ejercicios de probabilidad 2

Ejercicios de probabilidad 2Estadística y TIC’s

REPASO:

Teorema de Bayes:

▪ Dado A condicionado B, si tenemos B y queremos saber A.

▪ Sabiendo la probabilidad de B/A queremos saber la probabilidad de A/B.

▪ P(A’/B)=𝑃 𝐴′ 𝑥 𝑃(

𝐵

𝐴′)

𝛴 𝑃 𝐴′ 𝑥 𝑃 (𝐵

𝐴′)

P(A/B)=𝑃

𝐵

𝐴𝑥 𝑃(𝐴)

𝑃𝐵

𝐴𝑥 𝑃 𝐴 +𝑃

𝐵

𝐴′𝑥 𝑃(𝐴′)

o La parte de abajo es la probabilidad total del suceso B.

EJERCICIO 4:

Tres laboratorios producen el 45%, 30% y 25% del total de los medicamentos que reciben en la farmacia de un hospital. De ellos están caducados el 3%, 4% y 5%.

1. Seleccionando un medicamento al azar, calcula la probabilidad de que esté caducado:

2. Si tomamos al azar un medicamento y resulta estar caducado ¿cuál es la probabilidad de haber sido producido por el laboratorio B?

3. ¿Qué laboratorio tiene mayor probabilidad de haber producido el medicamento caducado?

EJERCICIO 4: PROCESO

1. Seleccionando un medicamento al azar, calcula la probabilidad de que esté caducado:

▪ P(A)=0,45 P(D/A)=0,03

▪ P(B)=0,3 P(D/B)=0,04

▪ P(C)=0,25 P(D/C)=0,05

▪ Ptotal = [P(A) x P(D/A)] + [P(B) x P(D/B)] + [P(C) x P(D/C)] = [0,45 x 0,03] + [0,3 x 0,04] + [0,25 x 0,05] = 0,0135 + 0,012 + 0,0125 = 0,038

La probabilidad total de D es el sumatoria de la probabilidad de D en A x probabilidad de A.


2. Si tomamos al azar un medicamento y resulta estar caducado ¿cuál es la probabilidad de haber sido producido por el laboratorio B?:

▪ ¿P(B/D)?

▪ P(B/D) = 0,04 𝑥 0,3

0,038= 0,012

0,038= 0,315 32%

La probabilidad de haber sido caducado por el laboratorio B es de 32%.

3. ¿Qué laboratorio tiene mayor probabilidad de haber producido el medicamento caducado?:

▪ ¿P(A/D)? P(A/D) = 0,03 𝑥 0,45

0,038= 0,0135

0,038= 0,36 36%

▪ ¿P(C/D)? P(C/D) = 0,05 𝑥 0,25

0,038= 0,0125

0,038= 0,33 33%

El que tiene mayor probabilidad de haber producido un medicamento caducado es el laboratorio A.

REPASO:Distribución binomial:

▪ Distribución técnica de variables discretas

▪ Solo existen dos probabilidades (cara/cruz; sano/enfermo…)

▪ El resultado de cada prueba es independiente

▪ La probabilidad del suceso A es constante, la representamos por p, y no varía de una prueba a otra. La probabilidad de Ac es 1-p y la representamos por q.

▪ El experimento consta de un número n de pruebas.

▪ Problemas:

▪ Si hay una probabilidad p de que ocurra un suceso, ¿Cuál es la probabilidad de que en N experimentos el suceso ocurra X veces?

▪ P: probabilidad de ocurrencia; q de no ocurrencia

▪ X: número de sucesos favorables

▪ N: número total de ensayos

EJERCICIO 5:

Un tipo de tratamiento aplicado a una úlcera por decúbito cura un 60% de los pacientes. En un ensayo clínico se aplica el tratamiento a 2 pacientes:

1. Calcular la probabilidad de:

a) Se curen dos pacientes

b) Se curen menos de dos pacientes


▪ C(curación) = 0,6

▪ F(no curación) = 0,4

▪ = [(FF) (FC) (CF) (CC)]

▪ X=0 2

▪ Cuando no se cura ninguno: P(X=0): (FF) = qxq = 0,42 = 0,16

▪ Cuando se cura uno sí y otro no: P(X=1): [(FC) (CF)] = 2qxp = 2pxq = 2x0,6x0,4 = 0,48

▪ Cuando se curan los dos: P (X=2): (CC) = pxp = 0,62 = 0,36


a) Se curen dos pacientes:

La probabilidad de que se curen los dos pacientes es de 36%.

b) Se curen menos de dos pacientes:

La probabilidad de que solo se cure un paciente es de 48% y que no se cure ninguno es de 16%, por tanto la probabilidad de que se curen menos de dos pacientes es de 64%.

EJERCICIO 6:

Un tipo de tratamiento aplicado a una úlcera por decúbito cura un 60% de los pacientes. En un ensayo clínico se aplican el tratamiento a 30 pacientes.

1. Calcular la probabilidad de:

a) Se curen 10 pacientes

b) Se curen menos de 4


a) Se curen 10 pacientes: ¿P(X=10)?

▪ P(X=k) = 𝑛𝑘

pk x qn-k P(X=10) =

3010

x 0,610 x 0,420 = 30045015 x

0,00604 x 0,0000000109 = 0,001997

▪𝑛𝑘

= 𝑛′

𝑘′(𝑛−𝑘)′=

30′

10′(30−10)′= 30045015

La probabilidad de que se curen 10 pacientes es de 0,2%.

EJERCICIO 6: PROCESOb) Se curen menos de 4: ¿P(X<4)?

P(X<4) = P(X=3) + P(X=2) + P(X=1) + P(X=0)

▪ P(X=3) = 𝑛𝑘

pk x qn-k P(X=3) =

303

x 0,63 x 0,427 = 4060 x 0,216 x 1,8014x10-11 = 1,579x10-8

𝑛𝑘

= 𝑛′

𝑘′(𝑛−𝑘)′=

30′

3′(30−3)′= 4060

▪ P(X=2) = 𝑛𝑘

pk x qn-k P(X=2) =

302

x 0,62 x 0,428 = 435 x 0,36 x 7,205x10-12 = 1,128x10-9

𝑛𝑘

= 𝑛′

𝑘′(𝑛−𝑘)′=

30′

2′(30−2)′= 435

▪ P(X=1) = 𝑛𝑘

pk x qn-k P(X=1) =

301

x 0,6 x 0,429 = 30 x 0,6 x 2,882x10-12 = 5,188x10-11

𝑛𝑘

= 𝑛′

𝑘′(𝑛−𝑘)′=

30′

1′(30−1)′= 30

▪ P(X=0) = 𝑛𝑘

pk x qn-k P(X=2) =

300

x 0,60 x 0,430 = 1 x 1 x 1,153x10-12 = 1,153x10-12

𝑛𝑘

= 𝑛′

𝑘′(𝑛−𝑘)′=

30′

0′(30−0)′= 1

▪ P(X<4) = 1,579x10-8 + 1,128x10-9 + 5,188x10-11 + 1,153x10-12 = 1,697x10-8

La probabilidad de que se curen menos de 4 pacientes es de 1,698x10-6 %.


Este ejercicio también se puede realizar de la siguiente forma mediante un programa informático que es accesible desde internet:

▪ http://www.elektro-energetika.cz/calculations/bi.php

REPASO:

Distribución normal. Cálculo con variables tipificadas:

▪ Parámetros fundamentales: media y la desviación típica (N(,))

▪ Permite comparar valores previamente tipificados (“normalizados”) mediante el uso de tablas establecidas

▪ La tipificación permite conocer la probabilidad del área que está dentro de la curva

▪ La tipificación de los valores se puede realizar si una muestra variable aleatorio continua sigue una distribución normal

REPASO:

Distribución normal o de Gauss:

▪ Casi cualquier distribución de probabilidad, tanto discreta como continua, se puede aproximar a una normal bajo ciertas condiciones

▪ Todas las distribuciones normales N(,), pueden ponerse mediante una translación , y un cambio de escala , como (N(0,1)

▪ Esta distribución especial se llama normal tipificada

▪ La función de distribución se reproduce en una tabla

▪ Nos permite saber la profundidad acumulada hasta el valor z

REPASO:

EJERCICIO 7:

El gasto medio de alquiler en los estudiantes de la US tiene una distribución normal con media de 200 y desviación 10.

1. ¿Qué porcentaje de estudiantes gastan menos de 210 euros en alquiler? (=200 y =10)

2. ¿Qué gasto de alquiler sólo es superado por el 10% (p=0,1) de los estudiantes? Buscamos en la tabla la P 0,9 a qué valor z corresponde


1. ¿Qué porcentaje de estudiantes gastan menos de 210 euros en alquiler? (=200 y =10):

▪ Z = 𝑥−

= 210−200

10= 1

▪ Z es la variable tipificada. Tiene valores enteros aunque podría tener decimales. La tabla, en las filas está el número entero y un decimal y en las columnas aparece el segundo decimal.

Por tanto, el porcentaje de estudiantes que gastan menos de 2010 euros en alquiler son el 84,13%.


2. ¿Qué gasto de alquiler sólo es superado por el 10% (p=0,1) de los estudiantes? Buscamos en la tabla la P 0,9 a qué valor z corresponde:

▪ Primero, en la tabla de Z buscamos ese 0,9. Se coge el inmediato inferior.

▪ El valor de Z que nos interesa es 1,28. Si quereos buscar 0,1 (el 10% en cuestión) tendríamos que hacerlo en la misma tabla de Z pero con valores negativos.

▪ 1,28 = 𝑥−200

10 1,28 x 10 = X – 200 12,8 + 200 = X

X = 212,8

212,8 Euros es el valor mínimo que solo el 10% de los estudiantes supera.

EJERCICIO 8:

En una muestra de 300 individuos con diabetes mellitus atendidos en el centro de salud de Utrera la glucemia basal tiene una media de 106 mg/dl () y una desviación típica de 8 mg/dl () N(106,8). Calcula:

1. La proporción de diabéticos con glucemia basal ≤ 120 mg/dl, P(X≤ 120 mg/dl)

2. La proporción de diabéticos con una glucemia basal entre 106 y 120 mg/dl, P(106<X<120)


1. La proporción de diabéticos con glucemia basal ≤120 mg/dl, P(X≤ 120 mg/dl):

▪ Z = 𝑥−

= 120 −106

8= 1,75

Por tanto, la proporción de diabéticos con una glucemia basal ≤ 120 mg/dl, es del 95,99%.


2. La proporción de diabéticos con una glucemia basal entre 106 y 120 mg/dl, P(106<X<120):

▪ P(106<X<120) = P(X=120) – P(X=106)

▪ Z = 𝑥−

= 120 −106

8= 1,75

▪ Z = 𝑥−

= 106 −106

8= 0

▪ P(106<X<120) = P(Z=1,75) – P(Z=0) P(106<X<120) = 0,9599 – 0,5 = 0,4599

Por tanto, la proporción de diabéticos con glucemia basal entre 106 y 120 mg/dl es del 45,99%.

Realizado por:Marina Piña Gómez

Grado en EnfermeríaHospital universiario Virgen del Rocío

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