COMBINACIONES.

1.- ¿De cuántas maneras se pueden distribuir 9 juguetes entre 4 niños si el menor recibe 3 juguetes y cada uno de los otros niños 2 juguetes?

= C (92) . (72) . (52) . (33)

= 9.81.2

. 7.61.2

. 5.41.2

. 3.2.11.2.3

= 722 . 422 . 202 . 66

= (36)(21)(10)(1)

2.- Una clase consta de 9 niños y 3 niñas, (a) ¿De cuántas maneras el profesor puede escoger un comité de 4? (b) ¿Cuántos comités contaran con una niña por lo menos? (c) ¿Cuántos tendrán una niña exactamente?

(a).- C (124 ) = 12.11.10.91.2 .3.4

= 11,88024

= 7,560 maneras

= 495 maneras

(b).- (124 ) - (94) = 12.11.10.91.2 .3.4

.9.8 .7 .61.2.3 .4

= 11,88024 - 302424

= 495 – 126

(c).- 3 X (93)= 3 .

9.8 .71.2 .3

= 3. 5046

= 3 (84)

3.- ¿De cuántas maneras puede escogerse un comité compuesto de 3 hombres y 2 mujeres de un grupo de 7 hombres y 5 mujeres?

Hombres : C (73) Mujeres : C (52)Entonces (73)(52) =

7.6 .51.2.3

. 5.41.2

= 210/2 . 20/2

= 35 .10

= 369 maneras

= 252 maneras

= 350 maneras

4.- Una señora tiene 11 amigos de confianza (a) ¿De cuántas maneras puede invitar a 5 de ellos a comer? (b) ¿De cuantas maneras si dos son casados y no asisten el uno sin el otro? (c) ¿De cuántas maneras si dos de ellos no se llevan bien y no asisten juntos?

(a) C (115 ) = 11.10.9 .8.71.2 .3 .4 .5

= 55 ,440120

= 462

(b) C (93) + C (95)= 9.8 .71.2 .3

+ 9.8 .7 .6 .51.2.3 .4 .5

= 5046

+ 15120120

= 84 + 126

= 210

(c) C (95) + 2. C (94)= 9.8 .7 .6 .51.2.3 .4 .5

+ 2 . 9.8 .7 .61.2.3 .4

= 15,120120

+ 2. 302424

= 126 + 252

=378

5.- Un estudiante tiene que contestar 8 de 10 preguntas en un examen. (a) ¿Cuántas maneras de escoger tiene? (b) ¿Cuántas maneras si las 3 primeras preguntas son obligatorias? (c) ¿cuántas si tiene que contestar 4 de las primeras 5?

(a) C (108 ) = 10.9.8 .7 .6 .5 .4 .31.2.3 .4 .5 .6 .7 .8

= 181440040320

= 45 maneras

(b) Al contestar tres solo puede escoger5 de las 7 últimas

C (75) = 7.6 .5.4 .31.2.3 .4 .5

= 2520120

= 21 maneras

(c) C (54) = 5.4 .3 .21.2.3 .4

= 12024

= 5 ;

escoge las otras 4 de 5 de la misma forma

C (54) = 5 ;

Y las 8 preguntas de 5x5 = 25 maneras, en total hay 35 formas.

6.- ¿De cuántas maneras se pueden repartir 9 juguetes por igual entre 3 niños?

= 9C3 * 6C3 * 3C3

= C (93) * C (63) * C (33)= 9∗8∗71∗2∗3 .

6∗5∗43∗2∗1 .

3∗2∗13∗2∗1

= 5046

* 1206

* 66

= 84 * 20 * 1

= 1, 680 MANERAS

7.- ¿De cuántas maneras puede un profesor escoger uno o mas estudiantes de seis elegibles?

= (61)+(62)+(63)+(64)+(65)+(66)= 6 + 15 + 20 + 15 + 6 + 1

= 63

8.- ¿De cuantas maneras se pueden repartir 7 juguetes entre 3 niños si el menor recibe 3 y cada uno de los otros recibe 2?

= 7 !3! 2!2 !

= 7∗6∗5∗4∗3∗2∗13∗2∗1∗2∗1∗2∗1

= 504024

= 210 maneras.

9.- ¿De cuántas maneras se pueden dividir 10 estudiantes en tres equipos, uno de 4 estudiantes y los otros de 3?

= 10 !4 !3 !3 !

= 10.8 .7 .6 .5 .4 .3.2 .14.3 .2.1 .1 .2.3 .1 .2.3 *12

= 362880024.6 .6 * 12

= 3628800864 * 12

= 2100 maneras

10.- A una persona se le reparte una mano de poker ( 5 cartas ) de una baraja corriente. ¿De cuántas maneras puede recibir: (a)Una escalera de flor, (b) Un

poker, (c) una escalera, (d) un par de ases?

(a)4*10 = 40 formas

(b)13*48= 624

(c)10*45-40=10,200

PERMUTACiONES

1.- ¿Cuántas placas para automóvil pueden hacerse si cada placa consta de dos letras diferentes seguidas de tres dígitos diferentes? Y ¿Cuántas si el primer dígito no es cero?

(a) (26) (25)(10)(9)(8)

= 468,000 placas.

(b) (26)(25)(9)(8)

= 421, 000 placas.

2.- Si no se permiten repeticiones, (a) ¿Cuántos números de 3 dígitos se pueden formar con los siguientes dígitos 2, 3, 5, 6, 7 y 9? (b) ¿Cuántos de estos son menores que 400? (c) ¿Cuántos son pares? (d) ¿Cuántos son impares? (e) ¿Cuántos son múltiplos de 5?

(a) (6)(5)(4) = 120 números

(b) (2)(5)(4) = 40 números

(c) (5)(4)(2) = 40 números

(d) (5)(4)(4)= 80 números

(e) (5)(4)(1) = 20 números

3.- De A a B existen 6 caminos y de B a C 4.

(a) ¿De cuántas maneras se puede ir de A a C, pasando por B?

Hay (6) (4) = 24 formas, 6 caminos son de A a B, permutados con 4 de B a C.

(b) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C pasando por B?

(6) (4) (4) (6) = 24 * 24 = 756 maneras

Ida Vuelta

(c) ¿De cuántas maneras se puede hacer el viaje redondo de A a C, sin usar el mismo camino más de una vez?

(6) (4) (3) (5) = 24 * 15 = 360 maneras

4.- Hallar el número de maneras en que cinco personas pueden sentarse en una fila y, ¿Cuántas maneras hay si dos de las personas insisten en sentarse una al lado de la otra?

(a) 5.4.3.2.1 = 5!

=120 maneras

(b) 4.3!.2!

= 4.3.2.1.2.1

=48 formas

5.- ¿De cuántas maneras 3 niños y 2 niñas pueden sentarse en una fila? (b) ¿De cuántas maneras pueden sentarse si los niños se sientan juntos y las niñas también? (c) ¿De cuántas maneras pueden sentarse en fila si justamente las niñas se sientan juntas?

(a) 5.4.3.2.1 = 5! = 120 formas

HHHMM NIÑOS: 3.2.1 = 6

ENTONCES, 6.2.2 =24 formas

MMHHH NIÑAS: 2.1 = 2

(b)

(c)

6.- ¿De cuántas maneras 3 americanos, 4 franceses, 4 daneses y 2 italianos pueden sentarse en una fila de modo que los de la misma nacionalidad se sienten juntos?

Americanos: 3!

Franceses: 4!

Daneses: 4!

Italianos: 2!

Por lo tanto,

=3!.4!.4!.2!

=(3.2.1)(4.3.2.1)(4.3.2.1)(2.1)

MMHHH NIÑOS: 3.2.1= 6

HMMHH 4 FORMAS ENTONCES, 6.2.4=48 FORMAS

HHMMH NIÑAS: 2.1=2

HHHMM

= 165, 888 ordenaciones.

7.- Hallar el número de señales diferentes que se pueden formar con 8 banderas colocadas en línea vertical, si 4 son rojas, 2 azules y 2 verdes?

= 8 !

4 !2 !2 ! = 8.7 .6 .5 .4 .3 .2.1(4.3 .2.1 ) (2.1 )(2.1) = 40,320

96 = 96

8.- Hallar el número de permutaciones que se pueden formar con todas las letras de cada una de las siguientes palabras:

(a) Barra:

5 !

2!2 !1 ! = 5.4 .3 .2.12.1 .2.1 .1

= 1204

= 30 maneras

(b) Satélites:

= 9 !

2!2 !2 ! = 362,8808

= 45, 360

(c) Proposición

= 11!

2!3 !2 ! = 39,916,800

24 = 1,663, 200

(d) Impropio:

= 8 !

2!2 !2 ! = 40,3208

= 5040

9.- Una urna contiene 10 bolas. Hallar el número de pruebas ordenadas (a) de tamaño 3 con sustitución, (b) de tamaño 3 sin sustitución, (c) de tamaño 4 con sustitución, (d) de tamaño 5 sin sustitución.

(a) 10.10.10 =1,000

(b) 10.9.8 = 720

(c) 10.10.10.10 = 10, 000

(d) 10.9.8.7.6 = 30,240

10.- Hallar el número de maneras como se pueden colocar en un estante 5 libros grandes, 4 medianos y 3 pequeños de modo que los libros de igual tamaño estén juntos.

Formas por tamaño: 3! = 6

Formas por libro:

Grandes: 5! = 5.4.3.2.1 = 120

Medianos: 4! = 4.3.2.1= 24

Chicos: 3!= 3.2.1 = 6;

Por lo tanto:

6.6.24.120 = 103,680 maneras.

PROBABILIDAD CONDICIONAL

1.- Un lote de 12artículos tiene 4 defectusos. Se toman al azar 3 artículos del lote, uno tras otro. Hallar la probabilidad p de que todos los tres estén buenos.

Si se toman 3 arículos:

Entonces la probabilidad de que el primero sea bueno es:

P = 8/12;

La del segundo:

P =7/11;

La del tercero:

P 6/10

Por lo tanto:

P = 8/12 * 7/11 * 6/10

P = 14/55

2.- Se lanzan 2 dados al aire. Hallar la probabilidad p de que la suma de sus números sea 8 o mayor si (a) aparece un cuatro en el primer dado, (b) aparece un 4

en uno de los dados por lo menos.

(a) Espacio muestral

A = [(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)]

La suma es 8 o mayor en 3 de los resultados.

(4,4)(4,5)(4,6)

Por lo tanto:

P= 3/6 = ½

(b) Espacio muestral

B = [(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)(1,4)(2,4)(3,4)(5,4)(6,4)]

La suma es 8 o mayor en 5 de los once resultados

(4,4)(4,5)(4,6)(5,4)(6,4)

Por lo tanto:

P = 5/11

3.- Una clase tiene 12 niños y 4 niñas. Si se escogen tres estudiantes de la clase al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sean niñas?

Probabilidad primer niña:

P= 4/16;

La de la segunda niña:

P = 3/15;

La de la tercer niña:

P = 2/14

Por lo tanto:

P = 4/16 * 3/15 * 2/14

= 24/3360 = 1/40

P = 0.007142

4.- dentro de una urna hay 8 bolas blancas y 5 bolas azules. Si se sacan 3 bolas de la urna, una tras otra, ¿Cuál será la probabilidad p de que las dos primeras sean

blancas y la tercera azul?

Probabilidad Primer bola blanca

P = 8/13

Probabilidad segunda bola blanca:

P=7/12

Probabilidad tercera bola azul

P = 5/11

Por lo tanto:

P = 8/13 * 5/11 * 7/12

P = 280/ 1716 = 0.16317

5.- Se eligen al azar dos dígitos desde el 6 hasta el 14. Si la suma es par, hallar la probabilidad p de que ambos números sean impares.

= [6,7,8,9,10,11,12,13,14]

Números pares = [6,8,10,12,14]

Por lo tanto:

Hay 5C2 maneras de escoger

(52) = 5.41.2

= 20/2 = 10

Números impares = [7,9,11,13]

Por lo tanto:

Hay 4C2 maneras de escoger

(42)= 4.31.2

= 12/2 = 6

10 + 6 = 16

Hay 16 maneras de escoger 2 números tales que su suma es par,

Entonces:

P = 6/16

6.- En la facultad de odontología se publicaron los resultados del semestre, y 75 % de los estudiantes reprobó Química, 20% del

alumnado reprobó Anatomía y 17% reprobó Cálculo.

(a) Si alguien reprobó Química, ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado Química?

Q = ( reprobados en Química) C = (reprobados en calculo)

A = (reprobados en Anatomía)

Por lo tanto:

P (Q) = 0.75 P(A) = 0.20 P(C) = 0.17

P(Q|A) = P (Q∩ A )P (A )

= 0.55/0.20 = 11/4 = 2.75

(b) Si reprobó en Química, ¿Cuál es la probabilidad de que haya reprobado anatomía?

P(A|Q) = P ( A∩Q )P (Q)

= P (0.20∩ 0.75 )P (0.75)

= 0.55/0.75 = 0.73333

7.- Se lanza al aire un par de dados. Si los dos números que aparecen son diferentes, hallar la probabilidad p de que (a) la suma

sea 5, (b) aparezca al menos un uno en los dos dados, (c) la suma sea menor o igual a 3.

Espacio muestral = 36 – 6 = 30.

Se excluyen los números repetidos.

(a) Muestra = [(4,1)(3,2)(1,4)(2,3)]

Por lo tanto:

P=4/30 = 0.1333

(b) Muestra = [(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)]

Entonces:

P = 10/30 = 1/3

(c) Muestra = [(1,2)(2,1)]

P = 2/39 = 0.0666

8.- En un local de Telcel, existen 8 teléfonos celulares de los cuales 3 son defectuoso, y en el local de Movistar hay 5 celulares de los cuales 2 son

defectuosos. Se toma al azar un celular de cada compañía.

(a)¿Cuál es la probabilidad de que ambos celulares sean defectuosos?

Probabilidad de celulares no defectuoso,

T = 5/8 M= 3/5

Por lo tanto:

P= 5/8 * 3/5 = 15/40 = 3/8

(b) ¿Cuál es la probabilidad de que un celular sea defectuoso y el otro no?

Probabilidad de celulares defectuoso

T =3/8 M= 2/5

P= 3/8 * 2/5= 6/40 = 3/20,

La probabilidad de que ambos sean defectuosos es 3/8,

Por lo tanto:

P = 1-3/8 – 3/20

= 5/8 -3/20

=100-24/160

=76/160

=19/40

9.- Si se lanzan tres monedas al aire, hallar la probabilidad p de que sean todas caras si (a) la primera de las monedas es cara, (b) una de las monedas es cara.

Espacio muestral =[aaa, aas, asa, ass, saa, sas, ssa, sss]

(a) Si la primera de las monedas es sol.

Muestra = [sss, ssa, saa,sas}

Por lo tanto:

P= ¼

(b) Si una de las monedas es sol

Muestra = [sss, ssa, saa, aas, asa, ass]

Por lo tanto:

P = 1/7

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

1.- El departamento de Transito del Estado declaró que la probabilidad de que se recuperará un automóvil robado es de 0.60. Calcula la probabilidad de que se

recuperen 5 de 8 automóviles robados.

Datos:

P= 0.60; n=8, x=5.

Sustitución:

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (5 )=(85)0 .605 (1−0.60 )8−5

= (56)(0.0776)(0.064)

P = 0.2787

2.- Cierta empresa contratista señaló que la probabilidad de que una persona con estudios de maestría entre a laborar es de 0.75 calcular la probabilidad de que 4 de 7 aspirantes con maestría

queden contratados.

Datos:

P=0.75; n=7, x=5.

Sustitución:

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (5 )=(75)0 .755 (1−0.75 )7−5

= (21)(0.237)(0.0625)

P= 0.31106

3.- La probabilidad de que un producto recién lanzado obtenga la certificación de la NOM es de 0.40. ¿Cuál será la probabilidad de que 3 de los siguientes 5 productos

obtenga dicha certificación?

Datos:

P= 0.40; n=5; x=3

Sustitución:

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (3 )=(53)0 .403 (1−0.40 )5−3

= (10)(0.064)(0.36)

P=0.2304

4.- Una familia tiene 6 hijos. Hallar la probabilidad de que sean(a) 3 niños y 3 niñas, (b) menos niños que niñas, con p=1/2.

(a) Datos

P= 0.50; n=6; x=3

Sustitución

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (3 )=(63)0 .503 (1−0.50 )6−3

=(20)(0.125)(0.125)

=0.3125

(b) la condición es menos niños que niñas, entonces hay 0, 1 ó 2 niños

N=6; x=0,1.2

f (0 )=(60)0.500 (1−0.50 )6−0

=(1)(1)(0.5)6

P= 0.03125

f (1 )=(61)0 .501 (1−0.50 )6−1

= (6)(0.5)(0.03125)

P= 0.09375

f (2 )=(62)0 .502 (1−0.50 )6−2

= (15)(0.25)(0.0625)

=0.234376

Por lo tanto

P= 0.234375 + 0.09375 + 0.03125

P = 0.359375

5.- La probabilidad de pasar el examen de admisión a cualquier universidad pública es de 0.85. Calcular (a) de que 12 aspirantes pasen la prueba solo 8, (b) entre 15 aspirantes solo queden 10.

(a) Datos

P= 0.85; n=12; x=8

Sustitución

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (8 )=(128 )0 .858 (1−0.85 )12−8

= (495)(0.272)(.00050625)

P= 0.068

(b) Datos

P= 0.85; n= 15; x=10.

Sustitución

f (10 )=(1510)0 .85010 (1−0.850 )15−10

=(3003)(0.19687)(7.6x10 -15)

= 0.04489

6.- La probabilidad de que un hombre llegue a la edad de 95 años es de 3/10. Si se registran y estudian 7 hombres hasta la hora de su muerte; ¿cuál será la

probabilidad de que 2 hayan llegado a los 95 años de vida?

Datos:

P=0.3; n=7; x=2

Sustitución:

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (2 )=(72)0 .32 (1−0.3 )7−2

=(21)(0.09)(0.16807)

P= 0.31765

7.- Un estudio revelo que el club de futbol “Pachuca” tiene 2/8 de probabilidad de ganar cuando juega. Si juega 6 partidos calcular la probabilidad de que gane (a) 2

partidos, (b) un partido por lo menos, (c) mas de la mitad de los juegos.

(a) Datos

P= 0.25; n=6; x=2

Sustitución

f (2 )=(62)0 .252 (1−0.25 )6−2

= (15)(0.0625)(0.316)

P=.29663

(b) Datos

P= 0.25; n=6; x=1

f (1 )=(61)0 .2501 (1−0.250 )6−1

= (6)(0.25)(0.237)

P = 0.3559

(c) Probabilidad de que gane 3 o 4 partidos

f (3 )=(63)0 .2503 (1−0.250 )6−3

= (20)(0.0156)(0.421875)

P=0.131625

f (4 )=(64)0 .2504 (1−0.250 )6−4

=(15)(.003906)(0.5625)

=0.03295

P = 0.03295 + 0.131625

P = 0.16458

8.- En un consultorio, el 75% de las atenciones médicas están relacionadas con el virus de la influenza. Calcular la probabilidad de que 5 de las siguientes 8 consultas se relacionen con

influenza.

Datos:

P=0.75; n=8; x=5

Sustitución:

f (5 )=(85)0 .7505 (1−0.750 )8−5

=(560.2373)(0.015625)

P=0.2076

9.- El comité de los juegos olímpicos declaró que la probabilidad de que exista algún empate en los partidos de basquetbol es de 0.35. Calcular la probabilidad de que 4 de 9 juegos queden

empatados.

Datos:

P=0.35; n=9; x=4

Sutitución

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (4 )=(94)0 .354 (1−0.35 )9−4

= (126)(0.01500625)(0.11603)

P=.2193863

10.- El promedio de un bateador de beisbol es de 0.300, si batea 4 veces. ¿Cuál es la probabilidad de que logre (a) 2 aciertos, (b) 3 aciertos?

Datos:

P=0.300; n=4; x=2,3

Sustitución

f ( x )=(nx ) px(1−p)n−x

f (2 )=(42)0 .32 (1−0.3 )4−2

=(6)(0.09)(0.49)

P= 0.2646

f (3 )=(43)0 .32 (1−0.3 )4−3

=(4)(0.027)(0.7)

P= 0.0756

ESPERANZA MATEMÁTICA

1.- Calcular la esperanza matemática y la varianza de la distribución de probabilidad de las puntuaciones obtenidas al lanzar un dado.

X Pi Xi*pi Xi2*pi1 1/6 1/6 1/62 1/6 2/6 4/63 1/6 3/6 9/64 1/6 4/6 16/65 1/6 5/6 25/66 1/6 6/6 6/6

21/6 91/6

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

μ =1/6 + 2/6 + 3/6 + 4/6 + 5/6 + 6/6

μ = 21/6

μ = 3.5

σ 2 = ∑i=1

n

xi2∗pi- μ2

σ 2= 91/6 – 12.25

σ2 = 15.16 -12.25

σ 2 = 2.9167

2.- Un jugador lanza un dado corriente. Si sale un número primo entonces pierde esa cantidad, los resultados posibles (xi) del juego con sus respectivas

probabilidades (fi) son como sigue.

xi 2 3 5 -1 -4 -6fi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

Xi*fi 2/6 3/6 5/6 -1/6 -4/6 -6/6

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

= 2/6 + 3/6 + 5/6 -1/6 – 4/6 – 6/6

=10/6 – 11/6 = -1/6 desfavorable

3.- Por motivo del día de las madres, una escuela primaria organiza una rifa donde hay 300 premios de valor $150, 25 premios de $500 y 10 premios de $1,500. ¿Cuál

será el precio justo que se debe pagar por un boleto si se ponen a la venta 3,00 boletos?

Xi(pesos) 150 500 1500 0pi 300/3000 25/3000 10/3000

Xi*pi 0.1 0.008333 .00333 0.888333

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

μ = 150(0.1)+500(0.008333)*1,500(0.00333)

μ = 15 + 4.1665 + 4.995

μ = 24.1615

4.- Se lanza un par de dados. Se define a X como la suma de las puntuaciones obtenidas. Halla la esperanza y la varianza.

Xi pi Xi*pi Xi^2*pi2 1/36 2/36 4/363 2/36 6/36 18/364 3/36 12/36 48/365 4/36 20/36 100/366 5/36 30/36 180/367 6/36 42/36 294/368 5/36 40/36 320/369 4/36 36/36 324/36

10 3/36 30/36 300/3611 2/36 22/36 242/3612 1/36 12/36 144/36

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

μ = 7

σ 2 = ∑i=1

n

xi2∗pi- μ2

= 54.83 – 49

σ 2 = 5.83

σ = 2.4145

5.- Se selecciona al azar una muestra de tres artículos de una caja que contiene 12 de los cuales 3 son defectuosos. Hallar la esperanza matemática.

Espacio muestral

C(123 ) = 220 muestras

(93) = 84 muestras sin defectos

3 . (92) = 108 con un defecto

9.(23) = 27 con dos defectos

(33) = una con tres defectos

Xi 3 2 1 0Pi 1/220 27/220 108/220 84/220

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

μ = 3*1/220 + 2*27/220 + 108/220 + 0*84/220

μ = 0.01363 + 0.245 + 0.49090

μ = 0.74953

6.- Un estudiante compra un boleto para una rifa; en la que el primer premio son $7,500 y el segundo de $3,000. Con posibilidades de 0.001 y 0.003 ¿Cuál debe ser

el precio justo del boleto?

Xi 7500 3000 0Pi o.oo1 o.oo3 .996

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

μ = 7500(0.001) + 3000(0.003)

= 7.5 + 9

μ =16.5

7.- Un jugador lanza dos monedas normales. Si aparece una cara o 2 caras gana 5 o 10 pesos respectivamente. Pierde 20 pesos si no aparece cara. Determina la

esperanza.

Espacio muestral:

=[(cx)(xx)(xc)(xx)]

Xi 5 10 -20Pi 2/4 1/4 ¼

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

μ = 5*2/4 + 10*1/4 – 20/4

μ = 10/4 +10/4 – 20/4

μ= 0 es justo

8.- Se lanza una moneda corriente hasta que resulte una cara o cinco cruces. Hallar el valor esperado de los lanzamientos.

F(1) = p(c) = ½

F(2) = p(cx) =1/4

F(3) = p(cxx) = 1/8

F(4) = p(cxxx) = 1/16

F(5) = p(cxxxx) + p(xxxxx) = 1/32

μ = ∑i=1

n

xi∗pi

μ = 1*1/2 + 2*1/4 + 3*1/8 + 4*1/16 + 5*1/16

μ = 1 + 3/8 + 9/16

μ = 31/16

μ = 1.9375

9.- determinar el número esperado de niños de una familia con 8 hijos, suponiendo la distribución del sexo igualmente probable. ¿Cuál es la probabilidad de que el

número esperado de niños suceda?

El número esperado de niños es:

E = np;

N= 8,

P=1/2,

E = 8*1/2

E=4

La probabilidad de que la familia tenga cuatro niños es:

P= (84)(12)4

(12)4

P= 8.7 .6 .51.2.3 .4 (12)

8

= 70/256= 0.27

10.- La probabilidad de que un artículo producido por una fábrica sea defectuoso es 0.02. Un cargamento de 10, 000 artículos se envía a sus almacenes. Hallar el número esperado E de

artículos defectuosos.

E = np;

N= 10,000

P=0.02

E = (10,000)(0.02)

E = 200

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

1.- Determinar las siguientes áreas bajo la curva (a) entre z = -0.78 y z=0, (b) a la izquierda de z= -1.50, (c) a la izquierda de z= 2.50 (d) Entre z = 0.45 y 0.70.

(a) Z = -0.78 y z= 0

Z = 0.78

Z = 0.2823

(b) a la izquierda de z=1.50

Z=1.50 = 0.4332

Z= 0.500 – 0.4332

Z = 0.0668

(c)A la izquierda de z= 2.50

Z = 2.50 = 0.4938

Z= .500 - .4938

Z = 0.0062

(d) Entre z= 0.45 y 0.70

Z = 0.45

Z = 0.1736

Y z= 0.70

Z=0,2580

Z = 0.1736 + 0.2580

Z= 0.4316

2.- En un examen psicométrico, Rodrigo desea saber su porcentaje alcanzado, si su calificación promedio es de 80 y desviación estándar 15.

Z = μ – x/ σ

Z= 95-80/15

Z = 1

Z = 0.3413

Z = 34.13%

3.- Determine las siguientes áreas situadas debajo de la curva, (a)entre z=0 y z=0.88,(b)A la derecha de z=1.75, (c) A la derecha de z=1.66, (d) Entre z= -1.12 y

z= -1.08.

(a) entre z=0 y z=0.88

Z= 0.88

Z = 0.3106

(b) A la derecha de z=1.75

Z=1.75 = 0.4599

Z=.500-0.4599

Z=0.0401

(c) A la derecha de z=1.66

Z=1.66 = 0.4515

Z=.500 – 0.4515

Z=0.0485

(d) Entre z=-1.12 y z= -1.08

Z=1.12

Z=.3686

Y z=1.08

Z= 0.3599

Z = .3686 + o.3599

Z = 0.7285

4.- El servicio meteorológico de la Cd. De México, estima que la temperatura máxima en el mes de septiembre sigue una distribución normal, con media de 27° y desviación típica de 6°. Calcula el número de días en los que habrá máximas entre

22° y 29°

P(22<x≤29)

= p(22−276

< z ≤ 29−276

)

= p (-0.8333 < z ≤0.333)

Cambiamos el signo:

= p(z≤0.333) – [1-p(z≤o.8333)]

= 0.6293 – 0.2303

= 0.399 x 30 días del mes

= 11.97, casi 12 días.

5.- La población de Cuilapam de Guerrero tiene una media de 85, una desviación estándar de 13(a) calcular la probabilidad de un valor localizado entre 75 y 90 (b)

calcula la probabilidad de un valor menor de 75.

(a) p(75<z<90)

Z = 90−8513

z 75−8513

Z= 0.38 = 0.1480 z= 0.769=0.2764

P(75<z<90) = 0.1480 + 0.2764

P = 0.4244

(b) p(x<75)

Z = 75−8513

Z = 0.2764

6.- El número de lluvias en la Cd. De Oaxaca registradas anualmente tiene una distribución normal μ = 55.3 y σ = 5.4. Encontrar la probabilidad de que en

cualquier año llueve mas de 47 veces.

Datos:

μ = 55.3

σ = 5.4

x > 47

Sustitución:

Z = x−μσ

Z = 47−55.35.4

Z = -1.53 = 0.4332

P(x>47) = 0.500 + 0.4332

P = 0.9332

7.-Determine el área debajo de la curva normal estándar entre z= -1.55 y 0.

Z= -1.55

Z = 0.4394

Z = 43.94%

8.- Ne una investigación se reporta que una población de ratones vivirá un promedio de 60 meses cuando se modifican sus dietas. Suponiendo que las vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviación estándar de 9.1

meses. Encuentre la probabilidad de que un ratón viva mas de 52 meses.

P(x>52) =μ−xσ

= 52-60/ 9.1

= 0.8791

9.- Un registro clínico indica que las medias de los pesos de 500 habitantes de cierta población es de 70 kg. Y su desviación típica de 3 Kg. Si los pesos se distribuyen normalmente, ¿Cuántos pobladores pesan entre 60 y 75 kg?

P(60<x≤75) = p (60−703

< z ≤ 75−703

)

= p(-3.33<z ≤ 1.67) = p (z≤1.67) – [1-p(z≤3.33)]

= 0.9525 –(1-0.9996) = 0.9521 * 500 pobladores

= 476 pobladores.

10.- Los resultados de la prueba enlace siguen una distribución normal con media de 78 y desviación típica de 36. ¿Cuál será l probabilidad de que un alumno que

presente el examen obtenga una calificación superior a 72?

P(x>72) = P [z > 72-78/36]

= p(z>0.16)

=p(z<0.16)

= 0.5636