ejercicios resueltos de probabilidad 1 · ejercicios resueltos de probabilidad 2

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Ejercicios resueltos de probabilidad 1 I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González 1. Se considera el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire y anotar el número de la cara superior. Hallar: a) El espacio muestral. b) El suceso A=”obtener número par” c) El suceso B=”obtener número primo” d) El suceso C=”obtener número múltiplo de 3” e) La unión e intersección de cada dos de los sucesos de los apartados anteriores f) Los sucesos: A c , B c , C c a) Ω = {1,2,3,4,5,6} b) A = {2,4,6} c) B = {2, 3,5} d) C = {3,6} e) AIB = {2} AUB = {2,3,4,5,6} AIC = {6} AUC = {2,3,4,6} CIB = {3} CUB = {2,3,5,6} AIBIC = Ø AUBUC = {2,3,4,5,6} f) A c = {1,3,5} B c = {1,4,6} C c = {1,2,4,5} 2. Se lanzan al aire dos dados distintos. Determinar: a) El espacio muestral b) El suceso A=”los números de las caras suman 7” c) El suceso B=”el producto de los números de las caras es 12” d) Los sucesos BU U U A y B I I I A a) Ω contiene 36 elementos del tipo (a,b) donde a y b toman valores de 1 a 6 b) A = { (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) } c) B = { (2,6) (3,4)(4,3) (6,2) } d) BU A= { (1,6) (2,5) (2,6) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (6,2) } B I A = { (3,4) (4,3) } 3. De los individuos que componen una muestra se conocen los siguientes datos: 50 son mujeres, de ellas 30 son rubias; hay 10 varones rubios y 60 individuos morenos. ¿De cuántos individuos se compone la muestra? ¿Cuántos de los individuos son varones? Método 1 (Tabla de doble entrada) HOMBRES MUJERES TOTALES RUBIOS 10 30 40 MORENOS 40 20 60 50 50 100 Las cifras en negrita son las que nos proporciona el enunciado del ejercicio. Hemos de completar la tabla. Por lo tanto Hay 100 individuos de los cuales 50 son varones. Método 2 (Diagrama de árbol)

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Ejercicios resueltos de probabilidad 1

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

1. Se considera el experimento aleatorio de lanzar un dado al aire y anotar el número de

la cara superior.

Hallar:

a) El espacio muestral.

b) El suceso A=”obtener número par”

c) El suceso B=”obtener número primo”

d) El suceso C=”obtener número múltiplo de 3”

e) La unión e intersección de cada dos de los sucesos de los apartados anteriores

f) Los sucesos: Ac, B

c, C

c

a) Ω = 1,2,3,4,5,6 b) A = 2,4,6 c) B = 2, 3,5 d) C = 3,6 e) AIB = 2 AUB = 2,3,4,5,6 AIC = 6 AUC = 2,3,4,6 CIB = 3 CUB = 2,3,5,6 AIBIC = Ø AUBUC = 2,3,4,5,6 f) Ac= 1,3,5 Bc= 1,4,6 Cc= 1,2,4,5 2. Se lanzan al aire dos dados distintos. Determinar:

a) El espacio muestral

b) El suceso A=”los números de las caras suman 7”

c) El suceso B=”el producto de los números de las caras es 12”

d) Los sucesos BUUUU A y B IIII A a) Ω contiene 36 elementos del tipo (a,b) donde a y b toman valores de 1 a 6 b) A = (1,6) (2,5) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) c) B = (2,6) (3,4)(4,3) (6,2) d) BU A= (1,6) (2,5) (2,6) (3,4) (4,3) (5,2) (6,1) (6,2) B I A = (3,4) (4,3) 3. De los individuos que componen una muestra se conocen los siguientes datos: 50 son

mujeres, de ellas 30 son rubias; hay 10 varones rubios y 60 individuos morenos. ¿De

cuántos individuos se compone la muestra? ¿Cuántos de los individuos son varones?

Método 1 (Tabla de doble entrada) HOMBRES MUJERES TOTALES RUBIOS 10 30 40 MORENOS 40 20 60

50 50 100 Las cifras en negrita son las que nos proporciona el enunciado del ejercicio. Hemos de completar la tabla. Por lo tanto Hay 100 individuos de los cuales 50 son varones. Método 2 (Diagrama de árbol)

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Ejercicios resueltos de probabilidad 2

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

4. En una cafetería contamos los refrescos de naranja y limón que se venden de dos

marcas distintas A y B. Sabemos que el 80% de los refrescos que venden son de naranja y

que de ellos el 35% lo fabrica la marca B. Si de la marca A son el 70% de todos los

refrescos que se venden calcula el porcentaje de refrescos de limón que se vende de la

marca A y de la marca B. Método 1 (Tabla de doble entrada) Cuando los datos vienen dados en porcentajes siempre es más cómodo trabajar sobre 100 individuos del espacio muestral. NARANJA LIMON TOTALES MARCA A 52 18 70

MARCA B 35% de 80 = 28 2 30 80 20 100

Las cifras en negrita son las que nos proporciona el enunciado del ejercicio. Hemos de completar la tabla. A la vista de la tabla queda claro que el porcentaje de refrescos de limón que se vende de la marca A es 18% y de limón de la marca B el 2% Método 2 (Diagrama en árbol) 6. En una escuela de estudios empresariales los alumnos de 2º curso que suspenden las

tres asignaturas, Matemáticas, Contabilidad y Estadística, repiten curso. El último año los

resultados fueron: 6% aprobaron las 3 asignaturas; 22% aprobaron Matemáticas y

Contabilidad; 16% aprobaron Matemáticas y Estadística; 28% aprobaron Contabilidad y

Estadística; 37% aprobaron Matemáticas; 56% aprobaron Contabilidad y el 41%

Aprobaron Estadística.

a) ¿Qué porcentaje de alumnos repitió curso?

b) ¿Qué porcentaje aprobó solo una asignatura?

A diferencia de los dos ejercicios anteriores, éste debe hacerse mediante diagramas de Venn ya que los sucesos son compatibles (aprobar matemáticas, aprobar contabilidad), mientras que en los casos anteriores eran incompatibles (hombre, mujer, naranja, limón) Se dibujan los tres diagramas correspondientes a los sucesos a estudiar. M=”aprobar matemáticas” C = “aprobar contabilidad” E = “aprobar estadística”

a) 26% b) 20%

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Ejercicios resueltos de probabilidad 3

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

Otra forma de hacer este ejercicio sería la siguiente: a) El sucesos suspender las tres asignaturas es (MUEUC)c que tiene tantos elementos como 100 menos los que contiene MUEUC. Ahora bien los elementos de esta unión son n(M)+n(E)+n(C) -n(MIE)-n(MIC)- -n(CIE)+ n(MIEIC) = 37+41+56-16-22-28+6 = 74. Por tanto la solución es 100 - 74 = 26. b) (M-(EUC))U(C-(MUE)U(E-(MUC) Los tres sucesos a unir son incompatibles por lo que sus elementos son la suma de los elementos de los tres Así: n(MI(EUC)c) que por las leyes de Morgan es n(Mc

U(EUC))c = 100 - n(McU(EUC))=

100 - [n(Mc)+n(EUC)-n((EUC)IMc))] = 100 - [63 + 41 + 56 - 28 - 37] = 5 Análogamente C-(MUE) = 12 y E-(MUC) = 3. Por tanto la solución es 20. Debida a su notación más engorrosa, es preferible, a ser posible, hacerlo mediante el diagrama. 7. Dados dos sucesos A y B incompatibles que verifican P(A)=0,3 y P(B)=0,12. Calcular:

P(Ac) P(B

c) P((AUUUUB)

c)

P(Ac) = 1 - P(A) = 1 - 0’3 = 0’7 P(Bc) = 1 - P(B) = 1- 0’12 = 0’88 P((AUB)c) = 1-P(AUB) = 1 - [P(A)+P(B)] = 1 - 0’42 = 0’58

8. Sean A y B dos sucesos tales que: P(A)=0’6, P(B)=0’4 y P(AIIIIB) =0’2. Calcular:

P(AUUUUB), P(Ac), P(B

c), P ((AUUUUB)

c), P(B-A)

P(AUB) = P(A) + P(B) - P(AIB) = 0’6 + 0’4 - 0´2 = 0’8 P(Ac) = 1 - P(A) = 1 - 0’6 = 0’4 P(Bc) = 1 - P(B) = 1 - 0’4 = 0’6 P ((AUB)c) = 1 - P(AUB) = 1 - 0’8 = 0’2 Para hallar P(A-B) partamos del hecho de que AUB = (A-B)UB siendo A-B y B incompatibles. Por tanto P(AUB) = P(A-B) + P(B), por tanto P(A-B) = P(AUB)-P(B) = 0’8-0’4=0’4

9. Dados dos sucesos que verifican P(AUUUUB) = 3/4, P(Ac) = 2/3, P(AIIIIB) = 1/4, Calcular

P(A), P(B), P(AcIIIIB), P(AIIIIB

c)

P(A) = 1 - P(Ac) = 1- 2/3 = 1/3 Para hallar P(B) partimos de que P(AUB) = P(A)+P(B)-P(AIB), de donde P(B) = P(AUB)-P(A)+P(AIB) = 3/4 - 1/3 + 1/4 = 2/3 P(Ac

IB) = P(B-A) que como vimos en el ejercicio anterior es P(AUB)-P(A) = 3/4-1/3=5/12 P(AIBc) = P(A-B) = P(AUB)-P(B) = 3/4-2/3 = 1/12, 10. En una carrera participan los caballos A, B, C y D. Se estima que la probabilidad de

que gane A es el doble de cada una de las probabilidades de los otros caballos. Calcular la

probabilidad de ganar de cada uno de los caballos. Sea P(B)=P(C)=P(D)= x. P(A) = 2x. 5x = 1; x = 1/5. P(A) = 2/5 y P(B)=P(C)=P(D)=1/5

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Ejercicios resueltos de probabilidad 4

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

11. En una bolsa hay bolas negras y blancas. La probabilidad de extraer bola blanca es

dos quintos de la probabilidad de sacar bola negra. Determinar la probabilidad de extraer

bola negra y la probabilidad de sacar bola blanca.

P(B) = 2/5.P(N) P(B) + P(N) = 1, P(B) = 2/5 (1-P(B)) , 7/5.P(B) = 2/5, P(B) = 2/7. y P(N) = 5/7 12. En un dado trucado, cuyas caras están numeradas del 1 al 6, la probabilidad de que

salga cada cara es directamente proporcional al número que aparece en la misma. Hallar

la probabilidad que tiene cada cara de salir.

P(i) = k.i donde i=1,2,3,4,5,6.

21

1;121;1;1.

6

1

6

1

==== ∑∑==

kkikikii

. P(i) = i/21 donde i=1,2,3,4,5,6.

13. Se lanzan 3 monedas al aire. Hallar:

a) El espacio muestral.

b) La probabilidad de cada uno de los sucesos elementales

c) La probabilidad de al menos una cara. a)

Ω = CCC, CC+, C+C, C++, +CC, +C+, ++C, +++ b) 1/8 c) P(al menos una cara) = 1-P(+++) = 1-1/8= 7/8.

14. Se extrae al azar una carta de una baraja de 40 naipes. Calcular la probabilidad de

que la carta extraida sea: a) Copa, b) As, c) Figura, d) El 3 de oros. a) 1/4 b) 1/10 c) 3/10 d) 1/40 15. Se lanzan al aire dos dados. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los puntos sea

7?

Los casos favorables son 2,5 5,2 4,3 y 3,4 y los casos posibles 36. Por tanto la probabilidad pedida es 4/36 = 1/9

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Ejercicios resueltos de probabilidad 5

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

16. Queremos marcar un número de teléfono de 7 cifras y sólo sabemos las 5 primeras:

a) Calcular la probabilidad de acertar con el número que buscamos.

b) Calcular la probabilidad de acertar con el número, sabiendo que las dos cifras

desconocidas son distintas.

a) Los casos favorables son 1, es decir la pareja de cifras que falta. Los casos posibles son las variaciones con repetición de 10 (del 0 al 9) tomadas de dos en dos, es decir RV10

2 = 100 Por tanto la probabilidad pedida es 1/100 = 0’01 b) Si las dos cifras desconocidas son distintas, no cabe repetición pero el orden sigue influyendo. Los casos posibles son las variaciones ordinarias de 10 tomadas dos a dos, es decir: V10

2 = 90. La probabilidad sería 1/90. 17. Una clase consta de 10 hombres y 20 mujeres; la mitad de los hombres y la mitad de

las mujeres tienen los ojos castaños. Determinar la probabilidad de que una persona

escogida al azar sea un hombre o tenga los ojos castaños. Ejercicio con sucesos incompatibles (hombres, mujeres, ojos castaños, ojos no castaños). Lo haremos por el método de la tabla de doble entrada: HOMBRES MUJERES OJOS CASTAÑOS 5 10 15 OJOS NO CASTAÑOS 5 10 15 10 20 30

P (H U C) = P(H) + P (C) - P(HIC) = 1/3 + 1/2 - 1/6 = 2/3

Otra forma de realizarlo sería mediante el diagrama de árbol. Ser un hombre o tener los ojos castaños es el suceso constituido por la unión de las ramas HC, HNC y MC, cuyas probabilidades respectivas son 1/6, 1/6 y 2/6. Por tanto la probabilidad pedida es 4/5 = 2/3

18. En una ciudad se editan 3 periódicos A, B, C con la siguiente distribución de lectores:

de cada 100 habitantes 30 leen A, 28 leen B, 17 leen C, 15 leen A y B, 9 leen A y C, 11

leen B y C, y 6 leen los tres.

Se elige una persona al azar, calcular:

a) La probabilidad de que lea algún periódico.

b) La probabilidad de que lea exactamente un periódico.

c) Probabilidad de que lea B y C pero no A. a) 46/100 = 0’46 b) 23/100 = 0’23 c) 5/100 = 0’05. Si interpretamos este ejercicio en términos de sucesos tendríamos lo siguiente:

a) P (AUBUC) b) P(A-(BUC))U(B-(AUC)U(C-BUA)) c) P( (BIC)-A)

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Ejercicios resueltos de probabilidad 6

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

19. En un centro escolar, los alumnos de COU pueden optar por cursar, como lengua

extranjera, entre inglés o francés. En un determinado curso, el 90% estudia inglés y el

resto francés. El 30% de los que estudian inglés son varones y de los que estudian francés

son chicos el 40%. Elegido un alumno al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea chica?

CHICOS CHICAS INGLES 30% de 90 = 27 63 90

FRANCES 40% de 10 = 4 6 10 31 69 100

Casos favorables: 69 chicas. Casos posibles 100 alumnos. La solución es 0’69.

En árbol el suceso ser chica (M) se corresponde con las ramas IM y FM cuyas probabilidades respectivas son 0’63 y 0’06. La suma de ambos da el resultado pedido: 0’69.

20. Sean A y B dos sucesos con P(A)=1/2, P(B)=1/3 y P(A∩B)=1/4, calcular:

P(A/B), P(B/A), P(AUB)

P(A/B) = 4/33/1

4/1

)(

)( ==∩BP

BAP

P(B/A) = 2/12/1

4/1

)(

)( ==∩AP

BAP

P(AUB) = 1/2 + 1/3 - 1/4 = 7/12 21. Sabiendo que P(A) = 0’3 , P(B

c) = 0’6, P(A/B) = 0’32. Calcular P(A∩B), P(AUB),

P(B/A), P(A/Bc), P((AUB)

c), P((AIIIIB))

c

P(B) = 1- P(Bc) = 1 - 0’6 = 0’4. P(A/B) = )(

)(

BP

BAP ∩, de donde P(AIIIIB) = P(B)P(A/B) =

0’4. 0’32 = 0’128. P(AUB) = 0’3 + 0’4 - 0’128 = 0‘572

P(B/A) = 642'03'0

128'0

)(

)( )==∩

AP

BAP

P(A/Bc) = 74'0

6'0

128'0572'0

)(1

)()(

)(

)( =−=−

−∪=∩BP

BPBAP

BP

BAPc

c

P((AUB)c) = 1- P(AUB) = 0’428

P((AIIIIB)c) = 1- P((AIB)) = 0’972.

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Ejercicios resueltos de probabilidad 7

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

22. a) Sabiendo que A ⊂ B calcular P(B/A) y P(A/B)

b) Si A y B son incompatibles, calcular P(B/A)

a) Si A ⊂ B AIB = A

P(B/A) = 1)(

)(

)(

)( ==∩AP

AP

AP

BAP

P(A/B) = )(

)(

)(

)(

BP

AP

BP

BAP =∩

b) Si A y B son incompatibles P(AIB) = Ø con lo que P(B/A) = 0 23. En una empresa hay 45 empleados, de los cuales 29 son hombres y 16 mujeres. De

ellos, 7 hombres y 5 mujeres son fumadores. Calcula las siguientes probabilidades:

P(H) , P(M), P(H∩F), P(M∩F) , P(F), P(H/F), P(M/F)

a) P(H) = 29/45 = 0’6444 b) P(M) = 16/45 = 0’3555 c) P(H∩F) = 29/45. 7/29 = 7/45 = 0’1555 d) P(M∩F) = 16/45. 5/16 = 5/45 = 0’1111 e) P(F) = 29/45.7/29 + 16/45.5/16 = 0’2666 f) P(H/F) = 0’1555/0’2666 = 0’5832 g) P(M/F) = 0’1111/0’2666 = 0’4167

Más inmediato resulta realizando una tabla de doble entrada: HOMBRES MUJERES FUMADORES 7 5 12 NO FUMADORES 22 11 33 29 16 45

a) P(H) = 29/45 ; b) P(M) = 5/45; c) P(HIF) = 7/45; d) P(M∩F) =5/45 e) P(F) = 12/45 f) P(H/F) = 7/12 ; g) P(M/F) = 5/12 . El tercer método es haciendo uso del teorema de la probabilidad total y el Teorema de Bayes que dice que si A1, A2….An es un sistema completo de sucesos, es decir Ω=iAU y

=I iA Ø. Sea B un suceso cualquiera.

El Teorema de Bayes dice que

P(Ai/B) = )/().(...)/().()/().(

)/().(

2211 nn

ii

ABPAPABPAPABPAP

ABPAP

+++ para todo i=1…n

Mientras que el teorema de la probabilidad total nos dice que P(B) = )/().(...)/().()/().( 2211 nn ABPAPABPAPABPAP +++

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Ejercicios resueltos de probabilidad 8

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

En nuestro ejercicio tenemos un sistema completo de sucesos H=”hombre” M=”mujer” y un suceso F=”ser fumador” Con lo que P(H/F) =

5832'0)1111'01555'0/(1555'016/5.45/1629/7.45/29

29/7.45/29

)/().()/().(

)/().( =+=+

=+ MFPMPHFPHP

HFPHP

Si bien el Teorema de Bayes se utiliza cuando el sistema completo de sucesos es más numeroso. 24. El 20% de los empleados de una empresa son Ingenieros y otros 20% son

Economistas. El 75% de los Ingenieros ocupan un puesto directivo, y el 50% de los

Economistas también, mientras que de los No-Ingenieros y No-Economistas solamente el

20% ocupan un puesto Directivo. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado Directivo

elegido al azar sea Ingeniero?

Por diagrama de árbol: I = “ser ingeniero” E = “ser economista” N=” ni ingeniero ni economista” D= “directivo” ND = “no directivo”

Me piden la P(I / D) = P(IID)/P(D) =

405'037'0

15'0

2'0.6'05'0.2'075'0.2'0

75'0.2'0 ==++

Método de la tabla de doble entrada:

P(I/D) = 15/37 = 0’405

25. Una urna contiene 25 bolas blancas sin marcar, 75 bolas blancas marcadas, 125 bolas

negras sin marcar y 175 bolas negras marcadas. Se extrae al azar una bola. Calcula:

a) La probabilidad de que sea blanca.

b) Si la bola extraída está marcada, ¿Cuál es la probabilidad de que sea blanca?

a) 1/4.3/4 + 1/4.1/4 = 1/4 = 0’25 b) P(B/M) = (1/4.3/4)/ (1/4.3/4+3/4.7/12) = 3/10 = 0’3 Por tabla

a) P(B) = 100/400 = 1/4 b) P(B/M) = 75 / 250 = 0’3.

I E N D 75% de 20=15 50% de 20=10 20% de 60=12 37 ND 5 10 48 67 20 20 60 100

B N M 75 175 250 NM 25 125 150 100 300 400

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Ejercicios resueltos de probabilidad 9

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

26. Se sortea un viaje a Canarias entre los 200 clientes de una tienda de

electrodomésticos. De ellos 125 son mujeres, 155 están casados y 95 son mujeres casadas.

¿cuál es la probabilidad de que le toque el viaje a un hombre soltero?. Si del afortunado

sabemos que está casado ¿cuál es la probabilidad de que sea mujer?

a) P(HIS) = 3/8. 1/5 = 3/ 40 = 0’075 b) P(M/C) = (5/8.19/25)/ (5/8.19/25+3/8.4/5) = 0’475/0’775= 0’6129 Por tabla

a) P(HIS) = 15/200 = 0’075 b) P(M/C) = 95/155 = 0’6129 27. En una clase el 40% de los alumnos aprueba Matemáticas y el 50% aprueba filosofía.

Se sabe que la probabilidad de aprobar matemáticas si se aprobó filosofía es 0’6.

a) Estudiar si los sucesos aprobar Matemáticas y aprobar Filosofía son independientes.

b) ¿Qué porcentaje de alumnos aprobaron las dos asignaturas?

c) De los alumnos que aprobaron Matemáticas, ¿qué porcentaje aprobó Filosofía? Sean M = “aprobar matemáticas” F= “aprobar filosofía” Se sabe que P(M) = 0’4 y P(F) = 0’5 y P(M/F) = 0’6. a) Obviamente no son independientes ya que si lo fuesen P(M/F) = P(M) y no es así. b) P(M/F) = P(MIF) / P(F), por tanto P(MIF) = P(M/F).P(F) = 0’6. 0’5 = 0’3. Es decir el 30% aprobaron ambas asignaturas. c) P(F/M) = P(MIF) / P(M) = 0’3/0’4 = 3/4 = 0’75 28. En un Instituto el 25% de los alumnos han suspendido Matemáticas, el 15% han

suspendido Física y el 10% han suspendido las 2 asignaturas. Se selecciona un individuo

al azar. Calcular:

a) La probabilidad de que haya suspendido matemáticas.

b) Si ha suspendido Matemáticas, cuál es la probabilidad de que haya suspendido Física

c) ¿Cuál es la probabilidad de que haya suspendido Matemáticas ó Física.

d) Si ha aprobado Matemáticas, ¿cuál es la probabilidad de que haya suspendido la

Física? a) P(M) = 0’25 b) P(F/M) = 10/25 = 0’4 c) P(FUM) = 30/100 = 0’3 d) P(F/Mc) = 5/75 = 0’0666

H M S 15 30 45 C 60 95 155

75 125 200

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Ejercicios resueltos de probabilidad 10

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

29. Un juego consiste en lanzar tres monedas al aire. Si las tres monedas aparecen de

igual modo (tres caras o tres cruces), se gana. En caso contrario, se vuelven a tirar las

tres monedas. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de ganar en la primera tirada?

b) ¿Cuál, la de perder las dos primeras y ganar la tercera? Este sería el espacio muestral de un lanzamiento.

a) La probabilidad de ganar en el primer lanzamiento viene determinado por las ramas CCC y +++ de probabilidades 1/8 ambas. Por tanto la probabilidad de ganar en el primer lanzamiento de las tres monedas es 2/8 = 1/4 = 0’25. b) La probabilidad de perder las dos primeras y ganar la tercera es P(Perder 1ª I Perder 2ª I Ganar 3ª). Como los tres lanzamientos son independientes, el resultado de la probabilidad es el producto de cada una de las

probabilidades de cada lanzamiento, es decir 0’75.0’75.0’25 = 0’14 30. Una urna contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se extraen 2 bolas

aleatoriamente sin reemplazamiento. Halla la probabilidad de que:

a) Las 2 bolas sean rojas.

b) Las bolas sean extraídas en este orden: roja, azul

c) Una bola sea roja y una sea blanca.

d) Al menos una bola sea blanca. a) P(RR) = 8/20. 7/19 = 0’147 b) P(RA) = 8/20. 9/19 = 0’189 c) P(RB U BR) = 8/20.3/19+3/20.8/19 = 0’126 d) 1-P(RR U RA U AR U AA ) = 1- [8/20. 7/19 + 8/20.9/19 + 9/20.8/19 + 9/20.8/19] = 1- (272 / 380 ) = 0,284 Si lo hacemos por métodos combinatorios:

a) 147'0380

562

20

28 ==

V

V

b) 189'0380

72.2

20

19

18 ==V

CC

c) 126'0380

48.22

20

13

18 ==

V

CC

d) 284'0380

108

380

27211

220

217 ==−=−

V

V

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Ejercicios resueltos de probabilidad 11

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

31. En una caja hay 15 bombillas de las cuales 5 están fundidas. Si cogemos 3 de ellas al

azar, cual es la probabilidad de que:

a) Ninguna esté fundida

b) Exactamente una esté fundida.

c) Por lo menos una esté fundida.

F=”bombilla fundida” B=”bombilla en buen estado”

a) 2637'02730

720

13

8

14

9

15

10 ==

b) 4945'02730

1350

13

5

14

9

15

10

13

9

14

5

15

10

13

9

14

10

15

5 ==++

c) 1- P(tres buenas) = 1 - 13

8

14

9

15

10= 0’7362

Utilizando métodos combinatorios:

a) 2637'013.14.15

8.9.10315

310 ==

C

C b) 494'0

455

225

455

45.5.315

210

15 ===C

CC c) 1- 7362'0

315

310 =

C

C

Obsérvese por por métodos combinatorios resulta más inmediato. 32. Las probabilidades de acertarle a un blanco de tres tiradores, A, B y C son

respectivamente, 1/6, ¼ y 1/3.

Si cada uno de ellos dispara una sola vez al blanco, calcular:

a) La probabilidad de que uno exactamente acierte en el blanco

b) Si sólo uno acierta en el blanco, cual es la probabilidad de que sea A

c) Hallar la probabilidad de que alguno acierte en el blanco. Dispara A Dispara B Dispara C F=”Falla el disparo” A= “Acierta el disparo”

a) 43'072

31

3

2

4

3

6

1

3

2

4

1

6

5

3

1

4

3

6

5 ==++

b) P(A/acierte solo 1) =

193'031

6

72

313

2

4

3

6

1

)1(

)( ===soloacierteP

soloAP

c) 1-P(FFF) = 1- 583'072

42

3

2

4

3

6

5 ==

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Ejercicios resueltos de probabilidad 12

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

33. La Compañía “Minisegadoras” fabrica los motores, las hojas y las cubiertas de sus

productos. El porcentaje de los motores defectuosos es del 5%, el de hojas defectuosas es

el 1% y el de cubiertas el 3%.

¿Cuál es la probabilidad de que una segadora montada no tenga defectos? Motores Hojas cubiertas F=”Defectuoso” A=” Buen estado”

P(AAA) = 0’95.0’99.0.97 = 0’912

34. La probabilidad de que un torpedo hunda un barco es 0’2. Un submarino dispara 3

torpedos, ¿Cuál es la probabilidad de que hunda a un barco?

P(al menos acierte 1torpedo) = 1- P(falle los tres toropedos) = 1- (0’8)3 = 0’488 35. En una bolsa hay 12 bolas blancas y 20 verdes. Al sacar 4 bolas sucesivamente

calcular la probabilidad de que las 4 sean blancas. (Con y sin devolución)

Con devolución: Casos favorables: RV12

4 = 124 y casos posibles RV324 = 324

La probabilidad pedida es 0’3754 = 0’0197 Sin devolución: Casos favorables: V12

4 = 11880 y casos posibles V324 = 863040

La probabilidad pedida es 0’0137. Si dibujásemos un diagrama de árbol. La probabilidad pedida con devolución sería el caso

P(BBBB) = (12/32)4 = 0’0197 y sin devolución P(BBBB)= =29

9

30

10

31

11

32

120’0137

36. Probabilidad de que al sacar sucesivamente sin devolución 5 cartas de una baraja de

40 las 5 sean del mismo palo.

P(OOOOO U BBBBB U EEEEE U CCCCC) = 4. 0015'078960960

120960

36

6

37

7

38

8

39

9

40

10 ==

O=”Oro” B=”basto” E=”espada” C=”copa”. Por combinatoria sería 4. 440

410

V

V

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Ejercicios resueltos de probabilidad 13

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

37. Urna I: Contiene 6 bolas rojas y 4 bolas blancas.Urna II: contiene 4 bolas rojas y 8

bolas blancas. Se lanza un dado. Si aparece un número menor que 3, nos vamos a la urna

I; si el resultado es 3 o más vamos a la urna II. A continuación extraemos una bola. Se

pide:

a) Probabilidad de que la bola sea roja y de la urna II

b) Probabilidad de que la bola sea blanca. a) 4/6.4/12 = 16/72 = 0’222 (Es la rama >=3R) b) Ramas <3B o >=3B 2/6.4/10 + 4/6.8/12 = 0’577

38. Tres cofres idénticos contienen: El primero, 3 lingotes de oro y 2 de plata; el segundo,

2 de oro y 5 de plata; y el tercero, 6 de oro y 7 de plata. ¿Cuál es la probabilidad de que al

extraer un lingote al azar de un cofre sea de plata?

p((1IP)U(2IP)U(3IP)) =

++13

7

7

5

5

2

3

1= 0’55

39. En una casa hay dos tarros que contienen caramelos. En el primer tarro hay 8

caramelos de naranja y 12 de limón. En el segundo tarro hay 15 caramelos de naranja y 5

de limón. Un niño que viene de visita elige uno de los tarros y en él un caramelo. Si al

comerlo nota que es de naranja, ¿qué probabilidad tiene de haber elegido el segundo

tarro? Por Bayes o diagrama de árbol:

P(2 / N) = 652'023

15

20

15

2

1

20

8

2

120

15

2

1

)(

)2( ==+

=∩NP

NP

Por tabla:

Se ve de inmediato que P(Tarro2 / Naranja) = 15 /23 = 0’652

Tarro 1 Tarro 2 N 8 15 23 L 12 5 17 20 20 40

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Ejercicios resueltos de probabilidad 14

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

40. Tres maquinas A, B y C fabrican tornillos del mismo tipo. Los porcentajes de

defectuosos en cada máquina son respectivamente 1%, 2%, 3%. Se mezclan 120 tornillos:

20 de la máquina A, 40 de la B y 60 de la C. Elegido uno al azar resulta defectuoso. ¿Cuál

es la probabilidad de que haya sido fabricado por la máquina B?

Máquina A Máquina B Máquina C Buenos 19’8 39’2 58’2 117‘2

Defectuosos 1% de 20 = 0’2 2% de 40 = 0’8 3% de 60 = 1’8 2’8 20 40 60 120

A efectos de porcentajes y cálculo de probabilidades podemos trabajar sin ningún problema con valores decimales, aunque en el contexto carezca de sentido hablar de 0’2 tornillos, etc. Si lo que queremos es trabajar con números enteros, basta multiplicar todas las cifras de la tabla por 10 elevado al número máximo de cifras decimales que aparezcan. En este caso bastaría multiplicar por 10, con lo que trabajaríamos sobre 1200 tornillos. Nosotros trabajaremos con los valores iniciales. Me piden P(Máquina B / Defectuoso) = 0’8 / 2’8 = 0’2857. Evidentemente este ejercicio puede realizarse igualmente por diagrama de árbol. Lo dejamos como ejercicio para el alumnado. 41. Dos medicamentos A y B son eficaces para tratar una enfermedad. El medicamento A

produce mejoría en el 74% de los casos y el B en el 80% de los casos. En una clínica

tienen 3 tubos del medicamento A y 2 del medicamento B. elegimos un tubo al azar y le

damos de él una pastilla al enfermo.

a) Calcula la probabilidad de que el enfermo tenga mejoría en la enfermedad.

b) Si sabemos que el enfermo mejora, calcula la probabilidad de que se le suministrase el

medicamento B.

a) P(M) = 3/5. 0’74 + 2/5. 0’8 = 0’76

b) P(B / M) = (2/5.0’8) / (3/5. 0’74 + 2/5. 0’8) = 0’421

42. Se lanza una moneda hasta que el resultado sea cara. Halla la probabilidad de que

esto suceda: a) en el primer lanzamiento. b) en el segundo lanzamiento. c) En el

lanzamiento n-ésimo.

a) 1/2 b) 1/4 c) (1/2)n

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Ejercicios resueltos de probabilidad 15

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

43. Sean A y B dos sucesos independientes de un experimento aleatorio, tales que la

probabilidad de que ocurran simultáneamente es 1/3 y la de que no ocurra ninguno de los

dos es 1/6. halla P(A) y P(B).

P(AIB) = P(A).P(B) = 1/3

P(AcIBc) = 1/6.

Antes demostraremos que si A y B son independientes también lo son Ac y Bc

Si A y B son independientes, sabemos que P(AIB) = P(A).P(B). Entonces:

P(Ac).P(Bc) = (1-P(A))(1-P(B)) = 1 - P(B) - P(A) + P(A).P(B) = 1-(P(A)+P(B)-P(AIB)) =

1- P(AUB) = P((AUB)c) = P(AcIBc)

Así pues si llamo P(A) =x y P(B) = y. Tenemos el sistema

=−−=

6/1)1)(1(

3/1.

yx

yx

y = 1/3x (1-x) (1-1/3x = 1/6; 1- 1/3x - x + 1/3 = 1/6; 6x - 2 - 6x2 + 2x = x

6x2 + 7x -2 = 0; x = 1/2. y = 2/3

44. Suponiendo que todos los meses del año son de 30 días, hallar la probabilidad de que

los cumpleaños de tres hermanos sean: a) El mismo día del año ; b) Los tres en días

distintos c) Los tres en el mismo mes d) Cada uno en un mes distintos e) Los tres

en marzo f) Ninguno en mayo.

a) (1/360)3 c) (1/12)3 d) 10

1

11

1

12

1 e)

3

30

1

b) 358

1

359

1

360

1 f)

3

330

1

45. Un banco partiendo de la información sobre el comportamiento de sus clientes

referida a los errores cometidos al cubrir cheques obtiene las siguientes conclusiones: -

De 850 clientes con fondos, 25 cometieron algún error. El 98% de los clientes tiene

fondos. De 50 cheques sin fondos, 45 tenían algún error. Calcular la probabilidad de

que un cheque con algún error no tenga fondos.

F = “ Tener fondos “ NF = “ No tener fondos “

E = “Cometer Error” NE = “No cometer error”

P(NF / E ) = )(

)(

EP

ENFP ∩= =

+ 18025.98'050

45.02'0

5045.02'0

0’1167

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Ejercicios resueltos de probabilidad 16

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

46. En un lote de 40 pastillas de jabón hay 5 premiadas. Compramos 3 pastillas. Calcular

la probabilidad de que: a) Las tres tengan premio; b) Exactamente 2 tengan premio; c)

Alguna tenga premio.

P= “Jabón premiado” NP= “Jabón no premiado”

a) 5/40. 4/39. 3/38 = 0’00101

b) 5/40.4/39.35/38+5/40.35/39.4/38+35/40.5/39.4/38 = 0’0354

c) 1 - (35/40.34/39.33/38) = 0’6624

Si lo hacemos por combinatoria:

a) 340

35

C

C b)

340

135

25

C

CC c) 1-

340

335

C

C

47. Ante un examen, un alumno sólo ha estudiado 15 de los 25 temas correspondientes a

la materia del mismo. Este se realiza extrayendo al azar tres temas y dejando que el

alumno escoja uno de ellos para ser examinado del mismo. Halla la probabilidad de que

el alumno pueda elegir en el examen uno de los temas estudiados.

1 - P (no haya estudiado ninguno) = 1 - (10/25)3 = 0 ‘936

48. Una clase tiene 6 niñas y 10 niños. Si se escoge un comité de 3 al azar, hallar la

probabilidad de:

a) Seleccionar 3 niños.

b) Seleccionar exactamente dos niños y una niña.

c) Seleccionar por lo menos un niño.

d) Seleccionar exactamente dos niñas y un niño.

Lo haremos por combinatoria:

a) 316

310

C

C b)

316

16

210

C

CC c) 1-

316

36

C

C d)

316

26

110

C

CC

Por árbol:

Sea H=” Ser niño” y M=”ser niña”

a) 10/16.9/15.8/14

b) 10/16.9/15.6/14+10/16.6/15.9/14+6/16.10/15.9/14

c) 1- (6/16.5/15.4/14)

d) 10/16.6/15.5/14+6/16.10/15.5/14+6/16.5/15-10/14

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Ejercicios resueltos de probabilidad 17

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

49. En una bolsa hay 4 bolas verdes y 8 bolas rojas. Se saca una bola de la bolsa y se

devuelve acompañada de otra del mismo color. Se saca entonces una segunda bola.

Calcular:

a) La probabilidad de que la segunda bola sea verde.

b) Probabilidad de que las dos bolas sean rojas.

c) Probabilidad de que sean la primera roja y la segunda verde.

R=”bola roja” V=”bola verde” a) 8/12.4/13 + 4/12.5/13 b) 8/12.9/13 c) 8/12.4/13.

50. Un joyero compra los relojes a dos casas proveedoras. La primera le sirve el 60% de

los relojes, de los cuales el 0,4% son defectuosos. La segunda le proporciona el resto,

siendo defectuosos el 1,5%. Un día el joyero, al vender un reloj, observa que este no

funciona. Hallar la probabilidad de que el reloj proceda de la primera casa proveedora.

Casa A Casa B

Defectuoso 0’4% de 60=0,24 1’5% de 40=0’6 0’84 Funciona 59’86 39’4 99’16 60 40 100

A=”Casa A” B=”Casa B” D=”Reloj defectuoso” F=”Reloj funciona” Nos piden P(A/D) = 0’24/0’84 = 0’285

Por árbol:

285'00024'0

015'0.4'0004'0.6'0

004'0.6'0

)(

)()/( ==

+=∩=

DP

DAPDAP

51. Dos personas comparten el mismo número de teléfono. De las llamadas que llegan 2/5

son para A y 3/5 para B. Sus ocupaciones los tienen alejados del

teléfono de modo que A está fuera el 50% del tiempo y B el 25%

del tiempo. Calcula la probabilidad de que al recibir una

llamada no haya nadie para coger el teléfono y la probabilidad

de que al recibir una llamada esté presente la persona a la que

llaman. A= “Llamada para individuo A” B=”Llamada para individuo B” C = “Está en casa” F=”Esta fuera” P[(AIF)U(BIF)] = 2/5. 0’5 + 3/5. 0’25

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Ejercicios resueltos de probabilidad 18

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

52. Un 70% de los clientes de una compañía de seguros de automóviles tienen más de 25

años. Un 5% de los clientes de ese grupo tienen un accidente a lo largo del año. En el

caso de clientes menores de 25 años este porcentaje es del 20%.

a) Si elegimos un asegurado al azar, calcular la probabilidad de que tenga un accidente

ese año.

b) Si una persona tuvo un accidente, calcular la probabilidad de que sea menor de 25 años. Clientes > 25 años Clientes < 25 años Tener un accidente 5% de 70 = 3’5 20% de 30 = 6 9’5 No tener accidente 66’5 24 90’5 70 30 100 A=”Tener un accidente” Ac=”No tener un accidente” B=”Tener más de 25 años” C=”Tener menos de 25 años”. a) P(A) = 9’5/100 = 0’095 b) P(C / A) = 6 / 9’5 = 0’631

Por árbol: a) P(A) = 0’7. 0’05 + 0’3. 0’2 = 0’095

b) P(C / A) = 631'0095'0

2'0.3'0

)(

)( ==∩Ap

ACP

53. Los expertos afirman que la probabilidad de que la bolsa suba es 0’4. Por otra parte la

probabilidad de que el dólar se mantenga estable es 0’5 y la probabilidad de que la bolsa

no suba cuando el dólar permanece estable es 0’9. Calcula:

a) La probabilidad de que la bolsa suba si el dólar permanece estable.

b) La probabilidad de que el dólar se mantenga estable o suba la bolsa.

c) La probabilidad de que el dólar se mantenga estable si sube la bolsa. E= “dólar estable” I = “dólar inestable” B = “Bolsa baja” S = “Bolsa sube” Como P(S) = 0’4 0’4= 0’5.0’1 + 0’5.x; de donde x = 0’7 a) P(S / E) = 0’5.0’1 / 0’5 = 0’1 b) P(E U S) = P(E)+P(S) - P(EIS) = 0’5 + 0’4 - 0’5.0’1 = 0’85 c) P(E / S) = 0’5.0’1/0’4 = 0’125

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Ejercicios resueltos de probabilidad 19

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

54. Consideramos tres dados de los cuales dos son correctos y uno está trucado de forma

que el 6 aparece en la mitad de las tiradas y las otras caras aparecen con la misma

probabilidad. Se elige un dado al azar y se lanza:

a) ¿Cuál es la probabilidad de obtener un cinco? b) Si ha salido un seis, ¿cuál es la

probabilidad de haber elegido el dado trucado?

La P(6) en el dado trucado es 1/2, mientras que las demás caras tienen probabilidad tal que 5.P(i) = 1/2, de donde P(i) = 1/10 para 1=1,2,3,4,5. A =dado trucado B= dado no trucado C= dado no trucado a) P(5) = P[(AI5)U (BI5)U (CI5)] = 1/3 ( 1/10 + 1/6 + 1/6 ) = 13/90

b) P(A / 6) = 6'05

3

185

61

6/1.3/16/1.3/12/1.3/1

2/1.3/1

)6(

)6( ===++

=∩P

AP

55. Un coche frena bruscamente y provoca un accidente. Tres testigos estaban presentes:

A, B y C. la probabilidad de que A haya apreciado la brusquedad de la frenada es 90%, y

las correspondientes a B y C son 85% y 80%. Supuesto que los testimonios que se presten

sean independientes unos de otros, ¿qué probabilidad hay de que los tres testimonien que

la frenada ha sido brusca? ¿Qué probabilidad hay de que lo testimonien al menos dos de

los testigos?. P(AIBIC) = 0’9.0’85.0’8 = 0’612 P[(AIBICc)U (AIBc

IC)U (AcIBIC)U (AIBIC)] =

0’9.0’85.0’2+0’9.0’15.0’8+0’1.0’85.0’8+ 0’612 = 0’153 + 0’108 + 0’068 + 0’612 = 0’941 56. En una fábrica de autocares se descubrió que 1 de cada 100 tenía problemas con el

cierre de la puerta. Como medida de precaución, antes de la venta, a cada autocar se le

hace un test de verificación y se obsequia a los compradores con un cinturón multiusos

para una reparación de emergencia. El test no es totalmente fiable, pues, si el coche tiene

problemas con la puerta se lo detecta en un 95% de los casos, mientras que si no lo tiene,

en un 2% de las veces indica que si.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un autocar tenga problemas con la puerta y no lo

detecte el test.

b) Si el test indica problemas en la puerta, ¿cuál es la probabilidad de que no lo tenga? Problemas puerta No problemas puerta Test detecta 95% de 1= 0’95 2% de 99 = 1’98 2‘93 Test no detecta 0’05 97’02 97’07 1 99 100 Sea P = “Tener problemas con la puerta” y T = “El test lo detecta” a) P(PITc) = 0’05/100 = 0’0005 b) P(Pc / T) = 1’98 / 2’93 = 0’675

Lo hacemos por árbol

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Ejercicios resueltos de probabilidad 20

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

a) P(PITc) = 0’01.0’05 = 0’0005 b)

P(Pc / T)= 0293'0

0198'0

02'0.99'095'0.01'0

02'0.99'0

)(

)( =+

=∩TP

TPP C

=0’675

57. Una secretaria escribe 5 cartas diferentes a 5 personas y mete cada carta en un sobre

sin fijarse. ¿Cuál es la probabilidad de que todas las personas reciban la suya?

1/5! = 0’0083

58. Un test que detecta la presencia de cierto tipo T de bacterias en el agua da positivo con

una probabilidad de 0’9 en caso de que las haya. Si no las hay, la probabilidad de que sea

positiva es de 0,2. Se dispone de 100 muestras de las que 25 tienen bacterias de tipo T. Si

elegimos una muestra al azar:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra tenga bacterias de tipo T y el test sea

positivo?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que la muestra no tenga bacterias tipo T y el test sea

positivo?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que el tes dé negativo si la muestra tiene bacterias de tipo

T?

Tipo T (T) No tipo T (Tc) Test positivo (P) 0’9.25 = 22,5 0’2.75= 15 37’5 Test negativo (N) 2’5 60 62’5 25 75 100

a) P(TIP) = 22’5 / 100 = 0’225 b) P(Tc

IP) = 15 / 100 = 0’15 c) P(N / T) = 2’5 / 25 = 0’1 Por árbol:

a) P(TIP) = 0’25.0’9 = 0’225 b) P(Tc

IP) = 0’75.0’2 = 0’15

c) P(N / T) = )(

)(

TP

TNP ∩= 1'0

25'0

1'0.25'0 =

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Ejercicios resueltos de probabilidad 21

I.E.S. A XUNQUEIRA I José M. Ramos González

59. Una caja A contiene 9 cartas numeradas del 1 al 9 y otra caja B contiene 5 cartas

numeradas del 1 al 5. Se elige una caja al azar y se toma una carta, si está numerada con

un número par se toma otra carta de la misma caja, y si está numerada con un número

impar se toma de la otra caja.

a) ¿Calcula la probabilidad de que ambas cartas estén numeradas con números impares.

b) Si ambas cartas tienen números pares, calcula la probabilidad de que sean de la caja

A.

a) 1/2.5/9.3/5 + 1/2.3/5.5.9 = 1/3 b) P(A / PP) =

15/24/1.5/2.2/18/3.9/4.2/1

8/3.9/4.2/1

)(

)( =+

=∩PPP

PPAP

60. En una bolsa hay 2 bolas blancas y 3 negras, y en otra bolsa hay 4 blancas y 1 negra.

Elegimos al azar una bolsa y en ella una bola y resulta que es negra. A continuación

vamos a la otra bolsa y elegimos una bola.

¿cuál es la probabilidad de que también sea negra? p(N) = 1/2.1/5 + 1/2.3/5 = 2/5.