capitulo 2 de probabilidad

CAPITULO 2

PROBABILIDAD

PROBABILIDAD

Fundamentos

Espacio muestral

Eventos.

Probabilidad de un evento.

Reglas aditivas.

Probabilidad condicional.

Reglas multiplicativas.

Regla de Bayes

PROBABILIDAD-Fundamentos

Formulas de Conteo


Permutaciones:

Son los arreglos diferentes que pueden hacer con los elementos de un grupo.

En estos arreglos se debe considerar el orden de los elementos incluidos.


CASOS ESPECIALES PERMUTACIONES

1.- PERMUTACIONES CON TODOS LOS ELEMENTOS


Arreglo Circular

Permutaciones con elementos repetidos


Combinaciones

Son los arreglos que se pueden hacer con los elementos de un conjunto considerando que el orden de los elementos de cada arreglo no es de inters.


Experimentos estadsticos

PROBABILIDAD-Espacio Muestral

ESPACIO MUESTRAL


En algunos experimentos es til listar los elementos del espacio muestral de forma sistemtica mediante un diagrama de rbol. En un experimento en lanzar una moneda y despus lanzarla una segunda vez si sale cara. Si sale cruz en el primer lanzamiento, entonces se lanza un dado una vez. Para listar los elementos del espacio muestral que proporcione la mayor informacin, construimos el diagrama de rbol de la siguiente figura.

PROBABILIDAD-EVENTOS

EVENTOS


Dado el espacio muestral S= {t|t0}, donde t es la vida en aos de cierto componente electrnico, entonces el evento A de que el componente falle antes de que finalice el quinto ao es el subconjunto A = {t|0 t


EVENTOS- COMPLEMENTO

El COMPLEMENTO de un evento A con respecto a S es el subconjunto de todos los elementos de S que no estn en A. Denotamos el complemento de A mediante el simbolo A

Considere el espacio muestral: S= {libro, catalizador, cigarrillo, precipitado, ingeniejro, remacho}

Sea A= {catalizador, remache, libro, cigarrillo}. Entonces A= {precipitado, ingeniero}

PROBABILIDAD- PROBABILIDAD DE UN EVENTO

-Algebra


PROBABILIDAD DE UN EVENTO


La PROBABILIDAD de un evento A es la suma de los pesos de todos los puntos muestrales en A. Por tanto,

0P(A)1, P()=0 , P(S)=1


Asignacin de Probabilidad de Eventos


Una clase de estadstica para ingenieros consta de 25 estudiantes de ingeniera industrial, 10 de mecnica, 10 de elctrica y 8 de civil. Si el profesor elige a una persona al azar para que conteste una pregunta, encuentre la probabilidad de que el estudiante elegido sea a) un estudiante de ingeniera industrial, b) uno que de ingeniera civil o elctrica.


En una mano de pquer que consiste en 5 cartas, encuentre la probabilidad de tener 2 ases y 3 jacks.

PROBABILIDAD- PROBABILIDAD DE UN EVENTO-Reglas aditivas

TEOREMA 1


Corolario 1

Corolario 2


Una coleccin de eventos {A1, A2, . . .An} de un espacio muestral S se denomina una particin de S si A1, A2, . . . , An son mutuamente excluyentes y A1 A2 An = S. Por lo tanto, tenemos:

Corolario 3


Ejercicio: 1.- Al final del semestre, Juan se va a graduar en la facultad de ingeniera industrial en una universidad. Despus de tener entrevistas en dos compaas donde quiere trabajar, l evala la probabilidad que tiene de lograr una oferta de empleo en la compaa A como 0.8, y la probabilidad de obtenerla de la compaa B como 0.6. Si, por otro lado, considera que la probabilidad de que reciba ofertas de ambas compaas es 0.5, cul es la probabilidad de que obtendr al menos una oferta de esas dos compaas? 2.- Cul es la probabilidad de obtener un total de 7 u 11 cuando se lanza un par de dados?


TEOREMA 2

Ejercicio:

Si las probabilidades de que un individuo que compra un automvil nuevo elija color verde, blanco, rojo o azul son, respectivamente, 0.09, 0.15, 0.21 y 0.23, cul es la probabilidad de que un comprador dado adquiera un automvil nuevo que tenga uno de esos colores?


TEOREMA 3 Si las probabilidades de que un mecnico automotriz d servicio a 3, 4, 5, 6, 7, 8 o ms vehculos en un da de trabajo dado son 0.12, 0.19, 0.28, 0.24, 0.10 y 0.07, respectivamente, cul es la probabilidad de que d servicio al menos a 5 vehculos el siguiente da de trabajo?

PROBABILIDAD- PROBABILIDAD DE UN EVENTO-Probabilidad condicional

La probabilidad de que un evento B ocurra cuando se sabe que ya ocurri algn evento A se llama probabilidad condicional y se denota con P(B|A). El smbolo P(B|A), por lo general, se lee la probabilidad de que ocurra B dado que ocurri A o simplemente la probabilidad de B, dado A.


Ejercicio: Suponga que nuestro espacio muestral S es la poblacin de adultos en una pequea ciudad que cumplen con los requisitos para obtener un ttulo universitario. Debemos clasificarlos de acuerdo con su sexo y situacin laboral:

Uno de estos individuos se seleccionar al azar para que realice un viaje a travs del pas para promover las ventajas de establecer industrias nuevas en la ciudad. Nos interesaremos en los eventos siguientes:

M: se elige a un hombre, E: el elegido tiene empleo.


Ejercicio:

La probabilidad de que un vuelo programado normalmente salga a tiempo es P(D) = 0.83; la probabilidad de que llegue a tiempo es P(A) = 0.82; y la probabilidad de que salga y llegue a tiempo es P(D A) = 0.78. Encuentre la probabilidad de que un avin a) llegue a tiempo, dado que sali a tiempo; y b) sali a tiempo, dado que lleg a tiempo.

PROBABILIDAD- PROBABILIDAD DE UN EVENTO-Probabilidad condicional-

EVENTOS INDEPENDIENTES

Se sacan 2 cartas, una despus de la otra, de una baraja ordinaria, con reemplazo. Los eventos se definen como A: la primera carta es un as, B: la segunda carta es una espada. Como la primera carta se reemplaza, nuestro espacio muestral para la primera y segunda cartas consiste en 52 cartas, que contienen 4 ases y 13 espadas. Entonces:

PROBABILIDAD- PROBABILIDAD DE UN EVENTO-Reglas multiplicativas

TEOREMA

As la probabilidad de que ocurran A y B es igual a la probabilidad de que ocurra A multiplicada por la probabilidad condicional de que ocurra B, dado que

ocurre A.


EJERCICIO

Una bolsa contiene 4 bolas blancas y 3 negras, y una segunda bolsa contiene 3 blancas y 5 negras. Se saca una bola de la primera bolsa y se coloca sin verla en la segunda bolsa. Cul es la probabilidad de que ahora se saque una bola negra de la segunda bolsa?


TEOREMA


Una pequea ciudad tiene un carro de bomberos y una ambulancia disponibles para emergencias. La probabilidad de que el carro de bomberos est disponible cuando se necesite es 0.98 y la probabilidad de que la ambulancia est disponible cuando se le requiera es 0.92. En el caso de que resulte un herido de un edificio en llamas, encuentre la probabilidad de que tanto la ambulancia como el carro de bomberos estn disponibles.


TEOREMA

Se sacan tres cartas una tras otra, sin reemplazo, de una baraja ordinaria. Encuentre la probabilidad de que ocurra el evento A1 A2 A3, donde A1 es el evento de que la primera carta sea un as rojo, A2 el evento de que la segunda carta sea un 10 o un jack, y A3 el evento de que la tercera carta sea mayor que 3 pero menor que 7.


PROBABILIDAD- PROBABILIDAD DE UN EVENTO-Reglas de BAYES

Teorema de probabilidad total o regla de eliminacin


En cierta planta de ensamble, tres mquinas, B1, B2 y B3, montan 30, 45 y 25% de los productos, respectivamente. Por la experiencia pasada se sabe que 2, 3 y 2% de los productos ensamblados por cada mquina, respectivamente, tienen defectos.

Ahora, suponga que se selecciona de forma aleatoria un producto terminado. Cul es la probabilidad de que est defectuoso?


TEOREMA


Con referencia al ejemplo anterior, si se elige al azar un producto y se encuentra que est defectuoso, cul es la probabilidad de que est ensamblado con la mquina B3?


Una empresa de manufactura emplea tres planes analticos para el diseo y desarrollo de un producto especfio. Por razones de costos, los tres se utilizan en momentos diferentes. De hecho, los planes 1, 2 y 3 se utilizan, respectivamente, para 30, 20 y 50% de los productos. La tasa de defectuosos es diferente para los tres procedimientos, es decir, donde P(D|Pj) es la probabilidad de un producto defectuoso, dado el plan j. Si se observa un producto al azar y se encuentra que est defectuoso, cul fue el plan que se us con mayor probabilidad y fue el responsable?

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