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PROBABILIDAD

La probabilidad nos ayuda a diagnosticar los experimentos cuyos resultados no conocemos.

Experimentos aleatorios Son los que tienen dos o más resultados posibles. Ejemplos

Lanzar una moneda Lanzar un dado

Experimentos deterministas Son los que tienen un solo resultado. Ejemplos:

Someter el agua a temperaturas bajo cero grados Celsius.

Acercar la mano al fuego Anotar una A si el experimento es aleatorio (varios resultados) o una D si es determinista (sólo uno)

a) Tirar al marco y anotar gol ( ) b) Girar una ruleta y determinar el número que saldrá. ( )

c) Calcular el perímetro de un cuadrado conociendo un lado ( )

d) Jugar a la lotería ( )

e) Saber en que ciudad has nacido ( ) f) Lanzar una moneda y que caiga águila ( )

g) Lanzar un dado y que caiga el número 6. ( )

h) Lanzar una esponja al agua y observar si esta se moja. ( )

i) Saber la edad en que te casarás ( ) j) Ganar el premio de Melate. ( ) A los resultados de un experimento aleatorio se les llama espacio de eventos, espacio muestral o simplemente espacio (S). Ejemplos:

Evento: ganar el partido de fútbol. Resultados posibles S= ganar, empatar, perder Casos favorables: ganar

Evento: Salir un número par al lanzar un dado. Resultados posibles: 1,2,3,4,5,6 Casos favorables: 2,4,6

Anote lo que se pide en cada caso

E: Salir águila al lanzar una moneda. S=………………………………………. Casos favorables: …………………………

E: Día de la semana cuyo nombre empieza con m. S= ……………………………………………….. …………………………………………………… Casos favorables: ……………………………..

E: Salir el número 5 al lanzar un dado S= ……………………………………………….. Casos favorables: ……………………………..

E: Vocal que más se repite en la palabra papelería S= ……………………………………………….. Casos favorables: ……………………………..

Como hemos visto, los experimentos aleatorios pueden tener varios resultados. A todos estos resultados les llamamos resultados posibles.

Si lanzamos una moneda, los únicos resultados posibles son: que caiga águila o que caiga sol, y escribimos A o S en cada caso.

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Una forma de organizar esta información es utilizando un diagrama de árbol, como el siguiente.

Otra forma de encontrar los resultados posibles es construyendo un arreglo rectangular como el siguiente.

Lanzamiento con una moneda

Lanzamiento con dos monedas

Lanzamiento con tres monedas

A ( A , A ) ( A , S ) ( A , A , A ) ( A , A , S ) ( A , S , A ) ( A , S , S ) S ( S , A ) ( S , S ) ( S , A , A ) ( S , A , S ) ( S , S , A ) ( S , S , S ) Completa el diagrama de árbol que representa el experimento de lanzar una moneda y un dado:

Y el arreglo rectangular correspondiente es:

Dado Moneda

1 6 Águila

(A)

Sol (S)

( S , 6 )

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PROBABILIDAD CLÁSICA O TEÓRICA

La probabilidad es una medida de la incertidumbre de que sucede algún evento de interés.

Teóricamente la probabilidad de un evento es la razón entre el número de resultados favorables y el total de resultados.

Ejemplo: Al lanzar un dado, ¿Cuál es la probabilidad de salir un número par?

( )

( )

Los resultados en los casos de probabilidad son números entre 0 y 1.

Si la probabilidad es = 1 se trata de un evento seguro

Y si la probabilidad es = 0 se habla de un evento imposible

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 0? ( )

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número mayor que 7? ( )

Ejercicios

1.- Encuentra la probabilidad de los eventos relacionados con el lanzamiento de una moneda a) De que caiga águila P( E ) = b) De caer sol P( E ) =

2.- Calcula la probabilidad de obtener los siguientes eventos al lanzar un dado a) De caer un número menor que 6 P( E ) = b) De salir un número impar P( E ) = 3.- Obtén la probabilidad de los eventos relacionados con una urna que contiene 12 canicas azules y 8 blancas. a) Sacar sin ver una canica azul P( E ) = b) Sacar sin ver, una canica blanca P( E ) = c) Sacar sin ver, una canica negra P( E ) = d) Sacar sin ver, una canica blanca o azul. P( E ) =

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4.- Encuentre la probabilidad de los eventos relacionados con una caja que contiene 4 fichas rojas, 3 blancas, 2 verdes, y una azul. a). Extraer sin ver una ficha roja. P( E ) = b) Extraer sin ver, una ficha verde P( E ) = c) Extraer sin ver, una ficha roja, blanca, verde, o azul. P( E ) = d) Extraer sin ver, una ficha amarilla. P( E ) = 5.- ¿Cuál es el mayor valor que puede tener la medida de probabilidad? P( E ) = 6.- ¿Cuál es el menor valor que puede tener la medida de probabilidad? P( E ) = 7.- ¿Qué significa que un fenómeno tiene probabilidad cero de ocurrir? 8.- ¿Y qué significa que la probabilidad sea uno?

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Un juego de azar

Para participar en un juego de azar primero debemos conocer las condiciones necesarias para que el juego sea justo, con base en la noción de resultados equiprobables y no equiprobables.

Ejemplo: Carmen y Pablo juegan a lanzar dos dados, las reglas son las siguientes:

Primero: En cada lanzamiento se calcula la diferencia entre los puntos de ambos dados, si es 0, 1 o 2, Carmen gana una ficha. Si resulta 3, 4, o 5, Pablo gana una ficha.

Segundo: El juego se inicia con un total de 10 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador y el juego termina cuando no quedan más.

Si tuvieras que jugar, ¿Cuál jugador preferirías ser?

¿Por qué?

Sugerencia:

a) Completa la tabla de probabilidad de este juego para escribir las condiciones en las que se realiza.

b) De acuerdo con la tabla ¿Cuántos resultados en total se obtienen al lanzar dos dados?

c) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan los siguientes números como resultado de la diferencia entre los puntos de los dos dados?

( )

( )

P(1) = P( 2) =

P(3) = P(4) = P(5) =

d) ¿Cuál es la diferencia que tiene mayor probabilidad de salir? P( ) =

e) ¿Cuál es la diferencia que tiene menor probabilidad de salir? P( ) =

f) Los resultados (0, 1, 2) y (3, 4, 5) ¿Son equiprobables o no equiprobables?

g) ¿Con qué resultados preferirías jugar?

h) ¿Con qué resultados deben jugar Carmen y Pablo para hacer el juego equitativo (equiprobable)?

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Un juego de azar 2

Ejemplo: Erika y Ricardo juegan a lanzar dos dados, las reglas son las siguientes:

Primero: En cada lanzamiento se calcula la suma de los puntos de ambos dados, si es 2, 3, 4, 5, o 6 Erika gana una ficha. Si resulta 8, 9, 10, 11, o 12, Ricardo gana una ficha.

Segundo: Si la suma de los puntos de ambos dados es 7 ninguno de los dos gana.

Tercero: El juego se inicia con un total de 10 fichas, de las que se toma una cada vez que gana un jugador y el juego termina cuando no quedan más.

Si tuvieras que jugar, ¿Cuál jugador preferirías ser?

¿Por qué?

Sugerencia:

a)Completa la tabla de probabilidad de este juego para escribir las condiciones en las que se realiza.

b) De acuerdo con la tabla ¿Cuántos resultados en total se obtienen al lanzar dos dados?

c) ¿Cuál es la suma que tiene mayor probabilidad de salir?

( )

( )

d) ¿Cuál es la probabilidad de que salgan los siguientes números como resultados de la suma de los puntos de dos dados?

P(2) = P(3) = P(4) = P(5) = P(6) =

P(8) = P(9) = P(10) = P(11) = P(12) =

e) ¿Cuál es la suma de los puntos de los dados que tiene la menor probabilidad de salir?

f) Los resultados (2, 3, 4, 5, 6) y (8, 9, 10, 11, 12) ¿Son equiprobables o no equiprobables?

g) ¿Con qué resultados preferirías jugar?