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APUNTES DE MATEMÁTICAS Alfonso Benito de Valle Galindo

Matemáticas aplicadas a las CCSS P ROBL EMAS RESUE LTOS

PROBABILIDAD Pág. 1 de 48

Colegio Salesiano MARÍA AUXILIADORA - Mérida

1.

PROBABILIDAD

Selectividad - Extremadura

Junio 1996

:RESOLUCIÓN::

Los posibles desenlaces del juego en las tres primeras partidas son los siguientes:

(300)→

)000(

)200(

)100(

)200(

)400(

)300(

)200(

)200(

)400(

)300(

)400(

)600(

)500(

)400(

34'0

36'0

24'0

34'0

36'0

26'0

14'0

34'0

36'0

24'0

34'0

36,0

26'0

16'0

B

A

B

B

A

A

B

B

A

B

B

A

A

A

→

→→→

→

→→→

→→

→

→→→

→

→→→

→→

Ai: “El jugador A gana la partida i” Bi: “El jugador B gana (A pierde)la partida i”

(Se indican entre paréntesis las cantidades, en pesetas, que tiene el jugador A después de la partida).

Conocimientos específicos:

- Conceptos generales y operaciones de sucesos.

- Concepto de probabilidad.

- Probabilidad compuesta.

- Probabilidad total.





a) Sea Sa el suceso: “El jugador A tiene 200 pts al terminar la 2ª partida”.

Como se trata de un suceso imposible:

P(Sa) = 0

b) Sea Sb el suceso: “El jugador A tiene 400 pts tras jugar tres partidas”.

Después de tres partidas, el jugador A termina con 400 pesetas si gana dos y pierde una.

Sb = (A1 ∩ A2∩ B3) ∪ (A1∩ B2∩ A3) ∪ (B1∩ A2∩ A3) por lo tanto:

P(Sb) = P(A1)·P(A2)·P(B3) + P(A1)·P(B2)·P(A3) + P(B1)·P(A2)·P(A3) = 3·0’62·0’4 = 0’432

P(Sb) = 0’432

c) Sea Sc el suceso: “El juego finaliza tras jugarse tres partidas”.

El juego termina tras tres partidas si uno de los jugadores gana las tres.

Sc = (A1 ∩ A2∩ A3) ∪ (B1 ∩ B2∩ B3) Por lo tanto:

P(Sc) = P(A1)·P(A2)·P(A3) + P(B1)·P(B2)·P(B3)= 0’63 + 0’43 = 0’28

P(Sc) = 0’28





2.

PROBABILIDAD


Septiembre 1996

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos: Probabilidades:

A: “La persona seleccionada es Aficionada al teatro”.

A : “ “ “ no es “ “ “

M: “ “ “ es Mujer”

V: “ “ “ es Varón”

P(A) = 100

55 = 0’55 ⇒

P( A ) = 1 − P(A) = 0’45

P(M/A) = 60% = 0’60 ⇒ P(V/A) = 1 − P(M/A) = 0’40

P(V/A ) = 45% = 0’45 ⇒

P(M/ A ) = 1 − P(V/ A )= 0’40

Los posibles resultados de la elección al azar son los siguientes:

→

V

M

A

V

M

A

→

→→→

→

→→→

45'0

55'0

45'0

40'0

60'0

55'0




- Probabilidad condicionada.







Como V = (A∩ V) ∪ ( A ∩ V) entonces:

P(V) = P(A) · P(V/A) + P(A ) · P(V/ )A =

= 0’55 · 0’40 + 0’45 · 0’45 = 0’4225

Respuesta:

La probabilidad de que la persona elegida sea varón es:

P(V) = 0’4225





3.

PROBABILIDAD


Junio 1997

:RESOLUCIÓN::

Probabilidades:

Pr(X<30) = 40% = 0’40 ⇒

Pr(X≥ 30) = 1 − Pr(X<30) = 0’60

Pr[(X<10)/(X<30)] = 5% = 0’05 ⇒

Pr[(X ≥ 10)/(X<30)] = 1 −Pr[(X<10)/(X<30)] = 0’95

Los posibles resultados de la elección de la persona al azar son los siguientes:

→

30

10

10

30

60'0

95'0

05'0

40'0

≥→

≥→

<→→<→

X

X

X

X











a) Pr(X≥ 10) = 1 − Pr(X<10) = 1 − Pr[(X<30)∩ (X<10)] = 1 − 0’40 · 0’05 = 0’98

Pr(X ≥ 10) = 0’98

b) Pr(10≤ X<30) = Pr[(X<30)∩ (X≥ 10) = 0’40 · 0’95 = 0’38

Pr(10≤ X<30) = 0’38





4.

PROBABILIDAD


Septiembre 1997

:RESOLUCIÓN::


M: “La persona seleccionada es Mujer”

V: “ “ “ “ “ Varón”

T: “ “ “ “ usa Transporte público para ir trabajo”.

T : “ “ “ “ no usa “ “ “ “ “

P(M) = 1000

350 = 0’35 ⇒

P(V) = 1 − P(M) = 0’65

P(T/V) = 40% = 0’40 ⇒

P(T /V) = 1 − P(T/V) = 0’60

P(T /M)= 25% = 0’25 ⇒

P(T/M) = 1 − P(T /M)= 0’75

Los posibles resultados de la elección al azar de la persona son los siguientes:

→

T

T

V

T

T

M

→

→→→

→

→→→

60'0

40'0

65'0

25'0

75'0

35'0











Como T = (M∩ T) ∪ (V∩ T) entonces:

P(T) = P(M) · P(T/M) + P(V) · P(T/V)=

= 0’35 · 0’75 + 0’65 · 0’40 = 0’5225

Respuesta:

La probabilidad de que la persona elegida acuda al trabajo en transporte público es:

P(V) = 0’5225





5.

PROBABILIDAD


Junio 1998

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

C: “La familia seleccionada es Cliente habitual”.

C : “ “ “ “ no es ” “

P: “ “ “ “ Paga al contado”.

P : “ “ “ “ no paga “ “

P(C ) = 38% = 0’38 ⇒ P(C) = 1 − P(C ) = 0’62

P(P/C) = 85% = 0’85

Los posibles resultados de la elección al azar de la familia son los siguientes:

→

P

P

C

P

P

C

→

→→→

→

→→→

38'0

15'0

85'0

62'0










P(C∩ P) = P(C) · P(P/C) = 0’62 · 0’85 = 0’527

Respuesta:

La probabilidad de que la familia elegida al azar sea cliente habitual y pague al contado es:

P(C∩ P) = 0’527





6.

PROBABILIDAD


Septiembre 1998

:RESOLUCIÓN::


O: “El trabajador seleccionado es Obrero”

T: “ “ “ “ “ Técnico”

A: “ “ “ “ “ Administrativo”

S: “ “ “ “ contestó afirmativamente”

N: “ “ “ “ contestó negativamente”

P(O) = 60% = 0’60 P(T) = 25% = 0’25 P(A) = 1 − (0´60+0’25) = 0’15

P(S/O) = 0’40 P(N/O) = 1 − P(S/O) = 0’60

P(S/T) = 0’30 P(N/T) = 1 − P(S/T) = 0’70

P(S/A) = 0’60 P(N/A) = 1 − P(S/A) = 0’40












N

SA

N

ST

N

SO

→→

→→

→→

→→→

→→

→→

40'0

60'015'0

70'0

30'025'0

60'0

40'060'0

(a) Como S = (O∩ S)∪ (T∩ S)∪ (A∩ S) su probabilidad es:

P(S) = P(O) · P(S/O) + P(T) · P(S/T) + P(A) · P(S/A) =

= 0’60 · 0’40 + 0’25 · 0’30 + 0’15 · 0’60 =

= 0’24 + 0’075 + 0’09 = 0’405

(b) P(A∩ N) = P(A) · P(N/A) = 0’15 · 0’40 = 0’06

Respuestas:

(a) La probabilidad de que la persona elegida haya contestado afirmativamente es:

P(S) = 0’405

(b) La probabilidad de que sea administrativo y haya contestado negativamente:

P(A∩ N) = 0’06





7.

PROBABILIDAD


Junio 1999

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

C : “En la moneda sale Cara” M : “La persona seleccionada es Mujer”. I : “La persona seleccionada habla Inglés”

+ : “En la moneda sale Cruz” . H : “La persona seleccionada es Hombre”.

I : “La persona seleccionada NO habla Inglés”.

Los resultados posibles del proceso de selección son los siguientes:

→

I

I

H

I

I

MC

→

→→⇔+→

→

→→⇔→

30'0

70'0

5'0

3/1

3/2

5'0

Los valores de las probabilidades que aparecen sobre las flechas del diagrama de árbol se han obtenido así:

- La probabilidad de que la persona seleccionada sea Mujer/Hombre de lo único que depende











es de que salga Cara/Cruz en la moneda, es decir:

P(M) = P(C) = 0’5 P(H) = P(+) = 0’5

- El número de personas es 25 de las que el 60% son mujeres, por lo tanto:

Nº de mujeres = 60% de 25 = 0’60 · 25 = 15 ; si 5 no hablan Inglés, hay 10 que sí ⇒

La probabilidad de que una mujer hable Inglés es: P(I/M) = CP

CF =

15

10 = 2/3

Número de hombres = 25 – 15 = 10 ; como 3 no hablan Inglés, 7 sí lo hablan ⇒

La probabilidad de que un hombre hable Inglés es: P(I/H) = CP

CF =

10

7 = 0’7

La probabilidad de que la persona seleccionada hable Inglés se obtiene teniendo en cuenta que:

I = (M ∩ I) ∪ (H ∩ I) ⇒

P(I) = P(M) · P(I/M) + P(H) · P(I/H) =

= 0’5 · 2/3 + 0’5 · 0’7 = 0’6833

Respuesta:

La probabilidad de que la persona seleccionada hable Ingles es:

P(I) = 0’6833





8.

PROBABILIDAD


Septiembre 1999

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

A: “Al aparato le falla la componente A” ⇒ A : “Al aparato NO le falla la componente A”

B: “Al aparato le falla la componente B” ⇒ B : “Al aparato NO le falla la componente B”

Los resultados posibles en cuanto al funcionamiento de las componentes A y B del aparato son:

→

58'0)(68'0

32'0

?)(¿

=∩→

→→ →

→

→→ →

BAPB

B

A

B

B

A

AP

Probabilidades:

P( A ∩ B ) = 58% = 0’58

P(B /A ) = 32% = 0’32 ⇒ P(B / A ) = 1 − P(B /A ) = 0’68










Nos piden P( A ) que la podemos obtener a partir de la fórmula de la probabilidad compuesta para los sucesos A y B :

P( A ∩ B ) = P( A ) · P(B / A ) ⇒ P(A ) = )A/BP(

)BAP( ∩ =

68'0

58'0 = 0’853

Respuesta:

La probabilidad de que no falle la componente A del aparato es:

P(I) = 0’853





9.

PROBABILIDAD


Junio 2000

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

T: “El estudiante seleccionado utiliza Transporte público para ir a clase”.

T : “ “ “ “ no utiliza ” “ “ “ “ “

C: “ “ “ “ utiliza el Comedor universitario”.

C : “ “ “ “ no utiliza “ “ “

P(T ) = 20% = 0’20 ⇒ P(T) = 1 − P(T ) = 0’80

P(C/T) = 65% = 0’65⇒ P(C /T) = 1 − P(C/T) = 0’35

Los posibles resultados de la elección al azar de El estudiante son los siguientes:

→

C

C

T

C

C

T

→

→→→

→

→→→

20'0

35'0

65'0

80'0











P(T∩ C) = P(T) · P(C/T) = 0’80 · 0’65 = 0’52

Respuesta:

La probabilidad de que el estudiante elegido al azar sea usuario del transporte público y del comedor universitario es:

P(C∩ P) = 0’527





10.

PROBABILIDAD


Septiembre 2000

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

Ri : “La componente eléctrica es rechazada en el control Ci”

R i: “ “ “ no es “ “ “ “ “

Los posibles destinos de la componente eléctrica al ser sometida a los tres controles son:

→

398'0

302'0

293'0

207'0

185'0

115'0

R

R

R

R

R

R

→

→→→

→→→

→

Probabilidades:

P(R1) = 0’15 ⇒ P(R1) = 1 – P(R1) = 0’85

P(R2) = 0’07 ⇒ P(R2) = 1 – P(R2) = 0’93

P(R3) = 0’02 ⇒ P(R3) = 1 – P(R3) = 0’98











Sea R el suceso “La componente eléctrica es rechazada” (cosa que ocurre si no supera los tres controles). El cálculo directo de su probabilidad es mucho más laborioso por la probabilidad total que por la del suceso contrario que es:

R = R 1∩ R 2∩ R 3 ⇒

P(R) = 1 – P(R ) =

= 1 – P(R 1∩ R 2∩ R 3) =

= 1 – 0’85·0’93·0’98 =

= 1 – 077469 = 0’22531

Respuesta:

La probabilidad de que una componente elegida al azar sea rechazada es:

P(R) = 0’22531





11.

PROBABILIDAD


Junio 2001

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

+Pi : “La prueba Pi da resultado positivo” −Pi : “ “ “ negativo”

− : “Las tres pruebas dan negativo por lo que el animal no se sacrifica”

Los posibles resultados de las pruebas son:

→

397'0

303'0

290'0

210'0

195'0

105'0

P

P

P

P

P

P

−→

+→→−→

+→→−→

+→

Probabilidades:

P(−P1) = 95% = 0’95

P(+P2) = 10/100 = 0’10 ⇒ P(–P2) = 1 – P(+P2) = 0’90

P(+P3) = 0’03 ⇒ P(–P3) = 1 – P(+P3) = 0’97











La probabilidad de que el animal no sea sacrificado es:

P(–) = P(–P1∩ –P2∩ –P3) =

= 0’95 · 0’90 · 0’97 = 0’82935

Respuesta:

La probabilidad de que una oveja no se sacrifique es

P(–) = 0’82935





12.

PROBABILIDAD


Septiembre 2001

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

L, M, X: “Estudia el Lunes, Martes, Miércoles”, respectivamente; y L , M , X los contrarios a los anteriores.

Esquema de lo que puede hacer esas tres noches respecto al estudio:

→

X

X

M

X

X

M

L

X

X

M

X

X

M

L

→

→→→

→

→→→

→→

→

→→ →

→

→→ →

→→

4'0

6'0

4'0

75'0

25'0

6'0

3/2

4'0

6'0

75'0

75'0

25,0

25'0

3/1











Probabilidades:

P(L) = P(4 ó 6) = 2/6 = 1/3 ⇒ P(L ) = 1 – P(L) = 2/3

Si una noche estudia:

Probabilidad de que estudie la siguiente: 0’25 la de que no lo haga: 1 – 0’25 = 0’75.

Si una noche NO estudia:

Probabilidad de que estudie la siguiente: 0’6 la de que no lo haga: 1 – 0’6 = 0’4.

Como se ve en el esquema anterior (diagrama de árbol):

X = (L∩ M ∩ X) ∪ (L∩ M ∩ X) ∪ (L ∩ M ∩ X) ∪ (L ∩ M ∩ X)

Probabilidad de que estudie el miércoles:

P(X) = 1/3 · 0’25 · 0’25 + 1/3 · 0’75 · 0’6 + 2/3 · 0’6 · 0’25 + 2/3 · 0’4 · 0’6 = 0’4308

Respuesta:

La probabilidad de que estudie la noche del miércoles es:

P(X) = 0’4308





13.

PROBABILIDAD


Junio 2002

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

G, F, R, O: “ El alumno supera, respectivamente, Gramática, Fonética, Recuperación, Oral” y

G , F , R , O : Los contrarios de los anteriores.

Esquema de lo que puede ocurrirle a un estudiante en las pruebas de Inglés:

→

G

R

O

O

R

F

O

O

F

G

→

→

→

→→→

→→

→

→→→

→ →

15'0

5'0

45'0

55'0

5'0

3'0

45'0

55,0

7'0

85'0











Probabilidades:

P(G) = 85% = 0’85 ⇒ P(G ) = 1 – P(G) = 0,15

P(F) = 7/10 = 0’7 ⇒ P(F ) = 1 – P(F) = 0,3

P(R) = 50% = 0’5 ⇒ P(R) = 1 – P(R) = 0, 5

P(O) = 0’55 ⇒ P(O) = 1 – P(O) = 0,45

Si designamos por I el suceso “El alumno aprueba la asignatura de Inglés”, como puede verse en el diagrama de árbol:

I = (G∩ F ∩ O) ∪ (G∩ F ∩ R∩ O)

La probabilidad de que un alumno apruebe la asignatura de Inglés es:

P(I) = 0’85 · 0’7· 0’55 + 0’85 · 0’3 · 0’5 · 0’55 = 0’3974

Respuesta:

La probabilidad de que un alumno apruebe Inglés es:

P(I) = 0’3974





14.

PROBABILIDAD


Septiembre 2002

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos: iii PEG ,, : “El equipo, respectivamente,

Gana, Empata, Pierde el partido de la jornada i”

Probabilidades:

3'0)/( 1 =−ii GGP y 5'0)/( 1 =−ii GEP ⇒ 2'0)/( 1 =−ii GPP

25'0)/( 1 =−ii EGP y 5'0)/( 1 =−ii EEP ⇒ 25'0)/( 1 =−ii EPP

5'0)/( 1 =−ii PGP y 2'0)/( 1 =−ii PEP ⇒ 3'0)/( 1 =−ii PPP

Los desenlaces posibles son:

3830'0

3820,0

3850'0

3725'0

3825'0

3850'0

3825'0

3750'0

3820'0

3850'0

3830'0

3725'0

36

P

E

G

P

P

E

G

E

P

E

G

G

E

→→→

→→

→→→

→→

→→→

→→

→

El suceso 38E = “El equipo NO empata el partido de la jornada 38” es el contrario de

38E = “El equipo empata el partido de la jornada 38” que requiere la mitad de

operaciones para el cálculo de su probabilidad, por lo que utilizaremos ésta para hallar aquella.











)()()( 38373837383738 EPEEEGE ∩∪∩∪∩= ⇒

P( )38E = 0’25 · 0’50 + 0’50 · 0’50 + 0’25 · 0’20 = 0’425 ⇒

P( )38E = 1 − P( )38E = 0’575

Respuesta:

La probabilidad de que el equipo no empate en la jornada 38 es:

P( 38E ) = 0’575





15.

PROBABILIDAD


Junio 2003

:RESOLUCIÓN::


O: “El trabajador seleccionado es Obrero”

A: “ “ “ “ “ Administrativo”

D: “ “ “ “ “ Directivo”

F: “ “ “ “ está a Favor de la propuesta”

C: “ “ “ “ “ en contra “ “ ”

P(O) = 350/500= 0’70 P(A) = 120/500 = 0’24 P(D) = 1 − (0´70+0’24) = 0’06

P(F/O) = 30% = 0’30 P(C/O) = 1 − P(F/O) = 0’70

P(F/A) = 50% = 0’50 P(C/A) = 1 − P(F/A) = 0’50

P(F/D) = 60% = 0’60 P(C/D) = 1 − P(F/D) = 0’40












C

FD

C

FA

C

FO

→→

→→

→→

→→→

→→

→→

40'0

60'006'0

50'0

50'024'0

70'0

30'070'0

(a) Que sea directivo y esté a favor de la empresa:

P(D∩ F) = P(D) · P(F/D) = 0’06 · 0’60 = 0’036

(b) Que se haya manifestado en contra de la propuesta:

Como C = (O∩ C)∪ (A∩ C)∪ (D ∩ C) su probabilidad es:

P(C) = P(O) · P(C/O) + P(A) · P(C/A) + P(D) · P(C/D) =

= 0’70 · 0’70 + 0’24 · 0’50 + 0’06 · 0’40 =

= 0’49 + 0’12 + 0’024 = 0’634

Respuestas:

(a) La probabilidad de que la persona elegida sea un directivo a favor de la propuesta es:

P(D∩ F) = 0’036

(b) La probabilidad de que el elegido al azar esté en contra de la propuesta es:

P(C) = 0’634





16.

PROBABILIDAD


Septiembre 2003

:RESOLUCIÓN::

Sucesos:

E : “La empresa exporta más de la mitad (50%) de su producción” y E : su contrario.

C : “ “ “ cotiza en bolsa” y C : su contrario.

Datos:

P(C E∩ ) = P(E∩ C) = 10% = 0’10

P(C / E) = 40% = 0’40

Nos piden:

¿P(E)?

El diagrama de árbol con los resultados posibles de la elección nos ayudará a comprender la situación:











C

C

E

C

CEPC

EEP

→

→→ →

→

=∩→→ →

→

10'0)(40'0

?)(¿

Probabilidad compuesta:

P(E∩ C) = P(E) · P(C/E) ⇒ P(E) =)/(

)(

ECP

CEP ∩ =

40'0

10'0= 0’25

Respuesta:

La probabilidad de que una empresa del sector automovilístico elegida al azar cotice en bolsa es:

P(E) = 0’25





17.

PROBABILIDAD


Junio 2004

:RESOLUCIÓN::

Sucesos: Probabilidades:

M: “La persona seleccionada es Mujer”

V: “ “ “ “ “ Varón”

F: “ “ “ “ “ Fumadora

F : “ “ “ “ no es “

De cada 3 estudiantes 2 son mujeres y 1 varón,

por tanto: P(M) = 3

2 y P(V) =

3

1

P(F/M) = 25% = 0’25 ⇒

P(F /M) = 1 − P(F/M) = 0’T5

P(F /V)= 60% = 0’60 ⇒

P(F/V) = 1 − P(F /V)= 0’40

Los posibles resultados de la elección al azar del estudiante son los siguientes:

→

F

F

V

F

F

M

→

→→→

→

→→→

60'0

40'0

3/1

75'0

25'0

3/2











Como F = (M ∩ F) ∪ (V∩ F) entonces:

P(F) = P(M) · P(F/M) + P(V) · P(F/V) =

= 2/3 · 0’25 + 1/3 · 0’40 = 0’3

Respuesta:

La probabilidad de que se trate de una persona fumadora es

P(F) = 0’3





18.

PROBABILIDAD


Septiembre 2004

:RESOLUCIÓN::

Sean L, M, X, los sucesos “llueve el Lunes, Martes, Miércoles”, respectivamente y L , M , X , sus sucesos contrarios, es decir, que no llueve el día correspondiente.

La probabilidad de que un día no llueva es uno menos la probabilidad de que llueva.

Esquema de los resultados posibles:

L →

X

X

M

X

X

M

→

→→→

→

→→→

7'0

3'0

4'0

4'0

6'0

6'0











Probabilidad de que llueva el miércoles:

Como X = (M∩ X) ∪ ( M ∩ X) entonces:

P(X) = P(M) · P(X/M) + P(M ) · P(X/M ) =

= 0’6 · 0’6 + 0’4 · 0’3 = 0’48

Respuesta:

Si el lunes llovió el lunes, la probabilidad de que lo haga el miércoles es:

P(X) = 0’48





19.

PROBABILIDAD


Junio 2005

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

M : “La persona tiene más de 50 años” , R: “Se hace la revisión dental anual” M y R , respectivamente, sus sucesos contrarios.

La persona elegida al azar puede ser:

R

R

M

R

R

M

→

→→→

→

→→→

→

6'0

7'0

3'0

4'0











Probabilidades:

P(M) = 000.10

000.4 = 0’4 ⇒ P(M ) = 1 – P(M) = 0’6

P(R /M) = 100

70 = 0’7 ⇒ P(R/M) = 1 – P(R /M) = 0’3

P(M∩ R) = P(M) · P(R/M) = 0’4 · 0’3 = 0’12

Respuesta:

La probabilidad de que una persona sea mayor de 50 años y se haga revisiones dentales anuales es:

P(M ∩ R) = 0’12





20.

PROBABILIDAD

Selectividad – Extremadura

Septiembre 2005

:RESOLUCIÓN::

Sucesos:

A, P y S : “La persona es, respectivamente, Alumno, Profesor y de administración y Servicios”

A , P , y S: Sus contrarios.

F y C: “A favor y en contra, respectivamente, de que se haga la reforma en el instituto”.

La persona elegida puede ser:

C

FS

C

FP

C

FA

SCP

SFPSP

PCP

PFPPP

ACP

AFPAP

→ →

→ →

→ →

→ →

→ →

→ →

→

)/(

)/()(

)/(

)/()(

)/(

)/()(

Probabilidades:











P(A) = 800

680= 0’85

P(P) = 800

90=0’1125

P(S) = 800

*30=0’0375

(*) 800 – (680+90) = 30

P(F/A) = 40% = 0’4

P(F/A) = 30% = 0’3

P(F/S) = 1% = 0’1

a) P(A∩ F) = P(A) · P(F/A)=

= 0´85 · 0’4 = 0’34

b) C = F ⇒ P(C) = 1 – P(F)

F = (A ∩ F) ∪ (P ∩ F) ∪ (S ∩ F) =

P(F) = P(A)·P(F/A) + P(P)·P(F/P) + P(S)·P(F/S) = = 0’85 · 0’4 + 0’1125 · 0’3 + 0’0375 · 0’1 = = 0’34 + 0’03375 + 0’00375 = 0’3775

P(C) = 1 – P(F) = 1 – 0’3775 = 0’6225

Respuestas:

(a) La probabilidad de que se trate de alumno que ha contestado que está a favor de la reforma es:

P(A∩ F) = 0’34

(b) La probabilidad de que se trate de alguien que se ha manifestado en contra de la reforma es:

P(C) = 0’6225





21.

PROBABILIDAD


Junio 2006

:RESOLUCIÓN::

Sean P, S, F y C respectivamente, los sucesos: “El alumno está en Primero, en Segundo, a Favor de la actividad cultural y en Contra de la misma”.

El alumno seleccionado puede ser:

C

FS

C

FP

SCP

SFPSP

PCP

PFPPP

→ →

→ →

→ →

→ →→

)/(

)/()(

)/(

)/()(

P(S) =250

110 = 0’44 ⇒ P(P) = 0´56

P(F/P) = 0’30 ⇒ P(C/P) = 0’70

P(F/S) = 0’60 porque P(C/S) = 0’40

Nos piden:

P(S∩ F)

P(F)

P(F/P)

Probabilidades:











a) P(S∩ F) = P(S) · P(F/S) = 0,44 · 0’60 ) = 0,264

b) C = (P∩ C) ∪ (S∩ C) ⇒ P(C) = P(P)·P(C/P) + P(S)·P(C/S) = = 0’56 · 0’70 + 0’44 · 0’40 = 0,568

c) P(F/P) = 30% = 0’30 LO DICE EL ENUNCIADO.

Respuestas:

(a) La probabilidad de que se trate de alumno de segundo y esté a favor de realizar la actividad cultural es:

P(S∩ F) = 0,264

(b) La probabilidad de que se trate de alumno que no esté a favor de realizar la actividad cultural es:

P(C) = 0,568

(c) La probabilidad de que un alumno de primer curso esté a favor de realizar la actividad cultural es:

P(F/P) = 0’30*

(*) OBSERVACIÓN:

El apartado (c) habría sido mucho más interesante si nos hubiesen pedido lo contrario:

“ Sabiendo que el alumno seleccionado es de los que está de acuerdo con realizar la actividad cultural, hallar la probabilidad de que pertenezca a primer curso”

En ese caso se trataría de un caso de PROBABILIDAD A POSTERIORI y la calcularíamos por la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(P/F) =)(

)(

FP

FPP ∩ =

)(1

)/()·(

CP

PFPPP

−=

= 568'01

30'0·56'0

− = 0’3889





22.

PROBABILIDAD


Septiembre 2006

:RESOLUCIÓN::

Sean A, B, C, R y R , respectivamente, los sucesos: “El diputado entrevistado pertenece al partido A, al B, al C, ha rechazado la prepuesta y la ha aceptado”

Nº Diput. = 140 + 150 + 60 = 350

Probabilidades:

P(A) = 350

140= 0’40

P(B) = 350

150= 3/7

60

Resultados posibles:

R

RC

R

RB

R

RA

→→

→ →

→→

→→

→→

→→

→

95'0

05'035/6

58'0

42'07/3

75'0

25'040'0











P(C) = 350

60= 6/35

P(R/A) = 0’25 ⇒ P(R /A) = 0’75

P(R/B) = 0’42 ⇒ P(R /B) = 0’58

P(R/C) = 0’05 ⇒ P(R /C) = 0’95

Se pide:

P(C∩ R)

P(R)

P(R/B)

Probabilidades:

a) P(C∩ R) = P(C) · P(R/C) = 6/35 · 0’05) = 0,0086

b) R= (A ∩ R) ∪ (B∩ R) ∪ (C∩ R) ⇒ P(R) = P(A)·P(R /A)+P(B)·P(R /B)+P(C)·P(R /C) = = 0’40 · 0’75 + 3/7·0’58 + 6/35· 0’95 = = 0’7114

c) P(R/B) = 42% = 0’42 SE DICE EN EL ENUNCIADO.

Respuestas:

(a) La probabilidad de que el entrevistado sea diputado del grupo C y haya rechazado la propuesta es:

P(C∩ R) = 0,0086

(b) La probabilidad de que el diputado haya aceptado la propuesta es:

P(R) = 0’7114

(c) Si es del grupo B la probabilidad de que haya rechazado la propuesta es:

P(R/B) = 0’42*

(*) OBSERVACIÓN:

El apartado (c) habría sido mucho más interesante si nos hubiesen pedido lo contrario:

“ Sabiendo que el diputado entrevistado ha rechazado la propuesta, hallar la probabilidad de que pertenezca al grupo B”

En ese caso se trataría de un caso de PROBABILIDAD A POSTERIORI y la calcularíamos por la fórmula de la probabilidad condicionada:

P(B/R) = )(

)(

RP

RBP ∩ =

)(1

)/()·(

RP

BRPBP

− =

= 7114'01

)42'0)·(7/3(

−= 0’6237





23.

PROBABILIDAD


Junio 2007

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

C / C : “El estudiante utiliza / NO utiliza el comedor universitario”

T / T : “El estudiante utiliza / NO utiliza transporte público para ir a clase”

Sabemos que:

Utilizan el comedor universitario y acuden a clase en transporte público 3.000 de lo 20.000 estudiantes ⇒

P(C∩ T) =000.20

000.3 = 0’15

Uno de cada cuatro universitarios que van a clase en transporte público, también utilizan el comedor universitario:

P(C / T) = 1/4 = 0’25

Se nos pide:

¿P(T)?











El diagrama de árbol con los resultados posibles al seleccionar al azar a un alumno de esa universidad nos ayudará a resolver el problema:

C

CT

C

CTPCTTP

→→

→ →

→=∩→

→ →

→75'0

25'0?)(¿ 15'0)(

Probabilidad compuesta:

P(T∩ C) = P(T) · P(C/T) ⇒ P(T) =)/(

)(

TCP

CTP ∩ =

25'0

15'0= 0’6

Respuesta:

La probabilidad de que un estudiante de esa universidad utilice transporte público para ir a clase es:

P(T) = 0’6





24.

PROBABILIDAD


Septiembre 2007

:RESOLUCIÓN::

Sean los sucesos:

+Ci : “El calefactor SUPERA el control de calidad Ci” −Ci : “ “ NO SUPERA “ “ “ “ por lo que es rechazado”

R : “El calefactor es rechazado para la venta por no superar alguno de los tres controles” A : “El calefactor es aceptado para la venta por superar los tres controles”

R y A son sucesos contrarios entre sí, es decir: R = A

y A = 321 CCC +∩+∩+

Los posibles resultados tras los tres controles son:

1

2

3

3)(

2)(

1)(

3

2

1

C

C

C

C

C

C

CP

CP

CP

− →

− →

− →

+ →→+ →

→+ →

→

+

+











Probabilidades:

P(+C1) = 95% = 0’95

P(−C2) = 0,02 ⇒ P(+C2) = 1 – P(−C2) = 0’98

P(+C3) = 90/100 = 0’90

La probabilidad de que el calefactor sea aceptado es:

P(A) = P( 321 CCC +∩+∩+ ) = P( )1C+ · P( )2C+ · P( )3C+ = 0’95 · 0’98 · 0’90

Por lo tanto la probabilidad de que sea rechazado es:

P(R)= P(A ) = 1 – P(A) = 1 − 0’95 · 0’98 · 0’90 = 0’1621

Respuesta:

La probabilidad de que una calefactor sea rechazado para la venta es:

P(R) = 0’1621

resoluciÓn€¦ · problemas resueltos probabilidad pág. 2 de 48 colegio salesiano marÍa...

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