ejercicios resueltos estadística y probabilidad

8/17/2019 Ejercicios resueltos Estadística y probabilidad

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EJERCICIOS PROBABILIDAD- TELETRAFICO

Nestor Fabian Delgado Poveda – Cod. 20161093006 – Universidad Distrital Francisco Jose de Caldas -2016

25.5 Cierto calzado se recibe en cinco diferentes estilos, con cada estilodisonible en c!atro colores distintos" Si la tienda desea #ostrar ares de estoszaatos $!e #!estren la totalidad de los di%ersos estilos & colores 'C!(ntosdiferentes ares tendr)a $!e #ostrar*

T =4∗5=20

Ser( osible #ostrar !n total de + ares"

25.10 'De c!entas for#as distintas se !ede resonder !na r!eba de falso

%erdadero $!e consta de n!e%e re!ntas*

Por cada re!nta e.isten + osibles res!estas, a/ora, si son 0 re!ntas orla rela de #!ltilicaci1n, las n!e%e re!ntas tendr(n !n total de osiblesres!estas dado or2

T =(2 )9=512

25.15 3n contratista desea constr!ir n!e%e casas, cada !na con !n diferentedise4o" 'De c!antas for#as !ede colocar estas casas en !na calle si /a& seislotes en !n lado de la calle & tres en el lado o!esto*"

Para este caso tene#os n!e%e casas ara ordenar en 0 distintas for#as,entonces2

N =9 P9=362880

25.20 'De c!antas for#as se !eden llenar las cinco osiciones iniciales en !ne$!io de baloncesto con 5 6!adores $!e !eden 6!ar en c!al$!iera de lasosiciones*

V 85=

8 !

(8−5 )!

V 85=6720

Se !eden ordenar de 78+ osiciones distintas"

25.25 'C!(ntas er#!taciones distintas se !eden /acer con las letras de laalabra in9nito*


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Se tiene2

i=3

n=2

f , t , o=1

PR8321=

8 !

3 !2 !1!

PR8321=3360

61.5 Deter#ine el %alor de C de #odo cada !na de las f!nciones si!ientes!edan ser%ir co#o distrib!ci1n de robabilidad de la %ariable aleatoriadiscreta :2

a; f ( x )=c ( x2+4 ) ara x=0,1,2,3 <

Para $!e la f!nci1n sea !na distrib!ci1n de robabilidad debe c!#lir2

∑ x=0

3

f ( x )=1

∑ x=0

3

c( x2+4)=1

1=f (0 )+f (1 )+(2 )+f (3 )=4 c+5c+8c+13c

1=30c

c= 1

30

b; f ( x )=c (2

x )( 3

3− x) ara x=0,1,2 "

∑ x=0

3

c(2 x)( 33− x)=1

1=f (0 )+f (1 )+(2 )=c+6 c+3c


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1=10 c

c= 1

10

61.10 Enc!entre !na f1r#!la ara la distrib!ci1n de robabilidad de la

%ariable aleatoria X $!e reresenta el res!ltado c!ando se lanza !na %ez !n

solo dado"

P ( X =1 )=1

6

P ( X =2 )=1

6

P ( X =3 )=1

6

P ( X =4 )=1

6

P ( X =5)=1

6

P ( X =6 )=1

6

De esta for#a encontra#os $!e f ( x )=1

6 c!ando se lanza !na %ez !n solo

dado"

61.15 Encontrar la f!nci1n de la %ariable aleatoria $!e reresenta el si!ientee6ercicio2

“Un embarque de siete televisores contiene dos unidades defectuosas. Unhotel hace una compra al azar de tres de los televisores. SI x es el número deunidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribución de

probabilidad de X .

P (0 )=2C 0∗5C 3

7C 3=

2

7

P (1 )=2C 1∗5C 2

7C 3

=4

7

P (2 )=2C 2∗5C 1

7C 3=

1

7

P ( x )=2Cx∗5C (3− x)

7C 3


4/26

f ( X )=

{

2

7 0 ≤ x


5/26

F ( X )= 2

27 (t + t 2

2 )| x2

F ( X )= 2

27

[( x+

x2

2

)−4

] F ( X )=

2

27 [ x2

2 + x−4 ]

F ( X )= 1

27 [ x2+2 x−8 ]

F ( X )= 1

27 [( x+4)( x−2)]

F ( X )={ 0 X 5

P (3≤ X ≤4 )= F (4 )− F (3 )= 1

27[ (8 ) (2 )−(7)(1)]

P (3≤ X ≤4 )=1

3

Cateor)a =

"=

"+

">"?

"@

"7

"8

istora#a de robabilidad

P>; P+@; P+;

61.25 Se seleccionan tres #onedas sinree#lazo de !na ca6a $!e contiene c!atro de diez centa%os & dos de cinco


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7/26

P( X +Y ≤ 12 )=24∫0

1

2 [ 1

2− y2

2 ] y dy

P( X +Y ≤ 1

2 )=12∫01

2

[1

4− y+ y2] y dy

P( X +Y ≤ 12 )=12∫0

1

2

[ 14 y− y2+ y3]dy

P( X +Y ≤ 12 )=12[ 18 y 2−13 y 3+ 14 y4]01/2

P( X +Y ≤ 12 )=[( 18 )( 14 )−13 ( 18 )+ 14 ( 116 )] P( X +Y ≤ 12 )=

1

16

b; Enc!entre la densidad #arinal ara el eso de las cre#as

g ( x )=∫0

1− x

24 xydy

g ( x )=24∫0

1− x

xydy

g ( x )=24 x [ y2

2 ]1− x0g ( x )=12 x [ (1− x )2 ]

g ( x )=12 x [ (1− x )2 ]0≤ x ≤1

c; Enc!entre la robabilidad de $!e el eso de los c/iclosos en !na ca6asea #enor de =5 de ilora#o si se sabe $!e las cre#as constit!&en>? de s! eso"


8/26

P(0


9/26

g ( x )= x+110

g ( x )= 1

10 , 2

10 , 3

10, 4

10

b; Distrib!ci1n #arinal de &

h ( y )= f (0, y )+ f (1, y )+ f (2, y )+f (3, y )

h ( y )= y

30+1+ y30

+2+ y30

+3+ y30

h ( y )=4 y+630

h ( y )=2 y+315

h ( y )= 3

15, 5

15, 7

15

80.15 Considere !n e.eri#ento $!e consiste en dos lanza#ientos de !ndado balanceado" Si X es el n#ero de c!atros & es el n#ero de cincos $!ese obtienen en los dos lanza#ientos del dado, enc!entre"

a; La distrib!ci1n de robabilidad con6!nta de : & <

7 =,7; +,7; >,7; ?,7; @,7; 7,7;@ =,@; +,@; >,@; ?,@; @,@; 7,@;? =,?; +,?; >,?; ?,?; @,?; 7,?;> =,>; +,>; >,>; ?,>; @,>; 7,>;+ =,+; +,+; >,+; ?,+; @,+; 7,+;= =,=; +,=; >,=; ?,=; @,=; 7,=;

= + > ? @ 7

f (0,0 )=1−20

36=

4

9 f (1,0 )=

2

9


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f (2,0 )= 1

36

f (0,1 )=2

9

f (0,2 )= 1

36

f (1,1 )= 1

18

b; P [( X , Y )∈ ] , donde ! es la rei1n |( x , y )2 x+ y


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80.25 De#!estre si las dos %ariables de f ( x , y ) son deendientes o

indeendientes"

g ( x )= ∫30

50

( x2+ y ²)dy

g ( x )= ! [ x2 y+ y3

3 ]3050

50(¿¿3−303)

3

20 x2+¿

g ( x )= ¿

g ( x )= [20 x2+ 983 ∗103]

h ( y )= ! ∫30

50

( x2

+ y ²)dx

h ( y )= [20 y 2+ 983 ∗103]h ( y ) g ( x)" f ( x , y )

Las %ariables son deendientes"

91.5 La distrib!ci1n de robabilidad de :, el n#ero de i#erfecciones or

cada = #etros de !na tela sintGtica, en rollos contin!os de anc/o !nifor#e,est( dada co#o2

Enc!entre el n#ero ro#edio de i#erfecciones en = #etros de tela"


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#=1 (0,37 )+2 (0,16 )+3 (0,05 )+4 (0,01)

#=0,88

91.10 Dos e.ertos en calidad de ne!#(ticos e.a#inan lotes de Gstos &asinan !nt!aciones de calidad a cada ne!#(tico en !na escala de tres!ntos" Sea X la !nt!aci1n dada or el e.erto ! & " la del e.erto #" Lasi!iente tabla resenta la distrib!ci1n con6!nta ara X & " "

Enc!entre # x & # y

# y=0,23+2 (0,5 )+3(0,27)

# y=2.04

# x=0,17+2 (0,5 )+3(0,33)

# x=2.16

91.15 La f!nci1n de densidad de la %ariable aleatoria contin!a :, el n#erototal de /oras, en !nidades de = /oras, $!e !na fa#ilia !tiliza !naasiradora en !n eriodo de !n a4o, se de9ne co#o2

Enc!entre el n#ero ro#edio de /oras or a4o $!e las fa#ilias !tilizan s!sasiradoras"

#=∫−$

$

xf ( x ) dx

#=∫0

1

x ² dx+∫1

2

2 x− x ²dx


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#=[ x ³]01+[ x2− x

3

3 ]12

#=1

3+

[(4−

8

3

)−

(1−

1

3

)]#=

1

3+[ 43−23 ]

#=1

3+2

3

#=1∗100horas=100horas

90.20 3na %ariable aleatoria contin!a X tiene la f!nci1n de densidad

Enc!entre el %alor eserado de g ( X )=e2 x

3

#g( x)=∫−$

$

g ( x ) f ( x)

#g ( x )=∫0

$

(e− x )(e2 x

3 )dx

#g ( x )=∫0

$

(e− x /3)dx

−3 e0

#g ( x )=lim x →$

−3e− x/3−¿ ;

#g ( x )=3

90.25 Re9erase a las %ariables c!&a distrib!ci1n de robabilidad se de9ne aartir del si!iente en!nciado2


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“Se sacan tres cartas sin reemplazo de las $% cartas ma&ores 'sotas, reinas & re&es( de una bara)a ordinaria de *% cartas. Sea X el número de re&es que seseleccionan & " el número de sotas

& enc!entre la #edia ara el n#ero total de sotas & re&es c!ando se sacan >cartas sin ree#lazo de las =+ cartas #a&ores de !na bara6a ordinaria de @+

cartas"

f (3,0 )=(4C 3 ) (4C 0 )

12C 3=

1

55

f (2,1 )=(4 C 2 ) (4C 1 )

12C 3=

6

55

f (1,2 )=(4 C 1 ) (4C 2 )

12C 3=

6

55

f (0,3 )=(4C 0 ) (4C 3 )

12C 3=

1

55

f (0,0 )=(4C 0 ) (4C 0 )(4C 3)

12C 3 =

1

55

f (1,1)=(4 C 1 ) (4C 1 )(4C 1)

12C 3 =

16

55

f (1,0 )=(4C 1 ) (4C 0 )(4C 2)

12C 3 =

6

55

f (0,1)=(4C 0 ) (4 C 1)(4C 2)

12C 3 =

6

55


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#( x , y )=( x+ y ) f ( x , y )

# ( x , y )= 6

55+12

55+ 3

55+ 6

55+32

55+18

55+12

55+18

55+ 3

55

# ( x , y )=110

55=2

123.5 De ac!erdo con la +hemical n-ineerin- ro-ress no%ie#bre de =00;,aro.i#ada#ente >H de todas las fallas de oeraci1n en las t!ber)as delantas $!)#icas so ocasionadas or errores del oerador"

a; 'C!(l es la robabilidad de $!e las si!ientes + fallas en las t!ber)as al#enos = se deban a !n error del oerador*

p=0.3

n=20

P ( X ≥10 )=1− P ( X ≤9 )

P ( X ≤9 )=∑% =0

9

(20C% )0,3% 0,720−%

P ( X ≤9 )=0,920

P ( X ≥10 )=1−0,9520

P ( X ≥10 )=0,04796

b; 'C!(l es la robabilidad de $!e no #as de ? de + falla se deban al error deloerador*

P ( X ≤ 4 )=∑% =0

4

(20C% )0,3% 0,720−%

P ( X ≤ 4 )=0,2375

c; S!ona, ara !na lanta esec)9ca, $!e de la #!estra aleatoria de + detales fallas, e.acta#ente @ sean errores de oeraci1n 'Considera $!e la cifrade >H anterior se ali$!e a esta lanta* Co#ente


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P ( X =5 )=(20C 3 )0,35 (0,7 )15

P( X =5) ,=855

Para este caso la robabilidad es !n %alor e$!e4o, esto er#ite $!e la cifra de

>H se ali$!e a esta lanta"

123.10 Sen !n reorta6e !blicado en la re%ista arade, !na enc!esta ani%el nacional de la 3ni%ersidad de ic/ian a est!diantes !ni%ersitarios delti#o a4o re%ela $!e casi 8H desar!eban el cons!#o de #ari/!ana" Si seseleccionan =+ est!diantes al azar & se les ide s! oini1n, enc!entre larobabilidad de $!e el n#ero $!e desar!eban f!#ar #ari/!ana sea"

a; C!al$!ier %alor entre 8 & 0"

P(7≤ X ≤9

)= P

( x ≤9

)− P( x ≤6

)

P (7≤ X ≤ 9 )=∑% =0

9

(12C% )0,7% 0,312−% −∑% =0

6

(12C% )0,7% 0,312−%

P (7≤ X ≤ 9 )=0,9434−0,2361

P (7≤ X ≤9 )=0,7073

b; a lo #(s @

P ( X ≤5 )=∑% =0

5

(12C% )0,7% 0,312−%

P ( X ≤5 )=0,0386

c; no #enos de 5

P ( X ≥8 )=1− P ( X ≤7 )

P ( X ≥8 )=1−∑% =07

(12C% )0,7%

0,312−%

P ( X ≥8 )=0,7237

123.15 Se sabe $!e ?H de los ratones inoc!lados con !n s!ero $!edanroteidos contra cierta enfer#edad, si se inoc!lan @ ratones enc!entre larobabilidad de $!e


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a; nin!no contraia la enfer#edad

P=0,4

n=5

P ( X =0 )=(5C 0 )0,400,6⁵

P ( X =0 )=0,0776

b; #enos de + contraian la enfer#edad

P ( X 3 )=1−(0,0776+0,2592+0,3456+0,2304)

P ( X >3 )=1−0.9128

P ( X >3 )=0.0872

123.20 Sen el eriodico US!/ /oda& =5 de #arzo de =00; de ? #illones detraba6adores en la f!erza laboral, @,5H res!lto ositi%o en !na r!eba dedoras" De $!ienes res!ltaron ositi%os, ++,@H f!eron !s!arios de coca)na &@?,?H de #ari/!ana"

a; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os,+ sean !s!arios de coca)na, @ de #ari/!ana & > de otras droas*

n=10

p1=0,225

p2=0,544


18/26

p3=0,231

P=( 10253) (0,225 )2(0,544)⁵(0,231)³

P=(2525 ) (0,050625 ) (0,04764 ) (0,0123 )

P=0,07481

b; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os,todos sean !s!arios de #ari/!ana*

P=(1010)(0,544 )10(0,456)⁰

P=0,00227

c; 'C!(l es la robabilidad de $!e de = traba6adores $!e res!ltaron ositi%os,nin!no sea !s!ario de coca)na*

P=(1010)(0,775)10

P=0,07816

123.25 S!ona $!e ara !n e#bar$!e #!& rande de c/is de circ!itos

interados, la robabilidad de falla ara c!al$!ier c/i es "=" S!ona $!e sec!#len las s!osiciones en !e se basan las distrib!ciones bino#iales &enc!entre la robabilidad de $!e a lo #(s > c/is fallen en !na #!estraaleatoria de +"

n=20

p=0.10

P ( X ≤3 )=∑% =0

3

20C% (0.10 ) % (0,9 )20−%

P ( X ≤3 )=0,3486+0,7748+0,8178+0,5452

P ( X ≤3 )=0,8670


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139.5 Tres ersonas lanzan !na #oneda, & el disare6o aa los cafGs" Si todaslas #onedas tienen el #is#o res!ltado, se lanzan de n!e%o" Enc!entre larobabilidad de $!e se necesiten #enos de c!atro lanza#ientos"

Por #edio de la distrib!ci1n eo#Gtrica

P ( X


20/26

Por #edio de la aro.i#aci1n de Poisson 2

p= 1

1000

'=10000∗ p=10

P (6≤ X ≤8 )=∑ x=0

8e− ' ( ' ) x

x ! −∑

x=0

5e− ' ( ' ) x

x !

P (6≤ X ≤8 )=0.3328−0.06708

P (6≤ X ≤ 8 )=0.2657

139.20 Los ca#bios en los rocedi#ientos de los aero!ertos re$!ieren !nalaneaci1n considerable" Los )ndices de lleadas de los a%iones es !n factori#ortante $!e se debe to#ar en c!enta" S!ona $!e los a%iones e$!e4osllean a cierto aero!erto, de ac!erdo con !n roceso de Poisson, con !n)ndice de 7 or /ora" De esta #anera, el ar(#etro de Poisson ara las

lleadas en !n eriodo de t /oras es &=6 t "

a; 'C!(l es la robabilidad de $!e e.acta#ente c!atro aerona%ese$!e4as lle!en d!rante !n eriodo de !na /ora*"

P ( X =4 )=e−6 (6 )4

4 !

P ( X =4 )=0.1338

b; 'C!(l es la robabilidad de $!e al #enos c!atro lle!en d!rante !neriodo de !na /ora*

P ( X ≥ 4 )=1−∑ x=0

3e−6 (6 ) x

x !

P ( X ≥ 4 )=1−0.1512

P ( X ≥ 4 )=0.8488


21/26

c; Si de9ni#os !n d)a laboral co#o =+ /oras 'C!(l es la robabilidad de$!e al #enos 8@ e$!e4as aerona%es lle!en d!rante !n d)a*

&=6∗12

&=72

P ( X ≥75 )=1−∑ x=0

74e−72 (72 ) x

x !

P ( X ≥75 )=0.3773


22/26

158.5 Dada la %ariable : nor#al#ente distrib!ida con #edia =5 & des%iaci1nest(ndar +"@ enc!entre

a; P( X


23/26

0.91= −182.5

) =20.275

d; P(17


24/26

b; 'C!(l es la robabilidad de $!e el anillo de !n ist1n tena !ndi(#etro interior entre 0,08 & ="> cent)#etros*

) 1=9.97−10

0.03 =−1

) 2=10.03−10

0.03 =1

P (9.97"@ &=7"++ incl!si%e or /ora*

'=15.90

( =1.50

P(13.75


25/26

) 1=13.75−15.90

1.50 =−1.433

) 2=16.22−15.90

1.50 =0.2133

P (13.75


26/26

'=*+ 2

b; ( 2=

( *− )2

12

+ ( x2)=∫

* x

2

*− dx

+ ( x2)=( 1*− )[ x3

3 ] *

= *

3− 3

3(*− )

( 2=

*3− 3

3(*− )−( *+ 2 )

2

=4 (*2+ *+ 2 )−3(*2+2 *+ 2)

12

( 2=

*2−2 *+ 2

12

( 2=

( *− )2

12

ejercicios resueltos estadística y probabilidad

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