Diseño Estadístico yHerramientas para

la CalidadExpositor:

Dr. Juan José Flores Romerojuanf@umich.mx

http://lsc.fie.umich.mx/~juan

M. en Calidad Total y Competitividad

6. Distribuciones Discretas de Probabilidad

DefinicionesEntidad – un objeto observableVariable – una característica que toma valores diferentes para entidades diferentesVariable Aleatoria – una variable, donde los valores que tome dependen del azarDistribución de Probabilidad – expresión matemática (función), asociada a una variable aleatoria, que de cómo resultado la frecuencia relativa de ocurrencia de cada valor de la variableVariable Discreta – variable que puede tomar solo ciertos valores dentro de un intervaloVariable Continua – variable que puede tomar un continuo de valores dentro de un intervalo

Distribuciones DiscretasSi una variable aleatoria (X) toma valores discretos

con probabilidadesPi ≥ 0, i=1, 2, 3,...,k

(X = Xi ) = fx (Xi )

La función, fx(X) es una función de probabilidad o una distribución de probabilidad de la variable aleatoria discreta x.

(X ,X ,X ,...,X )0 1 2 k(P ,P ,P ,...,P )0 1 2 k

010

.Pk

ii =∑

=

Distribuciones Discretas

EjemploObtener la distribución de probabilidad puntual para una variable aleatoria X, que se define como la suma de puntos que muestran dos dados legales en la cara de arriba al ser lanzados.

X = Suma de los dos dados en cada uno de los tiros.

X = { 2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 }

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

=

666564636261565554535251464544434241363534333231262524232221161514131211

S

EjemploP(X=2) = 1/36P(X=3) = 2/36P(X=4) = 3/36P(X=5) = 4/36P(X=6) = 5/36P(X=7) = 6/36P(X=8) = 5/36P(X=9) = 4/36P(X=10) = 3/36P(X=11) = 2/36P(X=12) = 1/36

Func. de Distr. Acumuladas

Fx(x)≥ 0, " x Fx(-∞) = 0Fx(∞) = 1.0F(X+ε) ≥ Fx (X), " ε > 0P(x1 < X ≤ x2) = Fx(x2 ) - Fx(x1 )

)xXP(P(x)F ixxxx

ixii

=== ∑∑≤≤

EjemploLa distribución acumulada para el ejemplo anterior:

P(X ≤ X1)

P(X ≤ 2) = 1/36 ; 0 ≤ X ≤ 2 P(X ≤ 3) = P(X = 2) + P(X = 3) = 1/36 + 2/36 = 3/36 P(X ≤ 4) = P(X <= 3) + P(X = 4) = 3/36 + 3/36 = 6/36 P(X ≤ 5) = 10/36 = 6/36 + 4/36 P(X ≤ 6) = 15/36 = 10/36 + 5/36 P(X ≤ 7) = 21/36 P(X ≤ 8) = 26/36 P(X ≤ 9) = 30/36 P(X ≤ 10) = 33/36 P(X ≤ 11) = 35/36 P(X ≤ 12) = 36/36

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

EjemploUna compañía emplea 50 vendedores. Considere la distribución de la variable aleatoria X, el número de nuevos clientes que cada vendedor obtiene durante el año.

Xi F(Xi) P(X=Xi)0 1 1/501 2 2/502 4 4/503 3 3/504 6 6/505 8 8/506 10 10/507 7 7/508 5 5/509 3 3/50

10 1 1/50Total 50 1

00.020.040.060.080.1

0.120.140.160.180.2

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Ejemplo

00.10.20.30.40.50.60.70.80.9

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

¿Cuál es la probabilidad de que un vendedor seleccionado al azar haya obtenido menos de 4 clientes el año pasado?

P(X<4) = P(X<=3)=0.2

¿Cuál es la probabilidad de que haya obtenido4 o más?

P(X>=4) = 1-P(X<4) = 1-0.2 = 0.8

Media y Varianza

E(X) = Σ x P(X=x) = μ

E(X-μ)2 = Σ (X-μ)2 P(X=x) = σ2

σ2 = E(X2) – [E(X)]2

EjemploCalcule la media y varianza para el ejemplo de los vendedores

μ = 0*.02 + 1*.04 + 2*.08 + 3*.06 + 4*.12 + 5*.16 + 6*.2 + 7*.14+ 8*.1 + 9*.06 + 10*.02

= 5.38σ2 = (0 – 5.38) 2*.02

+ (1 – 5.38) 2*.04+ (2 – 5.38) 2*.08 + (3 – 5.38) 2*.06+ (4 – 5.38) 2*.12 + (5 – 5.38) 2*.16+ (6 – 5.38) 2*.2 + (7 – 5.38) 2*.14+ (8 – 5.38) 2*.1 + (9 – 5.38) 2*.06+ (10 – 5.38) 2*.02

= 5.1956

Xi f(Xi) Xi f(Xi) (Xi - μ)^2 f(Xi)0 0.02 0 0.5788881 0.04 0.04 0.7673762 0.08 0.16 0.9139523 0.06 0.18 0.3398644 0.12 0.48 0.2285285 0.16 0.8 0.0231046 0.2 1.2 0.076887 0.14 0.98 0.3674168 0.1 0.8 0.686449 0.06 0.54 0.786264

10 0.02 0.2 0.426888

5.38 5.1956

Distribución de BernoulliJacques Bernoulli, segunda mitad del siglo XVIIIVariable aleatoria – valores 0 y 1P(1) = p y P(0) = q = 1-pX = número de éxitos en un ensayo Bernoulli con probabilidad p de éxito y q = 1-p de fracasoX tiene distribución binaria o Bernoulli con parámetro p

Distribución de Bernoulli

∑

∑

==

=

iii

iii

pxExfxy

pxfx

)()(

)(

22

pqpppp

xEXV

pxE

=−=−=

−=

=

==

)1(

)()(

)(

2

22

2

μ

σ

μ

Ejemplo

El 10 % de una producción es defectuosa(90% es buena).El proceso es bernoulli con una probabilidadde éxito (unidades defectuosas) de 0.10 y una probabilidad de fracaso de 0.9

μ= p = 0.10σ2 = p(1-p) = pq = 0.1(0.9) = 0.09

Distribución BinomialNúmero fijo de pruebas repetidas, estadísticamenteindependientes.Cada intento tiene un resultado: éxito o fracaso(cada resultado es una variable Bernoulli)Todas las pruebas deben tener idénticasprobabilidades de éxito p (probabilidad de fracaso q = 1-p)El número X de éxitos en n ensayos de un experimento binomial , se llama variable aleatoriabinomial, es discreta y tiene n+1 valores posibles.

Distribución BinomialLa distribución de probabilidad de la variable aleatoria X se llama distribución binomial y se indicará por [b(X, n, p)]. Probabilidad de obtener exactamente X éxitos en npruebas independientes.

La probabilidad para un orden dado es:px qn-x

Puntos muestrales con x éxitos y n-x fracasos. Número de particiones de n resultados en dos grupos: uno con x y otro con n-x

Distribución BinomialFormas diferentes de elegir los x éxitos:

La distribución binomial

μ = n pσ2 = n p q

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡xn

[ ] nxqpxn

pnxbxf xnx ,...,2,1,0;,,)( . =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡== −

EjemploSe tiene una máquina bolseadora que produce el 20% de bolsa defectuosa. Si se extrae una muestraaleatoria de 10 paquetes, determinar la media y desviación estándar

Probabilidad de éxito (unidades defectuosas) = 0.2Probabilidad de fracaso (unidades buenas) = 0.8

μ = n p = 10 (0.2) = 2265.16.1)8.0)(2.0(10 ==== npqσ

Distribución Binomial

La asimetría de esta distribución está dada como:

2/33 )()21(

npqpnpqm −

=

EjemploEn la fábrica de VW se ha observado que el 10 % de las unidadessalen defectuosas de la línea de producción. Si se selecciona un lotede cuatro para ser inspeccionado.a) ¿Cuál es la probabilidad de no encontrar unidades defectuosas en un lote de 4 automóviles sedan?.b) El número esperado de unidades defectuosas en el mismo lote.c) La varianza y la desviación estándar de la distribución.d) La gráfica de la distribución de masa de probabilidad.

Exito = {encontrar unidades defectuosas} = éxito = pFracaso = {encontrar unidades sin defecto} = fracaso = q

a) La secuencia de observaciones es un proceso Bernoulli, la variable x que representa al número de unidades defectuosas que hay en un lote tiene distribución binomial con parámetros n=4, p = 0.1Px(0) = C(4,0) (pxqn-x) = C(4,0) (0.1)0 (0.9)4 = 0.656

Ejemplob) μx = n p = 4(0.1) = 0.4c) σ2

x = n p q = 4(0.1) (0.9) = 0.36 ; σ = 0.6d)

X P(x)0 0.65611 0.29162 0.04863 0.00364 0.0001

EjemploEncontrar las probabilidades de x, el número de éxitos de un experimento binomial con 4 ensayos independientes y la probabilidad de éxitos es igual a 1/3

Pk(0) = C(n,x) (px qn-x)b(0,n,1/3) = C(4,0)((1/3)0 (2/3)4) = 16/81b(1,n,1/3) = C(4,1)((1/3)1 (2/3)3) = 32/81b(2,n,1/3) = C(4,2)((1/3)2 (2/3)2) = 24/81b(3,n,1/3) = C(4,3)((1/3)3 (2/3)1) = 8/81b(4,n,1/3) = C(4,4)((1/3)4 (2/3)0) = 1/81

Dist. Bin. Negativa o PascalSea N una variable aleatoria que representa el número de ensayos necesarios para encontrar X éxitos en una secuenciaBernoulli con probabilidad de éxito p.

N tiene distribución binomial negativa con parámetros X y p.

El número de éxitos X es una variable en la distribuciónbinomial, mientras que en esta distribución es solamente un parámetro.En esta distribución el último ensayo de la secuencia tiene queser éxito para completar los X éxitos que aparecen en la definición.

Dist. Bin. Negativa o PascalPN(n) = P([obtener X-1 éxitos en los primeros n-1 ensayos]∩[un éxito en el último ensayo])Donde el primer evento corresponde a una variable con distribución binomial y la probabilidad del segundo es p, entonces:

Como no tiene sentido que haya menos de X ensayos paraencontrar X éxitos, entonces.Su media y varianza son:

22 ;

PXq

PX

NN == σμp p

⎩⎨⎧

<∀≥∀

=−

−−

xnxnqPC

nPxnx

xnN ;0

; )( 11 p

EjemploEn la fábrica de VW se ha observado que el 10% de las unidadessalen defectuosas de la línea de producción. Si se selecciona un lote de cinco para ser inspeccionado.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que la quinta unidad observada sea la segunda defectuosa?.

X = 2, N = 5 y p = 0.1

b) ¿Cuál es el número promedio de unidades que se debe observarpara encontrar cinco defectuosas?

X= 5

0.02916(0.9)(0.1)(3)14)9.0()1.0()5( 32252

1215 =!!

!== −

−− CPN

unidades ,501.0

5===

PX

Nμp

Distribución GeométricaEsta distribución es un caso especial de la binomial negativa, en donde la variable aleatoria representael número de ensayos necesarios para encontrar el primer éxito en la secuencia de Bernoulli.

La función de probabilidad se obtiene haciendo X = 1 en la Binomial Negativa, entonces:

Su media y varianza es:

2pp NN2 ;1 q== σμ

⎩⎨⎧

<∀≥∀

====−

1 ;01;

),1()(1

nnpq

PXnNPnPn

N p,

EjemploEl propietario de un lote de autos usados tiene 10 vehículos clásicos, los cuales estátratando de vender por medio de entrevistas personales con los posibles compradores. Considera que al entrevistarse con el posible comprador, existe la misma probabilidad de vender o no vender y que el resultado de una entrevista es independiente de lo que ocurreen las demás. Determinar:

a) La probabilidad de que la cuarta persona entrevistada sea la primera que compre.b) La media de la variable N que representa el número de clientes que se tienen queentrevistar para realizar la primera venta.c) La varianza de N.d) La gráfica de la función de probabilidad f(x) que corresponde a N en el intervalo [1,6].

a) El éxito de hacer una venta es 0.5

p = 0.5q = 1-p = 0.5

Por lo que: PN(4) = (0.5)(0.5)3 = 0,063

Ejemplob)

c) La varianza es:

d)

sentrevista ; 2.05.0

11===

pNμ

2)5.0(

5.02

2 ==Nσ

X P(X)1 0.52 0.253 0.1254 0.0635 0.0316 0.016

Distribución de PoissonLos experimentos que proporcionan valores numéricos de una variable aleatoria X, que representa el número de éxitos que ocurren durante un intervalo de tiempo dado o una región especificada se conocen comúnmente con el nombre de experimentos de Poisson.

El intervalo de tiempo dado puede tener cualquier longitud, un minuto, un día, una semana, un mes, un año. Ejemplo: X representa el número de llamadas telefónicas que se reciben por hora en una oficina.

La región especificada puede ser un segmento de recta, un área, un volumen o probablemente una pieza de material. X puede representar el número de ratones por hectárea, el número de bacterias en un cultivo dado, el número de errores de impresión en una página, etc.

Distribución de PoissonUn experimento Poisson es aquel que posee las propiedades siguientes:

El número de éxitos que ocurren en un intervalo de tiempo o en una región especificada son independientes de los que ocurren en cualquier otro intervalo de tiempo o región del espacio. Los intervalos o regiones son disjuntos.

La probabilidad de un solo éxito que ocurre durante un intervalo de tiempo muy corto o en una pequeña región es proporcional a la duración del intervalo de tiempo o al tamaño de la región y no depende del número de éxitos que ocurren fuera del intervalo de tiempo o de la región.

La probabilidad de que ocurra más de un éxito en un intervalo de longitud infinitesimal es insignificante.

Distribución de PoissonLa función de distribución de probabilidad de Poisson está dada por:

media: μ

varianza: s2 = μ

asimetría:

[ ] nxex

xxPx

,....,2,1,0 ; )(),( =!

== −μμφμ

μ1

=u

Distribución de PoissonEl comportamiento gráfico de φ(x) para diferentes valores de μse muestra a continuación.

EjemploLos defectos ocurridos a lo largo de la longitud de un cable eléctrico de 4000 mts en promedio son de 6. Asúmase que la probabilidad de K defectos en t metros de cable es dada por la función de distribución siguiente:

Encontrar la probabilidad que en 3000 mts de cable se tengan a lo más dos defectos.

!==

−

k

tedefectoskP

kt

r

)4000

6() (

40006

..0,1,2,.... k ;)5.4(

)4000

)3000(6() 3000 (

5.4

4000)3000(6

=!

=

!==

−

−

ke

k

emetrosendefectoskP

k

k

r

EjemploP(k <= 2) = P(0) + P(1) + P(2)

1736.02

)5.4(1

)5.4(0

)5.4( 25.415.405.4

=!

+!

+!

=−−− eee

EjemploEn una empresa textil se ha observado que la probabilidad de encontrar un defecto en un metro de cierto tipo de tela es 0.02.Considerando un rollo de 100 m. De dicha tela, cual es:a) El número promedio de defectos por rollo.b) La probabilidad de que no exista ningún defecto en los 100 m.c) La función de probabilidad en forma gráfica y tabular de la variable aleatoria que representa el número de defectos por rollo.

a). Considerando como éxito el encontrar un defecto en la tela, p = 0.02, con lo cual la tasa promedio de éxitos es:

μ = n p = 100(0.02) = 2 defectos por rollo.

Ejemplob)

c)

1353.0!0

)2()(20

==−eXPX 0

X Px(X)0 0.1351 0.2702 0.2703 0.184 0.0905 0.0366 0.0127 0.0038 0.001

EjemploSe tiene que a una empresa en promedio llegan diariamente 10 camiones a descargar mercancías; en las instalaciones de ésta solamente se pueden atender como máximo 15 camiones al día.¿Cuál es la probabilidad de que mas de 15 camiones no puedan ser atendidos en un solo día?

P(X > 15) = 1.0 - P(X ≤ 15) =

Cualquier libro de probabilidad contiene, en sus apéndices, tablas de las distribuciones más comunes.

De la tabla de Distribución Acumulada de Poisson, con promedio 10 y X=15, P(X ≤ 15) = 0.9513

∑=

=−=−15

00487.09513.01)10,(1

xxP

EjemploEn un experimento de laboratorio el promedio de partículas radioactivas que pasan por un contador durante un milisegundo es 4.¿Cuál es la probabilidad de que 6 partículas pasen por el contador en un milisegundo dado ?

μ = 4, X = 6

∑ ∑= =

−

=−=−=!

=6

0

5

0

64

1042.07851.08893.0)4,()4,(64)4,6(

x xxPxPeP