

97 84 61 32 15 7 21 32 48 24 64 234 54 179 231 7

64 124 56 73 114 169 201 134 62 93 42 58

Agrupa los datos en 8 clases y halla las medidas de centralización.Lo primero es calcular los datos extremos:� dato mayor� 238� dato menor� 7

Calculamos su diferencia� 238� 7 � 231

Dividimos este valor, entre el número de clases que queremos tener� 2318

� 28. 875

Redondeamos este número (siempre es mejor aproximarlo por exceso; en este caso el redondeo quenos sale es por un número mayor que el calculado)Por lo tanto, nuestras clases (intervalos) van a tener amplitud 29Construyamos la tabla de frecuencias asociada.

9

clase marca de clase (xi� f i F i hi H i xi � f i

�7,36� 21.5 16 16 1660

1660

16 � 21.5 � 344.0

�36,65� 50.5 15 31 1560

3160

50.5� 15 � 757. 5

�65,94� 79.5 5 36 560

3660

79.5� 5 � 397. 5

�94,123� 108.5 4 40 460

4060

108.5� 4 � 434.0

�123,152� 137.5 9 49 960

4960

137.5� 9 � 1237. 5

�152,181� 166.5 4 53 460

5360

166.5� 4 � 666.0

�181,210� 195.5 2 55 260

5560

195.5� 2 � 391.0

�210,239� 224.5 5 60 560

6060

� 1 224.5� 5 � 1122. 5

n � 60 � � 5350

344� 757.5� 397.5� 434� 1237.5� 666� 391� 1122.5� 5350.0Nos queda:� M0 � 21.5o Mo � �7,36� pues su frecuencia absoluta acumulada es f�7,36� � 16 es la mayor.� Me � 50.5o Me � �36,65� pues como tenemos 60 datos, la mediana dejará 30 datos por encima, y

otros 30 por debajo. En ese intervalo se cumple que F�36,65� � 31 mientras que para el intervaloanterior es F�7,36� � 16

� x� � 535060

� 5356

� 89. 167

Los tres valores son muy diferentes, es más se van haciendo cada vez mayores. Más de la mitad de losdatos están en las dos primeras clases y la media aritmética tampoco nos sale en la otra clase conmayor frecuencia absoluta.Tareas 08-04-2013: 14

4.4 Medidas de dispersiónPROBLEMAS DE LAS FOTOCOPIAS : página 6715 Las notas de un alumno en una evaluación de Biología y Geología son las siguientes:

4,5,3,6,8,4. Calcula su varianza y su desviación típica.

xi f i xi � f i |xi � x� | �xi � x� �2 � f i

3 1 3 � 1 � 3 |3 � 5| � |�2| � 2 22 � 1 � 4

4 2 4 � 2 � 8 |4 � 5| � |�1| � 1 12 � 2 � 2

5 1 5 � 1 � 5 |5 � 5| � |0| � 0 02 � 1 � 0

6 1 6 � 1 � 6 |6 � 5| � |1| � 1 12 � 1 � 1

8 1 8 � 1 � 8 |8 � 5| � |3| � 3 32 � 1 � 9

� � 30 � � 16

3 � 8 � 5 � 6 � 8 � 30

La media aritmética es x� � 306

� 5

La varianza es s2 � 166

� 2. 6667

La desviación típica es s � � � 2.6667 � 1. 633Se cumple que en el intervalo �x� � �,x� � �� están el 50% de los datos, es decir, en el intervalo �3,7� estánel 50% de las notas.x� � � � 5 � 1.633� 3. 367� 3x� � � � 5 � 1.633� 6. 633� 7El rango o recorrido sería 8 � 3 � 516 A partir del histograma asociado al siguiente conjunto de datos, calcula la desviación típica.

10

clase marca de clase(xi� f i xi � f i |xi � x� | �xi � x� �2 � f i

�10,11� 10� 112

� 10. 5 5 10.5� 5 � 52. 5 |10.5� 12.25| � 1. 75 1.752 � 5 � 15. 313

�11,12� 12� 112

� 11. 5 3 11.5� 3 � 34. 5 |11.5� 12.25| � 0.75 0.752 � 3 � 1. 6875

�12,13� 12� 132

� 12. 5 10 12.5� 10 � 125.0 |12.5� 12.25| � 0.25 0.252 � 10 � 0.625

�13,14� 13� 142

� 13. 5 5 13.5� 5 � 67. 5 |13.5� 12.25| � 1. 25 1.252 � 5 � 7. 8125

�14,15� 14� 152

� 14. 5 1 14.5� 1 � 14. 5 |14.5� 12.25| � 2. 25 2.252 � 1 � 5. 0625

� � 24 � � 294 � � 30.5005

La media es x� � 29424

� 494

� 12. 25

La varianza es s2 � 30.500524

� 1. 2709

La desviación típica es s � � � 1.2709 � 1. 1273Se cumple que el 50% de los datos están en�12.25� 1.1273,12.25� 1.1273� � �11. 123,13.377�12.25� 1.1273� 11. 12312.25� 1.1273� 13. 377Tareas 10-04-2013: toda la página 269Tareas 11-04-2013: ejercicios 1,2,4 de la página 286.

Página 265 del libro de texto4 Mediante un estudio del INCE (Instituto de Calidad y Evaluación), las puntuaciones medias de

los alumnos de los Centros Públicos, según el nivel de estudios de sus padres, son lossiguientes.

Área Nivel de estudios Puntuación

Matemáticas Sin estudios o primarios incompletos 222

Matemáticas Primarios completos 236

Ciencias Sociales, Geografía e Historia Sin estudios o primarios incompletos 226

Ciencias Sociales, Geografía e Historia Primarios completos 239

Lengua Castellana y Literatura Sin estudios o primarios incompletos 225

Lengua Castellana y Literatura Primarios completos 239

Ciencias de la Naturaleza Sin estudios o primarios incompletos 224

Ciencias de la Naturaleza Primarios completos 239

Realiza una representación gráfica donde se compare cada una de las Áreas según el nivel de estudiosde los padres.

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Tema 4: Probabilidad

4.5 El azar . DefinicionesFotocopias17 Explica si son deterministas o aleatorios los siguientes experimentos:

a) La lotería primitivaExperimento aleatorio: no sabemos de un sorteo para otro cuál va a ser la combinaciónganadora.b) El que dentro de 30 días caiga lluvia abundante.Experimento aleatorio: los meteorólogos "deciden" si va a llover o no basándose enprobabilidades.c) Que una piedra lanzada hacia arriba vuelva a caer.Experimento determinista: es un efecto de la gravedad terrestred) La duración de una bombilla eléctrica.Experimento aleatorio: a pesar de que todas las bombillas de una misma marca-tipo estánfabricadas con las mismas características técnicas, para cada bombilla individual no se sabeexactamente cuando se va a fundir.

18 Escribe el espacio muestral del experimento aleatorio siguiente:a) Lanzar una moneda.Los resultados posibles son cara o cruz.Mátematicamente se expresa E � �X,C�b) Lanzar un dado de quinielas.Los resultados posibles son uno, x y dos.Matemáticamente se expresa E � �1,X, 2�c) Lanzar un dado de parchís.E � �1,2,3,4,5,6�

18 Ampliado Para cada uno de los experimentos del ejercicio anterior, determina todos sussucesos elementales:a) Lanzar una moneda.� Sacar cara� �C�� Sacar cruz� �X�

b) Lanzar un dado de quinielas.� Sacar uno� �1�� Sacar x� �X�� Sacar dos� �2�

c) Lanzar un dado de parchís.� Sacar uno� �1�

12

� Sacar dos� �2�� Sacar tres� �3�� Sacar cuatro� �4�� Sacar cinco� �5�� Sacar seis� �6�

19 Sea el experimento que consiste en lanzar dos monedas y mirar el resultado.a) ¿Cuál es el espacio muestral?E � �CC,XC,XX,CX�b) Escribe los sucesos elementales.� �CC�� XC�� XX�� CX�

19 Ampliado Sea el experimento que consiste en lanzar una moneda y un dado a la vez. Se pide.a) ¿Cuál es el espacio muestral?E � �1C, 1X, 2C, 2X, 3C, 3X, 4C, 4X, 5C, 5X, 6C, 6X�b) ¿Cuáles son los sucesos elementales que forman el suceso compuesto sacar una cara?Suceso sacar un cara B � �1C, 2C, 3C, 4C, 5C, 6C�c) ¿Cuáles son los sucesos elementales que forman el suceso compuesto sacar una cruz ynúmero par?Suceso compuesto sacar una cruz y número par C � �2X, 4X, 6X�d) ¿Cuáles son los sucesos elementales que forman el suceso compuesto sacar una cruz y unnúmero mayor que 3?Suceso compuesto sacar una cruz y un número mayor que 3 D � �4X, 5X, 6X�

20 En una bolsa hay 10 bolas numeradas del 1 a l 10. ¿Cuál es su espacio muestral?. Escribe unsuceso seguro.E � �1,2,3,4,5,6,7,8,9,10�Un suceso seguro es un suceso que siempre tiene lugar.� Sacar una bola con un número comprendido entre 1 y 20.� Sacar una bola con un número comprendido entre 1 y10� Sacar una bola con un número comprendido entre 1 y 100.

Un suceso imposible es un suceso que no puede ocurrir dentro del experimento aleatoriocontemplado.� Sacar una bola con un número comprendido entre 11 y 20� Sacar una bola con un número mayor que 100

Vamos a considerar los siguientes sucesos dentro de este experimento aleatorio:A � �1,2,3,4,5� �sacar un número entre 1 y 5B � �2,4,6,8,10� �sacar un número parC � �3,6,9� �sacar un múltiplo de tresD � �5,6,7,8,9,10� �sacar un número mayor o igual que cinco.Vamos a operar con estos sucesos elementales:La unión de sucesos de dos sucesos es el suceso compuesto formado por los sucesoselementales que están bien en un conjunto o bien el otro.La intersección de sucesos de dos sucesos es el suceso compuesto formado por los sucesoselementales que están en los dos conjuntos a la vez.Calculemos los siguientes sucesos:� A � B � �1,2,3,4,5,6,8,10�� A � B � �2,4�� C � D � �3,5,6,7,8,9,10�� C � D � �6,9�� A � B � C � �1,2,3,4,5,6,8,9,10�� B � C � D � �6�

13


4.6 Regla de LaplaceEjercicios de las fotocopias , página 6921 En una bolsa tenemos 10 bolas, 6 blancas y 4 negras, calcula la probabilidad de que al sacar

una sea:

6 BB

4 BN� 6 � 4 � 10

a) De color blanco

P�BB� �nº de casos favorables a bola blanca

nº de casos posibles� 6

10� 3

5� 0.6 � 1

b) De color negro

P�BN� �nº de casos favorables a bola negra


10� 0.4 � 1

Se cumple que 0.6� 0.4 � 1.0

Es decir, P�BB� � P�BN� � 1 �P�BB� � 1 � P�BN�

P�BN� � 1 � P�BB�

Esto sucede porque los sucesos "sacar bola blanca" y "sacar bola negra" son complementarios.Es decir, que su unión me da todo el espacio muestral.c) De color rosa

P�BR� �nº de casos favorables a bola rosa


10� 0

Esto se debe a que en nuestro experimento aleatorio el suceso "sacar bola rosa" es un sucesoimposible.d) De color blanco o de color negro.

P�BN o BB� �nº de casos favorables a bola negra o bola blanca


10� 1

Esto se debe a que en nuestro experimento aleatorio el suceso "sacar una bola de color negroo de color blanco" es un suceso seguro.

22 Si se extrae una carta de una baraja española, calcula la probabilidad de que:La baraja española tiene 40 cartas de cuatro palos (oros, espadas, copas y bastos). Por lotanto, cada palo tiene 10 cartas. Estas diez cartas son: as, dos, tres, cuatro, cinco, seis, siete,sota, caballo y rey. Usualmente las figuras son sota, caballo y rey.a) sea un as

P�As� �nº de casos favorables a as


40� 1

10� 0.1 � 1

b) Sea un copa

P�Copa� �nº de casos favorables a copa


40� 1

4� 0.25 � 1

c) Sea una figura

P�Figura� �nº de casos favorables a figura


40� 3

10� 0.3 � 1

d) Sea una figura de bastos

P�Figura de bastos)�nº de casos favorables a figura de bastos


40� 0.075 � 1

e) Sea una no figura de copas o de bastos.P�no figura de bastos o

copas)�nº de casos favorables a no figura de bastos o copas

nº de casos posibles� 2 � 7

40�

� 1440

� 720

� 0.35 � 1

14

23 En una estantería tenemos siete novelas, tres libros de historia y diez cuentos. Calcula laprobabilidad de que al elegir un libro al azar este sea:

a) P�una novela� �nº de casos favorables a novela


7 � 3 � 10� 7

20� 0.35 � 1

b) P�no sea un libro de historia� �nº de casos favorables a novela

nº de casos posibles� 7 � 10

20� 17

20�

0.85 � 1Otra forma de hacerlo sería:

P�no sea un libro de historia� � 1 � P�sea de historia� � 1 � 320

� 20� 320

� 1720

c) P�un cuento� �nº de casos favorables un cuento


20� 1

2� 0.5 � 1

d) P�libro de historia� �nº de casos favorables libro de historia


20� 0.15 � 1

4.7 Técnicas de recuentoEjemploConstruye el diagrama de árbol asociado la quiniela.El número de resultados posibles es 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 3 � 315 � 14348907Tenemos la siguiente tabla

1º partido 2º partido 3º partido .......... 15º partido

resultados posibles 3 3 3 ........ 3

Ejemplo¿Cuántos números de cuatro cifras distintas puedo hacer con las cifras �5,6,7,8�? Orientación;construye un diagrama de árbol.

1ª cifra 2ª cifra 3ª cifra 4ª cifra

resultados posibles 4 3 2 1

El número de resultados posibles es 4 � 3 � 2 � 1 � 24 números de cuatro cifras distintas.Observa que 24 � 4 � �4 � 1� � �4 � 2� � �4 � 3� es decir, que vamos multiplicando por los númerossucesivos menores que cuatro hasta el 1. Esto se conoce como el factorial de 4 y se escribe 4!

EjemploCalcula los siguientes factoriales.� 6! � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 720� 10! � 10 � 9 � 8 � 7 � 6 � 5 � 4 � 3 � 2 � 1 � 3628800

Ejemplo¿Cuántos números de cuatro cifras distintas puedo hacer con las cifras �1,2,3,4,5,6,7,8�? Orientación;construye un diagrama de árbol.

1ª cifra 2ª cifra 3ª cifra 4ª cifra

resultados posibles 8 7 6 5

El número de resultados posibles es 8 � 7 � 6 � 5 � 1680.Tareas 22/04/2013: todos los ejericios de la página 273

Problemas de las fotocopias24 Si tenemos tres bolsas, la primera con una bola roja y otra blanca, la segunda con una bola

amarilla, una naranja y otra azul; y la tercera con una bola negra y otra verde. Representamediante un diagrama de árbol, todos los resultados que se pueden obtener al sacar una bolade cada bolsa.

15

1ª bolsa 2ª bolsa 3ª bolsa

BR BAM BNR

BR BAM BV

BR BNA BNR

BR BNA BV

BR BAZ BNR

BR BAZ BV

BB BAM BNR

BB BAM BV

BB BNA BNR

BB BNA BV

BB BAZ BNR

BB BAZ BV

En total 2 � 3 � 2 � 12 posibilidades.25 ¿Cuántas combinaciones habría en el ejemplo anterior si en la primera bolsa hubiera además

de la bola roja y la blanca, una bola rosa?En total 3 � 3 � 2 � 18Aplicando el principio de multiplicación para la tabla siguiente:

1ª Bolsa 2ª Bolsa 3ª Bolsa

3 posibilidades 3 posibilidades 2 posibilidades.

26 En una bolsa tenemos 11 bolas negras y 9 bolas blancas. Calcula la probabilidad de que alextraer dos bolas la primera sea blanca y la segunda negra si devolvemos la primera a la bolsa.

11 BN

9 BB

Hemos de aplicar la Regla de Laplace:

P�primera bola blanca y segunda negra� �nº de casos favorablesnº de casos posibles

¿Cuántos casos hay favorables a que la primera bola sea blanca, y habiéndola devuelto, lasegunda sea negra?Hagamos un diagrama de árbol:

probabilidad 1ª bola probabilidad 2ª bola

� 920

� B � 920

� B � P�BB� � 920

� 920

� 81400

mano � 920

� B � 1120

� N � P�BN� � 920

� 1120

� 99400

� 1120

� N � 920

� B � P�NB� � 1120

� 920

� 99400

� 1120

� N � 1120

� N � P�NN� � 1120

� 1120

� 121400

Se cumple que la suma de la última columna es 1.

La probabilidad pedida es P�BN� � 920

� 1120

� 99400

27 ¿Y si no devolvemos la primera bola a la bolsa?Hagamos un diagrama de árbol:

16

probabilidad 1ª bola probabilidad 2ª bola

� 920

� B � 819

� B � P�BB� � 920

� 819

� 72380

mano � 920

� B � 1119

� N � P�BN� � 920

� 1119

� 99380

� 1120

� N � 919

� B � P�NB� � 1120

� 919

� 99380

� 1120

� N � 1019

� N � P�NN� � 1120

� 1019

� 110380

72� 99� 99� 110380

� 1

Se cumple que la suma de la última columna es 1.

La probabilidad pedida es P�BN� � 920

� 1119

� 99380

28 Calcula la probabilidad de que al extraer tres cartas de una baraja española con devoluciónestas sean:a) Tres copasP�tres copas sucesivas� � P�1º copa� � P�2º copa� � P�3º copa� �

� 1040

� 1040

� 1040

� 164

b) Un rey, un as y una sota.P�rey, as, sota� � P�1º rey� � P�2º as� � P�3º sota� �

� 440

� 440

� 440

� 11000

c) Un oro, una copa y una espada.P�oro, copa,espada� � P 1º oro � P 2º copa � P 3º espada �

� 1040

� 1040

� 1040

� 164

29 Calcula las probabilidades del ejercicio anterior pero sin devolucióna) Tres copasP�tres copas sucesivas� � P�1º copa� � P�2º copa� � P�3º copa� �

� 1040

� 939

� 838

� 3247

b) Un rey, un as y una sota.P�rey, as, sota� � P�1º rey� � P�2º as� � P�3º sota� �

� 440

� 439

� 438

� 43705

c) Un oro, una copa y una espada.P�oro, copa,espada� � P 1º oro � P 2º copa � P 3º espada �

� 1040

� 1039

� 1038

� 251482

¿Pero alguien nos ha dicho que tiene que ser en ese orden? No!!!!Si en realidad te están pidiendo que al final tenga un oro, una espada y una copa, no influye elorden de extracción.P�oro, copa,espada� �

� P 1º oro, espada o copa �

�P 2º una que no haya salido antes de las tres �

�P 3º una que no haya salido en las dos anteriores �

� 3040

� 2039

� 1038

� 25247

28 c) ¿Pero alguien nos ha dicho que tiene que ser en ese orden? No!!!!Si en realidad te están pidiendo que al final tenga un oro, una espada y una copa, no influye elorden de extracción.P�oro, copa,espada� �

� P 1º oro, espada o copa �

�P 2º una que no haya salido antes de las tres �

�P 3º una que no haya salido en las dos anteriores �

17

� 3040

� 2040

� 1040

� 332


CUADERNO 6 EDITORIAL SM PLAN DE RECUPERACIÓN DEMATEMÁTICAS

Cálculo de Probabilidades : Regla de Laplace35 Tiramos un dado. Halla la probabilidad de los siguientes sucesos:

a) A �" sacar un 6" � �6�

P�A� � 16

b) B �" sacar un múltiplo de 3" � �3,6�

P�B� � 26

� 13

c) C �" sacar menos de 5" � �1,2,3,4�

P�C� � 46

� 23

36 Disponemos de una urna con tres bolas blancas y cinco negras. Consideramos el experimento"extraer una bola de la urna". ¿Cuál es la probabilidad de sacar una bola blanca?nº total de bolas� 5 � 3 � 8

P�sacar una bola blanca� � 38

Tareas 26-04-2013: todos los ejercicios de la página 27737 En una clase de 4º E.S.O. hay 30 alumnos, de los cuales 18 son chicas. Elegimos un alumno al

azar. Calcula la probabilidad de que sea chico.

P�sea chico� � 1230

� 25

30� 18 � 12 chicos38 ¿Cuál es la probabilidad de que en un matrimonio con 2 hijos, los dos sean del mismo sexo?

Hagamos un diagrama de árbol.

1º vástago 2º vástago resultados

� 12

� hijo � 12

� hijo � 12

� 12

� hijo-hijo

� 12

� hijo � 12

� hija � 12

� 12

� hijo-hija

� 12

� hija � 12

� hijo � 12

� 12

� hija-hijo

� 12

� hija � 12

� hija � 12

� 12

� hija-hija

P�mismo sexo� � 12

� 12

� 12

� 12

� 14

� 14

� 24

� 12

"mismo sexo"� �hijo � hijo,hija � hija�39 Extraemos una carta de una baraja española (40 cartas: 4 palos de diez cartas cada uno).

Calcula la probabilidad de que:a) A �" rey de copas"

P�A� � 140

b) B �" caballo"

P�B� � 440

� 110

Hay cuatro caballos, uno para cada palo; espadas, bastos, oros y copas.c) C �" sea un oro"

P�C� � 1040

� 14

d) Sea una carta con un número menor o igual que 5� D

P�D� � 2040

� 12

e) No sea rey� E

18

P�E� � 3640

� 910

Otra forma de hacerlos es considerando el suceso complementario:Ē �"sacar un rey"

P�Ē� � 440

� 110

Entonces P�E� � 1 � P�Ē� � 1 � 110

� 1 � 10� 110

� 10� 110

� 910

40 De una urna que contiene 1000 bolas numeradas del 1 al 1000 extraemos una bola. Halla laprobabilidad de que el número extraído:

a) P�nº � 999� � 11000

b) P�nº � par� � 5001000

� 12

c) P�nº múltiplo de 5)� 2001000

� 15

Por cada diez números hay dos múltiplos de 5.

d) P�nº de 2 cifras� � 891000

� 891000

Serían todos los números desde el 10 (incluido) hasta el 99 (incluido).

e) P�nº empiece por 3� � 1111000

� 1111000

Los números que empiezan por tres son de la forma3

3_

3_ _

f) P�nº tenga cinco cifras� � 01000

� 0

Se trata de un suceso imposible en este experimento aleatorio.41 Se lanzan dos monedas al aire. Halla la probabilidad de que:

a) P�CC� � 14

El espacio muestral es E � �CC,CX,XC,XX�Otra forma de hacerlo es:P�CC� � P�1ª moneda es cara y 2ª moneda es cara� �(como los sucesos sonindependientes)� P�1ª moneda es cara� � P�2ª moneda es cara� � 1

2� 1

2� 1 � 1

2 � 2� 1

4b) P�XX� � 1

4Se podría hacer de manera análoga al anterior para obtener

P�CC� � 12

� 12

� 1 � 12 � 2

� 14

c) P�salga una cara y una cruz� � 24

� 12

Haciéndolo por probabilidad de sucesos independientes sería:

P�salga una cara y una cruz� � P�XC� � P�CX� � 12

� 12

� 12

� 12

�

� 14

� 14

� 24

� 12

42 Cogemos el dado rojo y el amarillo del parchís y los lanzamos a la vez. Calcula la probabilidadde que:a) P�dado rojo�5 y dado amarillo�1� �(como son sucesos independientes)� P�dadorojo�5� � P�dado amarillo�1� � 1

6� 1

6�

� 136

b) P�dado rojo�2� �

� P�dado rojo�2 y dado amarillo��1,2,3,4,5,6�� (como son sucesos independientes)� P�dadorojo�� P�dado amarillo��1,2,3,4,5,6�� 1

6� 6

6� 1

6c) P�suma sea un nº par� � 1 � 3 � 5 � 5 � 3 � 1

36� 1

2Tenemos la tabla siguiente de la suma de dos dados de seis caras:

19

dadorojodadoamarillo

1 2 3 4 5 6

1 2 3 4 5 6 7

2 3 4 5 6 7 8

3 4 5 6 7 8 9

4 5 6 7 8 9 10

5 6 7 8 9 10 11

6 7 8 9 10 11 12

d) P�suma sea 10� � 336

� 112

43 ¿Cuál es la probabilidad de acertar una quiniela en el "pleno al quince"?

P�pleno al quince� � 1315 � 6. 9692� 10�8 � 0.000000069692

Hay quince partidos, cada uno con tres resultados posibles �1,X, 2�44 El juego del dominó consta de 28 fichas. Si elegimos una ficha al azar, halla la probabilidad de

que:

a) P�seis doble� � 128

b) P�ficha doble� � 728

� 14

c) P�al menos uno de los puntos sea 1� � 728

� 14

d) P�sus puntos sumen 9� � 228

� 114

Puedes sumar 9 de las formas siguientes: �5,4�,�3,6�45 Se considera la experiencia consistente en sacar una carta de una baraja española. En los

siguientes pares de sucesos, señala si son compatibles o incompatibles:

a)A � sacar un oro

B � sacar un caballo

Son compatibles pues está el caballo de oros que está en ambos sucesos.

b)A � sacar una figura

B � sacar un tres

Son incompatibles, no tienen nada en común.

c)A � sacar una carta menor que 6

B � sacar una espada

Son compatibles, comparten el as, dos, tres, cuatro y cinco de espadas.

d)A � sacar un as de oros

B � sacar un rey

Son incompatibles, no tienen nada en común.

e)A � sacar una carta impar

B � sacar una copa

Son compatibles pues comparten el as, tres, cinco, siete y once (caballo) de copas.46 En una urna hay 10 bolas numeradas del 1 al 10. Se considera la experiencia extraer una bola

de la urna. Describe los sucesos contrarios a los siguientes sucesos y descríbelos entre llaves.a) A � sacar un número par� Ā �sacar un número impar� �1,3,5,7,9�b) B � sacar un múltiplo de 5� B� � sacar un no múltiplo de 5� �1,2,3,4,6,7,8,9�c) C � sacar un tres� C� � no sacar un tres� �1,2,4,5,6,7,8,9,10�d) D � sacar un número primo� D� � sacar un número compuesto� �1,4,6,8,9,10�e) E � sacar un múltiplo de 2 o un múltiplo de 3� Ē � no sacar un múltiplo de 2 ni un múltiplode 3� �1,5,7�

20

f) F � sacar un número par y múltiplo de 3� F� � sacar un número no múltiplo de 2 y de 3 a lavez� �1,2,3,4,5,7,8,9,10�

Tareas 08-05-2013: 4748 Extraemos al azar una bola de una bolsa en la que hay 3 bolas verdes, 4 rojas, 3 blancas y 6

azules. Calcula las probabilidades de los siguientes sucesos:

a) P�no sacar una bola azul� � 3 � 4 � 33 � 4 � 3 � 6

� 58

Otra forma de hacerlo sería:P�no sacar una bola azul� � 1 � P�sacar una bola azul� �

� 1 � 63 � 4 � 3 � 6

� 58

b) P�sacar una bola no verde y no blanca� � 4 � 616

� 58

Otra forma de hacerlo sería:P�sacar una bola no verde y no blanca� � 1 � P�sacar una bola verde o blanca� �

� 1 � 3 � 316

� 16� 616

� 1016

� 58

Tareas 08-05-2013: 4950 Se lanza una moneda 3 veces. Calcula la probabilidad de que salga al menos una cruz en

alguno de los lanzamientos.Hacemos un diagrama de árbol para saber los resultados posibles del experimento aleatorio.

1ª moneda 2ª moneda 3ª moneda

C C X

C C C

C X C

C X X

X C X

X C C

X X X

X X C

Hay ocho resultados posibles: aplicando el principio de la múltiplicación.2 posibilidades para la 1ª moneda x2 posibilidades para la 2ª monedax2 posibilidades para la 3ªmoneda� 2 � 2 � 2 � 23 � 8

P�al menos una cruz� � 78

Otra forma de hacerlo:

P�al menos una cruz� � 1 � P�ninguna una cruz� � 1 � 18

� 8 � 18

� 78

Tareas 08-05-2013: 5152 Lanzamos un dado y consideramos los siguientes sucesos:

A � sacar un 4

B � sacar menos de 3

C � sacar par

Escribe entre llaves los elementos de que consta cada uno de los sucesos dados:

A � �4�

B � �1,2�

C � �2,4,6�

y calcula:� A � B � �1,2,4�� A � C � �2,4,6� � C� B � C � �1,2,4,6�

21

� A � B � � vacio� A � C � �4� � A� B � C � �2�

53 Consideramos la experiencia consistente en extraer una carta de una baraja española. Seanlos sucesos

A � sacar un oro

B � sacar una copa

C � sacar un oro o una copa

¿Cuál es la probabilidad del suceso C? (Observa que C � A � B y que A y B son incompatibles)P�C� � P�A � B� � �A y B son incompatibles� A � B � ��

� P�A� � P�B� � 1040

� 1040

� 2040

� 12

Consideramos el suceso D � sacar una figura¿Cuál es la probabilidad del suceso A � D?P�A � D� � �A y D son sucesos compatibles, es decir, pueden ocurrir a la vez� �

� P�A� � P�D� � P�A � D� � 1040

� 1240

� 340

� 1940

A � D es que ocurren A y D a la vez. Es decir, es sacar una figura de oros54 En un campamento internacional hay 3 jóvenes españoles, 4 franceses, 2 alemanes, 5 ingleses

y un ruso. Se va a elegir, por sorteo, al encargado de llevar las cuentas. Calcula la probabilidadde que la persona elegida sea:

a) P�francesa o inglesa� � 4 � 53 � 4 � 2 � 5 � 1

� 915

� 35

Otra forma de hacerlo sería:P�francesa o inglesa� � �como si eres francés no puedes ser inglés, los sucesos sonincompatibles� � P�francesa � � P�inglesa� �

� 415

� 515

� 915

� 35

b) P�española o rusa� � 3 � 13 � 4 � 2 � 5 � 1

� 415

c) P�alemana o inglesa� � �como si eres alemán no puedes ser inglés, los sucesos sonincompatibles� � P�alemana � � P�inglesa� � 2

15� 5

15� 7

15Tareas 09-05-2013: 55,56,5758 Se extrae una carta de una baraja española y se consideran los sucesos

A � sacar un rey

B � sacar una espada.

¿Cuál es la probabilidad del suceso A � B? (Piensa primero cuál es el suceso A � B?A � B �sacar el rey de espadas

P�A � B� � P�A� � P�B� � P�A � B� � 440

� 1040

� 140

� 1340

59 En una urna hay 40 bolas numeradas del 1 al 40. Se extrae una bola al azar. ¿Cuál es laprobabililidad de que sea par o múltiplo de 5?

Llamamos A � sacar un número par

B � sacar un múltiplo de cinco

Entonces será:� A � �2,4,6,8,10,12,14,16,18,20,22,24,26,28,30,32,34,36,38,40�� B � �5,10,15,20,25,30,35,40�� A � B � �10,20,30,40� entonces A y B son sucesos compatibles� A � B � sacar par o múltiplo de 5

P�A � B� � P�A� � P�B� � P�A � B� � 2040

� 840

� 440

� 2440

� 35

Tareas 09-05-2013: 60,61,6263 En las siguientes experiencias compuestas señala cuántos resultados son posibles:

22

a) Sacar una carta de una baraja y, a continuación, lanzar un dado.Se trata de experiencias compuestas independientes pues el resultado de la carta no influye enel número del dado, y viceversa.Entonces es 40 � 6 � 240 resultados posiblesb) Lanzar dos monedas al aire y anotar si sale cara o cruz.Se trata de una experiencia compuesta de dos sucesos independientes pues una moneda noinfluye en la otra.Entonces es 2 � 2 � 4 resultados posiblesc) Lanzar tres dados y anotar el número que sale.Se trata de una experiencia compuesta de tres sucesos independientes pues un dado noinfluye en los otros dos.Entonces es 6 � 6 � 6 � 216 resultados posiblesd) Anotar el sexo de los 3 hijos de una familia.Se trata de una experiencia compuesta de tres sucesos independientes pues el sexo de unvástago no influye en el sexo de los otros dos.Entonces es 2 � 2 � 2 � 8 resultados posibles

64 ¿Cuántos resultados posibles hay en la experiencia que consiste en tirar un dado, acontinuación una moneda y, por último extraer una bola con 10 bolas numeradas de 0 a 9?Se trata de una experiencia compuesta de tres sucesos independientes pues el resultado decada uno de ellos no influye en los otros dos.Entonces es 6 � 2 � 10 � 120 resultados posibles

Tareas 09-05-2013: 65,6667 Una caja contiene 6 bolas blancas, 3 verdes y 4 azules. Se saca una bola y, sin devolverla, se

extrae una segunda bola. Calcula la probabilidad de que la segunda bola sea blanca, si:a) La primera bola fue blanca.P�2ª bola blanca/1ª bola blanca� � 5

12Si la primera ha sido blanca, me quedan otras cinco bolas blancas, junto con 3 verdes y 4azules: 5 � 3 � 4 � 12b) La primera bola fue no blanca.

P�2ª bola blanca/1ª bola no blanca� � 612

� 12

Si la primera ha sido no blanca, me quedan seis bolas blancas, junto con 6 bolas no blancas(verdes y azules): 6 � 6 � 12

68 En una clase de 30 alumnos, hay 14 chicos y 16 chicas. El número de personas que llevangafas, dependiendo del sexo, se distribuye según esta tabla:

chicos chicas total

con gafas 5 4 9

sin gafas 9 12 21

total 14 16 30

Elegimos una persona al azar. Calcula la probabilidad de que:a) Lleve gafas.

P�llevar gafas� � 930

� 310

b) Sea una chica sin gafas.

P�chica sin gafas� � 1230

� 25

c) Sea chico sabiendo que tiene gafas.P�chico sabiendo que tiene gafas� � 5

9d) No lleve gafas sabiendo que es una chica

P�no lleve gafas siendo chica� � 1216

� 34

Tareas 10-05-2013: 69,70,71,72

Ejemplo23

Extraemos sucesivamente, y sin devolución, dos cartas de una baraja española y queremos saber cuáles la probabilidad del suceso �� Sacar un as en la segunda extracción��.P�2ª carta es un as� � P�sacar un as en la 1ª y sacar un as en la 2ª� �

P�no sacar un as en la 1ª y sacar un as en la 2ª� � 440

� 339

� 3640

� 439

� 110

Esta claro que la 1ª carta influye en el resultado de la segunda. Es muy distinto haber sacado un as en laprimera de no haber sacado un as en la primera. Respectivamente, la probabilidad de as en la segundaes 3

39y 4

39. Por otro lado, la de sacar un as en la primera es 4

40, mientras que la probabilidad de no

sacar as en la primera es 3640

.

HaríamosP�sacar un as en la 1ª y sacar un as en la 2ª� � 4

40� 3

39

P�no sacar un as en la 1ª y sacar un as en la 2ª� � 3640

� 439

73 Se lanza una moneda tres veces. ¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cruces?P�tres cruces� � P�cruz en la 1ª moneda�cruz en la 2ª moneda�cruz en la 3ª moneda� �

�(la aparición de una cruz en alguna de las tres monedas no influye en las cruces de lasotras� �

� P�cruz en la 1ª moneda� � P�cruz en la 2ª moneda� � P�cruz en la 3ªmoneda� � 1

2� 1

2� 1

2� 1

874 En una urna hay 5 bolas blancas y 7 negras. Si se extraen dos bolas, una a continuación de la

otra, calcula la probabilidad de que las dos sean blanca:a) Si devolvemos a la urna la primera bola antes de extraer la segunda.P�dos bolas blancas seguidas� � P�1ª bola es blanca�2ª bola es blanca� �

� �como devolvemos la primera bola antes de extraer la segunda, seguimos teniendo la mismacomposición de bolas dentro de la urna� �

� P�1ª bola es blanca� � P�2ª bola es blanca� � 512

� 512

� 25144

b) Si no hay devolución.P�dos bolas blancas seguidas� � P�1ª bola es blanca�2ª bola es blanca� �

� �al no haber devolución la composición de la urna se ha visto afectada por la primeraextracción� �

� P�1ª bola es blanca� � P�2ª bola es blanca/ la 1ª bola ha sido blanca� � 512

� 411

� 533

Tareas 13-05-2013: 75,77,76,77,78,79,8081 Ana guarda en el cajón se su armario 6 camisetas: 2 blancas, 3 negras y 1 azul. En otro cajón

tiene 5 pantalones: 2 negros y 3 azules. Si abre el cajón y coge una camiseta sin mirarla yluego abre el cajón de los pantalones y elige uno, también sin mirarlo, ¿cuál es la probabilidadde que ambos sean del mismo color?P�camiseta y pantalón del mismo color� �

� P�camiseta y pantalón negro� � P�camiseta y pantalón azul� �

� �como la elección de la camiseta y del pantalón son independientes� �

� P�camiseta negra� � P�pantalón negro� � P�camiseta azul� � P�pantalónazul� � 3

6� 2

5� 1

6� 3

5� 6

30� 3

30� 9

30� 3

1082 En una urna hay 3 bolas rojas y 4 verdes, en otra urna hay 3 rojas y 2 verdes. Se toma al azar

una bola de cada urna. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos sean del mismo color?P�dos bolas del mismo color� �

� P�bola verde en 1ª urna y en 2ª urna� � P�bola rojas en 1ª urna y en 2ª urna� �

�(como extraer bolas de las urna nos influye una en la otra)�� P�verde en 1ª urna� � P�verde en 2ª urna� � P�roja en 1ª urna� � P�roja en 2ª urna� �

� 47

� 25

� 37

� 35

� 835

� 935

� 1735

83 Se lanzan dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que en ambos dados salgan dos númerospares o dos impares?P�dos números de la misma paridad� �

24

� P�dos números pares� � P�dos números impares� �

�(los lanzamientos son independientes pues el resultado de un dado no influye en el otro� �

� P�1º dado par� � P�2º dado par� � P�1º dado impar� � P�2º dadoimpar� � 3

6� 3

6� 3

6� 3

6� 2 � 3

6� 3

6� 18

36� 1

2Tareas 13-05-2013: 84,85,86.

25

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