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CENTRO DE BACHILLERATO TECNOLÓGICO

industrial y de servicios No. 12

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PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA

Febrero – Julio 2017

Docentes:

M. en C. Oscar Villalpando Barragán. Ing. Francisco Javier Conchas Herrera. Ing. Fernando Vargas Guerra. Lic. Josimar Sinaí Martínez Baizabal. M. en E. Adriana Amezcua Núñez.



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Contenido

Introducción ................................................................................................................................... 4

Estructura curricular del Bachillerato Tecnológico ....................................................................... 5

Propósito formativo de la materia de Probalidad y Estadística ..................................................... 6

Estructura de Probalidad y Estadística ........................................................................................... 6

1. VARIABLES, REPRESENTACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA ................... 7

1.1. Estadística ................................................................................................................................... 7

1.2. Población y muestra ................................................................................................................... 7

1.3. Variables ..................................................................................................................................... 8

1.4. Tablas estadísticas ...................................................................................................................... 9

1.5. Distribución de frecuencias ...................................................................................................... 11

1.6. Terminología de los datos agrupados ....................................................................................... 14

1.7. Gráficos estadísticos ................................................................................................................. 17

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN ........................................ 24

2.1. Medidas de tendencia central .................................................................................................. 24

2.2. Media aritmética, geométrica y armónica ............................................................................... 25

2.3. Mediana .................................................................................................................................... 28

2.4. Moda ......................................................................................................................................... 29

2.5. Medidas de dispersión .............................................................................................................. 31

2.6. Rango ........................................................................................................................................ 32

2.7. Cuartiles y deciles ..................................................................................................................... 34

2.8. Desviación media ...................................................................................................................... 36

2.9. Varianza .................................................................................................................................... 39

2.10. Desviación típica o estándar ................................................................................................. 43

2.11. Regresión lineal ..................................................................................................................... 46

2.12. Uso de la calculadora ............................................................... ¡Error! Marcador no definido.

3. PROBABILIDAD ................................................................................................................ 50

3.1. Introducción a la probabilidad .................................................................................................. 50

3.2. Teoría de conjuntos .................................................................................................................. 51

3.3. Principio de la multiplicación .................................................................................................... 53

3.4 Diagrama de árbol .......................................................................................................................... 54



3

3.5. Notación factorial o factorial ........................................................................................................ 57

3.6. Permutaciones .......................................................................................................................... 57

3.7. Combinaciones.......................................................................................................................... 59

3.8. Probabilidad condicional .......................................................................................................... 61

3.9. Teorema de la multiplicación de la probabilidad condicional .................................................. 62

3.10. Teorema de Bayes ................................................................................................................. 64

3.11. Procesos Estocástico o finitos .................................................. ¡Error! Marcador no definido.

3.12. Eventos independientes ....................................................................................................... 69

Referencias bibliográficas ............................................................................................................ 70

Anexos ........................................................................................ ¡Error! Marcador no definido.



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Introducción

Las matemáticas son una herramienta de gran utilidad para las demás áreas del conocimiento, contribuyen al desarrollo de competencias genéricas y disciplinares que facilitan realizar el planteamiento, análisis y resolución de problemas. El propósito formativo de matemáticas es que el estudiante aplique conocimientos matemáticos en la resolución de problemas de distintos contextos (social, natural, científico y tecnológico, entre otros). Con la probabilidad se pretende que los alumnos aprendan a definir los conceptos de la misma, además de organizar y analizar los datos de eventos o hechos que se presentan en la vida real o en otras áreas del conocimiento y a manejar estadísticamente la información; asimismo, aprenden a presentar la información gráficamente y calcular los parámetros que permiten describir el comportamiento de las variables. Por lo tanto, contribuye a la asertividad en la toma de decisiones. A través de la estadística los alumnos aprenden a conocer los diversos métodos de conteo y a desarrollar los procedimientos de análisis y síntesis que permitan inferir los resultados de eventos o experimentos azarosos por medio de la probabilidad y sus axiomas, además de aplicarlos a problemas cotidianos y de carácter social, político y económico para obtener sus posibles resultados desde una perspectiva individual o grupal. Con la finalidad de asumir los compromisos del Marco Curricular Común e instaurar los mecanismos necesarios para fortalecer el desempeño académico de los alumnos y garantizar el desarrollo del perfil del egresado, la academia de matemáticas (Probalidad y Estadística) ha elaborado la siguiente guía del estudiante.



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Estructura curricular del Bachillerato Tecnológico

ACUERDO Número 653 de la Secretaría de Educación Pública por el que se establece el Plan de Estudios

del Bachillerato Tecnológico, publicado en el Diario Oficial de la Federación el 4 de septiembre de 2012.



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Propósito formativo de la materia de Probalidad y Estadística Que el estudiante analice fenómenos sociales o naturales, utilizando las herramientas básicas de la estadística descriptiva y de la teoría de la probabilidad para muestrear, procesar y comunicar información social y científica, para la toma de decisiones.

Estructura de Probalidad y Estadística



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1. VARIABLES, REPRESENTACIÓN Y DISTRIBUCIÓN DE FRECUENCIA

1.1. Estadística Es un conjunto de procedimientos que sirven para organizar y resumir datos originados en la observación y dar respuesta a ciertas preguntas. Para su estudio la estadística se divide en 2 ramas: Estadística Inductiva o Inferencial que trata las condiciones bajo las cuales las conclusiones o inferencias son válidas y Estadística Descriptiva o Deductiva que trata de describir y analizar a un grupo dado sin sacar conclusiones o inferencias.

1.2. Población y muestra La Población o Universo es todo conjunto de personas, cosas, objetos, etc., con ciertas características comunes que puede ser finita o infinita. La Muestra es toda porción de elementos tomada de una población. + + + Universo País – Habitantes de México + + + Muestra Estado – Habitantes de Michoacán + + + Elemento Mpio – Habitantes de Jiquilpan Ejemplo:

Universo – Alumnos del CBTis 12

Muestra – Alumnos de 5° “A” de Laboratorista.

Elemento – 1 alumno de San Diego Quitupán.

El Muestreo es el procedimiento por el cual se recopila información de los elementos de una muestra.



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Actividad en el aula: Escribe 3 ejemplos que contenga universo, población y muestra.

Ejemplo 1 Ejemplo 2

Universo

Muestra

Elemento

Realizar Tarea No. 1:

1.3. Variables Una Variable es un símbolo tal como x, y, a, b que puede tomar un valor cualquiera, si esta variable solamente toma un valor se le llama Constante. Categorías Variables En este caso los promedios son la variable. Variable Nominal son las más simples y abundantes, su única función es la de clasificar en categorías y su orden es indistinto. variable Estado Civil categoría Soltero Casado Divorciado Viudo Unión libre 1 2 3 4 5 Aquí los números carecen de propiedades solo sirven para distinguir un estado civil de otro. Variables Ordinales clasifican las observaciones en categorías que exigen ordenación, su variable operacional es una escala ordinal de mayor a menor. variable Grado de Alcoholismo escala de Abstemio Ocasional Regular Constante medición 1 2 3 4

Alumno Promedio

Francisco 9.2

Felipe 8.7

Raúl 9.5

Jaime 8.0



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Variable Continua son las que pueden tomar cualquier valor fijo dentro de un intervalo. Y siempre entre dos valores observables va a existir un tercer valor intermedio que también podría tomar la variable continua. Una variable continua toma valores a lo largo de un continuo, esto es, en todo un intervalo de valores. Un atributo esencial de una variable continua es que, a diferencia de una variable discreta, nunca puede ser medida con exactitud; el valor observado depende en gran medida de la precisión de los instrumentos de medición. Con una variable continua hay inevitablemente un error de medida. variable Estatura (esc. primaria) esc. de medición 1.10m 1.2m 1.21m 1.215m 1.35m 1.352m 1.40m Variable Discreta son las que toman solo algunos valores dentro de un intervalo. variable N° de hijos por familia esc. de medición 1 2 3 4 5 6 7 o más Es evidente que entre los límites de 1 a 7 no puede caber cualquier valor, no podríamos registrar 2.5 hijos.

1.4. Tablas estadísticas Efectuada la toma de datos (recolección) hay que contar y clasificarlos (ordenación) de manera clara y significativa para su fácil manejo, para ello se recurre a la tabla estadística y su gráfico, de estos dos la tabla es más importante pues es la base de la construcción del gráfico y de su análisis; la tabla estadística consta de 3 partes: la cabeza, el cuerpo y el pie.

Cabeza o título

Cuerpo Pie La Cabeza o Encabezamiento de la tabla ocupa la parte superior de la misma y contiene el Titulo, el cual expresa claramente el contenido o significación de la información, el Período es el espacio del tiempo para el cual es válida la información y la Unidad de Medida siempre y cuando sea común a toda la información.



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El Cuerpo está localizado en la parte central de la tabla y en el se encuentra la esencia de la información, o sea las categorías de las variables y sus frecuencias o intensidades. Por lo general las categorías se colocan del lado izquierdo y las frecuencias del lado derecho, pero puede ser al revés dependiendo de la información. El Pie lo forma la parte inferior de la tabla y está destinado a las notas y aclaraciones indicadas en el encabezamiento o en el cuerpo cuando son necesarias, además menciona la fuente u origen de la información, podría no haber aclaraciones en un cuadro, pero la fuente si debe aparecer. Ejemplo 1: Cabeza Población rural y urbana en México 1900-1930

Año Total (millones) Urbana Rural

1900 13.6 2.6 11.0

1910 15.2 3.7 11.5

1921 14.4 4.5 9.9

1930 16.5 5.5 11.0

Categorías Frecuencias Pie El censo de 1921 se debió levantar en 1920 y se retrasó por el movimiento revolucionario. Fuente Censos generales de población Ejemplo 2: Cabeza Producción de azúcar en algunos estados México 1979 (Kilogramos) Categorías Variables Pie Fuente: Manual azucarero mexicano 1980 Actividad en el aula: Elabora tablas estadísticas con los siguientes enunciados a) El anuario estadístico de 1984 del Tecnológico de Jiquilpan nos dice que hasta

1983 había 137 egresados de los cuales de los cuales 80 eran hombres y 57 mujeres repartidos como sigue: 1° generación feb 81 17 hombres y 11 mujeres, 2° generación ago 81 23 y 15, 3° feb 82 11 y 10, 4° ago 82 5 y 1 y la 5° feb 83 por 24 y 13, presenta esta información por generación en una tabla estadística.

Entidad Producción

Campeche 30,013,100

Jalisco 365,217,400

Michoacán 131,218,800

Veracruz 1,018,439,850



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b) En la enciclopedia de México 3° Ed 1978 p 991, leemos que el número total de viviendas del país es de 8,826369, de las cuales 2,494,950 tiene muros de adobe, 3,658,146 de ladrillo y 2,133,273 de madera u otros materiales, esta información proviene del IX Censo General de Población de 1970, presenta esta información en una tabla de mayor a menor y con sus porcentajes.


1.5. Distribución de frecuencias

Cuando se dispone de un gran número de datos es útil el distribuirlos en clases o categorías y determinar el número de individuos pertenecientes a cada categoría que será la frecuencia de clase.



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Con base en la siguiente información, agrupa de forma descendente la cantidad de goles por país: Neymar (Br) 2, Cristiano Ronaldo (Pr) 3, Javier Hernández (Mx) 2, Leonel Messi (Ar) 4, Andrés Guardado (Mx) 3, Gonzalo Higuain (Ar) 1, Giovanni Do Santos (Mx) 1, Rafa Márquez (Mx) 4, Diego Armando Maradona (Ar) 2, Ángel Di María (Ar) 1, Renato Sánchez (Pr) 2, Pepe (Pr) 2, Kaká (Br) 1.

Goles por equipo

Clase o frecuencia categoría A esta misma tabla le podemos anexar más datos frecuenciales tal como la Frecuencia Relativa (fr) esta es el porcentaje de las frecuencias, Frecuencia Relativa Acumulada (fra) es la sumatoria de la fr y la Frecuencia Acumulada (fa) es la sumatoria de las frecuencias.

( )

∑

Goles por equipo

País Goles fa fr Fra

México 10 10 35.7 % 35.7 %

Argentina 8 18 28.6 % 62.4 %

Portugal 7 25 25.0 % 89.2 %

Brasil 3 28 10.7 % 100 %

Sumatoria 28 100 %

Nota: Al graficar las frecuencias anteriores fa y fra nos van a dar una curva suavizada ascendente según el caso, en cambio la fr puede variar, a la curva suavizada generada en el grafico se le llama Ojiva. Actividad en el aula: a) Un agente de tránsito registro durante un mes el número de accidentes en

motocicletas ocurridos en la avenida principal de Sahuayo. Los datos registrados son los siguientes:

País Goles

México 10

Argentina 8

Portugal 7

Brasil 3



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1, 2, 4, 1, 2, 0, 0, 2, 6, 6, 4, 5, 1, 5, 1, 1, 1, 5, 6, 5, 1, 4, 3, 4, 4, 4, 2, 3, 2, 2.

Con la información anterior elabora una tabla estadística en la que incluyas la variable ordenada de mayor a menor, sin repetir los valores, determina la frecuencia, la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada.

b) Un centro de salud en la sierra de Oaxaca realizó un estudio sobre el número de

hijos que tienen 48 familias que habitan en una comunidad indígena. Presentó los siguientes datos:

6, 3, 2, 3, 4, 3, 4, 4, 2, 1, 4, 5, 4, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 4, 0, 3, 2, 4, 3, 4, 2, 3, 1, 2, 4, 4, 3, 4, 2, 4, 0, 3, 2, 3, 1, 2, 4, 1, 2, 3, 5, 3.

Sin repetir los valores, determina la frecuencia, la frecuencia acumulada, la frecuencia relativa y la frecuencia relativa acumulada, para ello, elabora una tabla estadística en la que incluyas la variable ordenada de menor a mayor,



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1.6. Terminología de los datos agrupados El Intervalo de Clase es un símbolo que define a una clase, los Limites de Clase son los números extremos que aparecen en ese símbolo, el número menor será límite inferior de clase y el mayor límite superior, pero también existe el Intervalo de Clase Abierto donde no puede haber un límite inferior o superior definido, el Tamaño o la Anchura de Clase es la distancia entre el límite inferior al superior. Los Limites Reales de Clase son los puntos localizados a la mitad de todos los espacios aparentes de un conjunto de intervalos de clase. La Marca de Clase es el punto medio del intervalo de clase y se obtiene sumando los limites inferior y superior divididos entre dos, a esta marca también se le conoce como Punto Medio de Clase.

Edad de los alumnos del CBTIS 12, 2006

Edad (años) Cantidad

14 - 15 480

16 - 17 370

18 – 19 150

20 o mas 20



15

● Intervalo 14 – 15 ● Limites 14 inferior 15 superior. ● Int clase abierto 20 o mas ● Tamaño 15 -14= 1 ● Limites reales (15 +16) /2 = 15.5, también existe uno antes del primer Intervalo 13.5 ● Marca de clase (14 +15) / 2 = 14.5 Con las edades siguientes (mismas del grupo) presenta la información en una tabla estadística en orden ascendente donde contenga la frecuencia acumulada, relativa y relativa acumulada.

Edad de los alumnos del CBTIS 12, 2006

Edad (años) Cantidad fa fr fra

14 - 15 480 480 47.05% 47.05%

16 - 17 370 850 36.27 83.32

18 – 19 150 1000 14.70 98.02

20 o más 20 1020 1.96 100

Sumatoria 620 Presenta las calificaciones de los alumnos del 5º semestre del CBTIS 12 en una tabla estadística en orden descendente que contenga la fa, fr y fra. 5 5 9, 8, 7, 7, 7, 6, 6, 6, 6, 8, 9, 10, 9, 5, 6, 5, 6, 7, 6, 7, 8, 10, 10, 7, 8, 7, 8, 7, 10, 9, 8

Calificaciones de los alumnos de 5º semestre CBTIS 12

Calificación Numero fr fa fra

Actividad en el aula:



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a) La jornada diaria de trabajo en una empresa es como se menciona a continuación, con estos datos preséntalos en una tabla estadística en orden ascendente y que contenga sus frecuencias.

4, 3, 4, 4, 5, 6, 7, 7, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 4, 5, 6, 8, 8, 6, 5, 4, 4, 3, 8, 8, 8, 8, 8, 6, 5, 4, 4, 3, 3, 3, 3, 4, 4, 5, 6, 8, 6, 5, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 8, 5, 7, 4, 4, 3, 3, 4, 4, 5, 7, 7, 5, 4, 3, 4, 5, 5, 3, 7, 5, 4, 3, 8.

Jornada diaria de trabajo

Horas Trabajadores fr fa fra

b) Con los datos siguientes que presentan litros de leche vendida diariamente por un

pequeño comerciante durante un bimestre (junio – julio 05), construye una distribución agrupada (tabla) con 9 intervalos de clase y sus frecuencias.

29, 30, 26, 32, 44, 37, 27, 40, 40, 51, 57, 28, 46, 35, 26, 37, 42, 59, 61, 60, 34, 27, 52, 44, 46, 54, 35, 36, 41, 31, 45, 54, 33, 35, 37, 39, 42, 59, 60, 37, 36, 55, 39, 31, 36, 43, 49, 29, 38, 40, 28, 52, 35, 49, 32, 38, 43, 54, 59, 37.

1) Ordenar por frecuencias 26 – 2, 27 – 2, 28 – 2, 29 – 2, 30 – 1, 31- 2, 32 – 2, 33 – 1, 34 – 1 35 – 4, 36 – 3, 37 – 5, 38 – 2, 39 – 2, 40 – 3, 41 -1, 42 – 2, 43 – 2 44 – 2, 45 – 1, 46 – 2, 49 – 2, 51 – 1, 52 – 2, 54 – 3, 55 – 1, 57 – 1 59 – 3, 60 – 2, 61 – 1 2) Se determina el recorrido de la variable, es decir la diferencia entre el dato mayor menos el menor y se le añade una unidad con el fin de tener el total de datos potenciales Recorrido = Datos potenciales = 3) Se elige el número de intervalos que coincidan en forma simétrica y se dividen los datos potenciales entre el número de intervalos para determinar la amplitud Amplitud =



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Litros de leche vendidos jun – jul 05

Litros No. de veces fr fr fra


1.7. Gráficos estadísticos Uno de los objetivos de la estadística es comunicar los resultados de una investigación de manera clara y concisa, las representaciones graficas de esos resultados obedecen a una intención. Concentrados los datos en una tabla se puede hacer la representación grafica correspondiente, un Grafico Estadístico es la representación de los datos estadísticos por medio de figuras geométricas (punto, líneas, rectángulos, etc.) cuyas dimensiones son proporcionales al valor numérico de los datos. El grafico es útil para dar una rápida idea de la situación general que se esta analizando, permite determinar con simple vistazo máximos y mínimos, variaciones del fenómeno y determinar soluciones. a) Grafico de Barras.- La construcción de este grafico se basa en la representación de un valor numérico por un rectángulo. De la tabla siguiente construye un gráfico de barras



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Promedio por semestre del alumno Doroteo Arango

Semestre Promedio

1 72

2 66

3 84

4 92

5 80

6 88

NOTA: Las barras pueden ir o no separadas, independientemente de la variable, siempre debe haber u espacio entre el origen de las coordenadas y la primera barra. b) Grafico Circular o Pastel. - Es una forma alternativa del gráfico de barras, en su construcción se utiliza una circunferencia dividida en sectores angulares proporcional al valor de la variable. De la tabla anterior construye un gráfico circular con los promedios.

66 – 49º 84 – 63º 92- 69º 80 – 60º 88 – 65º

Promedio por semestre del alumno

Doroteo Arango

0

20

40

60

80

100

1º 2º 3º 4º 5º 6º

Semestre

Pro

med

io

Pormedio por semestre del alumno

Doroteo Arango

1º

2º

3º

4º

5º

6º



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a) Pictograma. - Es uno de los gráficos que atrae más la atención, consiste en

representar por medio de figuras magnitudes determinadas, su desventaja principal es que no permite hacer comparaciones satisfactorias.

d) Histograma. - Este es muy similar a grafico de barras nada más que con ciertas características, los centros de las barras sobre el eje “x” son las marcas de clase, además de prolongar estas marcas a línea inferior y superior. El polígono de frecuencias es la unión por medio de una línea de todas las frecuencias.

Altura de 100 estudiantes del CBTIS 12

Altura (pg) Cantidad

60 – 62 5

63 – 65 18

66 – 68 42

69 – 71 27

72 – 74 8

Primeramente, se determinan las marcas de clase 60 + 62 / 2 = 61, 64, 67, 70, 73, también se determina la inferior y superior Que son 58 y 76



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De la tabla de las planchas eléctricas elabora su histograma con su polígono de frecuencia. Marca de clase = 60 + 63 / 2 = 61.5, 65.5, 69.5, 73.5, 77.5, 81.5, 82, inf 57.5, sup 85.5

b) Gráfico de líneas. - Es muy útil para comparar los datos o más distribuciones,

esta consiste en unir por medio de segmentos de líneas las puntas que indican la frecuencia. Presenta la siguiente tabla por medio de un gráfico de líneas.

Altura de 100 alumnos del CBTIS 12

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

58 pg 61 pg 64 pg 67 pg 70 pg 73 pg 76 pg

Altura

Nº

de a

lum

no

s

Costo de planchas electricas

0

2

4

6

8

10

12

57.5 p

esos

61.5 p

esos

65.5 p

esos

69.5 p

esos

73.6 p

esos

77.5 p

esos

81.

5 pe

sos

85.5 p

esos

Costo

Nº

de t

ien

das



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Población rural y urbana México 1900 – 1980 (millones)

Año Urbana Rural

1900 2.6 11.0

1910 3.7 11.5

1921 4.5 9.9

1930 5.5 11.0

1940 6.9 12.8

1950 11.0 14.8

1960 17.7 17.2

1970 29.8 20.9

1980 44.6 23.3


a) Con la siguiente información construye una tabla estadística que contenga su fr., fa y fra. Las películas exhibidas en el DF según su nacionalidad en 1988 son mexicanas 705, alemanas 75, eeuu 2689, francesas 176, inglesas 71, italianas 142, otras 399, fuente Anuario Estadístico 1990.

Poblacion rural y urbana en Mèxico

0

10

20

30

40

50

60

1 2 3 4 5 6 7 8

Año

Millo

nes d

e h

ab

itan

tes

Rural

Urbana



22

Con la tabla anterior construye un gráfico de barras, vamos a eliminar a los EEUU por que nos queda muy asimétrica el grafico.



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b) Con los datos siguientes construye una tabla estadística con 4 intervalos y que contenga su fa, fr y fra, además elabora su histograma. La antigüedad en años de trabajo de un conjunto de docentes es la siguiente según el departamento de Recursos Humanos del CBTIS 12 en 2006.

7 6 10 7 12 11 14 10 14 12 9 6 8 13 3 10 3 10 12 5 14 10 7 5 4

Histograma



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Con la misma tabla grafica la frecuencia acumulada (ojiva)

Realiza Tarea No. 5:

2. MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL Y DE DISPERSIÓN

2.1. Medidas de tendencia central

Al describir grupos de diferentes observaciones, con frecuencia es conveniente resumir la información con un solo número. Este número que, para tal fin, suele situarse hacia el centro de la distribución de datos se denomina medida o parámetro de tendencia central o de centralización.

Dicho de otra manera, estas son categorías o puntos dentro del recorrido de una

variable y se les llama de tendencia central porque en torno a ellas parecen agruparse los datos. Sirven para resumir todo un conjunto de valores que se les consideran como sintetizadores, cualquier medida de tendencia central es un valor medio y tiene cada una su utilidad, las más comunes son la Media, Mediana y Moda.



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2.2. Media aritmética, geométrica y armónica

La Media aritmética es la más conocida de todas las medidas y se define como la suma de un conjunto de cantidades dividida entre el número de ellas, en otras palabras, es un promedio y se define con la siguiente fórmula.

∑

Felipe durante la 1ª unidad de probabilidad y estadística obtuvo las siguientes calificaciones en las evaluaciones continuas 6, 5, 8, 9, 7. Determina su promedio (media aritmética).


a) Telcel ha tenido un incremento durante la última semana del mes de marzo de 2017 en las ventas del celular iPhone 7 plus, como se registra a continuación: 7, 15, 4, 9, 10, 11, 7. Determina su promedio (media aritmética).

b) Los alumnos de 6° semestre grupo “M” de laboratorio clínico, realizaron durante 10 días tomas de muestra sanguínea, el registro se realizó como se muestra a continuación: 32, 41, 28, 36, 40, 23, 44, 38, 37, 27. Determina el promedio (media aritmética).

La Media Geométrica se define como la raíz n del producto de n términos, su uso permite el cálculo de tasas de crecimiento y se determina con la siguiente formula.

√

= Media aritmética (equis testada). ∑ = Sumatoria de valores. n = No. de valores

mg = Media geométrica x = variables n = Nº términos y raíz



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Se analizan los costos de un pantalón Levis en diferentes tiendas departamentales los cuales son: 700, 900, 690, 750 y 819, determina la media geométrica.

√ √

El crecimiento de las ventas del petróleo fue en los últimos 4 años de 8, 16, 17 y 19%, calcula le media geométrica anual de crecimiento. Nota: Como este problema contiene datos porcentuales, se utiliza una fórmula para calcular el factor de crecimiento de la variable, la cual se describe a continuación:

Ejemplo:

√

√( )( )( )( )

√


a) La tasa de interés de la caja popular Benito Juárez ha incrementado en los últimos 5 años 7%, 7.2%, 7.6% 7.8% y 8.1%, calcula la media geométrica anual de crecimiento.



27

b) El incremento anual de la gasolina magna en los últimos 10 años son los siguientes: 9.1%, 9.3%, 9.8%, 10.13%, 10.47%, 10.9%, 11.4%, 12.21%, 12.83%, 13%, calcula la media geométrica anual de crecimiento.

La Media Armónica (H) es un promedio que resulta poco influido por la existencia de datos muy grandes, pero en cambio es más sensible a valores pequeños. De una serie de números, es el reciproco de la media aritmética de los recíprocos de los números de la serie.

La compañía de transportes El sur de Jalisco tiene 3 autobuses que utiliza en el recorrido de Guadalajara a Jiquilpan, duran 4, 3 y 7 horas respectivamente, calcula el tiempo que empleara un autobús para hacer el recorrido por media armónica y que sirva de base para un estudio de costos.


a) La constructora Vaconsa solicita al CBTis No. 12, 6 alumnos de electricidad para que realicen la instalación eléctrica de 6 casas habitación, para ello tardan 5, 8, 7, 12, 6 y 10 horas respectivamente, calcula el tiempo que emplearan los alumnos para hacer la instalación por media armónica y que sirva de base para un estudio de costos.



28

b) Los empleados de Systecom realizan programas de cómputo, para ello emplean 9, 4, 3 y 8 horas respectivamente, calcula el tiempo que emplean para desarrollar los softwares por media armónica y que sirvan de base para un estudio de costos.


2.3. Mediana

La mediana (Me o ) tanto en la muestra como en la población, se define como el punto o dato que está en el 50% de los datos ordenados en forma ascendente o descendente, es decir, es el punto que divide a los datos de la población en la mitad superior e inferior o, dicho de otra manera, los divide en dos partes iguales. Se determina el número de datos con la formula siguiente.

Determina la mediana de las distribuciones siguientes: (a) 21 13 17 30 25 23 13 (b) 20 35 50 45 40 10 55 15 30 25

a)

la mediana es el 4º dato ordenado

13 13 17 21 23 25 30 por lo tanto Me = 21

b)

= 6 la mediana es el promedio del 5º y 6º dato

ordenado 10 15 20 25 30 Me 35 40 45 50 55

Me = mediana (dato que está en la posición) n = Número de datos (esta fórmula aplica cuando el Nº de datos es non). Nº = Número de orden (en el caso de datos

pares la mediana se encuentra entre este valor y el inmediato calculando su promedio) n = Número de datos



29

2.4. Moda La moda o valor modal, es el dato de la variable que aparece con mayor frecuencia en un conjunto de datos ya sea para observaciones cuantitativas o cualitativas, la moda puede no existir y también puede no ser única sino repetirse. Se simboliza por µmoda o moda. Determina la moda de las siguientes distribuciones o series: a) 2 3 2 4 4 2 5 2 b) 2 4 3 6 8 1 No hay moda c) 5 3 3 2 4 5 3 y 5 Ejemplo

De la siguiente serie de calificaciones determina su media aritmética, mediana, moda y elabora un gráfico de barras. 68 75 84 61 75 65 82 75 68 87 90 74 62 88 62 95 76 78 93 63 73 72 79 66 88 78 73 82 60 75 93 94 71 59 85 77 69 74 68 60 1º Ordenar los datos 59, 60, 60, 61, 62, 62, 63, 65, 66, 68, 68, 68, 69, 71, 72, 73, 73, 74, 74, 75, 75, 75, 75, 76, 77, 78, 78, 79, 82, 82, 84, 85, 87, 88, 88, 90, 93, 93, 94, 95.

Media o promedio ∑

=

= 75.42

Mediana

Me =

= 21 la mediana esta entre

el valor (posición) 20 y 21

Me =

75

Moda = 75



30

Del problema anterior construye una tabla estadística cuya amplitud de intervalo sea de 4 y que contenga sus frecuencias.

Calificación frecuencia fa fr % fra %

59 – 62 6 6 15 15

63 – 66 3 9 7.5 22.5

67 – 70 4 13 10 32.5

71 – 74 6 19 15 47.5

75 – 78 8 27 20 67.5

79 – 82 3 30 7.5 75

83 – 86 2 32 5 80

87 – 90 4 36 10 90

91 – 94 3 39 7.5 97.5

95 – 98 1 40 2.5 100

Actividad en el aula: a) Se visitaron 40 familias de la comunidad de Francisco Sarabia, Michoacán, con la

finalidad de conocer la cantidad de hijos que tienen. Con los siguientes datos recabados determina la media aritmética, mediana y moda, además, elabora un gráfico, así como su tabla estadística con sus frecuencias.

5 4 3 4 4 5 6 7 7 6 5 4 4 3 3 4 5 6 7 8 6 8 5 4 8 6 4 3 5 6 7 8 4 5 5 3 4 3 7 3 5 6 5 8 5 4 3 5 4 3

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

4.5

59 60 61 62 63 65 66 68 69 71 72 73 74 75 76 77 78 79 82 84 85 87 88 90 93 94 95

Alu

mn

os

Calificaciones

Promedio de calificaciones



31


2.5. Medidas de dispersión Una medida de tendencia central por sí sola no describe ni resume adecuadamente una distribución de datos, es necesario acompañarla de un indicador que dé cuenta del grado de heterogeneidad o dispersión con que se distribuyen los datos de la variable. Una medida de dispersión dice cuanto se desvían los datos respecto a las tendencias centrales.



32

2.6. Rango Se trata de las más simples de las medidas de dispersión y representa la distancia entre el valor máximo ( ) y el valor mínimo ( ) de los datos. Si bien da una primera idea acerca de la heterogeneidad, tiene el inconveniente de que sólo toma los dos valores extremos, sin considerar los valores internos. Así tenemos que se determina:

a) El profesor de matemáticas desea saber el número de días que los alumnos

utilizan el Geogebra como apoyo para realizar sus tareas, obteniendo los siguientes datos con los cuales debes de determinar la media aritmética, mediana, moda y rango.

4 7 1 4 5 3 2 4 6 4 1 1 2 6 7 4 3 1 4 2 4

Ordenamos lo datos 1 1 1 1 2 2 2 3 3 4 4 4 4 4 4 4 5 6 6 7 7 Media = 75 / 21 = 3.57 Me = 21 + 1 / 2 = 11º valor = 4 Moda = 4 Rango = 7 - 1 = 6 b) La nutrióloga Dennise Palomarez le solicito al paciente Jesús Arteaga registrará

durante un mes la cantidad de agua que consume diariamente en litros, a partir de los resultados arrojados calcula la media aritmética, mediana, moda y rango.

0.5 2 1.5 1 1 1.5 0.5 0.25 1.5 1.25 2 1.75 1.25 0.75 1.5 1.25 0.25 1.5 1 1.25 2 0.5 0.75 1.5 1.25 1.75 1 1.25 1 0.75 0.25 0.25 0.5 0.5 0.5 0.75 0.75 0.75 1 1 1 1 1 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.25 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.5 1.75 1.75 2 2 2 Media = 35.25 / 30 = 1.17 litros

Mediana

Me =

la mediana esta entre el

valor (posición) 15 y 16

Me =

1.25

Moda = 1.25 y 1.50 (bimodal) Rango = 2 - 0.25 = 1.75



33

Actividad en el aula: a) La escuela desea comprar unas impresoras para los centros de cómputo. Así que

el encargado de las compras se dio a la tarea de buscar los precios de los modelos disponibles en Office Depot obteniendo así la siguiente lista de precios.

4083, 1042, 9245, 1482, 3256, 5172, 2167, 2647, 3800, 2994, 3484, 3811, 2156, 3920. Con la información anterior, determina su media aritmética, mediana, moda y rango. b) El hospital regional de Sahuayo obtuvo el nivel de colesterol de una muestra de 15

personas; determina la media aritmética, mediana, moda y rango para los registros dados.

218, 276, 190, 234, 145, 236, 214, 182, 270, 116, 238, 238, 200, 288, 210.




34

2.7. Cuartiles y deciles A fin de conocer los intervalos dentro de los cuales quedan representados proporcionalmente los términos de una distribución, se divide la distribución de frecuencias en partes iguales para que cada una contenga igual número de observaciones. Para los cuartiles el número de datos totales “n” se divide en 4 partes iguales, estos son similares a porcentajes ya que el primer cuartil (Q1) se separa 25%, el segundo (Q2) 50%, el tercer (Q3) 75% y el último (Q₄ ) el 100% de la distribución de los datos, estos se calculan con las formulas siguientes.

En el caso del segundo cuartil no es necesario, es el mismo que la mediana.

Ejemplo De la siguiente relación de calificaciones ordenadas, determina el primer y tercer cuartil. 3.9 4.6 4.8 5.2 5.5 5.8 5.9 6.1 6.3 6.6 6.7 6.9 7.4 7.4 7.5 7.5 7.5 7.8 7.9 8.0 8.1 8.3 8.5 8.8 8.9 8.9 9.2 9.6 10

Esto quiere decir que nuestro primer cuartil se ubica entre la calificación 7 y 8, y el tercer cuartil entre la calificación 21 y 22.

Para los deciles se divide en 10 partes y cada uno contendrá el 10% designándose con la letra “D” con el número de decil y se calcula con las siguientes formulas.

Ejemplo De la relación de calificaciones del ejemplo anterior determina los deciles 3, 7 y 8.



35

En el caso del quinto decil no es necesario, es el mismo que la mediana


a) En el mes de enero el centro de salud tomo medidas de cintura a un grupo de mujeres al azar, mismas que se tomaron como base para la campaña contra la obesidad, con los datos arrojados encuentra el primer y tercer cuartil, así como el segundo, cuarto, séptimo y noveno decil.

68 75 84 61 75 65 82 75 68 87 90 74 62 88 62 95 76 78 93 63 73 72 79 66 88 78 73 82 60 75 93 94 71 59 85 77 69 74 68 60



36

b) La empresa contable Luna y asociados proporciono el sueldo diario de los trabajadores de Merza, con la finalidad de calcular el cuartil uno y tres, así como los deciles uno, tres, seis y ocho.

210 190 160 168 275 175 189 193 249 238 217 300 250 215 157 150 200 224 245 179 157 190 180 177 201


2.8. Desviación media Se define como la desviación promedio de los valores absolutos de las desviaciones de los datos de una variable con respecto a su media. En otras palabras, se resta el valor de cada dato con respecto a su media y se ignoran los signos negativos. Todo esto con el fin de observar y analizar la distancia que existe entre cada dato de estudio y su media. Finalmente se suman estas desviaciones y se dividen entre el total de elementos de la muestra y se calcula con la siguiente formula.

∑| |

Ejemplo A continuación, se presentan las faltas que tuvo Hugo de enero a septiembre en su trabajo con estos datos, encuentra la desviación media de los siguientes valores

7 4 3 4 5 1 4 6 2 ordenamos los datos 1 2 3 4 4 4 5 6 7

DM = Desviación media X = Datos o variables

= Media aritmética n = Número de datos



37

Media =

= 4

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )


a) Calcula la desviación media de los ingresos del gerente de la empresa “la única”

durante un año, 54 56 57 59 60 61 62 63 66 67 69 78 (registrados en miles de pesos)

Dato (x) Media ( ) | |

Total (sumatoria)



38

b) El hospital civil nos proporcionó la estadística de personas con presión sistólica que acudieron a tomarse la muestra durante el día, con estos datos calcula la desviación media.

152 128 132 124 116 126 134 136 142 114 110 124 118 134 138 112 140 128 134 128

Dato (x) Media ( ) | |

Total (sumatoria)




39

2.9. Varianza La varianza es la media aritmética de los cuadrados de las desviaciones respecto a la media aritmética. Si elevamos al cuadrado las desviaciones, logramos que todas las desviaciones den resultado positivo, sumando los cuadrados de las desviaciones y dividiéndolas entre “n” tenemos la varianza.

∑( )

Ejemplo

Martín Guerra durante los meses de enero a septiembre se le contabilizaron en su trabajo las siguientes asistencias, con estos datos, encuentra la desviación media de los valores presentados. Encuentra la varianza de los siguientes valores: 15 21 22 14 15 22 18 16 17

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

Actividad en el aula: a) La constructora RAGOCE proporcionó los tiempos (en minutos) que tardaron 15

electricistas en instalar las lámparas fluorescentes de la escuela primaria “Benito Juárez”, estos fueron seleccionados al azar. El director desea conocer la varianza de los resultados obtenidos.

31, 72, 29, 40, 26, 47, 39, 28, 44, 68, 29, 36, 70, 49, 37.

S = Varianza X = Datos o variables

= Media aritmética n = Número de datos



40

b) El Hospital Regional de Villamar solicito al director del CBTis No. 12 registrará

durante 22 días la cantidad de refresco que consume en familia diariamente en litros, a partir de los resultados arrojados calcula la varianza.

0.5 2 1.5 1 0.25 1.5 1.25 1.75 1.25 0.75 1.5 1.25 0.25 1.5 1 1.25 2 0.5 0.75 1.5 1.25 0.75

Dato (x) Media ( ) ( ) ( )

Total (sumatoria)



41


Dato (x) Media ( ) ( ) ( )

Total (sumatoria)



42

c) De la siguiente relación de calificaciones ordenadas del primer parcial del grupo 1° “A” de la especialidad de Laboratorio Clínico, determina la varianza.

3.9 4.6 4.8 5.2 5.5 5.8 5.9 6.1 6.3 6.6 6.7 6.9 7.4 7.4 7.5 7.5 7.5 7.8 7.9 8.0 8.1 8.3 8.5 8.8 8.9 8.9 9.2 9.6 10

Dato (x) Media ( ) ( ) ( )

Total (sumatoria)



43

2.10. Desviación típica o estándar La desviación típica o desviación estándar (denotada con el símbolo σ o s, dependiendo de la procedencia del conjunto de datos) es una medida de dispersión para variables de razón (variables cuantitativas o cantidades racionales) y de intervalo. Para conocer con detalle un conjunto de datos, no basta con conocer las medidas de tendencia central, sino que necesitamos conocer también la desviación que presentan los datos en su distribución respecto de la media aritmética de dicha distribución, con objeto de tener una visión de los mismos más acorde con la realidad al momento de describirlos e interpretarlos para la toma de decisiones. La desviación típica es una medida del grado de dispersión de los datos con respecto al valor promedio. Dicho de otra manera, la desviación estándar es simplemente el "promedio" o variación esperada con respecto a la media aritmética. Se define como la raíz cuadrada de la varianza de la variable.

√∑( )

Martín Guerra trabaja en la empresa “Osiris” la cual se dedica a realizar ventas telefónicas, en una semana realizo las siguientes ventas 3 6 8 2 4 7, encuentra la desviación típica de los datos proporcionados.

√∑( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

√

√

√



44

Actividad en el aula: a) Las calificaciones de geometría analítica de los alumnos de 3° semestre grupo “A”

de la carrera de Electricidad fueron las siguientes, para ello determina su desviación típica.

7 4 6 3 3 6 6 7 7 5 5 6 4 6 3 6 7 5 7 7

Dato (x) Media ( ) ( ) ( )

Total (sumatoria)



45

b) De los siguientes valores encuentra su rango, desviación media, varianza y desviación estándar.

3 2 5 8 2 5 11 21 7 1 11 4 3 15 4 5 16 6 13 10 8 9 4 3 12 1 12 11 6 17 5 2

Dato (x) ( ) ( ) ( ) Dato (x) ( ) ( ) ( )

Sumatoria Sumatoria




46

2.11. Regresión lineal El análisis de regresión lineal se basa en determinar la relación que existe entre dos variables, la variable independiente conocida comúnmente como variable de entrada (x) y la variable que se está tratando de predecir, es decir variable dependiente o de respuesta simbolizada (y). El método de los mínimos cuadrados busca calcular una ecuación de regresión para encontrar la recta que relacione un mejor ajuste o que minimice el error entre los puntos estimados, los estadísticos utilizan a menudo la siguiente ecuación.

= (y gorro) son los valores de los puntos estimados o dependientes. a = valor que intercepta a la variable dependiente y, cuando la variable independiente es igual a cero. b = pendiente de la recta, es decir, cómo cambia la variable dependiente para cambios en la variable independiente. x = valores que toma la variable independiente. Las ecuaciones siguientes servirán para encontrar la pendiente (b) y el valor de la intersección en “y” (a).

∑

∑

b = pendiente de la recta x = valores de la variable independiente y = valores de la variable dependiente

promedio de los valores de la variable dependiente

promedio de los valores de la variable independiente n = total de datos o variables

a = valor que intercepta a “y”

promedio de los valores de la variable dependiente

promedio de los valores de la variable independiente b = pendiente de la recta

Ejemplo

Una compañía automotriz sabe que sus ingresos anuales dependen de sus ventas, la siguiente tabla muestra la información de los últimos seis años y su gráfica. Con esta información realiza un análisis de regresión lineal para predecir los ingresos del siguiente año si se venden 4,000 vehículos.



47

Año Ventas anuales en número de autos (x)

Ingresos anuales (y)

2000 2.50* 310**

2001 5.50 880

2002 3.00 500

2003 3.25 530

2004 4.40 720

2005 4.75 680

*Miles de unidades **Millones de pesos Primeramente, graficaremos:

El siguiente cuadro facilitara los cálculos de la regresión.

Año Ventas

anuales (x) Ingresos

anuales (y) xy x2

2000 2.50 310 775 6.25

2001 5.50 880 4840 30.25

2002 3.00 500 1500 9

2003 3.25 530 1722.5 10.5625

2004 4.40 720 3168 19.36

2005 4.75 680 3230 22.5625

Totales 23.4 3620 15235.5 97.985

Promedios 3.9 603.33

∑

∑ ( )

( )

( )

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6

Ingr

eso

s

Número de autos

Predicción de ingresos



48

Sustituimos estos valores en la ecuación para determinar la regresión lineal.

Usando esta ecuación de estimación podemos predecir que para el próximo año si se venden 4,000 vehículos, se espera un ingreso de:

( ) Actividad en el aula: Un maestro tiene las calificaciones de dos evaluaciones aplicadas a 18 alumnos, desea predecir la segunda calificación si conoce la primera. Determina la ecuación de la regresión lineal para ayudar al maestro.

Alumno 1ª Calificación (X) 2ª Calificación (Y)

1 5.0 6.9

2 6.6 8.5

3 7.3 8.8

4 8.4 7.0

5 6.1 5.2

6 6.5 7.3

7 5.4 5.1

8 5.4 4.4

9 7.5 5.2

10 4.2 4.8

11 9.5 9.1

12 8.2 7.0

13 8.6 9.8

14 7.1 7.5

15 5.7 6.9

16 8.1 8.6

17 8.3 9.1

18 8.9 8.7



49

Primeramente graficamos y luego las operaciones de la tabla

Alumno 1ª Calificación (X) 2ª Calificación (Y) XY

Totales

Promedios



50

Calculamos el valor de a y b con los datos de la tabla Sustituimos estos valores en la ecuación para determinar la regresión lineal. Usando esta ecuación de estimación podemos predecir que para el próximo parcial el alumno saque un 8, se espera una calificación de:


3. PROBABILIDAD

3.1. Introducción a la probabilidad

La probabilidad ha sido usada por el hombre desde hace mucho tiempo, sobre todo en los juegos de azar. Sin embargo, su crecimiento comenzó en el siglo XVII, cuando un noble francés llamado Antoine Gombaud (1607-1684) sintió curiosidad por las bases matemáticas para acertar o fallar en los juegos de azar, especialmente en los dados, por lo tanto:

La probalidad se puede definir como una rama de las matemáticas que construye y estudia los métodos para medir y analizar fenómenos aleatorios, en los cuales cada resultado posible es producto del azar.

El fenómeno aleatorio es un fenómeno fundado en la experiencia, el cual al repetirlo y observarlo sin que cambien las condiciones en que se desarrolla no siempre produce el mismo resultado, sino que los datos o mediciones suceden con regularidad estadística.



51

Ahora bien, al espacio muestral o universo lo podemos definir como el conjunto

de todos los resultados posibles que pueden ocurrir al practicar un experimento, este se denota con la letra S, y un evento es el subconjunto de un espacio muestral.

3.2. Teoría de conjuntos

Un conjunto es toda clase de objetos definida apropiadamente y un elemento es una parte de un conjunto.

Los conjuntos se denotan con letras mayúsculas A, B, C,…, y sus elementos se

encierran dentro de las llaves {1,2,3…}. A = { a,b,c } el conjunto A está formado por a, b y c

Símbolo Descripción Ejemplo

Є Pertenencia b Є A b pertenece a A

No pertenencia d Є A d no pertenece a A

С Contenido en A C B A esta contenido en B

No contenido D C B D no esta contenido en B

I Tal que x I x x tal que x es par

U Universo El universo esta formado por

Conjunto vacio No existe ningún elemento U Unión A U B A unión B

∩ Intersección A ∩ B A intersección B

\ La diferencia A \ B la diferencia d A y B

xc Complemento absoluto Ac el conjunto de elementos que no pertenecen a A

Ejemplo Sean U = { 1,2,…8,9 }, A = { 1,2,3,4 }, B = { 2,4,6,8 } y C = { 3,4,5,6 }, encontrar a) A U B b) A ∩ C c) Ac d) (A ∩ C) c f) B \ C a) A U B consta de los elementos de A o de B o de ambos, A U B = {1,2,3,4,6,8}



52

b) A ∩ C consta de los elementos comunes a A y C, A ∩ C = { 3,4 }

c) Ac consta de los elementos del U que no están en A, Ac = { 5,6,7,8,9 }

d) (A ∩ C) c consta de los elementos de U que no están A ∩ C, (A ∩ C) c = { 1,2,5,6,7,8,9 }

e) B \ C consta de los elementos de B que no están en C, B \ C = { 2,8 }



53

3.3. Principio de la multiplicación Si un evento puede realizarse de n1 maneras diferentes, y si continuando el procedimiento, un segundo evento puede realizarse de n2 maneras diferentes, y si después hubiera un tercer evento que se realizara de n3 maneras diferentes y asi sucesivamente, entonces el número de maneras en que los eventos pueden realizarse en el orden indicado será su producto n1 n2 n3…, existen dos tipos de principio o muestreo: I) Con reemplazo, este se lleva a cabo cuando sucedido un evento, el elemento seleccionado si se vuelve a contabilizar para el siguiente. Ejemplo en el aula Supongamos que una placa de un automóvil consta de 2 letras y 3 números, cuantas placas diferentes pueden hacerse con reemplazo. La 1ª letra puede colocarse de 28 maneras diferentes, la 2ª de 27 puesto que no pueden ser iguales las dos, para los números el 1º no puede ser cero así que son 9 y para los otros dos será de 10 formas, quedando:

28 x 28 x 10 x 10 x 10 =784,000 II) Sin reemplazo, este se lleva a cabo cuando sucedido un evento, el elemento seleccionado si se vuelve a contabilizar para el siguiente. Ejemplo en el aula Tenemos un juego de domino, de cuantas formas diferentes puedo escoger 7 fichas sin repetición para iniciar mi juego.

Un juego de domino consta de 28 ficha, asi que para la 1ª ficha tenemos 28 posibilidades, para la 2ª se le quita una y es 27 y así sucesivamente vamos quitando de a una hasta la séptima quedando:

28 x 27 x 26 x 25 x 24 x 23 x 22 = 5,967,561600 Actividad en el aula:

En un concurso de matemáticas participan tres personas A, B y C, determina el total de formas en que pueden quedar los participantes sin reemplazo.



54

Una caja contiene cuatro esferas numeradas del 1 al 4, el experimento consiste en calcular los resultados posibles al extraer dos esferas con reemplazamiento.

En una final de atletismo participan 8 competidores de diferentes países, determina los posibles, hay una regla que no deben haber empates. Unos niños están jugando un juego de mesa para dicho juego se necesitan tirar tres 3 dados al mismo tiempo y nada más tienen uno, calcula los resultados que le podrán salir a un participante al tirar tres veces seguidas el mismo dado.

Se quiere asignar un código alfanumérico a los habitantes de un país el cual consta de 3 números y 3 letras, el programador le comenta que dicho código no puede empezar con el cero, encuentra la cantidad de códigos que se pueden generar con reemplazamiento.


3.4 Diagrama de árbol Un diagrama de árbol es un dibujo que se usa para enumerar todos los resultados posibles de una serie de experimentos en donde cada experimento puede suceder en un número finito de maneras. Ejemplo



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En un concurso de matemáticas participan tres personas a, b y c, por medio de un diagrama de árbol determina el total de formas en que pueden quedar los participantes sin repetición.

Un hombre desea jugar ruleta y tiene 4 oportunidades para hacerlo, en cada juego tiene dos opciones gana o pierde, este hombre inicia con un peso de capital, encuentra el número de casos en que puede apostar por medio de un diagrama de árbol.


a) Una caja contiene cuatro esferas numeradas del 1 al 4, el experimento consiste en encontrar los resultados posibles por medio de un diagrama de árbol al extraer dos esferas con reemplazamiento.



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b) Libia tiene 2 pantalones uno azul y otro negro, 3 blusas una verde, rosa y naranja, y además 2 chamarras una café y otra roja, por medio de un diagrama de árbol determina como se puede vestir Libia.




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3.5. Notación factorial o factorial El producto de los enteros positivos desde el 1 hasta n, se emplea con mucha frecuencia en matemáticas y se denota por el símbolo n! y se lee n factorial. n! = 1 · 2 · 3 ····· (n – 2)(n – 1) n Nota: 0! = 1 ) ) ) )

)

)

)

)

)

)

3.6. Permutaciones Una ordenación de un conjunto de n objetos en un orden dado se llama permutación de los objetos (tomados todos a la vez). Una ordenación de un número r de dichos objetos, r ≤ n, en un orden dado se llama permutación r o una permutación de los n objetos tomados r a la vez.

Permutaciones sin repetición.- Esto quiere decir que vamos a permutar n objetos r a la vez y se indica con la formula siguiente.

( )

( )

P = Permutaciones n = Total de objetos r = Número de veces

Ejemplo Hallar el número de permutaciones de 6 letras a, b, c, d, e, f sin repetición tomando 3 a la vez, en otras palabras encontrar el número de siglas de 3 letras diferentes que pueden formarse con 6.



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( )

( )

Encuentra el número de permutaciones sin repetición de 10 jugadores para formar un equipo de 5 personas.

( )

( )

Permutaciones con repetición.- Con frecuencia se desea saber el número de

permutaciones de objetos de los cuales algunos son iguales, y se determina con la siguiente formula.

P = Permutaciones n = Total de objetos r = Número de objetos diferentes

Ejemplos Cuantas señales diferentes pueden hacerse con 8 banderas colocadas en línea vertical si son 4 rojas, 3 blancas y una azul si podemos repetirlas.

De cuantas formas diferentes podemos sacar 6 canicas de una bolsa si 2 son rojas, 2 blancas y 2 azules si podemos regresar a la bolsa las canicas.

Actividad en el aula: a) El profesor que imparte la clase de música de la casa de la cultura tiene 12

alumnos, necesita hacer equipos de 4 integrantes para una presentación, de cuantas formas puede formar los equipos sin que se repitan los integrantes.



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Se ordena en una fila 5 integrantes del equipo Morelia, 2 de Zamora y 3 de Uruapan, encuentra de cuantas formas posibles los podemos ordenar con repetición.


3.7. Combinaciones Supongamos que tenemos una colección de n objetos, una combinación de estos n objetos tomados r a la vez, o una combinación r, es un subconjunto de r elementos. En otras palabras, una combinación r es una selección de r o n objetos donde el orden no se tiene en cuenta, y se determinan así.

( ) (

)

C = Combinaciones n = Total de objetos r = Número de veces

Ejemplos Cuantos comités de 3 personas se pueden formar con 8, cada comité es esencialmente una combinación de las 8 personas tomadas 3 a la vez.

( ) (

)

De cuantas maneras puede escogerse una planilla compuesta por 3 hombres y 2 mujeres, de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres

De los 7 hombres se pueden escoger 3 (

) y de las 5 mujeres 2 (

) quedándonos una

multiplicación.

(

) (

) (

) (

)

Actividad en el aula: a) Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen de las cuales

las primeras 3 son obligatorias.



60

b) De cuantas formas se pueden mezclar los colores de arco iris tomando de cuatro.

c) En un juego de apuestas debo de escoger 7 resultados de 49 posibles, de cuantas

formas puedo escoger dichos aciertos. d) A una reunión asisten 10 personas y se intercambian saludos entre todos, cuantos

saludos se han intercambiado. e) En una urna tenemos 7 pelotas numeradas del 1 al 7, calculemos el número de

combinaciones que podemos sacar primero 2 pelotas, después 3 y finalmente 2.




61

3.8. Probabilidad condicional Sea un evento arbitrario de un espacio muestral S con P(E) > 0, la probabilidad de que un evento A suceda una vez que E haya sucedido, o en otras palabras, la probabilidad condicional de A dado E y se escribe P(A I E) y se determina con la siguiente formula.

( | ) ( )

( )

P(A I E) = Probabilidad condicional P(A ∩ E) = Número de elementos de la intersección entre A y E P(E) = Número de elementos de E

Si lanzamos dos dados al aire y si la suma es 6, hallar la probabilidad de que uno de los dados sea 2. E = la suma de los dados es 6 (1,5) (2,4) (3,3) (4,2) (5,1) = 5 A = aparece en la suma por lo menos un 2 (2,4) (4,2) = 2

( | ) ( )

( )

Se lanza un par de dados al aire, y si la suma de sus números es igual o mayor que 10 hallar la probabilidad si (a) aparece un 5 en cual quiera de los dados y (b) aparece un 5 en el primer dado. a) E = (5,5) (5,6) (6,5) A = (5,5) (5,6) (6,5) P(A I E) = 3 / 3 = 100% b) E = (5,5) (5,6) (6,5) A = (5,5) (5,6) P(A I E) = 2 / 3 = 66.66% Actividad en el aula: Se escogen al azar dos dígitos del 1 al 9, si la suma es par, hallar la probabilidad de que ambos números sean impares.

Con sustitución



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Sin sustitución Se lanza un par de dados al aire, si los números que aparecen son diferentes, hallar la probabilidad de que (a) la suma sea de 6 y (b) aparezca un 1.


3.9. Teorema de la multiplicación de la probabilidad condicional Si A y B son eventos contenidos en el mismo espacio muestral S, donde P(A)>0 y P(B)>0, entonces P(A∩B) = P(A) P(B|A) quedándonos la siguiente fórmula para n eventos.

P(A1∩A2∩….An) = P(A1) P(A2 I A1) P(A3 I A1∩A2) ….P(An I A1∩A2∩ ….An-1)

Ejemplo Un lote de 12 artículos tiene 4 defectuosos, se toman al azar 3 de ellos uno tras otro, hallar la probabilidad de que los tres estén buenos.



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La probabilidad de que el primer artículo no sea defectuoso es 8/12 puesto que 4 de los 12 son defectuosos, para el segundo no defectuoso seria 7/11 puesto que ya sacamos 1 de los 12 y para el tercero seria 6/10 quedándonos así.

Una clase tiene 12 niños y 4 niñas, si se escogen tres estudiantes al azar, cual es la probabilidad de que (a) todos sean niños y (b) todas sean niñas.

)

)

Actividad en el aula: a) Un jugador reparte 5 cartas de una baraja americana, cual es la probabilidad de

que todas sean corazones rojos. b) Una urna contiene 7 bolas rojas y 3 blancas, se sacan 3 una tras otra, hallar la

probabilidad de (a) todas sean blancas, (b) las dos primeras rojas y tercera blanca y (c) la primera blanca la segunda roja y la tercera blanca.




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3.10. Teorema de Bayes Las particiones son varios eventos A1, A2…, An, que forman un espacio muestral S, el teorema de Bayes combina al evento S con otro evento B por medio de la probabilidad condicional quedándonos la siguiente formula.

( | ) ( ) ( | )

( ) ( | ) ( ) ( | ) ( ) ( | )

Ejemplo Tres máquinas A, B y C producen respectivamente 50%, 30% y 20% del número total de artículos de una fábrica, los porcentajes de desperfectos en estas máquinas son 3%, 4% y 5%, si se selecciona al azar un artículo, hallar la probabilidad de (a) que el articulo sea defectuoso de la máquina A y (b) este mismo artículo no sea defectuoso de la maquina C.

) ( | )

( ) ( ) ( )

) ( | )

( ) ( ) ( )

En cierta escuela 4% de los hombres y 1% de las mujeres miden 6 pies o más, además 40% de los estudiantes son hombres, ahora bien si se selecciona un estudiante al azar y mide más de 6 pies, cual es la probabilidad de que sea mujer.

( | )

( ) ( )

Actividad en el aula: a) Un equipo de fútbol se conforma de cuatro líneas de jugadores portero (9%),

defensas (37%), medios (27%) y delanteros (27%), donde los goles anotados por el equipo en cada línea son portero 1 gol, defensas 11 goles, medios 15 goles y delanteros 23, supongamos que en un partido se gana por un gol que probabilidad hay de que este fuera anotado (a) por la defensa, (b) por los medios y (c) por los delanteros.



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b) A un congreso asisten 100 personas de las cuales 65 son hombres y 35 mujeres,

se sabe que el 10% de los hombres y el 6% de las mujeres tienen estudios a nivel maestría. Si se selecciona un maestro al azar que probabilidad existe de que sea (a) mujer y (b) hombre.


3.11. Procesos Estocásticos o finitos Una sucesión (finita) de experimentos en los cuales cada experimento tiene un número finito de resultados con probabilidades dadas se llama un Proceso Estocástico (finito). Una manera conveniente de describir tal proceso y calcular la probabilidad de un evento se obtiene por medio de un diagrama de árbol, el teorema de la multiplicación nos ayuda a determinar la probabilidad porcentual. Ejemplo Se toman 3 cajas y contienen lo siguiente, la 1ª 10 lámparas de las cuales 4 están dañadas, la 2ª contiene 6 con una defectuosa y la 3ª contiene 8 con 3 defectuosas, que probabilidad hay de que si tomamos una lámpara de cualquier caja esta sea defectuosa. Primeramente haremos el diagrama de árbol correspondiente al problema e incluiremos sus probabilidades en forma fraccionaria (D-defectuosa y N-normal).



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La probabilidad de que una trayectoria determinada del árbol suceda según el teorema de la multiplicación, es el producto de las probabilidades de cada rama de la trayectoria, pero como tenemos tres cajas entonces será la suma de las tres trayectorias.

(

) (

) (

)

Del problema anterior que probabilidad hay de escoger una lámpara defectuosa de la 1ª caja.

Se lanza una moneda al aire, si sale águila escogeremos un número de 1 al 9 si sale sello del 1 al 5, hallar la probabilidad de que el número que se escoja sea par.

(

) (

)



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Actividad en el aula: a) La caja A contiene 9 cartas numeradas del 1 al 9 y la caja B 5 del 1 al 5, se

escoge una caja al azar y se saca una carta, si el número es par hallar la probabilidad de que la carta proceda de la caja A.

Primero hacemos el diagrama de arbol Luego calcularemos la probabilidad con las dos trayectorias. Enseguida la probabilidad con la trayectoria de la caja A. Posteriormente aplicaremos la fórmula de la probabilidad condicional. b) Tenemos 3 urnas como sigue, en la urna A contiene 3 canicas rojas y 5 blancas, la

B 2 rojas y 1 blanca y la C 2 rojas y 3 blancas, se selecciona una urna al azar y se saca una canica, si la canica es roja cual es la probabilidad de que proceda de la urna B.



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Primero elaboramos el diagrama de árbol Luego calculamos la probabilidad general para todas las canicas rojas Enseguida la probabilidad para la canica roja de forma individual en la urna B Finalmente la probabilidad condicional




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3.12. Eventos independientes Se dice que un evento B es independiente de un evento A si la probabilidad de que B no está influenciada porque A haya o no sucedido. En otras palabras si la probabilidad de B iguala la probabilidad condicional de B dado A: P( B I A ) serán eventos independientes y se determina con la formula siguiente.

( ) ( ) ( )

P(A ∩ B) = Número de elementos de la intersección entre A y B P(A) = Número de elementos de A P(B) = Número de elementos de B

Ejemplo

José y Miguel lanzaran un dado al aire cada uno, que probabilidad existe de que a ambos su lanzamiento caiga el número uno. El espacio muestral es S = {1, 2, 3, 4, 5, 6} y para que coincidan ambos lanzamientos es de 1 de 6 números por lo tanto la probabilidad de ambos es de 1/6.

( ) ( ) ( )

Se lanza una moneda al aire tres veces, cual es la probabilidad de obtener tres sellos. Como son eventos independientes, la probabilidad total es el producto de las probabilidades individuales, primer lanzamiento 1 de 2 eventos, el segundo 1 de 2 eventos y el tercero 1 de 2 eventos.

( ) ( ) ( ) ( )

Actividad en el aula: a) Se lanza un dado dos veces, cual es la probabilidad de que el primer lanzamiento

sea un 3 y el segundo un número impar.



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b) Un estudiante responde al azar 5 preguntas de falso y verdadero en un examen, cual es la probabilidad de que acierte todas las preguntas.

c) En una fonda se ofrece una comida donde se puede elegir 2 tipos de sopas, 3

guisados y 5 postres, de los cuales no me gustaron 2 guisados y 3 postres, cual es la probabilidad de que me toque un menú de mi agrado seleccionado al azar.


Referencias bibliográficas

Bibliografía:

Trujillo Domínguez, Hilda. (2014). Probabilidad y estadística. México. Colección DGETI.

Magaña, Luis. (año). Estadística y probabilidad. Editorial. País

Lipschutz, Seymour. (año). Probalidad. Mc. Graw Hill. México.

Fuenlabrada, Samuel. (año). Probalidad y estadística. Mc. Graw Hill. México

Cibergrafía:

Disponible en: https://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_tendencia_central consultado el 20 de diciembre de 2016.

Disponible en:

https://es.wikipedia.org/wiki/Medidas_de_tendencia_central



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probabilidad y estadÍstica - …academico.cbtis12.edu.mx/contenido/matematicas/prob_esta/guia...

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