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Dr. Juan Martín Preciado Rodríguez

Ingeniería Industrial y de Sistemas – Universidad de Sonora

Simulaciónde Sistemas

Clase XI

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Ejercicio 1. Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05. Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes:1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?2. ¿Y de que a lo sumo dos se encuentren defectuosas?3. ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos una se encuentre defectuosa?

Solución:Sea xi una variable aleatoria que representa el estado de una unidad terminada en la línea de ensamblaje en el momento i, siendo xi = 1 si la unidad es defectuosa y xi =0 en caso contrario.

1. x B(n, p) f(n,p) = nCx px(1-p)n-x = P(B(10,0.05),x=2)=0.0746

2. P(B(10,0.05),x2)= P(B(10,0.05), x=0, x=1, x=2)=0.9884

3. P(B(10,0.05),x1)= 1-P(B(10,0.05), x=0) = 0.4013

,),(1

n

iixpnf

La variable X sigue una distribución Bernoulli con parámetro p=0.05, de acuerdo con el dato inicial del problema. Además, nótese que un conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, por lo que el número de unidades defectuosas de un total de n unidades terminadas (x1, x2, .., xn), esto es, sigue una distribución Binomial de parámetros n y p=0.05. Hechas estas consideraciones iniciales, procedemos a resolver el problema:

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Ejercicio 2. Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas y el promedio de estos fallos es ocho.

1. ¿cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas?2. ¿y de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?3. ¿cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez en 125 horas?

Solución:Sea la variable aleatoria X , con distribución de Poisson con parámetro λ = 8, que determina el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento.1. Considerando que se cumplen ciertas condiciones de regularidad, podemos asumir que una variable X que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir 25 horas de funcionamiento sigue una distribución de Poisson con parámetro λX = 8/4 = 2.

Por lo tanto, la probabilidad deseada es la siguiente:

P(X=1) = (x/x!)*e- = (21/1!)*e-2 = 0.270672. Análogamente, definimos una variable aleatoria X con distribución de Poisson de parámetro λX = 8/2 = 4, que mide el número de componentes que fallan antes de cumplir las 50 horas de funcionamiento. Se tiene entonces que:

2

0

4 2381.0*!4

)2(i

i

ei

XP

3. De la misma forma, definiendo una variable aleatoria X con distribución de Poisson de Parámetro λx = 125*8/100 = 10, se obtiene:

41696.0*!10

1)10(1)10( 1010

0

e

iXPVP

i

i

4

Ejercicio 3. Un lote contiene 100 piezas de un proveedor de tubería local y 200 unidades de un proveedor de tubería del estado vecino. Si se seleccionan cuatro piezas al azar y sin reemplazo,1 ¿cuál es la probabilidad de que todas sean del proveedor local?2 ¿Cuál es la probabilidad de que dos o más piezas de la muestra sean del proveedor local?3 ¿Cuál es la probabilidad de que al menos una pieza de la muestra sea del proveedor local?

Solución:

f(X; n,N,k) = (kCx)*(N-kCn-x)/(NCn): n=4, N=300 y k=100

1. Sea X igual al número de piezas de la muestra del proveedor local. Entonces, x tiene una distribución hipergeométrica y la probabilidad pedida es P(x=4). Por consiguiente,

P(x=4)=((100C4)*(200C0))/(300C4) =0.0119

2. Encontrar la probabilidad de P(x2)

P(x2)=((100C2)*(200C2))/(300C4) + ((100C3)*(200C1))/(300C4) + ((100C4)*(200C0))/(300C4) =0.408

3. Encontrar la probabilidad de P(x1)

P(x1)=1-P(x=0)=1-(((100C0)*(200C4))/(300C4)) = 0.196

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Ejercicio 4. En un estudio realizado a un grupo de profesionistas para explorar la actitud hacia la donación de órganos se encontró que el 15 % mostró una actitud en contra; el 40 % mostró indiferencia y 45 % estuvo a favor de la donación.

Si se extrae un muestra aleatoria de 20 sujetos. ¿Cuál es la probabilidad de que 5 estén en contra, 10 sean indiferentes y 5 a favor?

Solución:

Distribución multinomial

f(X1,X2,…, Xk;1, 2, …, k) = (N!/(X1!*X2!*…* Xk!))*(1*2*…*k)

f(X1=5,X2=10, X2=10;1=0.15, 2=0.40, 2=0.45)=

=((20!)/(5!10!5!))*0.155*0.4010*0.455 = 0.41

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Ejercicio 5. En un examen en el que se van haciendo preguntas sucesivas, para aprobar hay que contestar correctamente a 10 preguntas. Suponiendo que el alumno sepa el 80% de las respuestas, ¿cuál es la probabilidad de que apruebe en las 12 primeras preguntas?

Solución:

Distribución binomial negativa

XBN(10,0.8)

P(X=x) = r-1Cx-1* pr *(1-p)r-x p=0.80, x=12, r=10

P(X=12) = (12-1C10-1)*(0.8010)*(0.2012-10) = 0.2362

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Ejercicio 6. Un fabricante de faros para coches informa que en un envío de 4000 faros a un distribuidor, 500 tenían un ligero defecto. Si se compran al distribuidor 20 faros elegidos al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que haya exactamente dos con defecto?

Solución:

f(X; n,N,k) = (kCx)*(N-kCn-x)/(NCn)

Si X es el número de faros defectuosos en los 20 adquiridos, X sigue una distribución hipergeométrica con N=4000, n=20 y k=500 luego:

P(X=1) = ((500C2)*(3500C18))/4000C20 = 0.2546

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Ejercicio 7. A la caja de un supermercado llegan en promedio 2 clientes por minuto. Calcular la probabilidad de que:

1 No lleguen clientes en un minuto.2 Llegue más de un cliente en un minuto.3 Lleguen 5 clientes en 2 minutos.

Solución: XP(2) X se distribuye como una Poisson

Definimos los parámetros:X = número de clientes que llegan a la caja en un minuto. = número de ocurrencias del fenómeno poissoniano por unidad de tiempo.

1.P(X=0) = (e-2*(2)0)/0!=0.1353

2.P(X>1)=1-P(X1) = 1-P(X=0)-P(X=1)=1-(e-2*(2)0)/0!-(e-2*(2)1)/1!=0.594

3. = 2*2=4; P(X=5)=(e-4*(4)5)/5!=0.1563

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Ejercicio 8. De un grupo de 50 esquizofrénicos, 12 padecen alteraciones cerebrales. Seleccionados 5 de ellos, calcule la probabilidad de que padezcan tal alteración : 1. 3 de ellos 2. al menos uno.

Solución: X B(n, p) f(n,p) = nCx px(1-p)n-x

La proporción de esquizofrénicos con alteración cerebral es : p = 12/50 = 0.24. X B(5, 0.24)

1P(X=3) = 5C3 0.243(1-0.24)5-3 = 0.7985

2P(X1) = 1-P(X=0) = 1- 5C0 0.240(1-0.24)5-0 = 0.7464

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Ejercicio 9. De un grupo de 50 esquizofrénicos, 12 padecen alteraciones cerebrales. Procediendo a revisar el historial de ellos de forma aleatoria, cuál es la probabilidad de que : 1. El primero con alteración cerebral se encuentre en la 8ª consulta de historiales. 2 . El tercero con alteración cerebral se encuentre en la 10ª consulta de historiales.

Solución: X BN(r, p) ; P(X=x) = r-1Cx-1* pr *(1-p)r-x

1.p=0.24, x=1, r=8

8-1C1-1* 0.248 *(1-0.24)8-1 = 0.0351

1.p=0.24, x=3, r=10

La proporción de esquizofrénicos con alteración cerebral es : p = 12/50 = 0.24. X B(5, 0.24)

1P(X=3) = 5C3 0.243(1-0.24)5-3 = 0.7985

2P(X1) = 1-P(X=0) = 1- 5C0 0.240(1-0.24)5-0 = 0.7464