1. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 1 (Ref: Pg. 223 - Ej. 5) Una mquina de refrescos se ajusta para que la cantidad de bebida que sirve promedie 240 mililitros con una desviacin estndar de 15mililitros. La mquina se verifica peridicamente tomando una muestra de 40 bebidas y se calcula el contenido promedio. Si la media de las 40 bebidas es un valor dentro del intervalo x 2 x , se piensa que la mquina opera satisfactoriamente, de otra forma, se ajusta. En la seccin 8.4, el funcionario de la compaa encuentra que la media de 40 bebidas es x = 236 mililitros y concluye que la mquina no necesita un ajuste Esta fue una decisin razonable? Datos: Variable aleatoria Tamao de la muestra Desviacin estndar poblacional Media poblacional Media muestral Desviacin estndar muestralX: cantidad de bebida que sirve una mquina (en mililitros). n = 40 bebidas. x = 15 mililitros. x = 240 mililitros. x = x = 240 mililitros. x = x 2.3717 mililitros. nIncgnita: x 2 x x x + 2 x Solucin: Reemplazando con nuestros datos 240 ml. (2)(2.372 ml.) x 240 ml. + (2)(2.372 ml.) 240 ml. 4.744 ml. x 240 ml. + 4.744 ml. 235.257 ml. x 244.743 ml. Respuesta: Esta fue una decisin razonable puesto que 236 ml., que es la media encontrada se encuentra dentro del intervalo definido.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 1 de 104

2. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 2 (Ref: Pg. 223 - Ej. 9) La vida media de una mquina para hacer pasta es de siete aos, con una desviacin estndar de un ao. Suponga que las vidas de estas mquinas siguen aproximadamente una distribucin normal, encuentre: a) La probabilidad de que la vida media de una muestra aleatoria de nueve de estas mquinas caiga entre 6.4 y 7.2 aos; b) El valor de x a la derecha del cual caera el 15% de las medias calculadas de muestras aleatorias de tamao nueve. Datos: Variable aleatoria Media poblacional Desviacin estndar poblacional Tamao de la muestraX: vida til de una mquina de hacer pasta (en aos). x = 7 aos. x = 1 ao. n = 9 mquinas.X ~ N( x , x ) x = x = 7 (aos) 1 1 x = x = = (aos ) n 9 3a) Incgnita: P(6.4 x 7.2) Solucin: 6.4 7 X x 7.2 7 P = P( 1.8 z 0.6 ) = P( z 0.6 ) P( z 1.8) = x 1 13 3 n Aplicando Tabla A.3. = 0.7257 0.0359 = 0.6898 = 68.98%. Respuesta: La probabilidad de que la vida media de una muestra de 9 de esas mquinas caiga entre 6.4 aos y 7.2 aos es del 68.98%. b) Incgnita: Un valor de x que deje a su derecha un rea del 15% y por lo tanto un rea del 85% a su izquierda. Solucin: Con x = 7 aos y = 1 0.15 = 0.85 __Z = Z 0.85 = 1.04 Z 0.85_ x 7 1 = (1.04) * + 7 = x = 7.346667 Aos 1 3 3x = 7.35 aosLafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 2 de 104 3. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor de x que deja a su derecha un rea del 15% es 7.35 aos. Problema 3 (Ref: Pg. 223/224 - Ej. 10) El tiempo que el cajero de un banco con servicio en el automvil atiende a un cliente es una variable aleatoria con media = 3.2 minutos y una desviacin estndar = 1.6 minutos. Si se observa una muestra aleatoria de 64 clientes, encuentre la probabilidad de que su tiempo medio con el cajero sea: a) a lo ms 2.7 minutos; b) ms de 3.5 minutos; c) al menos 3.2 minutos pero menos de 3.4 minutos. Datos: Variable aleatoria Media poblacional Desviacin estndar poblacional Tamao de la muestraX: tiempo que un cajero atiende a un cliente (en minutos). x = 3.2 minutos. x = 1.6 minutos. n = 64 clientes.X ~ N( x , x ) x = x = 3.2 (aos) x =x n=1.6 64=1 .6 (aos ) 8a) Incgnita: P( x 2.7) Solucin: X x 2.7 3.2 P = P( z 2.5) = Aplicando Tabla A.3. = 0.0062 = 0.62% 1.6 x 8 n Respuesta: La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea a lo ms 2.7 minutos es de 0.62%. b) Incgnita: P( x > 3.5) Solucin: X x 3.5 3.2 P > = P( z >1.5) =1 P( z .5) =1 0.9332 = Aplicando Tabla A.3. = 0.0668 = 1.6 x n 64 6.68%. Respuesta: La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero sea ms 3.5 minutos es de 6.68%. c) Incgnita: P(3.2 x 3.4) Solucin: 3.2 3.2 X x 3.4 3.2 P = P( 0 z 1) = P( z 1) P( z 0 ) = x 1.6 1.6 64 n 64 Aplicando Tabla A.3 = 0.8413 0.5000 = 0.3413 = 34.13%. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 3 de 104 4. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: La probabilidad de que el tiempo promedio de los cliente con el cajero este entre 3.2 y 3.4 minutos es de 34.13%. Problema 4 (Ref: Pg. 224 - Ej. 12) Se toma una muestra aleatoria de tamao 25 de una poblacin normal que tiene una media de 80 y una desviacin estndar de 5. Una segunda muestra aleatoria de tamao 36 se toma de una poblacin normal diferente que tiene una media de 75 y una desviacin estndar de 3. Encuentre la probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9. Suponga que las medias se miden al dcimo ms cercano. Datos: Tamao de la primer muestra Media de la primer poblacin(n1 = 25.)1= 80.Desviacin estndar de la primer poblacinn2 = 36.Media de la segunda poblacin x1 =1 = 5.Tamao de la segunda muestraX 1 ~ N x1 , x1 x1 = x1 = 802= 75.(x1n1=5 25=1)X 2 ~ N x 2 , x 2 x 2 = x 2 = 75 x2 =Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3.x2n2=3 36=1 2Incgnita: P( 3.4 ( X1 X 2 ) 5.9 ) Solucin: Utilizando el Teorema 8.3; el que dice: Si se extraen al azar muestras independientes de tamao n 1 y n 2 de dos poblaciones, discreta o continuas, 2 con medias 1 y 2 y varianzas 1 y 2 , respectivamente, entonces la distribucin muestral de las 2 diferencias de las medias, X 1 X 2 , est distribuida aproximadamente de forma normal con media y varianza dadas por x1 - x1 = 1 2 21 - x 2 = xy2 1 2 + 2. n1 n 2De aquZ=(X X ) ( ( n ) + ( 122 1112 2 2 ) n2 )es aproximadamente una variable normal estndar. con nuestros datos:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 4 de 104 5. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008 x1 - x 2 = 80 75 = 5 x1 - x 2 =y25 9 + = 1.118 25 36 3.4 X X 5 5 1 2 1 2 5.9 =P( P 3.4 X1 X 2 5.9 =P 1.4311 z 0.8050 ) = 1.118034 1.118034 2 2 1 2 + n n 1 2 (())() ()= P(z 0.8050) P( z 1.4311) =Aplicando Tabla A.3. = 0.7896 0.0762 = 0.7134 = 71.34%.Respuesta: La probabilidad de que la media muestral calculada de las 25 mediciones exceda de media muestral calculada de las 36 mediciones por al menos 3.4 pero en menos de 5.9 es de 71.34%.Problema 5 (Ref: Pg. 236 - Ej. 1) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 5 de 104 6. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Para una distribucin ji cuadrada encuentre. 2 a) 0.025 cuando = 15; 2 b) 0.01 cuando = 7; 2 c) 0.05 cuando = 24.2 a) Segn Tabla A.5 0.025 cuando = 15 => 27.488Respuesta: El valor 2 con 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 27.488. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 6 de 104 7. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 20082 b) Segn Tabla A.5 0.01 cuando = 7 => 18.475Respuesta: El valor 2 con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a su derecha es 18.475. Grfica:2 c) Segn Tabla A.5 0.05 cuando = 24 => 36.415Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 7 de 104 8. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor 2 con 24 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 36.415. Grfica:Problema 6 (Ref: Pg. 236 - Ej. 3) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 8 de 104 9. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 20082 Para una distribucin ji cuadrada encuentre tal que: 2 a) P(2 > ) = 0.99 cuando = 4; 2 b) P(2 > ) = 0.025 cuando = 19; 2 c) P(37.652 < 2 < ) = 0.045 cuando = 25.2 a) P(2 > ) = 0.99 cuando = 4 2 Segn Tabla A.5 => = 0.297Respuesta: El valor de 2 que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.99 es decir 99 %, con 4 grados de libertad es 0.297.2 b) P(2 > ) = 0.025 cuando = 19Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 9 de 104 10. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 20082 Segn Tabla A.5 => = 32.852Respuesta: El valor de 2 que deja a su derecha una probabilidad igual a 0.025 es decir 2.5 %, con 19 grados de libertad es 32.852. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 10 de 104 11. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 20082 c) P(37.652 < 2 < ) = 0.045 cuando = 25 2 => = 37.652 => = 0.05 22 => = 0.05 - 0.045 = 0.005 => = 0.005 cuando = 25 2Segn Tabla A. 5 => 0.005 = 46.928 Respuesta: El valor de 2 debe ser igual a 46.928 para que la probabilidad entre 37.652 y dicho valor calculado sea igual a 0.045, es decir 4.5%, con 25 grados de libertad. Grfica:Problema 7 (Ref: Pg. 236 Ej. 5) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 11 de 104 12. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Encuentre la probabilidad de que una muestra aleatoria de 25 observaciones, de una poblacin normal con varianza 2 = 6, tenga una varianza s2 a) mayor que 9.1; b) entre 3.462 y 10.745. Suponga que las varianzas muestrales son mediciones continuas. Datos: Tamao de la muestra Varianza de la muestran = 25 observaciones. 2 = 6.a) Incgnita: P (s2 > 9.1) Solucin:2( n 1) s 2 = 2con (n 1) grados de libertadcon nuestros datos: ( 25 1)( 9.1) = ( 24)( 9.1) = 218.4 = 36.4 2 = 6 6 6 Segn Tabla A.5 2 = 36.4 cuando = 24 =>0.05 Respuesta: La probabilidad de que la varianza de esa muestra sea mayor que 9.1 es del 5%. b) Incgnita: P (3.462 s2 10.745) Solucin:2 =( n 1)s 2 2con (n 1) grados de libertadcon nuestros datos: ( 25 1)( 3.462) = 24 3.462 = 83.088 = 13.848 2 = 6 6 6 2 =13.848 cuando = 24 =>0.95 Segn Tabla A.52 =( 25 1) 10.745 = 24 10.745 = 257.88 = 42.986 6 6 Segn Tabla A.5 2 = 42.98 cuando = 24 =>0.01P (3.462 s2 10.745) = 0.95 0.01 = 0.94 Respuesta: La probabilidad de que la varianza de esa muestra se encuentre entre 3.462 y 10.745 es del 94%. Problema 8 (Ref: Pg. 236 Ej. 6) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 12 de 104 13. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Las clasificaciones de un examen de colocacin que se aplic a estudiantes de primer ao de licenciatura durante los ltimos cinco aos estn aproximadamente distribuidas de forma normal con una media = 74 y una varianza 2 = 8. Considerara an que 2 =8 es un valor vlido de la varianza si una muestra aleatoria de 20 estudiantes que realizan este examen de colocacin este ao obtienen un valor de s2 = 20? Datos: P: estudiantes de primer ao de licenciatura. X: calificacin de un examen de colocacin. Media poblacional Varianza poblacional Tamao de la muestra Varianza muestralx = 74. 2 = 8. x n = 20 estudiantes. s2 = 20.(X ~ N x = 74, x = 8)Incgnita: Considerar si es vlida 2 = 8 x Solucin:2 =( n 1)s 2 2con (n 1) grados de libertadcon nuestros datos2 =( 20 1)( 20) = (19)( 20) = 380 = 47.5 82 0..975 = 8.907882 0.025 = 32.852Respuesta: Es un valor de una distribucin ji cuadrada con 19 grados de libertad. Como 95% de los valores 2 con 19 grados de libertad caen entre 8.907 y 32.852, el valor calculado con 2 = 8 no es razonable y por lo tanto se tiene razn suficiente para sospechar que la varianza es diferente a ocho. Es muy probable que el valor supuesto de 2 sea un error.Problema 9 (Ref: Pg. 236 Ej. 8) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 13 de 104 14. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008a) Encuentre t0.025 cuando =14; b) Encuentre t0.10 cuando = 10; c) Encuentre t0.995 cuando =7. a) Segn Tabla A.4 t0.025 cuando =14 => 2.145 Respuesta: El valor t con 14 grados de libertad, que deja un rea de 0.025 a su derecha es 2.145. Grfica:b) Segn Tabla A.4 t0.10 cuando = 10 => -1.372 Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 14 de 104 15. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor t con 10 grados de libertad, que deja un rea de 0.10 a su izquierda es -1.372. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 15 de 104 16. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008c) Segn Tabla A.4 t0.995 cuando =7 => -3.499 Respuesta: El valor t con 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.995 a su derecha y por lo tanto un rea de 0.005 a su izquierda es -3.499. Grfica:Problema 10 (Ref: Pg. 236 Ej. 9) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 16 de 104 17. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008a) Encuentre P(T < 2.365) cuando =7; b) Encuentre P(T > 1.318) cuando = 24; c) Encuentre P(-1.356 < T -2.567) cuando =17. a) P(T < 2.365) cuando =7 1 P(T 2.365) cuando =7 Segn Tabla A.4 => = 1 0.025 = 0.975 Respuesta: La probabilidad de que un valor t sea menor que 2.365 con 7 grados de libertad es del 97.5%. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 17 de 104 18. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008b) P(T > 1.318) cuando = 24 Segn Tabla A.4 =>0.10 Respuesta: La probabilidad de que un valor t sea mayor que 1.318 con 24 grados de libertad es del 10%. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 18 de 104 19. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008c) P(-1.356 < T < 2.179) cuando =12 P(T -1.356) P(T 2.179) cuando =12 Segn Tabla A.4 => = (1 0.10) 0.025 = = 0.90 0.025 = 0.875 Respuesta: La probabilidad de que un valor t se encuentre entre -1.356 y 2.179 con 12 grados de libertad es del 87.5%. Grfica:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 19 de 104 20. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008d) P(T > -2.567) cuando =17 1 P( T > 2.567) cuando =17 Segn Tabla A.4 => = 1 0.01 = 0.99 Respuesta: La probabilidad de que un valor t sea mayor que -2.567 con 17 grados de libertad es del 99%. Grfica:Problema 11 (Ref: Pg. 236 Ej. 12) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 20 de 104 21. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Una empresa manufacturera afirma que las bateras que utiliza en sus juegos electrnicos duran un promedio de 30 horas. Para mantener este promedio se prueban 16 bateras cada mes. Si el valor t que se calcula cae entre t0.025 y t0.025, la empresa queda satisfecha con su afirmacin.Qu conclusiones extraera la empresa de una muestra que tiene una media de x = 27.5 horas y una desviacin estndar de s = 5 horas? Suponga que la distribucin de las duraciones de las bateras es aproximadamente normal. Datos: P: bateras de juegos electrnicos. X: rendimiento en horas de una bajara de juegos electrnicos. Media poblacional x = 30 horas. Tamao de la muestra n = 16 bateras. Media muestral x = 27.5 horas. Desviacin estndar muestral s = 5 horas. Solucin: De la tabla A.4 encontramos que t0.025 = 2.131 para 15 grados de libertad. Por tanto, la empresa queda satisfecha con esta afirmacin si una muestra de 16 bateras rinde un valor t entre 2.131 y 2.131. si = 30, entoncesT=X con (n 1) grados de libertad s nCon nuestros datos: T=27.5 30 516= , 2Respuesta: La empresa estara satisfecha con su afirmacin ya que el valor hallado de t pertenece al intervalo establecido como parmetro para poder afirmar que sus bateras promedian las 30 horas de duracin.Problema 12 (Ref: Pg. 236 Ej. 13) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 21 de 104 22. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Una poblacin normal con varianza desconocida tiene una media de 20. Se tiene posibilidad de obtener una muestra aleatoria de tamao 9 de esta poblacin con una media de 24 y una desviacin estndar de 4.1? Si no, qu conclusin sacara? Datos: Media poblacional Tamao de la muestra Media muestral Desviacin estndar muestralx = 20. n = 9. x = 24. s = 4.1.Solucin:T=X con (n 1) grados de libertad s ncon nuestros datos: P ( X - = X - 20 > 4) = = 1 P ( X - 20 4) = = 1 P (-4 X - 20 4) = 4 4 X 20 =1P = 4.1 4.1 3 3 = 1 P (-2.92 t8 2.92) = = P (t8 2.92) P (t8 2.92) = 0.00959 + 0.00959 = 0.01918 = 1.918%. Respuesta: Si se tiene la posibilidad de obtener una muestra de tamao 9 con esas condiciones, con una probabilidad del 1.918%Problema 13 (Ref: Pg. 236 Ej. 14) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 22 de 104 23. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Un fabricante de cierta marca de barras de cereal bajo de grasa afirma que su contenido promedio de grasa saturada es 0.5 gramos. En una muestra aleatoria de 8 barras de cereal de esta marca el contenido de grasa saturada fue 0.6, 0.7, 0.7, 0.3, 0.4, 0.5, 0.4 y 0.2. Estara de acuerdo con la afirmacin? Datos: P: barras de cereal bajo de grasa. X: contenido de grasa en gramos de una barra de cereal. Media poblacional x = 0.5 gramos. Tamao de la muestra n = 8. nMedia muestralx=Xii =1n=0.6 + 0.7 + 0.7 + 0.3 + 0.4 + 0.5 + 0.4 + 0.2 3.8 = = 0.475 gramos 8 8 nDesviacin estndar muestrali =1i X)2n 1( 0.6 0.475) 2 +(0.7 0.475) 2 +(0.7 0.475) 2 +(0.30.475) 2 +(0.4 0.475) 2 +(0.5 0.475) 2 +(0.4 0.475) 2 +(0.2 0.475s= =s= (X7( 0.125) 2 + ( 0.225) 2 + ( 0.225) 2 + ( 0.175) 2 + ( 0.075) 2 + ( 0.025) 2 + ( 0.075) 2 + ( 0.275) 2 = 70.26 = 7Incgnita: x = 0.5 Solucin:T=X con (n 1) grados de libertad s ncon nuestros datos T=0.475 0.5 = 0.3860 0.1832 8 X X 0 P s s n n con nuestros datos P(-0.3860 t7 0.3860) = 0.3754 + 0.3754 = 0.7508 = 75.08%. Respuesta: Hay razones suficiente (75,08%) para considerar que la afirmacin es cierta. Problema 14 (Ref: Pg. 236 Ej. 15) Para una distribucin F encuentre: a) 0.05 con 1 = 7 y 2 = 15; Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 23 de 1040.037 0.18 24. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008b) 0.05 con 1 = 15 y 2 = 7; c) 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19; d) 0.95 con 1 = 19 y 2 = 24; e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12. a) Segn Tabla A.6 0.05 con 1 = 7 y 2 = 15 => 2.71 Respuesta: El valor f con 7 y 15 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 2.71. Grfica:b) Segn Tabla A.6 0.05 con 1 = 15 y 2 = 7 => 3.51Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 24 de 104 25. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor f con 15 y 7 grados de libertad, que deja un rea de 0.05 a su derecha es 3.51. Grfica:c) Segn Tabla A.6 0.01 con 1 = 24 y 2 = 19 => 2.92Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 25 de 104 26. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: El valor f con 24 y 19 grados de libertad, que deja un rea de 0.01 a su derecha es 2.92. Grfica:d) 0.95 con 1 = 19 y 2 = 241 Lafata Desio Fernando, Warlet 2 , Lautaro f ( Ivn 1 ) f 1 ( 1, 2 ) =Pgina 26 de 104 27. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008con nuestros datos f 0.95 (19,24) =1 1 = = 0.4739 f 0.05 ( 24,19 ) 2.11Respuesta: El valor f con 19 y 24 grados de libertad, que deja un rea de 0.95 a su derecha es 0.4739. Grfica:e) 0.99 con 1 = 28 y 2 = 12Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 27 de 104 28. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERf 1 ( 1, 2 ) =Trabajo Final 6 de Agosto de 20081 f ( 2 , 1 )con nuestros datos f 0.99 ( 28,12 ) =1 1 = = 0.3448 f 0.01 (12,28) 2.90Respuesta: El valor f con 28 y 12 grados de libertad, que deja un rea de 0.99 a su derecha es 0.3448.Grfica:Problema 15 (Ref: Pg. 237 Ej. 5) Una muestra aleatoria de cinco presidentes de bancos indican salarios anuales de $163000, $148000, $152000, $135000 y $141000. Encuentre la varianza de este conjunto. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 28 de 104 29. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: Variable aleatoria Tamao de la muestraX: salarios anuales de presidentes de bancos (en pesos) n = 5 presidentes. nMedia muestralx=Xii =1n163000 + 148000 + 152000 + 135000 + 141000 739000 = = = 147800 $ 5 5Incgnita: Varianza muestral s2 Solucin:(X ns2 =i =1iX)2n 1con nuestros datoss2 = =(163000 147800) 2 + (148000 147800) 2 + (152000 147800) 2 + (135000 147800) 2 + (141000 147800) 2(15200 ) 2 + ( 200) 2 + ( 4200) 2 + ( 12800) 2 + ( 6800) 2 44 458800000 = = 114700000 $ 4Respuesta: La varianza de este conjunto es 114700000 $.Problema 16 (Ref: Pg. 237 Ej. 9)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 29 de 104= 30. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Si S21 y S22 representan las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao n 1 = 25 y n2 = 31, tomadas de poblaciones normales con varianzas 21 = 10 y 22 = 15, respectivamente, encuentre 2 P S 1 S 2 > 1.26 . 2()Datos: Tamao de la primer muestra Tamao de la segunda muestra Varianza de la primera muestran1 = 25. n2 = 31.Varianza de la segunda muestra 2 = 15 . 2Incgnita:(2 P S1 S 2 > 1.26 22 1 =10 .)Solucin: Utilizando el Teorema 8.8; el que dice: 2 Si s1 y s 2 son las varianzas de muestras aleatorias independientes de tamao n 1 y n 2 tomadas de 2 2 poblaciones normales con varianzas 1 y 2 , respectivamente, entonces 22 2 s1 2 s1 2 2 F= 2 2 = 2 2 2 1 s 2 s 2 1Tiene una distribucin F con 1 = n1 1 y 2 = n2 1 grados de libertad.con nuestros datos s12 P = 2 > 1.26 = s 2 s12 2 1 ( 15) * ( 1.26) P 2 > = P( F > 1.89) 0.05 = 5%. s2 10 2 2 F0.05(24, 30) = 1.89 Respuesta: La probabilidad de que F con 24 y 30 grados de libertad sea mayor que 1.26 es de 0.05, es decir, 5%.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 30 de 104 31. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 17 (Ref: Pg. 251 Ej. 4) Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin aproximadamente distribuida de forma normal con una desviacin estndar de 40 horas. Si una muestra de 30 focos tiene una duracin promedio de 780 horas, encuentre un intervalo de confianza de 96 % para la media de la poblacin de todos los focos que produce esta empresa. Datos: P: focos fabricados por la empresa. X: duracin de esa muestra de focos. Desviacin estndar poblacional x = 40 horas. Tamao de la muestra n = 30 focos. Media muestral x = 780 horas. Intervalo de confianza IC = 96%.X ~ N( x = 780, x = 40) Incgnita: Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 96% de confianza. Solucin:X z 1 2n X + z 1 2n100% =100(1-)% = 96% => = 0.04 => z1 2 => z0.98 = 2.054 con nuestros datos 780 ( 2.054 )40 30 x 780 + ( 2.054)40 30765 hs. x 795 hs. Respuesta: Podemos afirmar con un nivel de confianza del 96% que la media poblacional se encuentra entre 765 y 795 horas.Problema 18 (Ref: Pg. 252 Ej. 8) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 31 de 104 32. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008De que tamao se necesita una muestra en el ejercicio 4 si deseamos tener 96% de confianza que nuestra media muestral est dentro de 10 horas de la media real? Datos: Desviacin estndar poblacional x = 40 horas. Media muestral x = 780 horas. Intervalo de confianza IC = 96%. Intervalo de error e = 10 horas.n + 2 z 1 2 n e con nuestros datos n + 2 2.054.40 n = 67.5 n = 68 10 Respuesta: Por lo tanto, podemos tener una confianza 96% de que una muestra aleatoria de tamao 68 proporcionara una estimacin x que difiere de por una cantidad menor que 0.04.Problema 19 (Ref: Pg. 252 Ej. 6)Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 32 de 104 33. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Las estaturas de una muestra aleatoria de 50 estudiantes universitarios muestra una media de 174.5 centmetros y una desviacin estndar de 6.9 centmetros. a) Construya un intervalo de confianza de 98% para la estatura media de todos los estudiantes de la universidad; b) Qu podemos afirmar con 98% de confianza sobre el tamao posible de nuestro error si estimamos que la estatura media de todos los estudiantes de la universidad de 174.5 centmetros?. Datos: P: estudiantes universitarios. Variable aleatoria Tamao de la muestra Media muestral Desviacin estndar muestral Intervalo de confianzaX: medidas de esos estudiantes universitarios (en centmetros) n = 50 estudiantes. x = 174.5 centmetros. s = 6.9 centmetros. IC = 98%.100% =100(1-)% = 98% => = 0.02 => 2 = 0.01t49, 0.01 = 2.4048 a) Incgnita: Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 98% de confianza. Solucin: X t 2s s X + t 2 n ncon nuestros datos 174.5 ( 2.4048)6.9 174.5 + ( 2.4048)50 172.15 cm. 176.85 cm.6.9 50Respuesta: Podemos afirmar con 98% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 172.15 y 176.85 centmetros. b) Incgnita: Posible error de estimacin. Solucin: = X - =174.5 172.15 = .35 2cm.Respuesta: Podemos afirmar con 98% de confianza que el error de estimacin es igual a 2.35 cm. Problema 20(Ref: Pg. 252 Ej. 13) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 33 de 104 34. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Una mquina produce piezas metlicas de forma cilndrica. Se toma una muestra de las piezas y los dimetros son 1.01, 0.97, 1.03, 1.04, 0.99, 0.98, 0.99, 1.01 y 1.03 centmetros. Encuentre un intervalo de confianza de 99% para el dimetro medio de las piezas de esta mquina, suponga una distribucin aproximadamente normal. Datos: P: piezas metlicas de forma cilndricas. X: dimetro de las piezas cilndricas(en centmetros). Tamao de la muestra n = 9 piezas. Intervalo de confianza IC = 99%. nMedia muestralx=Xii =1=n1.01 + 0.97 + 1.03 + 1.04 + 0.99 + 0.98 + 0.99 + 1.01 + 1.03 = 1.0055 9cm. nDesviacin estndar muestrals= =s= (X i =1i X)2n 1(1.01 1.0055) 2 + (0.97 1.0055) 2 + (1.03 1.0055) 2 + (1.04 1.0055) 2 + (0.99 1.0055) 2 + (0.98 1.0055) 2 + (0 8( 0.0045)2 + (0.0355)2 + ( 0.0245)2 + (0.0345)2 + ( 0.0155)2 + ( 0.0255)2 + (0.0155)2 + ( 0.0045)2 + ( 0.0245) 2 8100% =100(1-)% = 99% => = 0.01 => 2 = 0.005t8, 0.005 = 3.355 Incgnita: Intervalo de confianza para la media poblacional, x, con 99% de confianza. Solucin: X t 2s s X + t 2 n ncon nuestros datos 1.0055 ( 3.355)0.0245 0.0245 1.0055 + ( 3.355) 9 90.9781 cm. 1.0329 cm.Respuesta: Podemos afirmar con 99% de confianza que la media poblacional se encuentra entre 0.9781 y 1.0329 centmetros.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 34 de 104 35. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 21 (Ref: Pg. 252/253 Ej. 17) Una muestra aleatoria de 25 botellas de aspirinas contiene, en promedio, 325.05 mg. de aspirina con una desviacin estndar de 0.5. Encuentre los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% del contenido de aspirina para esta marca. Suponga que el contenido de aspirina se distribuye normalmente. Datos: P: botellas de aspirinas. X: cantidad de aspirina que contienen las botellas de aspirina (en miligramos). Tamao de la muestra n = 25 botellas de aspirina. Media muestral x = 325.05 mg. de aspirina. Desviacin estndar muestral s = 0.5 mg. de aspirina. 1 = 95% => = 0.05 y 1 = 90% => 0.9 Segn Tabla A.7 => k = 2.208 Incgnita: Limites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina. Solucin:x ks con nuestros datos 325.05 2.208.0.5 = [323.946 ; 326.154]mg. Respuesta: Los lmites de tolerancia del 95% que contendrn 90% de aspirina para esta marca son 323.946 mg y 326.154 mg,Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 35 de 104 36. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 22 (Ref: Pg. 262 Ej. 1) Una muestra aleatoria de tamao n1 = 25 que se toma de una poblacin normal con una desviacin estndar 1 = 5 tiene una media x 1 = 80. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2 = 36, que se toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2 = 3, tiene una media x 2 = 75. Encuentre un intervalo de confianza de 95% para 1 - 2. Datos: Tamao de la primer muestra Desviacin estndar de la primer poblacin Media de la primer muestran1 = 25. 1 = 5. x 1 = 80.P1 X 1 ~ N x1 = 80, x1 = 5Tamao de la segunda muestra n2 = 36. Desviacin estndar de la segunda poblacin 2 = 3. x 2 = 75. Media de la segunda muestraP2 X 2 ~ N x 2 = 75, x 2 = 3()()Intervalo de confianza IC = 95% para 1 2 100(1-)% = 95% => = 0.05 => z1 2 => z0.025 = 1.96 Aplicando Tabla A.3 Incgnita: Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con 95% de confianza. Solucin: x1 x 2 = 1 2 x1 x 2 =y2 1 2 + 2 n1 n 2con nuestro datos x1 x 2 = 80 75 = 5( x1 x 2 ) z 2.y x 1 x 2 =25 9 + = 25 365 = 1.25 1.118 42 1 2 2 2 + 2 < 1 2 < ( x1 x 2 ) + z . 1 + 2 2 n1 n 2 n1 n 2con nuestros datos 5 1.96 1.118 < 1 2 < 5 + 1.96 1.118 5 2.19 < 1 2 < 5 + 2.19 2.80 < 1 2 < 7.19 Respuesta: Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre 2.80 y 7.19.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 36 de 104 37. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 23 (Ref: Pg. 263 Ej. 9) Una compaa de taxis trata de decidir si comprar neumticos de la marca A o de la B para su flotilla de taxis. Para estimar la diferencia de las dos marcas, se lleva cabo un experimento, utilizando 12 de cada marca. Los neumticos se utilizan hasta que se gastan. Los resultados son: x 1 = 36300 kilmetros. s1 = 5000 kilmetros. x 2 = 38100 kilmetros. s2 = 6100 kilmetros.Marca A: Marca B:Calcule un intervalo de confianza de 95% para 1 2,suponga que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal. Puede no suponer que las varianzas son iguales. Datos: P1 : neumticos de la marca A. P2 : neumticos de la marca B. X1 : duracin en kilmetros de un neumtico de la marca A. X2 : duracin en kilmetros de un neumticos de la marca B. Tamao de la primer muestra n1 = 12 neumticos. Tamao de la segunda muestra n2 = 12 neumticos. x 1 = 36300 Km. Media de la primer muestra x 2 = 38100 Km. Media de la segunda muestra s 1 = 5000 Km. Desviacin estndar de la primer muestra Desviacin estndar de la segunda muestra s 2 = 6100 Km. Intervalo de confianza IC = 95%. 100(1-) % = 95% => = 0.05 => t 2 Aplicando Tabla A.4 t0.025 = 2.07892 con = 21.18 grados de libertad. Incgnita: Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 1 2, con 95% de confianza. Solucin:( x1 x 2 ) t 2 (s122 2 s1 s 2 s1 s 2 + 2 < 1 2 < ( x1 x 2 ) + t + 2 2 n1 n1 n 2 n2)donde t 2 es el valor t con2 n1 + s 2 n 2 ( 25000000 12 + 37210000 12 ) 2 = ( 2083333.3 + 3100833.3) 2 = 21.18 2 = = 2 2 2 ( 25000000 12 ) 2 + ( 37210000 12 ) 2 ( 2083333.3) 2 + ( 3100833.3) 2 s1 n1 s2 n 2 2 + 12 1 12 1 11 11 n1 1 n 2 1() ()con nuestros datos( 36300 38100) 2.07825000000 37210000 25000000 37210000 + < 1 2 < ( 36300 38100 ) + 2.080 + 12 12 12 12( 1800) ( 2.080)( 2276.87 ) < 1 2 < ( 1800) + ( 2.080)( 2276.87 ) 6533.4 < 1 2 < 2933.4Respuesta: Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre las medias poblacionales se encuentra entre 6533.4 y 2933.4.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 37 de 104 38. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 24 (Ref: Pg. 263 Ej. 7) Los siguientes datos, registrados en das, representan el tiempo de recuperacin para pacientes que se tratan al azar con uno de dos medicamentos para curar infecciones graves en la vejiga: Medicamento 1 n1 = 14 x 1 = 17Medicamento 2 n 2 = 16 x 2 = 192 s 1 = 1.5 s 2 = 1.8 2 Encuentre un intervalo de confianza de 99% para la diferencia 2 1 en el tiempo promedio de recuperacin para los dos medicamentos, suponga poblaciones normales con varianzas iguales.Datos: P1 : pacientes que se tratan con el medicamento 1. X 1 : tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 1. Tamao de la primer muestra n1 = 14 das. x 1 = 17 das. Primer media muestral 2 s 1 = 1.5 das.Primer varianza muestralP2 : pacientes que se tratan con el medicamento 2. X 2 : tiempo de recuperacin en das para un paciente tratado con el medicamento 2. Tamao de la segunda muestra n2 = 16 das. x 2 = 19 das. Segunda media muestral Segunda varianza muestral s 2 = 1.8 das. 2 Intervalo de confianza IC = 99% para 2 1 . 100(1-)% = 99% => = 0.01 => t 2 Aplicando Tabla A.4 t0.005 = 2.763 con (n1 + n2 2) = 28 grados de libertad. Incgnita: Intervalo de confianza para la diferencia de las medias poblacionales, 2 1 , con 99% de confianza. Solucin: x 2 x1 = 2 1 x 2 x1 =y1 1 + n 2 n1con nuestros datos x 2 x1 = 19 17 = 2s2 = py x 2 x1 =1 1 + = 0,1339 0.3659 14 16( n 1 1) * ( s12 ) + ( n 2 1) * ( s 2 ) 2 n1 + n 2 2con nuestros datos Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 38 de 104 39. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERs2 = p(14 1) * (1.5) + (16 1) * (1.8) 14 +16 2Trabajo Final 6 de Agosto de 2008= 1.6607 s p 1.2886luego,( x 2 x1 ) t 2sp1 1 1 1 + < 2 - 1 < ( x 2 x1 ) + t s p + 2 n 2 n1 n 2 n1con nuestros datos 2 (2.763)*(1.2886)*(0.3659) < 2 - 1 < 2 + (2.763)*(1.1886)*(0.3659) 2 1.30 < 2 - 1 < 2 + 1.30 0.70 < 2 - 1 < 3.30Respuesta: Podemos afirmar con 99% de confianza que la diferencia entre las medias ( 2 - 1 ) poblacionales se encuentra entre 0.70 y 3.30.Problema 25 (Ref: Pg. 270 - Ej. 1) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 39 de 104 40. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008a) Se selecciona una muestra aleatoria de 200 votantes y se encuentra que 114 apoyan un convenio de anexin. Encuentre un intervalo de confianza de 96% para la fraccin de la poblacin votante que favorece el convenio. b) Qu podemos asegurar con 96% de confianza acerca de la posible magnitud de nuestro error si estimamos que la fraccin de votantes que favorecen la anexin es 0.57? Datos: Tamao de la muestra Nmeros de xitos Intervalo de confianza Proporcin de xitos en una muestran = 200 votantes. x = 114 votantes. IC = 96% para p: proporcin de votante que favorecen el convenio. x 114 p= = = 0.57 . n 200 Proporcin de fracasos en una muestra q =1 p =1 0.57 =0.43 100 = 100(1 - )% = 96% => =0.04 => z1 2 => z0.98 2.054 a) Incgnita: Intervalo de confianza de 96% para la fraccin de la poblacin que favorece el convenio. Solucin: p*q = n p z * 2( 0.57 ) * ( 0.43) 200=0.2451 = 0,0012255 0.035 200 p*q p*q < p < p + z * 2 n ncon nuestros datos 0.57 (2.054)*(0.035) < p < 0.57 + (2.054)*(0.035) 0.57 0.07189 < p < 0.57 + 0.07189 0.49811 < p < 0.64189 Respuesta: Podemos afirmar con 96% de confianza que la fraccin que favorece el convenio se encuentra entre 0.49811 y 0.64189, es decir, 49.81% y 64.19% respectivamente. b) Incgnita: Posible error de estimacin. Solucin: = p - p = 0.57 0.49811 0.72 =7.2%Respuesta: Podemos afirmar con 96% de confianza que le error de estimacin no superar el 7.2 %. Problema 26 (Ref: Pg. 270 - Ej. 9) Que tan grande se requiere que sea la muestra si deseamos tener una confianza de 96% de que nuestra proporcin de la muestra estar dentro del 0.02 de la fraccin real de la poblacin votante?. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 40 de 104 41. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: Sabemos que: p 0.57 q 0.43 Y queIncgnita: n =? tal que p( p - p 0.02 ) =0.96Solucin: Con Intervalo de errorn=e = 0.02.2 z 2 pqe2con nuestros datosn=( 2.054) 2 ( 0.57 )( 0.43) ( 0.02) 2=1.030 2575 votantes 0.0004Respuesta: Si basamos nuestra estimacin de p sobre una muestra aleatoria de tamao 2575, podemos tener una confianza de 96% de que nuestra proporcin muestral no diferir de la proporcin real por ms de 0.02.Problema 27 (Ref: Pg. 271 Ej. 15) Cierto genetista se interesa en la proporcin de hombres y mujeres en la poblacin que tienen cierto trastorno sanguneo menor. En una muestra aleatoria de 1000 hombres se encuentra que 250 lo padecen, mientras que 275 de 1000 mujeres examinadas parecen tener el trastorno. Calcule un Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 41 de 104 42. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008intervalo de confianza de 95% para la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres que padecen el trastorno sanguneo. Datos: P1 : hombres P2 : mujeres p1 : proporcin de hombres que tienen cierto trastorno sanguneo menor. p2 : proporcin de mujeres que tienen cierto trastorno sanguneo menor. Tamao de la primer muestra n1 = 1000 hombres. Tamao de la segunda muestra n2 = 1000 mujeres. Nmero de xitos de la primer muestra x1 = 250. Nmero de xitos de la segunda muestra x2 = 275. x 250 p1 = = = 0.25 Proporcin de xitos de la primer muestra n 1000 x 275 p2 = = = 0.275 Proporcin de xito de la segunda muestra n 1000 q 1 = 1 p1 = 1 0.25 = 0.75 Proporcin de fracasos de la primer muestra q 2 = 1 p 2 = 1 0.275 = 0.725 Proporcin de fracasos de la segunda muestra p 1 p 2 = 0.25 0.275 = 0.025 Diferencia entre proporciones de xitos Intervalo de confianza IC = 95% z1 2 => z0.025 1.96 100 = 100(1 - )% = 95% => =0.05 => Incgnita: Intervalo de confianza de 96% para la diferencia de las fracciones de poblacin que favorece el convenio. Solucin: p1 * q 1 p 2 * q 2 + n1 n2 ( p 2 p1 ) z 2*con nuestros datos( 0.25) * ( 0.75) + ( 0.275) * ( 0.725) 10001000 0.01967 p1 * q 1 p 2 * q 2 p *q p *q + < p 2 p1 < ( p 2 p1 ) + z * 1 1 + 2 2 2 n1 n2 n1 n2con nuestros datos 0.025 (1.96)*(0.01967) < p2 p1 < 0.025 + (1.96)*(0.01967) 0.025 0.0385532 < p2 p1< 0.025 + 0.0385532 0.01355 < p2 p1< 0.06355 Respuesta: Podemos afirmar con 95% de confianza que la diferencia entre la proporcin de hombres y mujeres que padecen el trastorno sanguneo se encuentra entre 0.01355 y 0.06355.Problema 28 (Ref: Pg. 271 Ej. 20) De acuerdo con USA Today (17 de marzo de 1997), las mujeres constituan 33.7% del personal editorial en las estaciones locales de televisin en 1990 y el 36.2% en 1994. Suponga que se contrataron 20 nuevos empleados para el personal editorial. a) Estime el nmero que habran sido mujeres en cada ao respectivamente. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 42 de 104 43. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008b) Calcule un intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres contratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990. Datos: Tamao de la muestran = 20 empleados.6.74 P = = 0.337 1 20 7.24 = 0.362 Proporcin de xitos en 1994 las mujeres constituan 36,2 % de 20 empleados P2 = 20 q 1 = 1 p1 = 1 0.337 = 0.663 Proporcin de fracasos de la muestra en 1990 q 2 = 1 p 2 = 1 0.362 = 0.638 Proporcin de fracasos de la muestra en 1994 Intervalo de confianza IC = 95% 100 = 100(1 - ) % = 95% => =0.05 => z1 2 => z0.025 1.96 . Proporcin de xitos en 1990 las mujeres constituan 33,7 % de 20 empleadosa) Incgnita: Estimar el nmero que habran sido mujeres en cada ao. Solucin: En 1990 el 33.7% de 20 n * P = 20 * 0.337 = 6.74 7 mujeres 1 En 1994 el 36.2% de 20 n * P2 = 20 * 0.362 = 7.24 7 mujeresRespuesta: Estimamos que en 1990 habra sido de 6.74 7 mujeres, y en 1994 la estimacin habra sido de 7.24 7 mujeres. b) Incgnita: Intervalo de confianza de 95% para ver si hay evidencia de que la proporcin de mujeres contratadas como personal editorial en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990. Solucin: (P P ) Z 21 /2*(( 0.337 - 0.362) (1.96) * ( 0.025) (1.96) *) p1 * q1 p 2 * q 2 + < p 2 p1 < P2 P1 + Z / 2 * n1 n2 p1 * q1 p 2 * q 2 + n1 n2(0.337) * (0.663) (0.362) * (0.638) (0.337) + < p 2 p1 < ( 0.337 - 0.362) + (1.96) * 20 20 2(0.337) * (0.663) (0.362) * (0.638) (0.337) * (0.663) + < p 2 p1 < ( 0.025) + (1.96) * + 20 20 20( 0.025) 0.295430 < p2 p1 < ( 0.025) + 0.295430 0.32043 < p 2 p1 < 0.27043Respuesta: Podemos afirmar con 95% de confianza que no hay ninguna evidencia para asegurar que la proporcin de mujeres contratadas como personal en 1994 fue mayor que la proporcin contratada en 1990. Problema 29 (Ref: Pg. 275 Ej. 1) Un fabricante de bateras para automvil afirma que sus bateras duraran, en promedio, tres aos con una varianza de un ao. Si cinco de estas bateras tienen duraciones de 1.9, 2.4, 3.0, 3.5 y 4.2 aos, construya un intervalo de confianza de 95% para 2 y decida si la afirmacin del fabricante de que 2 = 1 es vlida. Suponga que la poblacin de duraciones de las bateras se distribuye de forma aproximadamente normal. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 43 de 104 44. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: P: bateras de automvil. X: tiempo de duracin en aos de una batera. Media poblacional x = 3 aos. Desviacin estndar poblacional x = 1 ao. Intervalo de varianza IC = 95%. Tamao de la muestra n = 5 bateras.X ~ N( x = 3, x = 1)Incgnita: 2 = 1 ao 2 Solucin: Se desea estimar el valor de la varianza utilizando S 2 como estimador. n n n x i2 x i i =1 s 2 = i =1 n ( n 1)s2 =2( 5) * ( 48.26 ) (15) 2 ( 5)( 4)=241.3 225 = 0.815 ao 2 20S = 0.902774 aos Para el intervalo de confianza del 95% 2 2=2 0.025( n 1) s 2 2 2 1= 11.113 = 0.10 => f IC = 90%. 2Aplicando Tabla A.6f0.05 = 2.80 con (n1 1, n2 - 1), es decir, con (11, 11) grados de libertad. 2 s12 s2 1 < 1 < 1 f ( 1, 2 ) s 2 f ( 1, 2 ) 2 s 2 2 2 2 2 2con nuestros datos 2 25000000 1 1 25000000 < 2 < ( 2.80 ) 37210000 2.80 2 37210000 0.238249 < 12 < 1.894652 2 2Respuesta: 2 Podemos afirmar con 90% de confianza que 1 2 se encuentra entre 0.238249 y 1.894652, ya que el 2 intervalo contiene a 1 es razonable asumir que 21 = 22.Problema 31 (Ref: Pg. 304 Ej. 1) Suponga que un alerglogo desea probar la hiptesis de que al menos 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso. Explique como el alerglogo puede cometer: a) Un error tipo I. b) Un error tipo II. Solucin: Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 46 de 104 47. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008H 0 ) Al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.H 1 ) Menos del 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso.p = proporcin de pblico que es alrgico a algunos productos de queso. En smbolos: H 0 ) p 0.30H 1 ) p < 0.30 El rechazo de la hiptesis nula cuando es verdadera se llama error de tipo I. a) Cuando concluye que al menos de 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, de hecho, el 30% o ms son alrgicos. El no rechazo de la hiptesis nula cuando es falsa se llama error tipo II. b) Cuando concluye que al menos el 30% del pblico es alrgico a algunos productos de queso cuando, de hecho, menos del 30% son alrgicos.Problema 32 (Ref: Pg. 304 Ej. 4) Se estima que la proporcin de adultos que viven en una pequea ciudad que son graduados universitarios es p = 0.6. Para probar esta hiptesis se selecciona una muestra aleatoria de 15 adultos. Si el nmero de graduados en nuestra muestra es cualquier nmero de 6 a 12, aceptaremos la hiptesis nula de que p = 0.6 en caso contrario, concluiremos que p 0.6 a) Evale con la suposicin de que p = 0.6. Utilice la distribucin binomial. b) Evale para las alternativas p = 0.5 y p = 0.7. c) Es este un buen procedimiento de prueba?.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 47 de 104 48. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: P : adultos graduados universitarios. p : proporcin de adultos graduados universitarios. X : un adulto graduado universitario de esa poblacin. Tamao de la muestra n = 15 adultos. Regin de aceptacin 6 x 12 graduados universitarios. Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0 : p = 0.6. H1 : p 0.6.a) Incgnita: Probabilidad de error tipo I, Solucin: Proporcin de adultos graduados universitariosx = P(error tipo I) = P(6 < i =5< 12 | p = 0.6) = P( x 6 | p = 0.6) + P( x 12 | p = 0.6) =i= 15i =0=p = 0.6 graduados universitarios.i= 13b( x;15;0.6) + b( x;15;0.6) = 0.0338 +(1 0.9729) = 0.0609 = 6.09%.Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 6.09%. b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II, Solucin: Proporcin de adultos graduados universitarios = P(error tipo II) =P(6 xp = 0.5 graduados universitarios. i= 12 12 | p = 0.5) =b ( x;15;0.5) = Aplicando Tabla A.1 = 0.8464 = i= 684.64%. Proporcin de adultos graduados universitarios = P(error tipo II) =P(6 xp = 0.7 graduados universitarios. i= 12 12 | p = 0.7) =b ( x;15;0.7) = Aplicando Tabla A.1 = 0.8695 = i =686.95%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.5 es del 84.64%. La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.7 es del 86.95%. c) Incgnita: Es este un buen procedimiento de prueba? Solucin: El procedimiento empleado para este ejercicio no es un buen procedimiento de prueba ya que la probabilidad es muy alta. Problema 33 (Ref: Pg. 304 Ej. 5) Repita el ejercicio 4 cuando se seleccionan 200 adultos y la regin de aceptacin se define como 110 x 130 donde x es el nmero de graduados universitarios en nuestra muestra. Utilice la aproximacin normal. Datos: Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 48 de 104 49. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTamao de la muestra Regin de aceptacin Hiptesis nula Hiptesis alternativaTrabajo Final 6 de Agosto de 2008n = 200 adultos. 110 x 130 graduados universitarios. H0: p = 0.6. H1: p 0.6.a) Incgnita: Probabilidad de error tipo I, Solucin: Proporcin de adultos graduados universitariosp = 0.6 graduados universitarios.Media = n * p = ( 200 ) * ( 0.6) = 120 . = n * p * q = 200 * 0.6 * 0.4 = 6.9282Desviacin estndarNecesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5 Z=z=y 109.5 120 1.52 6.928yz=130.5 120 1.52 6.928 = P(error tipo I) = P(110 > x > 130 | p = 0.6) = P( x < 110 | p = 0.6) + P( x > 130 | p = 0.6) = = P(z < -1.52) + P(z < 1.52) = (2)*(0.0643) = 0.1286 = 12.86%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 12.86%. b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II, Solucin: Proporcin de adultos graduados universitariosp = 0.5 graduados universitarios.Media = n * p = ( 200 ) * ( 0.5) = 100 .Desviacin estndar = n * p * q = 200 * 0.5 * 0.5 = 7.0712Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5 Z=y Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 49 de 104 50. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERz=109.5 100 1.34 7.07Trabajo Final 6 de Agosto de 2008yz=130.5 100 4.31 7.07 = P(error tipo II) =P(110 < x < 130 | p = 0.5) =P(1.34 < z < 4.31) = P(z 4.31) P(z 1.34) = = 1 0.9099 = 0.0901 = 9.01%. Proporcin de adultos graduados universitariosp = 0.7 graduados universitarios.Media = n * p = ( 200 ) * ( 0.7 ) = 140 . = n * p * q = 200 * 0.7 * 0.3 = 6.4807Desviacin estndarNecesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 110 x 130 110 - 0.5 y 130 + 0.5 109.5 y 130.5 Z=z=y 109.5 140 4.71 6.480yz=130.5 140 1.47 6.480 = P(error tipo II) =P(110 < x < 130 | p = 0.7) = P(-4.71< z < -1.47) = P(z -1.47) P(z -4.71) = = 0.0708 0 = 0.0708 = 7.08%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.5 es del 9.01%. La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.7 es del 7.08%. c) Incgnita: Es este un buen procedimiento de prueba? Solucin: Para este procedimiento la probabilidad de cometer un error Tipo I es algo alto, aunque se reduce dramticamente la probabilidad de cometer un error Tipo II.Problema 34 (Ref: Pg. 305 Ej. 12) Se pregunta a una muestra aleatoria de 400 votantes en cierta ciudad si estn a favor de un impuesto adicional de 4% sobre la venta de gasolina para proporcionar ingresos que se necesitan con urgencia para la reparacin de calles. Si ms de 220 pero menos de 260 favorecen el impuesto sobre ventas, concluiremos que 60% de los votantes lo apoyan. a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I si 60% de los votantes estn a favor del aumento de impuestos. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 50 de 104 51. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008b) Cul es la probabilidad de cometer un error de tipo II al utilizar este procedimiento de prueba si en realidad slo 48% de los votantes est a favor del impuesto adicional a la gasolina? Datos: P : votantes de una cierta ciudad. p : proporcin de votantes a favor del impuesto. X : un votante de esa ciudad. Tamao de la muestra n = 400 votantes. Regin de aceptacin 220 < x < 260 221 Hiptesis nula Hiptesis alternativax 259 votantes que favorecen el impuesto.H 0: p = 0.6. H1: p 0.6.a) Incgnita: Probabilidad de error tipo I, Solucin: Proporcin de votantes a favor del impuestop = 0.6 votantes a favor del impuesto.Media = n*p = (400)*(0.6) = 240.Desviacin estndar=n* p*q =( 400) * ( 0.6) * ( 0.4) 9.79Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 221 x 259 221 - 0.5 y 259 + 0.5 220.5 y 259.5 Z=z=y 220.5 240 1.99 9.79yz=259.5 240 1.99 9.79 = P(error tipo I) = P(221 > x > 259 | p = 0.6) = P( x < 221 | p = 0.6) + P( x > 259 | p = 0.6) = =P(z < -1.99) + P(z < 1.99) = (2)*(0.0233) = 0.0466 = 4.66%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 4.66%.b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II, Solucin:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 51 de 104 52. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Proporcin de adultos graduados universitariosp = 0.48 graduados universitarios.Media = n*p = (400)*(0.48) = 192.Desviacin estndar=n* p*q =( 400 ) * ( 0.48) * ( 0.52)9.99Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 220.5 y 259.5 Z=z=y 220.5 192 2.85 9.99yz=259.5 192 6.75 9.99 = P(error tipo II) =P(221 < x < 259 | p = 0.48) = P(2.85< z < 6.75) = P(z 6.75) P(z 2.85) = =1 0.9978 = 0.0022 = 0.22%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 0.22%.Problema 35 (Ref: Pg. 305 Ej. 13) Suponga que, en el ejercicio 12, concluimos que 60% de los votantes est a favor del impuesto a la venta de gasolina si ms de 214 pero menos de 266 votantes de nuestra muestra lo favorece. Muestre que esta nueva regin de aceptacin tiene como resultado un valor ms pequeo para a costa de aumentar . Datos: Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 52 de 104 53. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Tamao de la muestra Regin de aceptacinn = 400 votantes. 214 < x < 266 215 Hiptesis nula Hiptesis alternativax 265 votantes que favorecen el impuesto.H 0: p = 0.6. H1: p 0.6.a) Incgnita: Probabilidad de error tipo I, Solucin: Proporcin de votantes a favor del impuesto p = 0.6 votantes a favor del impuesto. Media = n*p = (400)*(0.6) = 240. Desviacin estndar = n * p * q = ( 400 ) * ( 0.6 ) * ( 0.4) 9.79 Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 215 x 265 215 - 0.5 y 265 + 0.5 214.5 y 265.5Z=y z=214.5 240 2.60 y 9.79z=265.5 240 2.60 9.79 = P(error tipo I) = P(214 > x > 266, cuando p = 0.6) = (2)*P(z < -2.60) = (2)*(0.0047) = 0.0094 = 0.94%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo I con p = 0.6 es del 0.94%. b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II, Solucin: Proporcin de adultos graduados universitarios p = 0.48 graduados universitarios. Media = n*p = (400)*(0.48) = 192. Desviacin estndar = n * p * q = ( 400 ) * ( 0.48) * ( 0.52 ) 9.99 Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 214.5 y 265.5 215 x 265 215 - 0.5 y 265 + 0.5 214.5 y 265.5Z=y z=214.5 192 2.25 9.99yz=265.5 192 7.35 9.99 = P(error tipo II) =P(214 < x < 266, cuando p = 0.48) =P(2.25 z 7.35) = P(z 7.35) P(z 2.25) = = 1 0.9878 = 0.0122 = 1.22%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo II con p = 0.48 es del 1.22%. Problema 36 (Ref: Pg. 305 Ej. 15) Una mquina de refrescos en un restaurante de carnes asadas se ajusta de modo que la cantidad de bebida que sirva est distribuida de forma aproximadamente normal con una media de 200 mililitros y una desviacin estndar de 15 mililitros. La mquina se verifica peridicamente con una muestra de nueve bebidas y con el clculo del contenido promedio. Si x cae en el intervalo 191 < x < 209, se considera que la mquina opera de manera satisfactoria: de otro modo, concluimos que 200 mililitros. a) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo I cuando = 200 mililitros. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 53 de 104 54. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008b) Encuentre la probabilidad de cometer un error tipo II cuando = 215 mililitros. Datos: P : bebida que sirve cierta maquina de refresco. X : medida en mililitros de esa maquina de refresco. Tamao de la muestra n = 9 bebidas. Desviacin estndar poblacional = 15 mililitros. 15 15 x = x = = Desviacin estndar muestral = 5 mililitros. n 9 3 Regin de aceptacin 191 < x < 209. Hiptesis nula Hiptesis alternativaH 0: = 200 mililitros. H1: 200 mililitros.a) Incgnita: Probabilidad de error tipo I, Solucin: Media = 200 mililitros. Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209 z=191 200 = -1.80 5yz=X ~ N( x = 200, x = 15)209 200 = 1.80 5 = P(error tipo I) = P(191 > x > 209) = (2)*P(z < -1.80) = (2)*(0.0359) = 0.0718 = 7.18%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo I con es del 7.18%. b) Incgnita: Probabilidad de error tipo II, Solucin: Media = 215 mililitros. Necesitamos conocer el rea bajo la curva normal entre 191 y 209 z=191 215 = -4.80 5yz=X ~ N( x = 200, x = 15)209 215 = -1.20 5 = P(error tipo II) =P(191 < x < 209) =P(-4.80 z -1.20) = P(z -1.20) P(z -4.80) = = 0.1151 0 = 0.1151 = 11.51%. Respuesta: La probabilidad de cometer un error tipo II es del 11.51%. Problema 37 (Ref: Pg. 325 Ej. 1) Una empresa elctrica fabrica focos que tienen una duracin que se distribuye de forma aproximadamente normal con una media de 800 horas y una desviacin estndar de 40 horas. Prueba la hiptesis de que = 800 horas contra la alternativa de que 800 horas si una muestra aleatoria de 30 focos tiene una duracin promedio de 788 horas. Utilice un nivel de significancia de 0.04. Datos: P : focos fabricados en cierta empresa elctrica. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 54 de 104 55. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008X : duracin en horas de un foco fabricado en esa empresa elctrica. Tamao de la muestra n = 30 focos. Desviacin estndar poblacional = 40 horas. Media muestral x = 788 horas. 40 x = x = 7.30 mililitros. Desviacin estndar muestral n 30 Nivel de significancia = 0.04 Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: = 800 horas. H1: 800 horas.X ~ N ( x = 788, x = 40 )Incgnita: Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula. Solucin: Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, dondez=z=X n788 800 =-1.64 7.30Si z < z < z , no se rechaza H0. 22 z 0.04 < z < z 0.04 22 z 0.02 < z < z 0.02Aplicando Tabla A.3. 2.055 < z < 2.055 Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de z hallado se encuentra dentro de la regin de no rechazo.Problema 38 (Ref: Pg. 326 Ej. 5) Se afirma que un automvil se maneja en promedio ms de 20000 kilmetros por ao. Para probar esta afirmacin, se pide a una muestra de 100 propietarios de automviles que lleven un registro de los kilmetros que viajen. Est de acuerdo con esta afirmacin si la muestra aleatoria muestra un promedio de 23500 kilmetros y una desviacin estndar de 3900 kilmetros?. Utilice un valor P en su conclusin.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 55 de 104 56. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Datos: Tamao de la muestra Media muestral Desviacin estndar muestraln = 100 automviles. x = 23500 kilmetros. x = 3900 kilmetros.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 20000 kilmetros. H1: > 20000 kilmetros.Incgnita: Rechazo o aceptacin de la hiptesis nula. Solucin: Es conveniente estandarizar X e incluir de manera formal la variable aleatoria normal estndar Z, dondez=z=X n23500 20000 = 8.97. 3900 / 100P= P(Z > 8.97)1-1 = 0Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula y concluimos que 20000 Kilmetros.Problema 39 (Ref: Pg. 326 Ej. 7 ligado al Ej. 1 Pg. 339) a) Ref. Pg. 326 Ej. 7 Pruebe la hiptesis de que el contenido promedio de los envases de un lubricante particular es de 10 litros si los contenidos de una muestra aleatoria de 10 envases son 10.2, 9.7, 10.1, 10.3, 10.1, 9.8, 9.9, 10.4, 10.3 y 9.8 litros. Utilice un nivel de significancia de 0.01 y suponga que la distribucin del contenido es normal. b) Ref. Pg. 339 Ej.1 Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 56 de 104 57. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Se sabe que el volumen de los envases de un lubricante particular se distribuye normalmente con una varianza de 0.03 litros. Pruebe la hiptesis de que 2 = 0.03 contra la alternativa de que 2 0.03 para la muestra aleatoria de 10 envases del ejercicio 7 de la pgina 326. Use un nivel de significanca de 0.01. a) Ref. Pg. 326 Ej. 7 Datos: P : envases de un lubricante. X : contenido en litros de un envase de ese lubricante. Tamao de la muestra n = 10 envases. nMedia muestralx=Xii =1n10.2 + 9.7 + 10.1 + 10.3 + 10.1 + 9.8 + 9.9 + 10.4 + 10.3 + 9.8 = = 10.06 litros. 10 nDesviacin estndar muestrals= =s= (X i =1i X)2n 1(10.2 10.06 )2 + (9.7 10.06) 2 + (10.1 10.06) 2 + (10.3 10.06) 2 + (10.1 10.06) 2 + (9.8 10.06) 2 + (9.9 10.06 9(0.14 )2 + ( 0.36 )2 + ( 0.04 )2 + ( 0.24 )2 + (0.04)2 + ( 0.26 )2 + ( 0.16 )2 + (0.34)2 + ( 0.24 ) 2 + ( 0.26 )2 9Nivel de significancia = 0.01Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: = 10 litros. H1: 10 litros.Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:X t= s n Si t 2 t 0.01, n 12,9t=< t < t2< t < t 0.01, n 1 ,210.06 10 = 0.7722 . 0.0777no se rechaza H0.,9 t 0.005,9 < t < t 0.005,9 Aplicando Tabla A.4.- 3.250 < t < 3.250 Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin de No Rechazo. b) Ref. Pg. 339 Ej.1 Datos:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 57 de 104= 58. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Tamao de la muestran = 10 envases. nMedia muestralx=X i =1i=n10.2 + 9.7 + 10.1 + 10.3 + 10.1 + 9.8 + 9.9 + 10.4 + 10.3 + 9.8 = 10.06 10litros. nDesviacin estndar muestral(10.2 10.06 )s = =2s=+ (9.7 10.06)2 (X i =1i X)2n 1+ (10.1 10.06)2+ (10.3 10.06)2+ (10.1 10.06)2+ (9.8 10.06)2+ (9.9 10.069(0.14 )2 + ( 0.36 )2 + ( 0.04 )2 + ( 0.24 )2 + (0.04 )2 + ( 0.26 )2 + ( 0.16 )2 + ( 0.34 )2 + ( 0.24 ) 2 + ( 0.26 )2 9Nivel de significancia = 0.01 H0: 2 = 0.03 litros. H1: 2 0.03 litros.Hiptesis nula Hiptesis alternativaIncgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: x2 =x2 =( n 1) * s 2 2(10 1) * ( 0.2458) 2 0.03=( 9 ) * ( 0.0604 ) 0.03=0.5436 18.13 0.032 Si = 18.13 cuando v = 10 1 = 9 grados de libertadSegn Tabla A.5 => 0.025 < P(2 >18.13) < 0.05 Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que la muestra de 10 envases no es suficiente para mostrar que 2 no es igual a 0.03.Problema 40 (Ref: Pg. 326 Ej. 12) Una muestra aleatoria de tamao n1 = 25, que se toma de una poblacin normal con una desviacin estndar 1 = 5.2, tiene una media x 1 = 81. Una segunda muestra aleatoria de tamao n2 = 36, que se Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 58 de 104= 59. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008toma de una poblacin normal diferente con una desviacin estndar 2 = 3.4, tiene una media x 2 = 76. Pruebe la hiptesis de que 1 = 2 contra la alternativa 1 2. Cite un valor P en su conclusin. Datos: Tamao de la primer muestra Desviacin estndar de la primer poblacin Media de la primer muestran1 = 25. 1= 5.2. x 1 = 81.X 1 ~ N x1 = 81, x1 = 5.2Tamao de la segunda muestra Desviacin estndar de la segunda poblacin Media de la segunda muestran2 = 36. 2 = 3.4. x 2 = 76.X 2 ~ N x 2 = 76, x 2 = 3.4Hiptesis nula Hiptesis alternativa()()H0: 1 = 2. H 1: 1 2.Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:z=z=(X1 X 2 ) ( 1 2 ) 2 1 2 + 2 n1 n 2( 81 76) ( 0) 27.04 11.56 + 25 36p = P(z > 4.222)=5 4.222 1.1841-1 = 0Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula ya que la probabilidad de que ocurra es aproximadamente del 0%.Problema 41 (Ref: Pg. 327 Ej. 18 ligado al Ej. 9 Pg. 340) a)Ref. Pg. 327 Ej.18Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 59 de 104 60. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Una compaa armadora de automviles trata de decidir si compra llantas de la marca A o de la B para sus modelos nuevos. Se lleva a cabo un experimento, para ayudar a llegar a una decisin, en el que se usan 12 llantas de cada marca. Las llantas se utilizan hasta que se acaban. Los resultados son: x 1 = 37900 kilmetros. s1 = 5100 kilmetros. x 2 = 39800 kilmetros. s2 = 5900 kilmetros.Marca A: Marca B:Prueba la hiptesis de que no hay diferencias en las dos marcas de llantas con un nivel de significancia de 0.05. Suponga que las poblaciones se distribuyen de forma aproximadamente normal con varianzas iguales. b) Ref. Pg. 340 Ej.9 Con referencia al ejercicio 18 de la pgina 327, pruebe la hiptesis de que 1 = 2 contra la alternativa de que 1 < 2, donde 1 y 2 son las desviaciones estndar de las distancias que se obtienen por las llantas marca A y marca B, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.05. a)Ref. Pg. 327 Ej.18 Datos: Tamao de la primer muestra Tamao de la segunda muestra Desviacin estndar de la primer muestra Desviacin estndar de la segunda muestra Media de la primer muestra Media de la segunda muestra Hiptesis nula Hiptesis alternativan1 = 12 llantas. n2 = 12 llantas. s1= 5100 Km. s2 = 5900 Km. x 1 = 37900 Km. x 2 = 39800 Km.H0: 1 = 2. H1: 1 2.Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:( s ) * ( n 1) + ( s ) * ( n 2 1sp =2 212 1)n1 + n2 2Con nuestros datos:sp =( 26010000) * (11) + ( 34810000) * (11) 12 + 12 2 X 2 ) ( 1 2 ) 1 1 sp + n1 n 2 Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro t==286110000 + 382910000 669020000 = = 5514.52 Km. 22 22(X1Pgina 60 de 104 61. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Con nuestros datos:t=( 37900 39800) ( 0) 1 1 + 12 125514.52 Si t 2, n1 + n 2 2 t 0.052< t < t,12 +12 22= 1900 1900 = 0.84 ( 5514.52 )( 0.408) 2249.92,n1 + n 2 2< t < t 0.052, no se rechaza H0.,12 +12 2 t 0.025, 22 < t < t 0.025, 22 Aplicando Tabla A.4. 2.074 < t < 2.074 Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica. b) Ref. Pg. 340 Ej.9 Datos: Tamao de la primer muestra Tamao de la segunda muestra Desviacin estndar de la primer muestra Desviacin estndar de la segunda muestra Media de la primer muestra Media de la segunda muestran1 = 12 llantas. n2 = 12 llantas. s1= 5100 Km. s2 = 5900 Km. x 1 = 37900 Km. x 2 = 39800 Km.H 0: 1 = 2 H 1: 1 < 2Hiptesis nula Hiptesis alternativa Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Sabemos que: ( v1 , v 2 ) con v1 = n1 1 y v2 = n2 1 grados de libertad con nuestros datos: v1 = 12 1 = 11yv 2 = 12 1 = 11 grados de libertadf 0.05 (11,11) = 2.82 Segn Tabla A.6f 1 ( 1, 2 ) =1 con v1 = n1 1 y v2 = n2 1 grados de libertad f ( 2 , 1 )Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 61 de 104 62. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Con nuestros datos:f 0.95 (11,11) =1 1 = 0.35 f 0.05 (11,11) 2.82Grficamente:2La hiptesis nula se rechaza cuando f > 2.82 f < 0.35 , dondef = s1s2 2, con v1 = 11 y v1 = 11grados de libertad. con nuestros datos:S12 = ( 5100 ) = 26010000km. 2y por ello f =2 S 2 = ( 5900 ) = 34810000km. 223010000 = 0.7472 34810000Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula, para 12 = 22 , ya que el valor de f hallado es f < 0.35, 0.7472 < 0.35. Problema 42 (Ref: Pg. 328 Ej. 21 ligado al Ej. 10 Pg. 340) Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 62 de 104 63. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008a)Ref. Pg. 328 Ej. 21 Los siguientes datos representan los tiempos de duracin de pelculas producidas por dos compaas cinematogrficas: Compaa 1 2Tiempo (minutos) 102 86 98 109 92 81 165 97 134 92 87 114Pruebe la hiptesis de que el tiempo de duracin promedio de las pelculas producidas por la compaa 2 excede el tiempo promedio de duracin de la que produce la compaa 1 en 10 minutos, contra la alternativa unilateral de que la diferencia es de ms de 10 minutos. Utilice un nivel de significancia de 0.1 y suponga que las distribuciones de los tiempos son aproximadamente normales con varianzas iguales. b) Ref. Pg. 340 Ej. 10 Con referencia al ejercicio 21 de la pgina 328, pruebe la hiptesis de que 21 = 22 contra la alternativa de que 21 22, donde 21 y 22 son las varianzas para los tiempos de duracin de pelculas producidas por la compaa 1 y la compaa 2, respectivamente. Utilice un nivel de significancia de 0.10. a)Ref. Pg. 328 Ej. 21 Datos: X1 : tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 1. X2 : tiempo de duracin en minutos de una pelcula producida por la compaa 2. Tamao de la primer muestra n1 = 5 pelculas. Tamao de la segunda muestra n2 = 7 pelculas. nMedia de la primer muestrax1 =Xi=i =1n1102 + 86 + 98 + 109 + 92 = 97.4 minutos. 5nMedia de la segunda muestra(X 1 ~ N x1 = 97.4, x1 = 19.86x2 =Xii =1=n281 + 165 + 97 + 134 + 92 + 87 + 114 = 110. minutos. 7)(X 2 ~ N x 2 = 110, x 2 = 79.95nDesviacin estndar de la primer muestras1 = =s1 = (X i =1i X)2n1 1(102 97.4) 2 + (86 97.4) 2 + (98 97.4) 2 + (109 97.4) 2 + (92 97.4) 2 4( 4.6 ) 2 + ( 11.4) 2 + ( 0.6 ) 2 + (11.6) 2 + ( - 5.4) 2 4Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro=)315.2 4== 78.8 = 8.87minutosPgina 63 de 104 64. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008 (X nDesviacin estndar de la segunda muestras2 =s2 =i =1 X)2n2 1( 81 110 ) 2 + (165 110)2 + (97 110) 2 + (134 110)2 + (92 110)2 + (87 110)2 + (114 110) 2 6( - 29) 2 + ( 55) 2 + ( - 13) 2 + ( 24) 2 + ( - 18) 2 + ( 23) ) 2 + ( 4) 2=i6=Hiptesis nula Hiptesis alternativa6= 913.3 = 30.22 min utosH0: 2 - 1 10 minutos. H1: 2 - 1 > 10 minutos.Nivel de significancia5480= = 0.1Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin:t=(X2 X1 ) ( 2 1 ) 2 s 2 s1 2 + n 2 n1con nuestros datos:t=(110 97.4) (10 ) 913.24 78.67 + 7 5Si t 2,< t < t2,=12.6 10 130.46 + 15.73=2.6 146.19=2.6 0.22 12.09, no se rechaza H0.Con( s12 n1 + s22 n2 ) 2 = ( 78.68 5 + 913.25 7) 2 = (15.74 + 130.46) 2 = ( s12 n1 ) 2 + ( s22 n2 ) 2 ( 78.68 5) 2 + ( 913.25 7) 2 (15.74) 2 + (130.46) 2 n1 1=( 146.2) 2 247.75 17019.81 + 4 6entonces: t 0.151n2 12,7=21374.44 61.90 + 2836.75< t < t 0.1271=21374.44 2898.6546 7.38 = 7,7t 0.05, 7 < t < t 0.05, 7 Aplicando Tabla A.4. 2.998 < t < 2.998Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 64 de 104 65. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que el valor de t hallado se encuentra dentro de la regin crtica. b) Ref. Pg. 340 Ej. 10 Datos: Tamao de la primer muestra Tamao de la segunda muestran1 = 5 pelculas. n2 = 7 pelculas. nMedia de la primer muestrax1 =Xi=102 + 86 + 98 + 109 + 92 = 97.4 minutos. 5i=81 + 165 + 97 + 134 + 92 + 87 + 114 = 110. minutos 7i =1n1 nMedia de la segunda muestrax2 =X i =1n2nDesviacin estndar de la primer muestras1 = = (Xii =1s1 = X)n1 1(102 97.4) 2 + (86 97.4) 2 + (98 97.4) 2 + (109 97.4) 2 + (92 97.4) 2 4( 4.6 ) 2 + ( 11.4) 2 + ( 0.6 ) 2 + (11.6) 2 + ( - 5.4) 2 4315.2=4Desviacin estndar de la segunda muestra=s2 === 78.8 = 8.87minutos (X ns2 =2i =1i X)2n2 1( 81 110 ) 2 + (165 110) 2 + (97 110) 2 + (134 110)2 + (92 110)2 + (87 110)2 + (114 110) 2 6( - 29 ) 2 + ( 55) 2 + ( - 13) 2 + ( 24) 2 + ( - 18) 2 + ( 23) ) 2 + ( 4) 2 6Hiptesis nula Hiptesis alternativa5480 6= 913.3 = 30.22 min utosH0: 12 = 22. H1: 12 22.Nivel de significancia== = 0.1Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Sabemos que: ( v1 , v 2 ) con v1 = n1 1 y v2 = n2 1 grados de libertad Con nuestros datos: v1 = 5 1 = 4 yv 2 = 7 1 = 6 grados de libertad entonces:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 65 de 104 66. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008 0.05 ( 4,6 ) = 4.53 Segn Tabla A.6f 1 ( 1, 2 ) =1 con v1 = n1 1 y v2 = n2 1 grados de libertad f ( 2 , 1 )Con nuestros datos:f 0.95 ( 4,6 ) =1 1 = 0.16 f 0.05 ( 6,4 ) 6.16Grficamente:La hiptesis nula se rechaza cuando f > 4.53 f < 0.16 , dondes12 f =s2 2, con v1 = 4 y v1 = 6grados de libertad. con nuestros datos:S12 = ( 8.87 ) = 78.7 min utos. 2Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaroy2 S 2 = ( 30.22) = 913.25 min utos. 2Pgina 66 de 104 67. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERy por ello f =Trabajo Final 6 de Agosto de 200878.7 = 0.09 913.25Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula, para 12 = 22 , ya que el valor de f hallado es f < 0.16, 0.09 < 0.16. Problema 43 (Ref: Pg. 335 Ej. 6) En cierta universidad se estima que a lo ms 25% de los estudiantes van en bicicleta a la escuela. Esta parece ser una estimacin valida si, en una muestra aleatoria de 90 estudiantes universitarios, se encuentra que 28 van en bicicleta a la escuela?. Utilice un nivel de significancia de 0.05. Datos: P : estudiantes de cierta universidad. X : un estudiante de esa universidad. Tamao de la muestra n = 90 estudiantes. Cantidad de estudiantes que van en bicicleta x = 28 estudiantes. Proporcin de estudiantes que en bicicleta p = 0.25 q = 0.75 Proporcin de estudiantes que no andan en bicicleta Media = n*p = (90)*(0.25) = 22.5 estudiantes. Desviacin estndar = n * p * q = ( 90) * ( 0.25) * ( 0.75) 4.10 estudiantes. X ~ N( x = 22.5, x = 4.10)Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: p 0.25. H1: p > 0.25.Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Rechazamos H0 si Z < -1.64 siendo Z=x Con nuestros datos: Z =28 22.5 = 1.338877 1.34 4.107919P = P( Z > 1.34 ) = 1 ( Z 1.34 ) = 1 0.909 = 0.091 = 9.1%Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula ya que no hay suficiente evidencia para concluir que P> 0.25.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 67 de 104 68. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 44 (Ref: Pg. 335 Ej. 9) En un estudio para estimar la proporcin de residentes de cierta ciudad y sus suburbios que estn a favor de la construccin de una planta de energa nuclear, se encuentra que 63 de 100 residentes urbanos estn a favor de la construccin mientras que solo 59 de 125 residentes suburbanos la favorecen. Hay una diferencia significativa entre la proporcin de residentes urbanos y suburbanos que favorecen la construccin de la planta nuclear?. Use un valor P. Datos: P1 : residentes urbanos de cierta ciudad. P2 : residentes suburbanos de cierta ciudad. p1 : proporcin de residentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear. p2 : proporcin de residentes suburbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear. Tamao de la primer muestra n1 = 100 residentes urbanos. Tamao de la segunda muestra n2 = 125 residentes suburbanos. Cantidad de urbanos a favor x1 = 63 residentes urbanos. Cantidad de suburbanos a favor x2 = 59 residentes suburbanos. x 63 p1 = 1 = = 0.63 Proporcin de urbanos a favor n 1 100x2 59 = = 0.472 n 2 125 x + x2 63 + 59 122 p= 1 = = = 0.542 Combinacin de las proporciones n 1 + n 2 100 + 125 225 Hiptesis nula H0: p1 = p2. Hiptesis alternativa H1: p1 p2. Proporcin de suburbanos a favor p2 =Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Utilizamos la aproximacin normalz=z= p1 p2 pq[ (1 n1 ) + (1 n2 ) ] 0.63 0.472( 0.542)( 0.458) 1 1 + 100 125 =0.158( 0.542)( 0.458)( 0.018)=0.158 0.0044=0.158 = 2.36 0.066P(z > 2.36 ) = 2* P(z > 2.36) = 2*(1 0.9909) = 0.0182 = 1.82% Respuesta:Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 68 de 104 69. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Rechazamos la hiptesis nula ya que hay una probabilidad de que ocurra del 1.82%. La proporcin de los residentes urbanos a favor de la construccin de una planta de energa nuclear es mayor que la proporcin de los residentes suburbanos a favor de la construccin de dicha planta.Problema 45 (Ref: Pg. 335/336 Ej. 10) En un estudio sobre la fertilidad de mujeres casadas por Martn O`Connell y Carolyn C. Rogers para la Oficina de Censos en 1979, se seleccionaron al azar dos grupos de esposas con edades de 25 a 29 sin hijos y a cada mujer se le pregunt si planeaba tener un hijo. Se seleccion un grupo entre las mujeres con menos de dos aos de casadas y otro entre las que tenan cinco aos de casadas. Suponga que 240 de 300 con menos de dos aos de casadas planean tener algn da un hijo comparadas con 288 de las 400 con cinco aos de casadas. Podemos concluir que la proporcin de mujeres con menos de dos aos de casadas que planean tener hijos es significativamente ms alta que la proporcin con cinco aos de casadas?. Use un valor P. Datos: P1 : mujeres con menos de dos aos de casada. P2 : mujeres con cinco aos de casadas. p1 : proporcin de mujeres con menos de dos aos de casadas. p2 : proporcin de mujeres con cinco aos de casadas. Tamao de la primer muestra n1 = 300 mujeres con menos de dos aos de casadas. Tamao de la segunda muestra n2 = 400 mujeres con cinco aos de casadas. Cantidad con menos de dos aos de casadas x1 = 240 mujeres. Cantidad con cinco aos de casadas x2 = 288 mujeres. x 240 p1 = 1 = = 0.80 Proporcin con menos de dos aos n 1 300x 2 288 = = 0.72 n 2 400 x + x 2 240 + 288 528 p= 1 = = = 0.754 n1 + n 2 300 + 400 700 p2 =Proporcin con cinco aos Combinacin de las proporcionesH0: p1 p2. H1: p1 > p2.Hiptesis nula Hiptesis alternativaIncgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Utilizamos la aproximacin normalz=z= p1 p2 pq[ (1 n1 ) + (1 n2 ) ] 0.80 0.72( 0.754)( 0.246) 1 1 + 300 400 Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro=0.08( 0.754)( 0.246)( 0.0055)=0.08 0.00108199=0.08 2.44 0.032893616Pgina 69 de 104 70. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008P(z > 2.44 ) = 1 P(z 2.44) = 1 0.9927 = 0.0073 = 0.73%. Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula. La proporcin de mujeres con menos de 2 aos de casadas que planean tener hijos es considerablemente ms alta que la proporcin de mujeres con 5 aos de casadas que planean tener hijos. Problema 46 (Ref: Pg. 328 Ej. 24) Cinco muestras de una sustancia ferrosa se usan para determinar si hay una diferencia entre un anlisis qumico de laboratorio y un anlisis de fluorescencia de rayos X del contenido de hierro. Cada muestra se divide en dos submuestras y se aplican los dos tipos de anlisis. A continuacin se presentan los datos codificados que muestran los anlisis de contenido de hierro: Muestra Anlisis Rayos X Qumico1 2,0 2,22 2,0 1,93 2,3 2,54 2,1 2,35 2,4 2,4Suponga que las poblaciones son normales, pruebe con un nivel de signficancia de 0.05 si los dos mtodos de anlisis dan, en promedio, el mismo resultado. Datos: Tamao de la muestran = 5 muestras.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 1 = 2 . H1: 1 2.Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Regin critica t < t < t 22 t 0.05 < t < t 0.05 22 t 0.025 < t < t 0.025 Aplicando Tabla A.4. 2.776 < t < 2.776 _d d 0Donde t = s dcon v = n-1 grados de libertadnCalculando: n d La media muestral _ i =1 i d= n Muestra Anlisis Rayos X1 2,0Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautaro2 2,03 2,34 2,15 2,4 Pgina 70 de 104 71. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Qumico2,21,92,52,32,4di-0,20,1-0,2-0,20,0_d=( 0.2) + ( 0.1) + ( 0.2) + ( 0.2) + ( 0.0) 5= 0.1la desviacin estndar n n n * d i2 - d i i =1 i =1 sd = n * ( n 1)2con nuestros datos:sd =sd =[]5 * ( - 0.2 ) + ( 0.1) + ( - 0.2 ) + ( - 0.2 ) + ( 0.0 ) - [ ( 0.2) + ( 0.1) + ( 0.2) + ( 0.2) + ( 0.0 ) ] 2222225 * ( 5 1)5 * [ ( 0.13) ] - [ ( 0.5) ] 5 * ( 4)2=0.4 = 0.1414 20_d d 0 Calculamos t = s con nuestros datos d nt= 0.1 0.1414= 1.58 5Respuesta: No rechazamos la hiptesis nula. Concluimos que ambos mtodos no son considerablemente diferentes.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 71 de 104 72. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 47 (Ref: Pg. 329 Ej. 25) El administrador de una compaa de taxis trata de decidir si el uso de llantas radiales en lugar de llantas regulares de cinturn mejora la economa de combustible. Se equipan 12 autos con llantas radiales y se manejan por un recorrido de prueba preestablecido. Sin cambiar de conductores, los mismos autos se equipan con llantas comunes con cinturn y se manejan otra vez por el recorrido de prueba. El consumo de gasolina, en kilmetros por litro, se registr como sigue:Auto 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12Kilmetros por litro Llantas radiales Llantas con cinturn 4,2 4,1 4,7 4,9 6,6 6,2 7,0 6,9 6,7 6,8 4,5 4,4 5,7 5,7 6,0 5,8 7,4 6,9 4,9 4,7 6,1 6,0 5,2 4,9 Podemos concluir que los autos equipados con llantas radianes dan una economa de combustible mejor que los equipados con llantas de cinturn?. Suponga que las poblaciones se distribuyen normalmente. Utilice un valor P en su conclusin. Datos: Tamao de la muestra n = 12 autos. Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 1 = 2 . H1: 1 > 2.Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: _d d 0 Donde t = s con v = n-1 grados de libertad d n Calculando: n d La media muestral _ i =1 i d= n Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 72 de 104 73. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Kilmetros por litro Auto Llantas radiales Llantas con cinturn 1 4,2 4,1 2 4,7 4,9 3 6,6 6,2 4 7,0 6,9 5 6,7 6,8 6 4,5 4,4 7 5,7 5,7 8 6,0 5,8 9 7,4 6,9 10 4,9 4,7 11 6,1 6,0 12 5,2 4,9_d=di 0,1 -0,2 0,4 0,1 -0,1 0,1 0,0 0,2 0,5 0,2 0,1 0,3( 0.1) + ( 0.2) + ( 0.4) + ( 0.1) + ( 0.1) + ( 0.1) + ( 0.0 ) + ( 0.2) + ( 0.5) + ( 0.2 ) + ( 0.1) + ( 0.3) 12= 0.1417 Kmla desviacin estndarn n n * d i2 - d i i =1 i =1 sd = n * ( n 1)2con nuestros datos: sd =12 * [ ( 0.67 ) ] - [1.7 ] 12 * (11)2=5.15 = 0.198 Km 132_d d 0 Calculamos t = s con nuestros datos d nt=0.1417 = 2.48 0.198 12Y P = P(t> 2.48) = 0.02 con 11 grados de libertadRespuesta: Rechazamos hiptesis nula ya que el nivel de significancia esta por encima del 0.02. Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 73 de 104 74. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 48 (Ref: Pg. 329 Ej. 26) En el ejercicio 2 de la pgina 287, utilice la distribucin t para probar la hiptesis de que la dieta reduce el peso de una persona en 4.5 kilogramos en promedio contra la hiptesis alternativa de que la diferencia media en peso es menor que 4.5 kilogramos. Utilice un valor P. Datos: Tamao de la muestran = 7 mujeres.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 1 - 2 = 4.5 Kilogramos H1: 1 - 2 < 4.5 KilogramosIncgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: _d d 0 Donde t = s con v = n-1 grados de libertad d n Calculando: n d La media muestral _ i =1 i d= n Peso1 58, Antes 5 60, Despus 0 di -1,5 _d=2 60, 3 54, 9 5,4Mujeres 3 4 5 61, 69, 64, 7 0 0 58, 62, 58, 1 1 5 3,6 6,9 5,56 7 62, 6 56,7 59, 9 54,4 2,7 2,3( 1.5) + ( 5.4) + ( 3.6) + ( 6.9) + ( 5.5) + ( 2.7 ) + ( 2.3) 7= 3.557 Kilogramosla desviacin estndar n n n * d i2 - d i i =1 i =1 sd = n * ( n 1)2Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 74 de 104 75. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008con nuestros datos:sd =7 * [ (134.81) ] - [24.9 ] 7 * (6 )2=323.66 = 2.776 Kilogramos 42_3.557 4.5 d d 0 t= = 0.896 Calculamos t = s con nuestros datos 2.776 d 7 n Y P = P(t> 0.896) = 0.3 con 6 grados de libertadRespuesta: No rechazamos la hiptesis nula.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 75 de 104 76. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 49 (Ref: Pg. 329/330 Ej. 28) En un estudio realizado por el Departamento de Nutricin Humana y Alimentos del Instituto Politcnico y Universidad Estatal de Virginia se registraron los siguientes datos acerca de la comparacin de residuos de cido srbico, en partes por milln, en jamn inmediatamente despus de sumergirlo en una solucin de cido y despus de 60 das de almacenamiento: Residuos de cido srbico en jamn Rebanada Antes del almacenamiento Despus del almacenamiento 1 224 116 2 270 96 3 400 239 4 444 329 5 590 437 6 660 597 7 1400 689 8 680 576 Si se supone que las poblaciones se distribuyen normalmente, hay suficiente evidencia, al nivel de significancia de 0.05, para decir que la duracin del almacenamiento influye en las concentraciones residuales de cido srbico? Datos: Tamao de la muestran = 8 rebanadas.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: 1 = 2. H1: 1 2.Nivel de significancia = 0.05Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Regin critica t < t < t 22 t 0.05 < t < t 0.05 22 t 0.025 < t < t 0.025 Aplicando Tabla A.4. 2.365 < t < 2.365 _d d 0 Donde t = s con v = n-1 grados de libertad d nLafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 76 de 104 77. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Calculando: n d La media muestral _ i =1 i d= n Residuos de cido srbico en jamn Rebanada Antes del almacenamiento Despues del almacenamiento 1 224 116 2 270 96 3 400 239 4 444 329 5 590 437 6 660 597 7 1400 689 8 680 576_d=(108) + (174) + (161) + (115) + (153) + ( 63) + ( 711) + (104) = 198.625 8di 108 174 161 115 153 63 711 104Milln/partesla desviacin estndarn n n * d i2 - d i i =1 i =1 sd = n * ( n 1)sd =8 * [ (624801) ] - [1589 ] 8 * (7 )22=2473487 = 210.165 Milln/partes 56_d d 0 Calculamos t = s con nuestros datos d nt=198.625 210.165= 2.67 8Respuesta: Rechazamos la hiptesis nula. La duracin de almacenamiento influye en las concentraciones residuales de cido srbico.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 77 de 104 78. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Problema 50 (Ref: Pg. 353 Ej. 6) Se seleccionan tres canicas de una urna que contiene cinco canicas rojas y tres verdes. Despus de registrar el nmero X de canicas rojas, las canicas se reemplazan en la urna y el experimento se repite 112 veces. Los resultados que se obtienen son los siguientes: x 0 1 3 f 1 12 3 5 5 25Pruebe la hiptesis con un nivel de significancia de 0.05 de que los datos registrados se pueden ajustar con una distribucin hipergeomtrica h (x; 8, 3, 5), x = 0, 1, 2, 3. Datos: Variable aleatoria Repeticiones del experimentoX: nmeros de canicas rojas. m = 112 veces.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: X ~ h(x, 8, 3, 5) x = 0, 1, 2, 3. H 1: es falso.Nivel de significancia = 0.05.Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: k N k x n x , N n Aplicando la distribucin hipergeomtrica a nuestros datos:X ~ h(x, N, n, k) => P(x = xi) =Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautarox = 0, 1, 2, 3,....., n.Pgina 78 de 104 79. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERP(x = 0)= 5 8 3 03 (1) = = 0.1786 8 56 3Trabajo Final 6 de Agosto de 2008e0 = (112)*(0.01786) = 2.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 79 de 104 80. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERP(x = 1)= 5 8 3 13 2(5)31 = = 0.2678 8 56 3Trabajo Final 6 de Agosto de 2008e1 = (112)*(0.26786) = 30.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 80 de 104 81. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERP(x = 2)= 5 8 3 23 1(0)3 = = 0.5371 8 56 3Trabajo Final 6 de Agosto de 2008e2 = (112)*(0.53571) = 60.Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 81 de 104 82. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERP(x = 3)=I 5 8 3 3 0(1) = = 0.1785 8 56 3Trabajo Final 6 de Agosto de 2008e3 = (112)*(0.17857) = 20.xiLafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroP(x = xi)ei = mpioij Pgina 82 de 104 83. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADER1 2 3 40 1 2 3Trabajo Final 6 de Agosto de 20080.01786 0.26786 0.53571 0.17857 ~1Totales2 30 60 20 1121 31 55 25 1121 2 3Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de cuatro a tres, lo que tiene como resultado = 2 grados de libertad. Utilizando el Teorema 10.1; que dice: Una prueba de la bondad de ajuste entre las frecuencias observadas y esperadas se basa en la cantidad 2(n o i ei = i =1 ei)2Donde 2 es un valor de una variable aleatoria cuya distribucin muestral se aproxima muy de cerca con la distribucin ji cuadrada con = k 1grados de libertad. Los smbolos oi y ei representan las frecuencias observada y esperada, respectivamente, para la i-sima celda.2 Con nuestros datos, el valor est dado entonces por2(n o i ei = i =1 ei) 2 ( 32 32 ) 2 ( 55 60) 2 ( 25 20 ) 2 = + + 326020=0+25 60+25 20= 1.6672 Para un nivel de significancia igual a , encontramos el valor crtico de la tabla A.5., y entonces 2 2 > constituye la regin critica. 2 Con el uso de la tabla A.5., encontramos 0.05 = 5.991 con = 2 grados de libertad.Respuesta: 2 Como 2 < , 1.667 < 5.991, No se rechaza la hiptesis nula. Concluimos que no hay suficiente evidencia para sospechar que la distribucin no es hipergeomtrica.Problema 51 (Ref: Pg. 353 Ej. 7) Se lanza una moneda hasta que sale una cara y se registra el nmero de lanzamientos X. Despus de repetir el experimento 256 veces, obtenemos los siguientes resultados: x f1 13 62 6 03 3 44 5 6 7 8 1 2 9 1 3 1Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroPgina 83 de 104 84. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Prueba la hiptesis con un nivel de significancia de 0.05 de que la distribucin observada de X se puede ajustar por una distribucin geomtrica g (x; 1/2), x = 1, 2, 3,...... Datos: Variable aleatoria Repeticiones del experimentoX: nmeros de lanzamientos hasta que sale una cara. m = 256 veces.Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: X ~ G(x, ) x = 1, 2, 3,.. H 1: es falso.Nivel de significancia = 0.05.Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: X ~ G(x, p) => P(x = xi) = pqx-1, x = 1, 2, 3,.....Aplicando la distribucin hipergeomtrica a nuestros datos P(x = 1) = ( 0.5)( 0.5) 0 = ( 0.5)(1) = 0.5e1 = (256)*(0.5) = 128P(x = 2) = ( 0.5)( 0.5)1 = ( 0.5)( 0.5) = 0.25e2 = (256)*(0.25) = 64P(x = 3) = ( 0.5)( 0.5) 2 = ( 0.5)( 0.25) = 0.125e3 = (256)*(0.125) = 32P(x = 4) = ( 0.5)( 0.5) 3 = ( 0.5)( 0.125) = 0.0625e4 = (256)*(0.0625) = 16P(x = 5) = ( 0.5)( 0.5) 4 = ( 0.5)( 0.0625) = 0.03125e5 = (256)*(0.03125) = 8P(x = 6) = ( 0.5)( 0.5) 5 = ( 0.5)( 0.03125) = 0.15625e6 = (256)*(0.15625) = 4P(x = 7) = ( 0.5)( 0.5) 6 = ( 0.5)( 0.15625) = 0.0078125e7 = (256)*(0.0078125) = 2P(x = 8) = ( 0.5)( 0.5) 7 = ( 0.5)( 0.0078125) = 0.00390625e8 = (256)*(0.0078125) = 2i 1 2 3 4 5 6 7xi 1 2 3 4 5 6 7Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn LautaroP(x = xi) 0.5 0.25 0.125 0.0625 0.03125 0.015625 0.0078125ei = mpi 128 64 32 16 8 4 2oi 136 60 34 12 9 1 3j 1 2 3 4 5 6 Pgina 84 de 104 85. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADER88Trabajo Final 6 de Agosto de 20080.00390625 ~1Totales2 2561 256Combinamos las clases adyacentes, donde las frecuencias esperadas son menores que cinco. En consecuencia, el numero total de intervalos se reduce de ocho a seis, lo que tiene como resultado = 5 grados de libertad. 2 Con nuestros datos el valor est dado entonces por2(n oi ei = i =1 ei) 2 (136 128) 2 ( 60 64) 2 ( 34 32 ) 2 (12 16 ) 2 ( 9 8) 2 ( 5 8) 2 = + + + + + 12864321688=64 128+16 64+4 32+16 16+2 Para un nivel de significancia igual a , encontramos el valor critico de la tabla A.5., y entonces 2 2 > constituye la regin critica. 2 Con el uso de la tabla A.5., encontramos 0.05 = 11.070 con = 5 grados de libertad.Respuesta: 2 Como 2 < , 3.125 < 11.070, No se rechaza la hiptesis nula. Concluimos que no hay suficiente evidencia para sospechar que la distribucin no es geomtrica.Problema 52 (Ref: Pg. 353 Ej. 10) En el ejercicio 1 de la pagina 68, pruebe la bondad de ajuste entre las frecuencias de clase que se observan y las frecuencias esperadas correspondientes de una distribucin normal con = 65 y = 21, utilice un nivel de significancia de 0.05. Datos: Calificaciones Intervalos Media Desviacin estndar Lafata Desio Fernando, Warlet Ivn Lautarom = 60. i = 9. = 65. = 21. Pgina 85 de 1041 8+9 8=25 8= 86. Ctedra: Probabilidad y Estadstica UADERTrabajo Final 6 de Agosto de 2008Hiptesis nula Hiptesis alternativaH0: X ~ N(x, 65, 21) H 1: es falso.Nivel de significancia = 0.05.De acuerdo con el ejercicio 1 de la pgina 68, los intervalos y las frecuencias que se observan son i 1 2 3 4 5 6 7 8 9Limite de clases - 19.5 19.5 29.5 29.5 39.5 39.5 49.5 49.5 59.5 59.5 69.5 69.5 79.5 79.5 89.5 89.5 + oi 3 2 3 4 5 11 14 14 4Incgnita: Rechazo o No Rechazo de la hiptesis nula. Solucin: Los valores z que corresponden a los lmites de las clases son: 65 19.5 65 45.5 = = z12 = = 2.17 21 21 21 21 de la tabla A.3. encontramos que el rea entre z 11 y z12 es P(- < z < -2.17) = P(z < -2.17) P(z < - ) =