Distribución continúa de Probabilidad.

Muchos problemas llegan a ser matemáticamente más sencillos al considerar un recorrido “idealizado” para una variable aleatoria X, en el cual todos los números reales posibles (en algún intervalo específico o conjunto de intervalos) pueden considerarse como resultados posibles. De esta manera llegamos a la distribución aleatoria continua.

En teoría de la probabilidad una distribución de probabilidad se llama continua si su función de distribución es continua. Puesto que la función de distribución de una variable aleatoria X viene dada por:

La definición implica que en una distribución de probabilidad continua X se cumple que P[X = a] = 0 para todo número real a, esto es, la probabilidad de que X tome el valor a es cero para cualquier valor de a. Si la distribución de X es continua, se llama a X.

La distribución Exponencial.

La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:

Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que, el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.

Mientras que la distribución de Poisson describe las llegadas por unidad de tiempo, la distribución exponencial estudia el tiempo entre cada una de estas llegadas. Si las llegadas son de Poisson el tiempo entre estas llegadas es exponencial. Mientras que la distribución de Poisson es discreta la distribución exponencial es continua porque el tiempo entre llegadas no tiene que ser un número entero. Esta distribución se utiliza mucho para describir el tiempo entre eventos. Más específicamente la variable aleatoria que representa al tiempo necesario para servir a la llegada.

Ejemplos típicos de esta situación son el tiempo que un medico dedica a una exploración, el tiempo de servir una medicina en una farmacia, o el tiempo de atender a una urgencia.

El uso de la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio son aleatorios, es decir, que un tiempo de servicio determinado no depende de otro servicio realizado anteriormente ni de la posible cola que pueda estar formándose. Otra característica de este tipo de distribución es que no tienen "edad" o en otras palabras, "memoria". Por ejemplo. Supongamos que el tiempo de atención de un paciente en una sala quirúrgica sigue una distribución exponencial. Si el paciente ya lleva 5 horas siendo operada, la probabilidad de que esté una hora más es la misma que si hubiera estado 2 horas, o 10 horas o las que sean. Esto es debido a que la distribución exponencial supone que los tiempos de servicio tienen una gran variabilidad. A lo mejor el próximo paciente operado tarda 1 hora porque su cirugía era mucho más simple que la anterior.

La función de densidad de la distribución exponencial es la siguiente:Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución exponencial con parámetro:

Su gráfica es un modelo apropiado a vida útil de objetos.

Para calcular la esperanza matemática y la varianza, se hallara primero el momento de orden r respecto del origen:

Características

Toda variable aleatoria continua que sigue una norma de distribución exponencial posee las siguientes características:

• El valor esperado es,

Aquel Valor cuya probabilidad de que sea tomado por una variable dada es máxima.

• La varianza es,

La esperanza del cuadrado de la desviación de dicha variable respecto a su media o valor esperado.

Ejemplo de variable exponencial

En un experimento de laboratorio se utilizan 10 gramos de Sabiendo que la duración media de un átomo de esta materia es de 140 días, ¿cuantos días transcurrirán hasta que haya desaparecido el 90 % de este material?

Función de distribución, F, de Exp (λ), calculada como el área que deja por debajo de si la función de densidad.

Solución: El tiempo T de desintegración de un átomo de es una v.a. de distribución exponencial:

Como el numero de átomos de existentes en una muestra de 10 gramos es enorme, el histograma de frecuencias relativas formado por los tiempos de desintegración de cada uno de estos átomos debe ser extremadamente aproximado a la curva de densidad, f. Del mismo modo, el polígono de frecuencias relativas acumuladas debe ser muy aproximado a la curva de su función de distribución F. Entonces el tiempo que transcurre hasta que el 90 % del material radiactivo se desintegra es el percentil 90, t90, de la distribución exponencial, es decir:

Otro ejemplo de variable exponencial

Se ha comprobado que el tiempo de vida de cierto tipo de marcapasos sigue una distribución exponencial con media de 16 años.

¿Cuál es la Probabilidad de que a una persona a la que se le ha implantado este marcapasos se le deba reimplantar otro antes de 20 años? Si el marcapasos lleva funcionando correctamente 5 años en un paciente, ¿cuál es la probabilidad de que haya que cambiarlo antes de 25 % años?

Solución: Sea T la variable aleatoria que mide la duración de un marcapasos en una persona. Tenemos que:

Luego como era de esperar, por ser propio a un mecanismo exponencial,

O sea, en la duración que se espera que tenga el objeto, no influye en nada el tiempo que en la actualidad lleva funcionando. Es por ello que se dice que “la distribución exponencial no tiene memoria”.

Distribución continúa de probabilidad Gamma.

Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuas con asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de la convergencia de la distribución.

Los parámetros de la distribución

El primer parámetro (α) situa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunas fuentes se denomina “la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximos a cero aparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial.

Cuando se toman valores más grandes de (α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendo la forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el que determina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidad en la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más densidad de probabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine “escala”. Valores más pequeños de (β) conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidad más elevado.

Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”. Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el ratio de ocurrencia: λ=1/β. La expresión también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo el desarrollo matemático.

Relación con otras distribuciones Si se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gamma converge

con la distribución normal. De media, y varianza. Cuando y β la distribución Gamma es exactamente la distribución exponencial con parámetro (α=1). Cuando la proporción entre parámetros es entonces la variable aleatoria se distribuye como una Chi-cuadrado con grados de libertad. Si α=1, entonces se tiene la distribución exponencial negativa de parámetro λ=1/β.

Ventajas

De esta forma, la distribución Gamma es una distribución flexible para modelizar las formas de la asimetría positiva, de las más concentradas y puntiagudas, a las más dispersas y achatadas. Como ejemplos de variables que se comportan así:

Número de individuos involucrados en accidentes de tráfico en el área urbana: es más habitual que la mayoría de partes abiertos den la proporción de 1 herido por vehículo, que otras proporciones superiores.

Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de forma más habitual precipitaciones iniciadas a una altura baja, que iniciadas a gran altitud.

Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos que siguen una distribución de Poisson. Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoría presentan una menor finura que unas pocas

fibras más gruesas.

Inconvenientes

Problemas en la complejidad de algunos cálculos, especialmente respecto a la función Gamma cuando el parámetro α es un valor no entero. También problemas de cálculo en la estimación de los parámetros muéstrales.

Para valorar la evolución de la distribución al variar los parámetros se tienen los siguientes gráficos.

Primero se comprueba que para α=1 la distribución tiene similitudes con la exponencial.

Si ahora se hace variar el parámetro alfa,

Y para valores altos de α y pequeños de β, se observa la convergencia con la normal,

Para valores no enteros, el valor de la función Gamma se obtiene a partir de,

La función de densidad de la distribución Gamma es,

donde x>0 y β,α son parámetros positivos.

Se puede ver que para α=1 la función de densidad será,

Lo que significa que una distribución Gamma de parámetro α=1 y β =0 es una distribución exponencial de Parámetro α=1.

Se demuestra que f(x) es una función de densidad porque para f(x)≥0 y haciendo el cambio de variable

Características

1. Función de distribución

El valor de esta expresión no es fácil de obtener, aunque cuando p es entero positivo , la integral se puede calcular por partes y las probabilidades se obtienen de forma aproximada. Con el fin de simplificar el cálculo de estas probabilidades Pearson tabuló la función gamma incompleta para diferentes valores del parámetro p, que viene dada por :

2. Media: E[X]=p/a

3. Varianza: Var(X)=p/a²

4. Propiedad reproductiva

Si son n variables aleatorias independientes, distribuidas según una Γ( ), para i=1,...,n.

Entonces la variable aleatoria Y= sigue una distribución Γ( , a).

Ejemplo Distribución continua de probabilidad gamma

Con los datos de precipitación del mes de Julio se pide calcular los percentiles 20, 40, 60 y 80, Mediante el empleo de la ley de distribución Gamma.

0.0 44.8 3.2 2.8 0.00.0 8.7 2.5 68.6 5.69.4 10.0 8.2 71.2 4.06.0 2.8 37.1 9.7 37.90.0 12.3 16.7 72.9 2.6

10.5 3.9 4.8 13.8

Solución.El número de datos de la serie es de 29. Podemos observar que en algunos años durante el mes de

Julio no hubo precipitación. Como con los valores iguales a cero no es posible el cálculo del valor A pues el logaritmo de cero es infinito. Hay que crear una función mixta compuesta de la probabilidad del valor nulo “q” y la del valor no nulo “p = 1-q”.

H(X) = q + p · G(X) Función mixta q: probabilidad de que se presente un valor cero (sin precipitación) es fácil de calcular considerando los ceros existentes con respecto al total de datos. p = 1-q

Como del total de 29 datos tenemos 4 con cero, tenemos:

q = 429

= 0.1379 (13.79)

p = 1- q = 2529

= 0.8620 (86.21)

Así eliminamos los ceros y hacemos los cálculos sólo para los 25 valores restantes (función G(X) que Afecta a “p”), posteriormente al final consideraremos la función mixta (H).H(X) = q + p · G(X) Función mixtaSuma de los 25 datos = 470

Media = 47025

= 18.8

Las formulaciones a emplear son:

Ɣ= 14 A

[1+ 2√(1+ 4 A3 ) ]A= Ln × - ∑ Lnx

n

Tomando el valor de A obtenemos el valor del parámetro alfa “ã” y el valor del parámetro de distribución beta “â”:

Alfa = 0.9109Beta = 20.6393

Luego para calcular A es necesario calcular el logaritmo neperiano de todos los valores (los 25 no cero). Así:

ln (media) = 2.9338Suma (lnx) = 57,11256Luego A es igual a: A = 2,9338 – (57,11256/25) = 0.649.

Para calcular los percentiles se puede acudir al empleo de tablas o ábacos o emplear un Programa de hojas de cálculo como el Excel. Si usamos el Excel hay que usar la función:[=DISTR.GAMMA.INV(probabilidad;alfa;beta)].

Los parámetros de la distribución gamma Incompleta alfa y beta ya están calculados, sólo se necesita considerar las probabilidades. Así:Percentil 20 es la probabilidad igual a 0,20 Como trabajamos con una función mixta :H(X) = q + p · G(X) Siendo q la probabilidad de que se presente un valor cero (sin Precipitación) y p = 1-q. Tenemos que: q = 4/29 = 0.1379 (13.79); y, p = 1- q = 25/29 = 0.8620 (86.21)

La precipitación que corresponde a una probabilidad del 0,2 será:H(X) = q + p · G(X) = 0,1379 + 0.8620 · G(X) = 0.2 (20 %)Al valor de la probabilidad del 20 % para la función mixta le corresponde una probabilidad Referida sólo a los valores no nulos de: G(X) = (0.2 – 0.1379)/0.8620 = 0,072.No olvidemos que trabajamos sólo con los valores no nulos.La función Excel a aplicar será: =DISTR.GAMMA.INV(0.072; 0.9109; 20.6393). Así:Percentil 20 = 1,1 mmPara el resto será:G(X) = (0.4 – 0.1379)/0.8620 = 0.3040 . =DISTR.GAMMA.INV(0.3040; 0.9109; 20.6393) . Percentil 40 = 6.3G(X) = (0.6 – 0.1379)/0.8620 = 0.5360 . =DISTR.GAMMA.INV(0.536; 0.9109; 20.6393) . Percentil 60 = 14G(X) = (0.8 – 0.1379)/0.8620 = 0.768 . =DISTR.GAMMA.INV(0.768; 0.9109; 20.6393) . Percentil 80 = 27.5

Bibliografía

Probabilidad y aplicaciones estadísticas Paul L. Meyer Estadística by William mendenhall http://meteo.fisica.edu.uy/Materias/Analisis_Estadistico_de_Datos_Climaticos/

teorico_AEDC/Distribuciones_Probabilidad_2011.pdf http://ecosdelaeconomia.files.wordpress.com/2011/05/distribucion-gamma1.pdf http://www.eui.upm.es/~rafami/Estadistica/Material/Tema5-Apuntes.pdf

Universidad de Oriente

Núcleo de Monagas

Escuela de Ingeniería de Petróleo

Maturín- Monagas-VenezuelaEstadística para ingenieros.

Profesora: Bachilleres:

Arcimar López Ramírez John C.I: 20013970 Marcano Dairis C.I: 22722324

Maturín, Febrero 2012

Introducción

Distribución de probabilidad es una variable aleatoria es aquella que toma un conjunto de valores numéricos asociados a los resultados de nuestra búsqueda que produce un proceso aleatorio. Por ejemplo si el experimento es lanzar cuatro veces una moneda al aire y nuestra búsqueda es el número de caras, la variable aleatoria podrá tomar valores de 0, 1, 2, 3 y 4 caras. Una distribución de probabilidad es una lista del total de valores que puede tomar una variable aleatoria con una probabilidad asociada. Existen dos tipos de distribuciones de probabilidad, las distribuciones de probabilidad discretas y las distribuciones de probabilidad continuas.

Las distribuciones de probabilidad continuas son aquellas en las que la variable aleatoria puede asumir un número infinito de valores, que son resultado de una medición. Por ejemplo, el valor de la temperatura media del aire en intervalos dados de tiempo. Por supuesto que las variables aleatorias continuas dependen de la exactitud del instrumento de medición en este caso del termómetro.

Estas distribuciones continuas son las que presentaremos a continuación tanto distribuciones exponenciales como gamma.

Conclusión

Ambas distribuciones de probabilidad sirven para predecir comportamientos con respecto al tiempo, (tiempo o espacio requerido a observar) o las ocurrencias de un evento en un determinado tiempo de las variables aleatorias que pueden asumirse en números finitos.