capitulo 1 probabilidad

7/21/2019 CAPITULO 1 probabilidad

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CAPITULO 1

INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA Y

CONJUNTOS


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CONJUNTOS

Leyes de conjuntos.

Diagrama de Venn.

Induccin matemtica.

Medidas de posicin: media de una muestra.

Medidas de variabilidad.

Datos discretos y continuos.

Modelado estadstico


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS- Leyes de conjuntos

1. Definicin de Conjunto

La palabra conjunto generalmente la asociamos con la ideade agrupar objetos, por ejemplo un conjunto de discos, de

libros, de plantas de cultivo, es decir la palabra conjuntodenota una coleccin de elementos claramente entre s,que guardan alguna caracterstica en comn.

La caracterstica esencial de un conjunto es la de estar biendefinido, es decir que dado un objeto particular,

determinar si este pertenece o no al conjunto. Por ejemplosi se considera el conjunto de los nmeros dgitos, sabemosque el 3 pertenece al conjunto, pero el 19 no.


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -Leyes de conjuntos

Los objetos que forman un conjunto sonllamados miembros o elementos.Por ejemplo elconjunto de las letras de alfabeto; a, b, c, ..., x, y,z. que se puede escribir as:

{ a, b, c, ..., x, y, z}

Como se muestra el conjunto se escribe entrellaves ({}) , o separados por comas (,).

El detallar a todos los elementos de un conjuntoentre las llaves, se denomina forma tabular,extensino enumeracin de los elementos.


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Dos conjuntos son igualessi tienen los mismoselementos, por ejemplo:

El conjunto { a, b, c } tambin puede escribirse:

{ a, c, b }, { b, a, c }, { b, c, a }, { c, a, b }, { c, b, a }

En teora de conjuntos se acostumbra no repetiralos elementos por ejemplo:

El conjunto { b, b, b, d, d } simplemente ser { b, d }.


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MEMBRESIA

Los conjuntos se denotan por letras maysculas : A, B, C,...por ejemplo:

A={ a, c, b }

B={ primavera, verano, otoo, invierno } El smbolo indicar que un elemento pertenece o es

miembro de un conjunto. Por el contrario para indicar queun elemento no pertenece al conjunto de referencia,bastar cancelarlo con una raya inclinada /quedando el

smbolo como . Ejemplo:

Sea B={ a, e, i, o, u }, a B y c B


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SUBCONJUNTO

Sean los conjuntos A={ 0, 1, 2, 3, 5, 8 } y B={ 1, 2, 5 }

En este caso decimos que B esta contenido en A, o queB es subconjunto de A. En general si A y B son dos

conjuntos cualesquiera, decimos que B es unsubconjunto de A si todo elemento de B lo es de Atambin.

Por lo tanto si B es un subconjunto de A se escribe

B

A. Si B no es subconjunto de A se indicar con unadiagonal.

Note que se utiliza solo para elementos de unconjunto y solo para conjuntos.


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UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

El conjunto que contiene a todos los elementos a los que se hace referencia recibeel nombre de conjunto Universal, este conjunto depende del problema que seestudia, se denota con la letra U y algunas veces con la letra S (espacio muestral).

Por ejemplo si solo queremos referirnos a los 5 primeros nmeros naturales el

conjunto queda: U={ 1, 2, 3, 4, 5 }

Forma alternativa para indicar conjuntos de gran importancia:

Conjunto de nmeros naturales (enteros mayores que cero) representados por laletra Ndonde

N={ 1, 2, 3, .... } Conjunto de nmeros enteros positivos y negativos representados por la

letra ZdondeZ={..., -2, -1, 0, 1, 2, ... }


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UNIVERSO O CONJUNTO UNIVERSAL

Conjunto de nmeros racionales (nmeros que serepresentan como el cociente de dos nmerosenteros {fracciones }). Estos nmeros serepresentan por una Q

Conjunto de nmeros irracionales (nmeros queno puedan representarse como el cociente de dosnmeros enteros) representados por la letra I.

Conjunto de los nmeros reales que son losnmeros racionales e irracionales es decir todos,representados por R.


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Todos estos conjuntos tienen un nmero infinito de elementos, la formade simbolizarlos por extensin o por enumeracin es de gran utilidadcuando los conjuntos a los que se hace referencia tienen pocos elementospara poder trabajar con ellos se emplean la notacinllamada comprehensin.

Por ejemplo, la denotar el conjunto de los nmeros naturales menores

que 60. Aqu Ues el conjunto Ny se tiene una propiedad que caracteriza alos elementos del conjunto: ser menores que 60.

Para indicar esta situacin empleamos la simbologa del lgebra deconjuntos:

{ x/x N ; x


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OPERACIONES CON CONJUNTOSUNION

La unin de dos conjuntos A y B la denotaremos porA B y es el conjunto formado por los elementos que

pertenecen al menos a uno de ellos a los dos. Lo quese denota por:

A B = { x/x A x B }

Ejemplo: Sean los conjuntos A={ 1, 3, 5, 7, 9 } y B={ 10,11, 12 }

A B ={ 1, 3, 5, 7, 9, 10, 11, 12 }


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INTERSECCION

Sean A={ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9 } y B={ 2, 4, 8, 12 }

Los elementos comunes a los dos conjuntos son: { 2, 4, 8 }. A esteconjunto se le llama interseccin de A y B; y se denota por A B,algebraicamente se escribe as:

A B = { x/x A y x B } Y se lee el conjunto de elementos x que estn en A y estn en B.

Ejemplo:

Sean Q={ a, n, p, y, q, s, r, o, b, k } y P={ l, u, a, o, s, r, b, v, y, z }

Q P={ a, b, o, r, s, y }


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CONJUNTO VACIO

Un conjunto que no tiene elementos es llamado conjuntovaco conjunto nulo lo que denotamos por el smbolo.

Por ejemplo: Sean A={ 2, 4, 6 } y B={ 1, 3, 5, 7 } encontrar A B.

A B= { }

El resultado de A B= { } muestra que no hay elementosentre las llaves, si este es el caso se le llamar conjuntovaco nulo y se puede representar como:

A B=


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CONJUNTOS AJENOS

S la interseccin de dos conjuntos es igual al

conjunto vaco, entonces a estos conjuntos les

llamaremos conjuntos ajenos, es decir:

Si A B = entonces A y B son ajenos.


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COMPLEMENTO

El complemento de un conjunto respecto al universo Ues el conjunto de elementos de U que no pertenecen aA y se denota como A' y que se representa por

comprehensin como:A'={ x U/x y x A }

Ejemplo:

Sea U = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 }

A= { 1, 3, 5, 7, 9 } donde A U El complemento de A estar dado por:

A'= { 2, 4, 6, 8 }


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DIFERENCIA

Sean A y B dos conjuntos. La diferencia de A y B se denota por A-B yes el conjunto de los elementos de A que no estn en B y serepresenta por comprehensin como:

A - B={ x/x A ; X B } Ejemplo: Sea A= { a, b, c, d } y

B= { a, b, c, g, h, i }

A - B= { d }

En el ejemplo anterior se observa que solo interesan los elementos

del conjunto A que no estn en B. Si la operacin fuera B - A elresultado es

BA = { g, h, i }

e indica los elementos que estn en B y no en A.


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Diferencia simtricaentre A y B al conjuntoA B:= (A - B) (B - A)


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Si A y B son subconjuntos de un cierto

conjunto universal U, entonces es fcil ver que

A - B = A B'.

En este caso, la llamadas operacionesbooleanas(unin e interseccin) verifican lassiguientespropiedades :


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PROPIEDADES UNION INTERSECCION

1.- Idempotencia AA = A AA = A

2.- Conmutativa AB = BA AB = B A

3.- AsociativaA( B C ) = ( A B

)CA( BC ) = ( A B )C

4.- Absorcin A( A B ) = A A( AB ) = A

5.- DistributivaA( B C ) = ( A B )(

AC )

A( BC ) = ( A B )(

AC )6.- Complementariedad AA' = U AA' =


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS -DIAGRAMAS DE VENN

DIAGRAMAS DE VENN

Los diagramas de Venn que de deben al filsofoingls John Venn (1834-1883) sirven para

encontrar relaciones entre conjuntos de maneragrfica mediante dibujos diagramas.

La manera de representar el conjunto Universales un rectngulo, bien la hoja de papel con que

se trabaje. Un ejemplo de la representacin del conjunto

universal se muestra como:


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AB

A BAB

AB A -B


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A B


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS- ejercicios


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Induccin Matemtica

Definicin:

Una proposicin p(n) es verdadera para todos losvalores de la variable n si se cumplen las siguientescondiciones:

Paso 1.- La proposicin p(n) es verdadera para n = 1 , obien, p(1) es verdadera.

Paso 2.- Hiptesis de Induccin . Se supone que p(k) esverdadera , donde k es un numero natural cualesquiera.

Paso 3.- Tesis de Induccin. Se demuestra que p(k + 1) esverdadera, o bien,

p(k) verdadera ) p(k + 1) verdadera:


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Ejemplos:

Demuestra que para cualquier numero natural n

se cumple que:


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Demuestre utilizando induccin matemtica:


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de posicin

DEFINICIONES PRELIMINARES

Estadstica.- Ciencia inductiva que permiteinferir caractersticas cualitativas y cuantitativas

de un conjunto mediante los datos contenidos

en un subconjunto del mismo.

Poblacin Objetivo.- Conjunto total deindividuos u objetos con alguna caracterstica

que es de inters estudiar.


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Parmetro.- Es alguna caracterstica de la poblacinen estudio y que es de inters conocer.

Muestra.- Es un subconjunto de la poblacin y

contiene elementos en los cuales debe estudiarse lacaracterstica de inters de la poblacin.

Variable.- Representacin simblica de alguna

caracterstica observable de los elementos de unapoblacin y que puede tomar diferentes valores


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Observatorio o Dato.- Cada uno de los valoresobtenidos para los elementos incluidos en la

muestra. Son el resultado de algn tipo de

medicin.

Modelo.- Descripcin simblica o fsica de unasituacin o sistema que se desea estudiar.


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas de Tendencia

MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRAL

MEDIA MUESTRAL


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MODA MUESTRAL


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MEDIANA MUESTRAL


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Dispersin

MEDIDAS DE DISPERSIN

Son nmeros que proveen informacin adicional

acerca del comportamiento de los datos,

describiendo numricamente su dispersin

RANGO.


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VARIANZA MUESTRAL


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DESVIACIN ESTANDAR MUESTRAL


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Medidas Posicin

MEDIDAS DE POSICIN

Son nmeros que distribuyen los datos

ordenados de la muestra en grupos de

aproximadamente igual tamao con el propsito

de resaltar su ubicacin relativa.

Estos nmeros se denominan CUANTILES de

forma genrica.


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CUARTILES


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DECILES


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PERCENTILES


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COEFICIENTE DE VARIACIN


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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS

MATLAB


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FORMULAS PARA DATOS AGRUPADOS


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MUESTRAS BIVARIADAS

Es comn tener que estudiar

muestras con datos que miden

dos caractersticas, siendo deinters determinar si hay una

relacin entre ellas.

Para visualizar la relacin entre las

variables de una muestra

bivariada, es til graficar con

datos en una representacin que

se denomina Diagrama de

Dispersin



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CORRELACIN



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COVARIANZA MUESTRAL



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SIGNOS DE LA COVARIANZA MUESTRAL



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COEFICIENTE DE CORRELACIN MUESTRAL



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MATRIZ DE VARIANZAS Y COVARIANZAS



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MATRIZ DE CORRELACIN



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En el articulo Oxigen Consumption During FireSupression: Error of Heart Rate Estimation, aparecenlos datos siguientes relacionados con el consumo deoxigeno (mL/Kg/min)para una muestra de diezbomberos que realizan un simulacro de combate deincendio:

29,5 49,3 30,6 28,2 28,0 26,3 33,9 29,5 23,5 31,6

Calcule lo siguiente:

- El intervalo de la muestra

- La varianza muestral

- La desviacin estandar muestral.



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Se determin el valor del mdulo de elasticidad,

en Gpa de placas coladas que constan de ciertos

sustratos intermetlicos, y se obtuvieron las

siguientes observaciones muestrales:

116,5 115,9 114,6 115,2 115,8

- Calcule la media

- Calcule la varianza

- Calcule la desviacin estandar



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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-Datos discretos y continuos

Datos discretos y continuos

O S S


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Otros ejemplos:

El nmero de latas de bebidas de cola son datos

discretos; en tanto que el volumen real de la

bebida de cola es un dato continuo.



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Otra forma comn de clasificar los datos

consiste en usar cuatro niveles de medicin:

nominal,

ordinal,

de intervalo y

de razn



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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-modelo estadstico

Un modelo estadstico es una ecuacin

matemtica que reproduce los fenmenos que

observamos de la forma ms exacta posible.

Para ello tiene en cuenta los datos suministradosy la influencia que el azar tiene en estas

observaciones.



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INTRODUCCIN A LA ESTADSTICA YCONJUNTOS-modelo estadstico

capitulo 1 probabilidad

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