libro de probabilidad (capitulo 1)

7/23/2019 Libro de Probabilidad (Capitulo 1)

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El campo de la estadstica tiene que ver con la recopilacin, presentacin, anlisis y uso dedatos para tomar decisiones y resolver problemas.La estadstica surge como herramienta en la ingeniera, la ciencia y la administracin,porque en casi todos los procesos y sistemas de la vida real existe variabilidad; lavariabilidad es el resultado de cambios en las condiciones bajo las que se hacen lasobservaciones.El aspecto ms importante de la estadstica es la obtencin de conclusiones basadas en losdatos experimentales.

ara su estudio la estadstica se divide en dos grandes ramas!a" Estadstica #escriptiva.b" Estadstica $n%erencial.

&.'.& E()*#+()$* #E(-$)$*

)iene como %inalidad colocar en evidencia aspectos caractersticos de un proceso oexperimento para e%ectuar comparaciones sin pretender sacar conclusiones de tipo general.

Esta descripcin se reali/a a trav0s de la recopilacin, ordenamiento, clasi%icacin,

elaboracin de cuadros, gr%icas, clculos de promedios, variabilidades, etc.

&.'.' E()*#+()$* $12E-E1$*L

3usca dar explicaciones al comportamiento de un conjunto de observaciones, probar lasigni%icacin o valide/ de los resultados; intenta descubrir las causas que originan estecomportamiento.

La estadstica in%erencial proporciona m0todos para estimar caractersticas de un grupo

total 4poblacin o universo", basndose en datos de un conjunto peque5o 4muestra" deobservaciones.


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Entidad: Cada uno de los elementos de un grupo o conjunto que se vasometer a estudio estadstico.

Muestra:Una parte de la poblacin.

Variable:Alguna caracterstica de la entidad que interesa al investigador.

Variable Aleatoria:Una variable es aleatoria cuando su valor no se puedepredecir con anticipacin.

Las variables aleatorias pueden ser de tipo cuantitativo o de tipo cualitativo.

Variable Cuantitativa: Es aquella cuyo valor puede expresarse en ormanum!rica.

Variable Cualitativa: Es aquella cuyo valor expresa una cualidad ocategora de la entidad.

or ejemplo, se puede hablar de una poblacin de pesos, una poblacin o universo dedensidades, entre otras cosas. Entonces, podemos de%inir poblacin como el conjunto msgrande de valores 4de una variable", por el cual existe alg6n inter0s.Esta de%inicin indica que las poblaciones son de%inidas por el investigador y no estnpredeterminadas.

Las poblaciones o universos pueden ser 7%initos8 o 7in%initos8. En el campo de la ingeniera

y ciencias generales las poblaciones son casi siempre 7in%initas8.En los estudios estadsticos el tama5o completo de la poblacin aun siendo %inita 419:"generalmente no se estudia o investiga en su totalidad. uede ser conveniente o necesarioexaminar solo una %raccin 4muestra" de la poblacin.

La poblacin o universo es el conjunto de valores de alguna variable aleatoriarelacionada con un conjunto de entidades.


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ara la reali/acin de un estudio estadstico se deben seguir ciertas etapas entre las cualeslas ms importantes son!

&" lanteamiento o %ormulacin del problema.'" 2ormulacin de objetivos." #e%inicin de la entidad a estudiar o investigar.0todo de investigacin 4total o parcial".

?" -ecoleccin de datos.@" Aenerali/acin e in%erencia %inal.B" resentacin del in%orme y publicacin.

*l de%inir la entidad en la etapa se debe tener en cuenta!

a" (eleccionar las variables a medir 4cualitativa o cuantitativa" y de%inirlascorrectamente.

b" (i la variable es cuantitativa continua, establecer el tipo de aproximacin4redondeo".

c" En la etapa = si la investigacin es parcial establecer el tama5o de la muestra.

Esquematicemos la etapa con sus variables!

ariables!

CD peso es gramos.4variable cuantitativa"

Entidad! producto D densidad 4gFcm , variable cuantitativa"

terminado GD color. 4variable cualitativa o categrica"


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Los valores que puede tomar una variable en estadstica no se pueden predecir antes dereali/ar el experimento estadstico, por lo tanto ese valor es aleatorio 4al a/ar".Las caractersticas que se pueden medir a una 7entidad8 son de dos tipos, cuantitativo ocualitativo 4categrico"; cada caracterstica es una variable aleatoria, las cuales sesubdividen de la misma manera!

ariable *leatoria

'.& *-$*3LE H*1)$)*)$*

(e dice que una variable es cuantitativa siempre que los valores que puede asumir son elresultado de medidas num0ricas.*lgunos ejemplos de variables cuantitativas son la densidad, el peso, la temperatura, laviscosidad, entre otras.

'.&.& *-$*3LE I1)$1H*

Hna variable continua es aquella que tericamente puede tomar cualquier valor dentrode un intervalo de valores, es decir, una variable continua se mide uni%ormemente. orejemplo, si la variable peso en gramos la de%inimos como C, esta puede estar en elintervalo =Jg K C K @Jg; es decir, puede tomar un continuo de valores entre =J y @Jgramos.

Las variables son el conjunto de las caractersticas de las entidades de inter0s en unainvestigacin estadstica.

ontinua.

#iscreta.

ariablecuantitativa

ariable cualitativa o categrica.


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'.&.' *-$*3LE #$(-E)*

uando los valores num0ricos que puede tomar una variable son n6meros enteros, la

variable se denomina discreta. or ejemplo, si la variable es la edad cumplida ena5os de una persona, esta solo puede tomar los valores &, ', ,M.,&JJ.

'.' *-$*3LE H*L$)*)$* I *)EAI-$*Nay muchos casos en el que no es posible hacer medidas num0ricas, por ejemplo, lavariable 7color8 puede recibir los valores cualitativos de rojo, verde, amarillo, etc. Hna

variable cuyos valores consisten en categoras de clasi%icacin se denomina variablecualitativa.


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-edondear una medida num0rica es aproximarla.

Hn dato num0rico es una secuencia de n6meros!

(iempre que se registren, en este texto, resultados %inales o intermedios se tendrn lassiguientes reglas!

a) Establecer en n6mero de dgitos que se van a retener !

MM..a b c d e % F g hM..

b" (i f es el 6ltimo digito a retener este puede ser par o impar y g el digito a laderecha de este 0l puede ser mayor que =, igual o menor que =.

g

O= D= P=

ar%Q& % %

$mpar

%Q& %Q& %

Esquematizando:

&@=,@B < 9

&@=,@B &@ =,@BR? 9 &@=,@S

Hna distribucin de frecuencia o tabla de frecuencia es una ordenacin y agrupacin deuna lista de datos dispuestos de tal %orma que permita visuali/ar la in%ormacin msreducida y clara.


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Hna distribucin de %recuencia o tabla de %recuencia es una disposicin tabular de datos; losdatos se distribuyen por clases o categoras con sus correspondientes %recuencias. araconstruir una distribucin de %recuencias, primero se divide el rango de los datos en clases;si es posible, las clases deben tener el mismo ancho con la %inalidad de mejorar la

in%ormacin visual en la distribucin de %recuencias. ara la seleccin del n6mero de clasesdebe emplearse cierto criterio de modo que pueda desarrollarse un diagrama ra/onable. Eln6mero de clases depende del n6mero de observaciones y de la dispersin de los datos. Engeneral, una distribucin de %recuencias que emplea muy pocas o demasiadas clases nocontiene mucha in%ormacin, por lo general el n6mero de clases debe %luctuar entre = y 'Jclases.

El n6mero de clases se puede obtener mediante cualquiera de las dos %rmulas siguientes!

M=1+3.322log10n

M=n

n=Tama o dela muestra

M=N merode clases

El smbolo que de%ine una clase se llama intervalo de clase, los n6meros extremos de este

intervalo se llaman lmite in%erior de clase y lmite superior de clase.

L$i L(i

El lmite in%erior de la primera clase debe ser menor o igual que el dato menor(LIC1 Xmin) y el lmite superior de la 6ltima debe cumplir la condicin LSCn Xmax .

El lmite superior de la primera clase se calcular con la siguiente %rmula!

LSC1=LIC1+(CAprox)

LSC1=L mite superior de la primera clase

L$i D lmite in%erior de la clase i

L(iD lmite superior de la clase i


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LIC1=L mite inferior de la primera clase

Aprox=Aproximaci n de los datos

ara calcular la marca de clase de cada intervalo de datos se implementa la siguiente%rmula!

Marca de clase=LICi+LSCi

2

La marca de clase es el punto medio de la clase, los datos que se encasillan en una clasedeterminada, para e%ectos prcticos miden su marca de clase.

Los pasos para elaborar cuadros o tablas de %recuencia son!

1) )oma de datos2) Encontrar el dato mayor y el menor con el %in de determinar el rango donde %luct6an

los datos 4cuando la variable es cuantitativa"=XmaxXmin

Xmax=dato ma!or

Xmin=dato menor

3) Establecer el n6mero aproximado de categoras o clases 4>" que tendr ladistribucin de %recuencias

4) Encontrar el tama5o de la clase. C=

M

5) onstruir una tabla de conteo de %orma siguiente!

a" El lmite in%erior de la primera clase ser LIC1 Xmin

b" El lmite superior de la primera clase ser! LSC1=LIC1+(CAprox)

6) Los limites in%eriores y superiores de las clases subsiguientes se obtienen sumandoCal lmite in%erior o superior de la clase anterior.

LIC2=LIC

1+C " LIC

3=LIC

2+C"# "LICn=LICn1+C

LSC2=LSC1+C"LSC3=LSC2+C"#"L S Cn=LSCn1+C


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7) #ebe cumplirse que LSCn Xmax , con el %in de que ning6n dato se quede %uera de

tabulacin.8) Encasillar los datos examinando cada uno de ellos con el %in de conocer en que

categora debe colocarse.

#esarrollar una tabla de conteo para el anlisis de la resistencia a la tensin, enlibras por pulgada cuadrada (psi), de una muestra de tama5o BJ (n=80)de unanueva aleacin de aluminio y litio, que est siendo evaluada como posible materialpara la %abricacin de elementos estructurados de aeronaves.

-esistencia a la tensin (psi)de una aleacin aluminiolitio

Tabla 1.1

(iguiendo con las reglas para elaborar distribuciones de %recuencia!&" )oma de datos'" Encontrar el dato mayor y el dato menor con el %in de determinar el -ango; para

responder a esta regla buscamos el mayor y menor por %ila de la tabla &.'

Fila Mayor Menor1 ''& &J=2 &@< S@

3 '


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245 76Tabla 1.2

#espu0s se busca el mayor dato de los mayores datos por %ila y este ser el mayordato 4'


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76 " 98 FFF 99 " 121 FFFF FF @122 " 144 FFFF FFFF F &&145 " 167 FFFF FFFF FFFF FFFF FFFF '=168 " 190 FFFF FFFF FFFF FFFF 'J

191 " 213 FFFF FFFF S214 " 236 FFFF y 31 a las marcas de clase extremas asociadas a

una %recuencia cero. La suma de las reas de los rectngulos del histograma es igual al reatotal limitada por el polgono de %recuencias y el eje x.

ara construir el histograma y el polgono de %recuencia de la )abla &< se procede as!

a" (e encuentra la marca de clase &

m1=

76+982 =87

b" Las marcas de clase siguientes se consiguen as!mi=mi1+C

mi1=clase anterior

C=tama o dela clase

"abla 1.5

" ' % $ # ) & * +"(

(

"(

'(

%(

$(

1*)T#23$M$ 4 (#%*2#+# 56 F36C76+C*$ 36%$T*8$ # (#3C6+T7$%

"abla 1.6

4ara el ejemplo delas BJ probetas

sometidas a tensin"

T+*+'(*)

FC+C*$%$T*$

':)7698 .@=99121 B.@=

122144 &'.=J145167 &.'=168190 '=.JJ

191213 &&.'=214226 =.JJ227249 '.=JT#T$% &JJ.JJ

"E)!/)

'!

),ME%#*E

'%#-E"A!

98 %121 "(144 '(167 $#190 )#213 &$236 &*259 *(


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m2=m1+C=87+23

m2=110

(e construye una gr%icaX$ ; colocando en

el eje X las marcas declase y en el eje Y las%recuencias absolutas decada clase; para el

ejemplo de muestra detama5o BJ (n=80) seobtuvo la %igura &.

La %recuencia relativa deuna clase es su%recuencia absoluta

dividida por la %recuenciatotal de todas las clases yse expresa generalmentecomo un porcentaje. Lasuma de las %recuenciasrelativas de todas lasclases da como resultado& &JJT cuando seexpresa en porcentaje.

(i se sustituyen las %recuencias absolutas de la tabla &.omento con respecto a la media de datos no agrupados.

d/" La curva normal es el re%erente terico y no tiene sesgo 4*sDJ"; entonces el sesgo deuna distribucin puede ser!

ea" A s O J *sim0trica positiva

eb"

A s

D J (im0trica

ec" A s P J *sim0trica negativa

ed"


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eo"ep" ara el ejemplo de la aleacin aluminiolitio!e$) Tensi

n (Psi)

er) N

u

m

e

r

o

d

e

p

r

o

b

et

a

s

(#

i)

es)

#i

et)

m

eu) #i(mi%

X )&

e') e) #i(mi%

X )

eB) 76 " 98 ey" e/"

%a"B

b, 1

".'#%.(

"(2*+ c,

d, +%.))

'.#)$2

(&fe) 99 "

121

%%" @ %g"

&J

%h"

&

3, 1

+&(."'*2"$ j,

, #(.'(

$."%"2'*

fl) 122 "144

%m"&&

%n"'&

%o"&

p, 1

')".$(

(2%+ q,

r, &.#"#.

')"2'

%fs) 145 "

167%t" '

=%u"


36/37

g!)237 "259

gv" & g^"BJ

gx"'

gy,)$".)"

+2"$ g0,

-a, #

#.%%+.

)#(2*

*?b)Total hc"B

J

hd" he"

-, 1"$).((

$2(( -g,

--, '

+)."#+.''*2

%"?i) Tabla 1.8

hj" m3=146 "004.00

80 =1,825.05

h]" m4=296.159 .228,31

80 =3,701,990

hl"

hm"

hn" (D .?< psi

ho" (esgo Dm

3

s3 D

1,825.05

(33.64 )3=0.04

hp" urtosis D m4

s4 D

33 0644

3,701,990

hq"

hr" El sesgo para el ejemplo de la aleacin aluminiolitio nos indica que el polgono de%recuencias es bastante sim0trico con una ligera cola a la i/quierda y elapuntamiento o curtosis es casi .

hs"ht"

Estadstica Estadstica descriptiva Estadstica $n%erencial ariable


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ariable continua ariable discreta ariable cuantitativa ariable cualitativa oblacin, >uestra

#istribucin de %recuencia absoluta #istribucin de %recuencia acumulada absoluta #istribucin de %recuencia acumulada relativa olgonos de %recuencia >edia >ediana >oda arian/a uartiles ercentiles

oe%iciente de variacin (esgo urtosis

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