la probabilidad y estadística teoría-ejercicios resueltos

7/23/2019 La Probabilidad y Estadstica Teora-Ejercicios Resueltos

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PROBABILIDAD Y ESTADSTICAUNIDAD

TEMA SUBTEMA PGINA

ESTADSTICADESCRIPTIVA

VARIABLES YREPRESENTACIONES

Introduccin 4 1er.

Eval.Poblacin y muestras 7Variable discreta ycontinua

7

Redondeo de datos 9Notacin sistematiada 1Ci!ras si"ni!icati#as 11C$lculos 11

%ISTRIB&CIONES %E'REC&ENCIAS

Tabla de %istribucin de!recuencias

14

(E%I%AS %E TEN%ENCIACENTRAL

Promedios !4 !"#.Eval.(edia !$

(ediana !$(oda !9Cuartiles) deciles)*ercentiles

%4

Re"resin l+neal

PROBABILIDA

MEDIDAS DE DISPERSI&N

%is*ersin %'Ran"o %$%es#iacin media 4(Variana 4(%es#iacin t+*ica 4(Ran"o semi cuart+lico 4!Ran"o entre *ercentiles 4!

INTRO%&CCI,N Conce*tos b$sicos 47(odelos matem$ticos 4$


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PROBABILIDAD Y ESTADSTICA

D

ANALISIS %E '&NCIONES YRAPI%E- %E CA(BIO

Permutaciones ycombinaciones

49 %er.Eval.

%ia"rama de $rbol 49Proceso de contar (Combinaciones ((Teorema del Binomio '

PROBABILI%A% A.IO(/TICA Simbolo"+a b$sica '!

Probabilidad *arae#entos

'4

PROBABILI%A% PARAEVENTOS

S&CESIVOS

Probabilidad condicional 7(E#entos inde*endientes 7!E#entos de*endientes 77

Desarrollo Cronolgico de la estadstica

0*oca Contribuidor Contribucin

Grecia antigua Filsofos Ideas sobre el anlisis nocualitativo

Siglo XVII

Graunt, Petty Estudio de la estadsticavital

Pascal, Berno

Estudio robabilsticoacerca del ca!bio del "uego

Siglo XVII #$%oire, &alace,Gauss

'urva nor!al, regresinalicada sobre estudios deastrono!a

Siglo XIX

(uetelet )strno!o *ue ri!eroalic el anlisis estadsticoa biologa +u!ana

Galton

Estudia la variacingen-tica en +u!anos.usando regresin ycorrelacin lineal/

1


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Siglo XX

Pearsons

Estudio de la seleccinnatural usando correlacin,for!ando ri!erodearta!entos acad-!icosde estadstica, 0ournal deBio!-trica, ayudados delanlisis de '+i 'uadrada

Gossett .Student/

Estudio de rocesos, alertala co!unidad estadsticaacerca de roble!as cone*ue1as !uestras,resentando la rueba t$student

Fis+er

Evolucin biolgicaresentada resentacin de

)23V), resalta lai!ortancia del dise1oe4eri!ental

Siglo XX

5ilco4on

Bio*u!ico estudiesticidas, e*uivalente noara!-trico de dosruebas

6rus7al 5allis

Econo!ista *ue resent ele*uivalente no ara!-tricode )23V)

Sear!an

Psiclogo *ue resenta ele*uivalente no ara!-trico

del coeficiente decorrelacin

6endall

Estadista *ue resenta otroe*uivalente no ara!-tricodel coeficiente de

2


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correlacin

8u7ey

Estadista *ue resenta elrocedi!iento de laco!aracin !9ltile

#unnett

Bio*u!ico *ue estudia losesticidas, resenta unrocedi!iento deco!aracin !9ltile aragruos control

6euls )grno!o *ue resentauna rocedi!iento deco!aracin !9ltile

Prueba !uc+as venta"assobre clculos a !ano y encalculadora, esti!ula elfondo de la investigacin!ediante nuevas t-cnicas

UNIDAD I) ESTADSTICA

INTRODUCCIN

VARIABLES Y REPRESENTACIONES

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Estadstica)Es un !-todo cientfico *ue recopila, organiza, analiza e interpretalos datos obtenidos aratener conoci!iento de los +ec+os asados, ara rever situaciones futuras y to!ar decisiones en base ala e4eriencia

En el estudio de la estadstica, se diferencian dos tios de estadsticas:

Estadstica descritiva o deductiva y Estadstica inferencial o inductiva

Estadstica Descriptiva) E* a+,ella -,# #/0e2v# e* "e*-r2/2r -,a32a2vae3e ,3a *er2e "e5er*#3a*6 a32ale* # -#*a*6 *, e*,"2# 23-l,e la* -32-a* "e -#le-ar6 5re*e3ar6 a3al28ar e23er5rear "a#*.

Esta arte de la estadstica es la *ue estudiare!os en el resente curso de robabilidad y estadstica ;,ser la *ue nos au4ilie a resolver reguntas de investigaciones co!o las siguientes:

Estadstica Inferencia) E* a+,ella -,# #/0e2v# e* #/e3er 23#ra-2:3 *#/re ,3a 5#/la-2:3 #;r,5# ;ra3"e "e 5er*#3a* # -#*a*6 e"2a3e ,3 e:"2-# 5r#-e"22e3# "e l#* "a#* "e ,3a,e*ra #a"a "e l.

Este 9lti!o tio de estadstica no la utili=are!os en -ste curso, ero +aga!os un e"ercicio ara anali=arcul es la diferencia entre estos dos tios de estadstica:

) un gruo de ?@ alu!nos del 'B8) ;?A e4tensiones 0ungaeo le regunta!os


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d/ Eficiente #ebe roorcionar la !ayor infor!acin con el !enor costoDATOS: Son las !edidas, valores o caractersticas suscetibles de ser observadas y contadas

VARIABLE DISCRETA Y CONTINUAVARIABLES: Es una roiedad o caracterstica de alg9n evento, ob"eto o ersona, *ue uede tenerdiversos valores en diferentes instantes, seg9n las condiciones &a altura, el eso, el tie!o de reaccin y

la dosis de un !edica!ento, son e"e!los de variables&as variables son las +erra!ientas funda!entales de la estadstica y se clasifican de la siguiente !anera:

En lasVARIABLES CATEG&RICASlos valores ueden ser EXPESI32ES y ta!bi-n estas e4resionesueden ser sustituidas or S%B3&3S *ue nos er!iten diferenciar la categora a la *ue ertenece cadaindividuo, la cual est deter!inada or el valor de la variable

aga!os unos e"e!los:

Si *uere!os saber la forma en que se trasladan los estudiantes del 'B8)H0)EJ ara recibir susclases grualesK reguntare!os a cada estudiante del gruo, si usual!ente se trasladan de su casa a la

escuela ')%I2)2#3 o E2 )&GL2 VE'&3, or lo tanto los valores de la variable sern .'/Mca!inandoM o .V/ M Ve+culoM y se clasifican a los alu!nos en -stas dos categoras3tro e"e!lo:Si *uisi-ra!os conocer la materia que prefieren los estudiantes de una lista de N !aterias en donde seincluyen 'iencias Sociales, %ate!ticas, 'iencias 2aturales y Esa1olK En este caso la !ateria dereferencia uede to!ar cuatro valores: .'S/ *ue es 'iencias SocialesK .%/ *ue es %ate!ticas, .'2/'iencias 2aturales y .E/ ser Esa1ol Es claro ues *ue la variable, materia de preferenciaclasifica a losestudiantes en cuatro categoras3bserva *ue los valores *ue ueden to!ar las variables en los e"e!los anteriores son EXPESI32ES y*ue estas e4resiones +an sido sustituidas or S%B3&3S *ue nos er!iten diferenciar la categora a la*ue ertenece cada individuo, la cual est deter!inada or el valor de la variable &os e"e!losanteriores son VARIABLES CATEG&RICAS NOMINALES

Vea!os a+ora otros e"e!los de VARIABLES CATEG&RICAS:

Si desea!os saber si el contenido de la materia de Procesos de Produccin Pecuaria tiene relacin conlas prcticas de campo que se realizaron el semestre pasado y le edi!os la oinin a cada estudiante,los valores *ue uede to!ar la variable ueden ser: M2uncaM .)/, Maras vecesM .B/, M)lgunas vecesM .'/,'asi sie!reM .#/ y MSie!reM .E/ 3bserve *ue esta variable clasifica a cada uno de los estudiantes *uecontestaron la regunta, seg9n la oinin *ue +aya elegido

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3tro e"e!lo:Si *uere!os saber c!o se alimentan los estudiantes del CB!"#$!%E&, para relacionarlo con elaprovec'amiento escolar, reguntare!os cada se!ana a todos los estudiante del gruo, culesali!entos ingirieron durante la se!ana y clasifica!os la variable calidad de la alimentacinde la siguiente!anera: O%# al alu!no *ue se ali!ent !uy deficiente!ente, O# el de ali!entacin deficiente, O el deali!entacin regular, OB el de ali!entacin buena y O%B el de ali!entacin !uy buena 'on esto todos

los estudiantes del gruo, *uedarn distribuidos en cinco osibles categoras

3bserva *ue los valores de las variables ta!bi-n son EXPESI32ES, sin e!bargo, entre los valores deestos dos e"e!los 9lti!os +ay 2 3#E2 &os e"e!los anteriores SON VARIABLES CATEG&RICASORDINALES

Si co!rendiste, escribe con tus roias alabras:

SON LAS VARIABLES CUALITATIVAS EN LAS =UE PARA >CUANTI?ICARLAS@6 SE LES ASIGNAN NMEROS A LAS CATEGORAS

EEMPLO)

; %0ESEX3

@ 3%BE

; )J&

Q VE#E'3&3 #E 303S

A %)R2

N2EG3

CUANDO RECOGEN LA IDEA DE ORDEN. NO TIENE SENTIDO REALIAR OPERACIONES ARITMTICAS CON ELLAS.

EEMPLO) PRE?ERENCIAS SOBRE TRES OBETOS) % AL PRE?ERIDO6 ! AL SIGUIENTE Y 1 AL MENOS DESEADO

)+ora con las VARIABLES NUMRICAS

En las variables nu!-ricas, sus valores no son e4resiones sino 2L%E3S y es en donde ade!s tienesentido efectuar oeraciones arit!-ticas con ellos y co!ararlos

Si los valores de la variable son 2L%E3S E28E3S, se lla!ar NUMRICA DISCRETA, ero si losvalores de la variable ueden to!ar ')&(IE V)&3 2%I'3 en alg9n intervalo de n9!erosreales .con deci!ales o fracciones/, la variable ser NUMRICA CONTINUAaga!os unos e"e!los:Si *uere!os saber el n(mero de 'ermanos de los alumnos del CB!"#$!%E&) Sern desde cero enadelante y co!o es lgico no uede +aber !edio +er!ano o tres cuartos de +er!ano, or lo tanto lavariable n(mero de 'ermanoses una var2a/le 3,r2-a "2*-rea

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3tro e"e!lo ser el n9!ero de reguntas acertadas en un e4a!en de conoci!ientosK los a1oscu!lidos de los estudiantes, el n9!ero de !aterias *ue cursan en el *uinto se!estre, etc Ta *ue sonvariables nu!-ricas *ue ueden to!ar slo valores enterosVea!os or 9lti!o los e"e!los de las var2a/le* 3,r2-a* -#323,a*:Si *uere!os saber la estatura de los alumnos del quinto semestre con una aro4i!acin a !il!etros,tendra!os *ue utili=ar una regla de dos !etros y dividida en cent!etros y !il!etros &os valores

osibles de la variable sern todos los n9!eros ertenecientes a alg9n intervalo

3tro e"e!lo es El peso que tienen las personas que asisten a un evento ser ta!bi-n una variablenu!-rica continua, ues odrn esar 7ilos, con gra!os y +asta !iligra!os, deendiendo de la recisin*ue *uera!os los resultadosSi observas estas variables nu!-ricas ueden to!ar cual*uier valor en alg9n intervaloEERCICIO#escribe los valores *ue ueden to!ar las siguientes variables y escribe si -sta es, una variable categrica no!inalcategrica ordinal, nu!-rica discreta o nu!-rica contin9a:a/ El G-nero .se4o/ de cada alu!no del gruo de *uinto se!estre

Variable: 23%I2)&b/ &a cantidad de estudiantes en cada gruo de una escuela:

Variable: 2%I')c/ El Peso de los ni1os !e4icanos de C a1osVariable: 3#I2)&

d/ El da1o causado a los ul!ones de los "venes *ue fu!anVariable:

ACTIVIDADES DE APRENDIAE Ie/ 8io de !aterial con el *ue se construyen los tec+os de las viviendas de una localidad

Variable: UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUf/ El n9!ero de naran"as roducidas or cada naran"o en una +uertaVariable: UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUg/ &a cantidad de afecto o a!or *ue siente un ni1o or su !a!

Variable: UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU+/ El tie!o de reaccin de una sustancia *u!ica en el laboratorio

Variable: UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUREDONDEO DE DATOS#ado *ue estare!os dando nuestras resuestas finales con dos deci!ales y en ciertas ocasiones +astacon cuatro cifras deci!ales, necesita!os decidir c!o deter!inar el valor de los 9lti!os dgitosSi nuestro resultado final tiene ENTEROSredondeare!os a DOS DECIMALESPrimer e*emplo cuando el residuo es menor que +): AN@;A?@ AN@; es la resuesta otencial y A?@ elresiduoK co!o A?@ es !enor *ue @?, el 9lti!o dgito de la resuesta otencial er!anece sin ca!bio yla resuesta final es %4.1

-egundo e*emplo cuando el residuo es ma.or que +): AN@;DC; AN@; es la resuesta otencial y DC;el residuoK co!o DC; es !ayor *ue @?, al 9lti!o dgito de la resuesta otencial debe!os su!ar ; al9lti!o dgito, or lo *ue la resuesta correcta es %4.!

ercer e*emplo cuando el residuo es igual a +) . el (ltimo dgito de la respuesta potencial es i*par)NA@D?@@K NA@D es la resuesta otencial y ?@@ el residuoK co!o es i!ar el 9lti!o dgito de laresuesta otencial se AUMENTA 1, or lo *ue la resuesta correcta es 4%.$

Cuarto e*emplo cuando el residuo es igual a +) . el (ltimo dgito de la respuesta potencial es par;D@C?@@K ;D@C es la resuesta otencial y ?@@ el residuoK co!o es ar el 9lti!o dgito de la resuestaotencial NO *e a,e3a 1, or lo *ue la resuesta correcta es 17.'

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Si nuestro resultado final tiene uros DECIMALESredondea!os a CUATRO DECIMALESSiguiendo los !is!os rinciios anteriores, si tene!os una cifra de @D?NNDCQ su resuesta correcta es.7(4(en ca!bio si es @;;ACQ;; la resuesta correcta es .11%'si tene!os *ue @ANCA?@@ lo correctoser .%4'4K final!ente si tene!os @DDQW?@@ lo correcto ser .77!$.EERCICIOedondea las siguientes cifras:

A?CCCCCC UUUUUUUUUUUUUUUUUU @QCDW;W UUUUUUUUUUUUUUUUUUU

DQWDD?N UUUUUUUUUUUUUUUUUUUU @?NWC?D UUUUUUUUUUUUUUUUUUU

?W?A?DW UUUUUUUUUUUUUUUUUUU @N?CWCC UUUUUUUUUUUUUUUUUUU

D;?C UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU @@@?AQ UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

ACTIVIDADES DEAPRENDIAE DE IIedondea las siguientes cifras:QQCCCCCC UUUUUUUUUUUUUUUUUU @DC?N?W UUUUUUUUUUUUUUUUUUU

?DWDD?N UUUUUUUUUUUUUUUUUUUU @@CCA?D UUUUUUUUUUUUUUUUUUU

AWDCQQ?? UUUUUUUUUUUUUUUUUUU @AWDDWC? UUUUUUUUUUUUUUUUUU

D;?C UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU @@@?AQ UUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

NOTACIN SISTE$ATI+ADAEn estadstica, or lo general, traba"a!os con datos agruados resultantes de !edir una o !s variables'on gran frecuencia, los datos se obtienen de las !uestras y en ocasiones de las oblaciones Para fines!ate!ticos, general!ente se utili=a la letra !ay9scula X y a veces la T, ara reresentar la.s/variable.s/ )s, si estuvi-ra!os !idiendo la edad de los su"etos, +ara!os *ue X reresente la variableOedad Si e4isten !uc+os valores de la variable agrega!os un subndice al s!bolo X Ilustra!os este

roceso en la siguiente tabla, la cual contiene las edades de seis su"etos:NFer#"e *,0e#

S/#l#"el "a#

Val#r "el "a#6e"a"e*

; X; WQ XQ ;@A XA DN XN C? X? ;@C XC ;Q

En este e"e!lo reresenta!os la variable Oedad !ediante el s!bolo X, ade!s, 2 reresenta eln9!ero total de datos *ue +ay en la distribucin En este e"e!lo, 2 C, 'ada uno de los seis datos

reresenta un valor esecfico de X #istingui!os los seis datos diferentes, al agregar un subndice a X,corresondiente al n9!ero de su"eto *ue tiene el valor dado )s, el s!bolo X; corresonde al valor dedato W, XQal valor del dato ;@ +asta el XCal ;Q En general, ode!os referirnos a un 9nico dato de ladistribucin X co!o X i, donde iuede asu!ir cual*uier valor de ; a 2, seg9n el dato *ue *uera!osdesignar En resu!en:

X o T reresenta la variable !edida2 reresenta el n9!ero total de su"etos o datosXies el i"-si!o dato, donde iuede variar de ; a /

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CI?RAS SIGNI?ICATIVAS)En la estadstica anali=a!os datosK este anlisis i!lica !uc+os clculos !ate!ticos 'on !uc+afrecuencia tene!os un residuo deci!al, or e"e!lo, desu-s de reali=ar una divisin 'uando estoocurre, necesita!os decidir la cantidad de cifras deci!ales *ue utili=are!os ara el residuoEn las ciencias fsicas, or lo general, se utili=a el !is!o n9!ero de cifras significativas *ue tienen losdatos en bruto, Por e"e!lo, si !edi!os el eso de cinco su"etos +asta tres cifras significativas .;DA, ;?C,

;CQ, ;C?, y ;D? libras/ y *uere!os calcular el ro!edio de estos esos, nuestra resuesta debe contenerslo tres cifras significativas )s

16621665

831

5

175165162156173 ===++++== ,N

XX

&a resuesta de ;CCQ se redondea a tres cifras significativas, dando un resultado final de ;CC libras Porvarias ra=ones y !as or continuar una tradicin, en el resente curso de estadstica utili=are!os #3Scifras deci!ales redondeadas cuando el resultado tenga E28E3S y ')83 cifras deci!ales cuando23 EXIS8)2 E28E3S, sin i!ortar las cifras significativas de los datos en bruto )s cuando se ida

*ue el resultado tenga dos cifras deci!ales, debe!os reali=ar los clculos inter!edios con al !enos')83 cifras deci!ales y redondear la resuesta final a dos cifras

C,LCULOSna de las oeraciones *ue se reali=an con !s frecuencia en estadstica consiste en su!ar todos o unaarte de los datos *ue ertenecen a una distribucin 'o!o no es rctico escribir Osu!a de todos losdatos cada ve= *ue se necesite e!lear esta oeracin, articular!ente en las ecuaciones, se utili=auna abreviatura si!blica La lera ;r2e;a aF*-,la *2;a H J 23"2-a la #5era-2:3 "e *,a#r2a.&afrase algebraica utili=ada ara la su!atoria es:

=

N

i

iX

1

Esta e4resin se lee co!o Ola su!a de la variable X dei ; a / &as notaciones *ue aarecen arriba ydeba"o del signo de la su!atoria indican los datos *ue deben incluirse en la oeracin El t-r!ino *ueaarece deba"o del signo de la su!atoria nos indica el ri!er dato en esta oeracin, y el t-r!ino *ue seencuentra arriba de dic+o signo indica el 9lti!o dato )s, esta frase se1ala *ue debe!os su!ar los datosX, co!en=ando con el ri!ero y concluyendo con el /H-si!o dato

)s

=

++++=N

i

Ni XXXXX1

321 ...

Ecuacin de una su!atoria

)l Oalicar la su!atoria a los datos de las edades de la tabla anterior, tene!os *ue:

=

+++++=N

i

i XXXXXXX1

654321

W Y ;@ Y D Y C Y ;@ Y ;Q (%

9


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'uando la su!atoria se reali=a con todos los datos .de ; a //, es frecuente *ue la roia frase de estaoeracin se abrevie, o!itiendo las notaciones arriba y aba"o del signo de la su!a, al igual *ue elsubndice i )s

=

N

i

iX

1

Se abrevia con frecuencia co!o

i

iX

En el e"e!lo anterior,

i

iX

(%6esta e4resin indica *ue la su!a de todos los datos X es ?A3bserva *ue no es necesario *ue la su!atoria se realice de ; a /, Por e"e!lo, odra!os *uerer *,ar*:l# el *e;,3"#6 er-er6 -,ar# +,23# "a# ecuerda *ue la notacin deba"o del signo de lasu!atoria nos dice dnde co!en=ar la su!a, y el t-r!ino arriba de dic+o signo nos dice dndeter!inarla

tili=ara!os el s!bolo

=

N

i

iX

2

Para los datos anteriores, tene!os *ue:

3310671054322

=+++=+++==

XXXXX

N

i

i

esolva!os algunos e"e!los:

=

3

1i

iX

Para los siguientes datos, deter!ine X; ;@, XQ ;Q, XA ;A, XN ;W

Por lo tanto:

351312103

1

=++==i

iX

Para los siguientes datos, deter!ine

+4

2

3iX

K X;Q@, XQQN, XAQ?, XNQW, X?A@, XCA;

Por lo tanto:

3)282524(34

2

+++=+ iXDD

Para los siguientes datos, deter!ine

+4

2

3iX

K X;Q@, XQQN, XAQ?, XNQW, X?A@, XCA;

Por lo tanto: +4

23iX

( ) ( ) ( ) =+++++ 328325324

WC

10


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E4isten otros dos tios de su!atorias *ue vere!os con frecuencia en estadstica y son:

=

N

i

X1

2

y

=

N

i

X

1

2)(

)un*ue se arecen, son distintos y, en general, roorcionan diferentes resuestas

El s!bolo

=

N

i

X1

2

.suma de los cuadrados de los datos 0/ indica *ue ri!ero debe!os elevar ecuadrado de los datos X y luego su!arlos )s:,

22

3

2

2

2

1

2.....

NXXXXX ++++=

El s!bolo

=

N

i

X

1

2)(

, o .el cuadrado de la suma de los datos 0/, indica *ue ri!ero debe!os su!ar losdatos X y luego elevar al cuadrado la su!a resultante )s,

NXXXXX ++++= .....)( 3212

&a confusin es !uy co!9n co!eterlo, sobre todo cuando se calculan las desviaciones estndar, eso loanali=are!os un oco !as adelante

EERCICIOPri!er e"ercicio si X;?K XQWK XACK XNNK X?AK XCDK XD?

=

=7

3i

iX

=+=

5

1

)12(i

iX

=

=+4

2

205

i

iX

Segundo e"ercicio si X;;QK XQ;DK XA;AK XN;CK X?;?K XCQ@K

11


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==

8)(6

2

2

i

iX

=

=+5

1

2 510)(i

iX

ACTIVIDADES DE APRENDIAE IIIPr2er e0er-2-2#si X;AK XQCK XAWK XNQK X?K XC;K XD?

=

=7

3i

iX

=+=

5

1

)12(i

iX

=

=+4

2

205i

iX

Segundo e"ercicio si X;;@K XQDK XAAK XN;CK X?QK XCQQK

==

8)(6

2

2

i

iX

=

=+5

1

2510)(

i

iX

12


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TABLA DE DISTRIBUCI&N DE ?RECUENCIAS

&a 8abla de #istribucin de #atos o 8abla de #istribucin de Frecuencias, ade!s de ser un instru!ento9til ara resu!ir un con"unto de datos obtenidos en una investigacin, es una +erra!ienta !uy i!ortantecon *ue cuenta la estadstica ara reali=ar las observaciones de !anera rida y sencillaPara construir dic+a 8abla reali=are!os siete asos y ara tu !e"or arendi=a"e, desarrollare!os une"e!lo con una variable nu!-rica discreta, ya *ue desea!os conocer el 1tiempo en minutos queemplearon para estudiar2?@ estudiantes del 'B8) ;?A en la !ateria de Estadstica #escritiva

PASO UNO) TOMA Y ORDENACI&N DE DATOS)

&a recoilacin de los datos consiste en asistir al gruo de estudiantes y obtener los valores !edianteuna regunta abierta sobre el tie!o en !inutos *ue e!learon ara estudiar el te!a de estadstica o sidesconfia!os, ode!os !edir directa!ente el tie!o durante las asesoras *ue e!learon cada uno de

los alu!nos al estudiar estadstica En resu!en ara recoilar los datos debe!os MasistirM al lugar dondeva!os a Zto!arM o MlevantarM los datos Esto uede ser !ediante entrevistas, cuestionarios, observacioneso !ediciones directas a los individuos o cosas *ue corresonda nuestra variableSuonga!os *ue los ?@ datos obtenidos en nuestra variable: tiempo de estudio de la materia deestadstica en minutos fueron los siguientes:

D? C@ W@ CD W; D; DN CA DQ D@

DC CQ WQ CA W; CC DW CW W@ DN

CD DN WN D@ CA DD CW WQ DN DQ

DC CN D? W@ C W? D; D C@ DN

WA D? CD DQ DW CN DD W; DC D@

&a 3rdenacin de los datos consiste en colocar los datos to!ados en orden -re-2e3e .de !enor a!ayor/ o "e-re-2e3e.de !enor a !ayor/ 2osotros los va!os a ordenar en for!a creciente y sobre todoMcontandoM y ManotandoM los *ue se reitan, *ue ser la frecuencia3rdenacin de datos:

8ie!o e!leado en !inutos 'onteo Frecuencia

C@ [[ QCQ [ ;CA [[[ A

CN [[ QCC [ ;CD [[[ ACW [[ QC [ ;D@ [[[ AD; [[ QDQ [[[ A

DISTRIBUCIONES DE -RECUENCIAS

13


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DN [[[[[ ?D? [[[ ADC [[[ ADD [[ QDW [[ QD [ ;W@ [[[ AW; [[[ AWQ [[ QWA [ ;WN [ ;W? [ ;T#al (

Es i!ortante *ue la su!a total sea igual al n9!ero de datos *ue to!a!os en la investigacinPASO DOS: RANGOEl rango o recorrido es la diferencia *ue +ay entre el dato !ayor y el !enor na ve= *ue se ordenaronlos datos en for!a creciente obtene!os el rango

W? *ue es el dato !ayor C@ *ue es el dato !enorQ? ser el rango o recorrido

PASO TRES: INTERVALOS DE CLASE'uando se tiene un gran n9!ero de datos, se reco!ienda distribuirlos en clases o categoras lla!adasintervalos de clase o celdas Para decidir la cantidad de intervalos de clase *ue se van a utili=ar .on9!ero de clases/ y la a!litud de los intervalos .o anc+o del intervalo/ se siguen las siguientesoeraciones:Pri!ero el 2L%E3 #E '&)SES o I28EV)&3S se obtienen con la fr!ula:= K 1 %.%!! Hl#;. 3Jdonde n es el n9!ero de datos y log Es el logarit!o de dic+o n9!ero Siguiendoel e"e!lo tene!os:( ;Y AAQQ .log ?@/ observa *ue obtendre!os el logarit!o de ?@ En una calculadora el logarit!o de

?@ es ;CWD edondeando su valor ser ;D@ Este valor lo !ultilica!os or AAQQ y nos da en lacalculadora ?CN (ue redondeado ser ?CN y final!ente le su!a!os ; a dic+a cantidad arro"ndonos CCN Si el n9!ero *ue nos arro"e la for!ula tiene su ri!era deci!al igual o !ayor *ue ? se au!enta elentero )s en nuestro e"e!lo tene!os *ue CC sera igual a 7En resu!en y de acuerdo a la fr!ula el 3Fer# "e 23erval#* *er< "e 7PASO CUATRO) ANCO DEL INTERVALO: Se divide el rango entre el n9!ero de intervalos araobtener la anc+ura de cada intervalo o celda

ango n9!ero de intervalos de clase 7

25

A?D redondeando ser igual a NPor lo tanto el anc+o del intervalo ser de N

esulta claro *ue si lo anc+o del intervalo es de N y el n9!ero de intervalos son DK .N/ .D/ QW se cubrir

todo el rango *ue es de Q?#ebe!os +acer uso de los L2e* reale* I3er2#re*.&I/, *uitando @? al dato !s c+ico *ue ennuestro caso es de C@ !inutos Por lo tanto ser de ?? el &I &uego a este se le su!a lo a3-# "e23erval# +,e e* "e 4 resultando CA? *ue es el L2e Real S,5er2#r.&S/ or lo *ue a+ora sode!os decir *ue los dos datos CN se debern anotarse en el Qdo Intervalo *ue iniciara en CA? +astaCD? co!o l!ite real suerior

PASO CINCO: TAMAO DEL INTERVALO DE CLASE

14


16/75


)+ora si ode!os construir cada uno de los intervalos con sus l!ites reales inferiores y li!ites realessuerioresecuerda *ue el anc+o de cada intervalo es de N y *ue en total son siete .D/ intervalos de acuerdo a lasoeraciones reali=adas anterior!ente:

I28EV)&3S #E '&)SE& I & S

?? CA?CA?

D;?D;?

D?WD?

O/*erva-2:3 I5#ra3e: Si te fi"as detenida!ente en los intervalos y los datos ordenados del cuadroanteriorK los dos datos de CA? *uedaran co!rendidos en el ;er y Qdo Intervalo, es decir, uedenanotarse en el ri!ero o en el segundo intervalo, ta!bi-n los D;? en el Aer o Nto intervaloK ero se sabe*ue una observacin dada .los CA? y D;?/ deben colocarse en uno y sola!ente uno de los intervalos de

clasePASO SEIS: MARCA DE CLASE&a !arca de clase es el unto !edio del intervalo de clase y se obtiene su!ando los l!ites realesinferiores !s los l!ites reales sueriores, dividiendo el resultado entre dos

ag!oslo racticando &lena los esacios *ue faltan Se su!a2

5.635.59 +

2

123

C;?Intervalos de 'lase

%)') #E '&)SE&I &S .??, CA?\ C;? .CA?, CD?\

.CD?, D;?\ .D;?, D??\ .D??, D?\ .D?, WA?\ .WA?, WD?\ W??PASO SIETE: ?RECUENCIA ABSOLUTA Y RELATIVA.La ?re-,e3-2a a/*#l,ade clase: es el total de observaciones o datos *ue ertenecen a cada claseLa ?re-,e3-2a Rela2va, es la frecuencia *ue se reresenta con un 8anto or 'iento .]/ y se obtiene aldividir la frecuencia absoluta de un intervalo de clase entre el total de frecuencias de todas las celdas orcien &a frecuencia elativa se e!lea ara !ostrar la roorcin o orcenta"es de los valores incluidosen los intervalos de clase, or lo *ue ta!bi-n se le lla!a #istribucin Porcentual

#el ;er y Qdo IntervalosK Frecuencia elativa de clase 50

6

@;Q 4 ;@@ 1! Q

#el Cto intervaloK &a Frecuencia elativa 50

9

@;W 4 ;@@ 1$ Q'on todos los datos anteriores, final!ente construya!os nuestraTa/la "e "2*r2/,-2:3 "e re-,e3-2a* "e ,3a var2a/le 3,r2-a.Tie*p! dedicad! a est%diar a *ateria de estadstica/

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17/75


Intervalos de 'lase &I &S

%arca de'lase

Frecuencia)bsoluta

Frecuenciaelativa .]/

.?? , CA?\ C;? C ;Q .CA? , CD?\ C?? C ;Q .CD? , D;?\ C? W ;C .D;? , D??\ DA? ;; QQ .D?? , D?\ DD? W ;C .D? , WA?\ W;? ;W .WA? , WD?\ W?? Q NTOTAL K ( 1Q

PASO OCO) DISTRIBUCI&N DE ?RECUENCIAS ACUMULADAS)s se lla!a al n9!ero de observaciones *ue ertenecen aun deter!inado intervalo Para obtener lasfrecuencias de cada clase es necesario contabili=ar las observaciones, valores o casos ertenecientes acada intervalo, utili=ando el cuadro donde ordena!os los datos *ue est en la gina ;A Siga!os PracticandoIntervalos de clase %arca

declasevi

Frecuencia)bsoluta

Frecuenciaelativa .]/

Frecuenciaacu!uladaabsoluta

Frecuenciaacu!uladarelativa&

Inferior&Suerior

fi i

.?? CA?\ C;? C ;Q C 650

x100 ]

.CA? CD?\ C?? C ;Q CYC;Q 1250

x100 ]

.CD? D;?\ C? W ;C ;QYWQ@ 2050

x100 ]

.D;? D??\ DA? ;; QQ.D?? D?\ DD? W ;C

.D? WA?\ W;? ;W

.WA? WD?\ W?? Q NTOTAL K ( 1Q ( 1Q'on los datos anteriores ter!ina!os los co!onentes rinciales del cuadro *ue ta!bi-n recibe elno!bre de 3!B4! DE DI-%IB$CI5/ DE 6%EC$E/CI!-3 or lo *ueTa ode!os obtener algunas '32'&SI32ES de nuestra investigacin'uando las variables son cuantitativas o nu!-ricas sean discretas o continuas la reresentacin grfica!s co!9n es el IS83G)%) #E FE'E2'I)S y el P3&G323 #E FE'E2'I)SISTOGRAMA DE ?RECUENCIAS:Este tio de grfica consiste en una serie de rectngulos tra=ados en un siste!a de coordenadas

cartesianas o rectangulares Para reali=ar el +istogra!a es necesario agruar los datos en 23erval#* "e-la*e, con sus l!ites reales inferiores y sueriores, ade!s de su re-,e3-2a a/*#l,a&os rectngulos tienen sus bases sobre el e"e +ori=ontal con centros en las ar-a* "e -la*e y sulongitud es igual a la anc+ura de los intervalos de clase &a altura de cada rectngulo corresonde al valorde la frecuencia *ue tenga el intervalo *ue reresenta En -stos +istogra!as los rectngulos se tra=anadyacentes entre si#e acuerdo a los datos de la M8abla de distribucin de frecuenciasM del e"e!lo .ag;C/, dondeanali=a!os el tiempo que dedican a estudiar la materia de estadstica + estudiantes, va!os a construirsu istogra!a de Frecuencias

16


18/75

F

R

E

C

U

E

N

C

I

A

S

FR

E

C

U

E

N

C

I

A

S


2*#;raa) iempo en minutos dedicados a estudiarEstadstica por + estudiantes

;N H

;Q H

;@ H

W H

C H

N H

Q H

@ H?? CA? CD? D;? D?? D? WA? WD?

'1.( INTERVALOS DE CLASE.con sus &I y &S/

S2 #/*erva* e3 el e0e ver2-al "e la* Y6 *e ,/2-a3 la* re-,e3-2a* a/*#l,a*6 2e3ra* +,e e3 ele0e #r28#3al "e la* *e ,/2-a3 l#* 23erval#* "e -la*e e3 "#3"e -a"a l2e real *,5er2#r-#rre*5#3"e al l2e real 23er2#r "el *2;,2e3e 23erval#. &as !arcas de clase H'1.(/ aun*ue eser!itido no escribirse en el +istogra!a, se ueden ubicar ya *ue corresonde al unto !edio de cadaintervalo'o!o +abrs observado, el +istogra!a nos ayuda a !ostrar la frecuencia absoluta con *ue se resentanalgunos datosK otra for!a de grfica son los

;N H

;Q H

;@ H

W H

C H

N HQ H@

C;? C?? C? DA? DD? W;? W??

%)')S #E '&)SE .untos !edios/POLGONOS DE ?RECUENCIA&os olgonos de frecuencia ta!bi-n se construyen a artir de datos con variables cuantitativas onu!-ricas y se uede reali=ar a artir de un +istogra!a si se deseana ve= tra=ado el +istogra!a, se locali=an los 5,3#* e"2#* # ar-a* "e -la*een la arte sueriorde cada uno de los rectngulos o intervalos de clase Se tra=an seg!entos de recta *ue unen cada unto!edio de cada uno de los intervalos

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19/75


Este olgono se encierra uniendo con el e"e +ori=ontal en el unto *ue corresonde al unto !edio de unrectngulo i!aginario y adyacente al +istogra!a, esto se +ace en los e4tre!os i=*uierdos y derec+os delolgonoEn el +istogra!a se locali=an los untos !edios en la arte suerior de cada intervalo de clase y en el e"e+ori=ontal, se indican las !arcas de clase o untos !edios de cada intervalo'onstruya!os un olgono

;N H P#l;#3# "e ?re-,e3-2a: iempo en minutos dedicados a estudiar Estadstica por + estudiantes

;Q H

;@ H

W H

C H

N H

Q H

@

C;? C?? C? DA? DD? W;? W??%)')S #E '&)SE .Puntos !edios/

Para tra=ar el olgono de frecuencia uni!os con rectas los untos !edios o !arcas de clase con sufrecuencia absoluta resectiva, en donde estaban la arte alta de los rectngulos del +istogra!aCONCLUSIONES8e recorda!os *ue los ?@ datos son del tie!o en !inutos dedicado a estudiar estadstica or los

estudiantes Si anali=a!os detenida!ente sus datos, ode!os ver *ue el !ayor n9!ero de casos.frecuencia absoluta/ es ;; y dedican de D;? a D?? !inutos en estudiar .su intervalo/ ero ade!sreresentan el !ayor orcenta"e con un QQ] del total'aso contrario, son lo *ue dedican de WA? a WD? !inutos en estudiar ues 9nica!ente son Q yreresentan un N ] del totalSi observa!os en global el cuadro, ode!os decir *ue la !ayora de los estudiantes .&os intervalos A,N y?/ dedican de CD? a D? !inutos en estudiar y reresentan el ?N ] del total

)nali=ando otros datos odre!os obtener !s conclusiones de nuestro traba"o e ir descubriendo loi!ortante de nuestra investigacin %as adelante arenders a reali=ar G^FI')S con los datosobtenidos de la tabla de frecuencias (ueda!os endientes ,

EERCICIO;/ siguiendo los oc'o pasos para una variable num7rica, ordena los datos de la siguiente variable yreali=a las oeraciones corresondientes +asta obtener co!leta la Mtabla de distribucin de frecuenciasMde las OEstaturas de estudiantes2con aro4i!acin de un cent!etro #atos:

;NN ;N? ;DC ;CD ;? ;DQ ;C; ;NA ;C? ;?C ;?A;?@ ;CA ;W@ ;CN ;?C ;CN ;DA ;?A ;?N ;?@ ;D?;N ;CN ;NC ;CC ;D ;?W ;?Q ;C ;CD ;C? ;DA;?; ;D; ;CN ;C? ;NW ;?N ;N ;D? ;?A ;DC ;NC;CQ ;D@ ;C@ ;C ;?W ;? ;D? ;? ;C@ ;W@ ;W@

'REC&ENCI

AS

18


20/75


)*u reali=a los siete asos y tus clculos correcta!ente +asta llenar tu 8abla de distribucin defrecuenciasPaso ; 3rdenacin de datosPaso Q ango etcTa/la "e "2*r2/,-2:3 "e re-,e3-2a* "e ,3a var2a/le 3,r2-a

Intervalos de 'lase

&I &S

%arca de

'lase viFrecuencia

)bsoluta fiFrecuencia

elativa .]/ iFrec )cu!

absoluta

Frec )cu!

relativa

TOTAL K#ibu"a en -sta +o"a el IS83G)%), el P3&IG323 #E FE'E2'I)S y la 30IV) IS83G^%):1Estatura de estudiantes2

P3&G323 #E FE'E2'I)S 1Estatura de estudiantes2&) 30IV): 1Estatura de estudiantes2PI2'IP)&ES '32'&SI32ES:;UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUQUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUAUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

ACTIVIDADES DE APRENDIAE IV;/ siguiendo los oc'o pasos para una variable num7rica, ordena los datos de la siguiente variable y reali=a las

oeraciones corresondientes +asta obtener co!leta la M a/la "e "2*r2/,-2:3 "e re-,e3-2a*M de lasO)ciertos en un E4a!en de ad!isin a la niversidad de estudiantes2 #atos:

;?N ;C? ;?C ;C@ ;? ;D@ ;?; ;CA ;CC ;CC ;?A;C@ ;DA ;C@ ;C; ;CC ;CQ ;?A ;CA ;?C ;D@ ;C?;? ;CW ;N ;CA ;C ;?D ;CQ ;? ;CW ;?? ;CA;C; ;C; ;DN ;C@ ;CW ;?Q ;C ;C? ;?C ;CC ;CC;CQ ;C@ ;D@ ;CA ;CW ;?D ;C? ;? ;CA ;C@ ;C@

)*u reali=a los siete asos y tus clculos correcta!ente +asta llenar tu 8abla de distribucin de frecuenciasPaso ; 3rdenacin de datosPaso Q ango etcTa/la "e "2*r2/,-2:3 "e re-,e3-2a* "e ,3a var2a/le 3,r2-a

Intervalos de 'lase&I &S

%arca de'lase vi

Frecuencia)bsoluta fi

Frecuenciaelativa .]/ i

Frec )cu!absoluta

Frec )cu!relativa

TOTAL K

19


21/75


#ibu"a el IS83G)%), el P3&IG323 #E FE'E2'I)S y la 30IV)IS83G^%): 1Estatura de estudiantes2

P3&G323 #E FE'E2'I)S 1Estatura de estudiantes2

30IV): 1Estatura de estudiantes2

PI2'IP)&ES '32'&SI32ES:;UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUQUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUAUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

%ISTRIB&CI,N %E 'REC&ENCIA RELATIVA AC&(&LA%A

Ahora estudiemos como se construye la D!"#$%&' D *#&%&A A&%+%,ADA y su -r/ica LAO1IVAadems de la *#&%&A #,A"A A&%+%,ADA.,a /recuencia total de todos los alores menores ue el lmite real suerior de un determinado interalo de clase esconocida comofrecuencia acumulada incluyendo hasta este interalo. ,o anterior lo comrenders meor si nosayudas a resoler el eemlo ue si-ue!i tomamos los datos otenidos al medir el tiempo en minutos que emplearon los estudiantes en ir de su casa a laescuela. !e construye la si-uiente tala de distriuci:n de /recuencias y una columna ue corresonde a ladistriuci:n de !recuencia acumulada y otra a la !recuencia relati#a acumulada2&oncluyen los datos ue /altan en la /recuencia acumulada de clase de tal /orma ue sumen un total de 243. n lacolumna de /recuencia acumulada relatia tami;n calcula los esacios ue /altan hasta ue oten-as el 100

6

4

24

N2N2

N4

)N24(N2

N424

===

=

n N n 1 !% 4r Q

Seran: 1! 1% 14 !% !4%4

!1 %1 %! 41 4! 4% E*#* *e el223a3 5#r la 2*a ra8:3 a3er2#r.

Es !uy i!ortante *ue te fi"es *ue a*u NO 23ere*a el #r"e3en *ue seleccionan los dos n9!eros .laare"a/ de entre los cuatro n9!eros .;,Q,A,N/ y resulta *ue +ay C co!binaciones

E"e!lo: 'on una arte de su ri!er salario, un alu!no de *uinto se!estre decide co!rar 8ES de losSIE8E discos co!actos *ue +a sacado a la venta el gruo %)2)


55/75


r A

8iene A? co!binaciones al co!rar tres discos de los siete

E"e!loK


56/75


2) 'o!binacionesa b c d

; ; Q A NQA

N?

E3 el *e;,3"# 5a*#, colocare!os el segundo arreglo *ue reresentara el toe de los arreglos *ueinician con los ele!entos ;,Q y A 8a!bi-n cubri!os el tercer arreglo con la colu!na


57/75


n 29!ero total de ele!entos en el con"unto

Para co!robar -sta for!ula con el e"e!lo anterior tene!os: 'E . ? / . N / Q@ N ? ?

3bserva!os *ue cada ele!ento .;,Q,A,N,?/ en el esacio!uestral se reite cuatro vecesK esto es, +ay cuatro ;, cuatro Q,cuatro A, cuatro N y cuatro ?

En resumen;

Es *%2 i*p!rtante G%e rec%erdes G%e en %na per*%taci#n SI i*p!rta e !rden 2 se reaci!na as%cesi!nes !rdenadasH pareFas !rdenadas0 tradas !rdenadas0 etc9 En as c!*"inaci!nes NOi*p!rta e !rden 2 se reaci!nan c!n a seecci#n de %n s%"c!nF%nt! de %n c!nF%nt! dad!.

ACTIVIDADES DE APRENDIAE IV')&'&) &)S P3SIB&ES F3%)S #E '3%BI2)'IR2 P3SIB&ES T E&)B3) &3S ESP)'I3S%ES8)&ES

1JSea X a,b,c,d,e f, un con"unto con cinco ele!entos gen-ricos 'alcule a/ el n9!ero de osiblesarreglos to!ando "#*de ellos a la ve=, // elabore el esacio !uestral de esos arreglos

!JSea 5 ;,Q,A,N,?,C, un con"unto con cuatro ele!entos gen-ricos 'alcule a/ el n9!ero de osiblesarreglos to!ando -,ar#de ellos a la ve=, // elabore el esacio !uestral de esos arreglos

%JSea J a,b,c,d,e,f , un con"unto con cinco ele!entos gen-ricos 'alcule a/ el n9!ero de osibles

arreglos to!ando -,ar#de ellos a la ve=, // elabore el esacio !uestral de esos arreglos

ACTIVIDADES DE APRENDIAE VEn cada uno de los siguientes roble!as, decide si se trata de una er!utacin o de una co!binacin yobt-n su resultado correcto;/ 'alcular el n9!ero de alabras de N letras, *ue se ueden for!ar con ;Q letras diferentes, aun*ue nonecesaria!ente tengan alg9n significado

Per!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUU

esolver:Q/ 'alcular el n9!ero de alabras, *ue ueden for!arse seleccionando ? consonantes y A vocales entre;@ consonantes y N vocales, no necesaria!ente con significado

Per!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUUesolver:

A/ 'alcular de cuntas !aneras diferentes ueden colocarse C libros en un libreroPer!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUU

esolver:

56

2) 'o!binaciones

a b c d ; ; Q A NQ ; Q A ?A ; Q N ?N ; A N ?? Q A N ?


58/75


N/ n ar*ue de diversiones tiene QN recorridos distintos

Per!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUUesolver:

?/ na bolsa contiene ? bolas ro"as nu!eradas del ; al ? y D bolas a=ules nu!eradas del ; al D


59/75


)3) SI PE#ES> )2I%3 ESE&VE&3

%ate!tica!ente el bino!io de 2ehton es el siguiente:

nnn

nnn"

"xnnn"xnn"nxx"x ++

+

++=+

...

)3)(2(1

)2)(1(

)2(1

)1()(

33221

El tringulo de 8)8)G&I) "unto con el tringulo de P)S')&, facilitan el clculo de los -#e2-2e3e* "e la5#e3-2a "e ,3 /23#2# Ho coeficientes bino!iales/ observa:

8I)2G&3 #E P)S')&

. 4 Y y /@ ri!era fila ;

. 4 Y y /; ; Y ;

. 4 Y y /Q ; Y ! Y ;

. 4 Y y /A ; Y A Y A Y ;

. 4 Y y /N ; 4 C N ;

. 4 Y y /?

.4 Y y /C

3bserva *ue si su!as dos coeficientes adyacentes, su su!a es el coeficiente entre ellos una fila aba"oor e"e!lo, ara obtener el Q de la tercer fila su!a!os los dos 23S.;Y;Q/ de la segunda filaK araobtener el N de la *uinta fila su!a!os el 23 y 8ES .; YA N/

Prearados a+ora si con todo este conoci!iento, ode!os escribir fcil!ente 83#3 E& #ES)3&&3de los bino!ios .4Yy/?K .4Yy/Cy .4 Y y /D

.4 Y y /? UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

Por suuesto *ue si desea!os desarrollar la se4ta otencia del bino!io, ode!os +acerlo utili=ando loscoeficientes de la *uinta otencia y as sucesiva!ente Fcil o no>

. 4 Y y /C UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

.4 Y y/D UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

P R O B A B I L I D A D A I O $ , T I C A

58


60/75

P (B)P (A)

Eventos mutuamente e!"u#entes

$

%

P (A) =

P (A)

Eventos mutuamente e!"u#entes

$ &'


&os roble!as de robabilidad en situaciones rcticas, son sucesos o eventos co!uestos *uere*ueriran ara su solucin la enu!eracin de !uc+os untos !uestrales, rocedi!iento lento ycansadoK de a+, *ue +aya un segundo rocedi!iento *ue se lla!a co!osicin de sucesos orobabilidad a4io!tica Esta co!osicin se for!a con dos o !s sucesos y se reali=a con la 2IR2 ocon la I28ESE''IR2 #E '320283S o con la co!binacin de a!bosK se basa en: la clasificacin delos sucesos, las relaciones entre ellos y tres leyes: &) )#I8IV) .o regla de la su!a/, &) %&8IP&I')8IV).o regla del roducto/ T &) #E SS8)''IR2 . o regla de la diferencia/'o!o esta!os refiri-ndonos a la robabilidad a4io!tica, es conveniente recordar *ue un a4io!a es unaroosicin !ate!tica evidente or s !is!a *ue no re*uiere de!ostracin

PROBABILIDAD DE UNIONES Y EVENTOS COMPLEMENTARIOSna ve= *ue ya nos +e!os fa!iliari=ado con los eventos y sus relaciones va!os a describir algunasreglas sencillas *ue nos er!itan deter!inar la robabilidad de *ue ocurra alg9n evento Para e4resarsi!blica!ente estas reglas denotare!os or P . ) / a la robabilidad de *ue ocurra el evento ) Ta+e!os co!entado *ue la robabilidad de *ue suceda un evento es un n9!ero real entre cero y uno y *ueentre !s e*ue1o sea este n9!ero, el evento es !enos robable y entre !s cercano a uno el n9!ero

el evento es !s robable

REGLAS BSICAS DE PROBABILIDAD; &as robabilidades son n9!eros reales e3re 1Q P H U J K 1 P H c J K co!o el esacio !uestral . u / universo Ootros libros utilizan PF-G

contiene a todos los osibles resultados *ue ueden ocurrir, se tienen *ue el evento u ocurre concerte=a, de !odo *ue P .u / ; y cuando con certe=a un evento no uede ocurrir, su robabilidades cero P . / @

A Re;la "e la *,a H le a"22va "e la 5r#/a/2l2"a"JEsta le. se utiliza cuando se quiere obtener la probabilidad de que ocurra el suceso ! !el suceso B, aralo cual es necesario revisar si los sucesos S32 3 23 %8)%E28E EX'&TE28ES

a/ 'uando dos sucesos *#3 ,,ae3e eW-l,e3e*se tiene *ue ) B K .es el con"untovaco/ se utili=a entonces P > A U B ' J P > A ' K P > B / es decir, *ue la robabilidad de *ue ) o B ocurranindistinta!ente, es igual a la su!a de sus robabilidades individualesaga!os un diagra!a

b/ Re;la 5ara eve3#* -#5lee3ar2#*. j / En consecuencia de las reglas anteriores, surge P> A ' J 7 M P >A' ya *ue los eventos ) y )k son !utua!ente e4cluyentes or no tener ele!entos enco!9n y su unin es todo el universo .u/

aga!os un diagra!a

59


61/75

P (B)P (A $ B)

No son mutuamente e!"u#entes

$

%

=

P (A) P (A B)&

P (A) P (B)


c/ 'uando dos sucesos NO *#3 ,,ae3e eW-l,e3e*, se tiene *ue ) B .no es el con"unto

vaco/ K se utili=a entonces P > A U B ' J P > A ' K P > B ' M P > A B ' es decir, *ue la robabilidad de *ue) o B ocurran indistinta!ente, es igual a la su!a de sus robabilidades individuales y restar susintersecciones ara rectificar el doble conteo *ue se lleva a cabo cuando se su!an las dosrobabilidades

aga!os un diagra!a

)3) SI P32G)%323S ) P)'8I') #I')S EG&)S #E &) P3B)BI&I#)#PI%E3 8I&IJ)2#3 &) &ET )#I8IV) T ')2#3 2 EVE283 ES %8)%E28E EX'&TE28EP > A U B ' J P > A ' K P > B /E"e!lo:

&os eventos son !utua!ente e4cluyentes or*ue *uere!os obtener un adolescente o un adulto y no losdos al !is!o tie!o, or lo tanto utili=a!os la ley aditiva P F ! o B G 8 P F ! G R P F B/ #onde P .)/ serobtener un adolescente y P .B/ ser obtener un adulto 'o!o +ay C@ adolescentes, A@ adultos y ;A@ersonas en la oblacin tene!os,EERCICIOP F ! o B G 8 P F M+L:N+G R P F N+L:N+/ C@[;A@ Y A@[;A@ @[;A@ .'9!%

)+ora con otro roble!a ara *ue utilices !as reglas E')&E G)2)S

Suonga!os *ue Aes el evento: el !artes a las ;C:@@ +rs, estar ll#v2e3"#

60


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Bes el evento: el !artes a las ;C:@@ +rs, estar "e*5e0a"#

T *ue de acuerdo al 3bservatorio 2acional la P .)/ @N? y P .B/ @A,

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

Si P .)/ es la robabilidad de *ue el !artes est- lloviendoK P .)k/ ser la robabilidad de *ue NO LLUEVAel !artes a las ;C:@@ +rs Por lo tanto utili=a!os P H A J K 1 X P HAJ y sustituyendo los valores P .)k/ ; _@N? .((

Para oder calcular las robabilidades de P HA U BJ P H A d BJ debe!os ri!ero observar *ue loseventos ) y B son !utua!ente e4cluyentes, ya *ue el tie!o no uede estar lloviendo y dese"adosi!ultnea!ente, or lo *ue

P HAd BJ P H c J K la interseccin de ) y B es un evento nuloTa *ue no uede suceder al !is!o tie!o

Final!ente P HA U BJ P .)/ Y P.B/ P . @N?/ Y P .@A/ .7(E3 re*,e3...P HAJ K&a robabilidad de *ue NO LLUEVAel !artes a las ;C:@@ +rs .((P HAd BJ K &a robabilidad de e*ar ll#v2e3"# "e*5e0a"# *2,l


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)+ora ara calcular la robabilidad de *ue vendan o ms automviles, o sea P .vender ? o !sauto!viles/, '3%3 ES 2 EVE283 '3%P&E%E28)I3 #E .)k/ debe!os ri!ero calcular larobabilidad de vender a lo ms cuatro automviles.)6 /

P H Ave3"er a l#

Q/ Para articiar en la rifa de un relo", los alu!nos del ri!er a1o co!raron ;W boletosK los de segundoa1o ;Q boletos Si son ?@ boletos A U B ' J P > A ' K P > B ' M P > A B ' o sea la robabilidad de *ue ) o B ocurran indistinta!ente

E"e!lo: n estudio de !ercado esti!a *ue las robabilidades de *ue una fa!ilia en cierta =ona vea el

noticiero de 8V )=teca es de @A, *ue vea el noticiero de 8elevisa es de @Q y de *ue vea a a!bos es de@@Q


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3bserve!os ri!ero *ue co!o la robabilidad de *ue vean a!bos noticieros esp!sitiva, los eventos ) yB 23 son !utua!ente e4cluyentes, or lo tanto se deben trans!itir a diferente +orario

P . ) B / P . ) / Y P . B / _ P . ) B/ P . @A / Y P . @Q / _ P . @@Q / .4$

E"e!lo:

(uere!os deter!inar al utili=ar una bara"a de 7er

Q/ Si e4traes de una bara"a de 7er ordinaria, una sola carta


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REGLA DEL PRODUCTO) EVENTOS MUTUAMENTE ECLUYENTESTa se +a indicado anterior!ente .cuando estudia!os la regla de la su!a/ *ue cuando dos sucesos *#3,,ae3e eW-l,e3e* la robabilidad de ) y B es el con"unto vaco, P H A d B J K c otros autores lase1alan co!o P H A B J K c, esto es, la ocurrencia de un evento i!ide la ocurrencia del otro y larobabilidad de su ocurrencia '32028) es nula o cero

REGLA DEL PRODUCTO) EVENTOS INDEPENDIENTES

D#* eve3#* *#3 23"e5e3"2e3e* si la ocurrencia de un evento /? IE/E E6EC? sobre laprobabilidad de ocurrencia del otro)

El !uestreo -#3 ree5la8# ilustra bien esta situacin Por e"e!lo, suonga *ue va!os a e4traer doscartas, una a la ve=, con reemplazo, de una bara"a ordinaria #enota!os or ) a la carta e4trada ri!eroy B a la carta obtenida en segundo lugar 'uando ) se ree!la=a antes de e4traer a B, la aaricin de )en la ri!era e4traccin no tiene efecto alguno sobre la robabilidad de ocurrencia de B Por lo tanto soneventos ) y B son indeendientes Ba"o esta condicin, la regla del roducto se convierte enP H A d B J K P H A J P H B J . . . regla del producto para eventos independientes

P H A B J K P H A J P H B J

Va!os a anali=ar dos roble!as ara e!lear esta ecuacin Suonga *ue va!os a obtener al a=ar doscartas, una a la ve=, con ree!la=o, de una bara"a ordinaria


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&a anterior regla del roducto ara eventos indeendientes, ta!bi-n se alica en *2,a-2#3e* -#3


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-egundo e*emplo; (uere!os obtener #3S frutas, una a la ve=, de una bolsa de frutas *ue contienen N!an=anas, C naran"as y ? dura=nos, sin ree!la=o


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;/ #eter!ina si los siguientes eventos son I3"e5e3"2e3e* # "e5e3"2e3e* E4lica tus resuestas

a/ Se to!a una carta de una bara"a de 7er bien revuelta y sin regresar esta carta se to!a una segunda carta:UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUb/ Si ) es el evento *ue el auto!ovilista !ane"a en estado de ebriedad y B es el evento el auto!ovilista tuvo unaccidente

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUc/ Si ) es el evento *ue una !oneda caiga guila en un ri!er volado y B es el evento *ue la !oneda caiga guilaen el segundo volado

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUd/ Se to!a una carta de una bara"a bien revuelta Se regresa la carta y desu-s de revolver la bara"a se to!a unasegunda carta

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUe/ El evento ) es una luna llena y el evento B es co!er una +a!burguesa

UUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUUU

Q/ Si se reali=a un !uestreo aleatorio, to!ando un ele!ento a la ve=, con ree!la=o, de una bolsa *ue contiene

3'3 canicas a=ules, SIE8E canicas ro"as y 'I2'3 canicas verdes b/ 'uatro estudiantes sean de +istoria>

N/ Si se lan=an dos !onedas una sola ve=


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Es la robabilidad de *ue ocurra un evento B, cuando se conoce *ue +a ocurrido el evento ) y se indicaor PHABJy se lee O&a robabilidad de B a condicin de *ue ocurra ) o si!le!ente O&a robabilidad deB a condicin de )

)s la robabilidad condicional se define:

PHBAJK )(

)(

#P

$#P

si P.)/@E"e!lo: 'onsid-rese el evento B de obtener un n9!ero *ue sea cuadrado erfecto cuando se tira undadoSolucin El dado esta construido de !anera *ue un n9!ero ar tiene el doble de ocurrencia *ue eln9!ero i!ar, el esacio !uestral es %;,Q,A,N,?,C con esos asignados de la siguiente !anera:

Para el ;9

1

, Q9

2

, A9

1

, N9

2

, ?9

1

, C9

2

)s la robabilidad de *ue ocurra B ser:

P.B/ 9

1

Y 9

2

9

3

3

1

Suonga!os *ue se tir el dado y cayo un n9!ero !ayor *ue tres a+ora el esacio !uestral setareducido a )N,?,C )+ora la robabilidad de *ue ocurra B cuando +a salido ), ara ello ser necesariodarle el eso a los nuevos n9!eros y ser:

P.)/9

5

y si ve!os el esacio de ), encontra!os *ue B solo contiene un solo ele!ento *ue es el N, de

a*u encontra!os *ue P.)

B/9

2

Entonces utili=ando la fr!ula:

P.B[)/

)(

)(

#P

$#P

K9

59

2

K45

18

K5

2

E"e!lo: en el siguiente esacio !uestra S *ue reresenta los adultos de un e*ue1o ueblo *ue +ater!inado sus estudios sueriores, los cuales se clasifican de acuerdo a su se4o y condicin de e!leo E!leados #ese!leados 8otal

o!bres NC@ N@ ?@@

%u"eres ;N@ QC@ N@@8otal C@@ A@@Si se escoge al a=ar uno de ellos ara *ue realice una gira or el as, e4oniendo las venta"as deestablecer nuevas industrias en el ueblo, y traba"ando con los siguientes eventos:%: se escoge a un +o!breE: el escogido tiene e!leosando el esacio !uestral al reducido E

68


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P.%[E/600

460

30

23

sando la fr!ula:

P.E/3

2

900

600=

P.E

%/45

23

900

460=

P.%[E/

30

23

90

69

3

245

23

)(

)( ===EP

MEP

8E3E%) #E B)TES

El e#rea "e Bae*, descubierto or 8+o!as Bayes,en la teora de la robabilidad,es el resultado *ueda la distribucin de robabilidad condicional de una variable aleatoria! dada B en t-r!inos de ladistribucin de robabilidad condicional de la variable Bdada!y la distribucin de robabilidad !arginade slo!

-ea !:, !=, ))),!n un con*unto de sucesos incompatibles cu.a unin es el total . tales que la probabilidadde cada uno de ellos es distinta de cero) -ea B un suceso cualquiera del que se conocen las

probabilidades condicionales PFBL!iG) entonces la probabilidad PF!iLBG viene dada por la eQpresin;

donde:

P.!i/ son las robabilidades a riori

P.B`!i/ es la robabilidad de Ben la +itesis!i

P.!i` B/ son las robabilidades a osteriori

Esto se cu!le

El teore!a de Bayes es vlido en todas las alicaciones de la teora de la robabilidad Sin e!bargo, +ayuna controversia sobre el tio de robabilidades *ue e!lea En esencia, los seguidores de la estadsticatradicional slo ad!iten robabilidadades basadas en e4eri!entos reetibles y *ue tengan unaconfir!acin e!rica !ientras *ue los lla!ados estadsticos bayesianos er!iten robabilidades

69
http://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Probabilidad_condicional&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Probabilidad_condicional&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADsticahttp://es.wikipedia.org/wiki/Thomas_Bayeshttp://es.wikipedia.org/wiki/Probabilidadhttp://es.wikipedia.org/wiki/Distribuci%C3%B3n_de_probabilidadhttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Probabilidad_condicional&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Variable_aleatoriahttp://es.wikipedia.org/w/index.php?title=Probabilidad_condicional&action=edithttp://es.wikipedia.org/wiki/Estad%C3%ADstica


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sub"etivas El teore!a uede servir entonces ara indicar co!o debe!os !odificar nuestrasrobabilidades sub"etivas cuando recibi!os infor!acin adicional de un e4eri!ento &a estadsticabayesiana est de!ostrando su utilidad en ciertas esti!aciones basadas en el conoci!iento sub"etivo ariori y er!itir revisar esas esti!aciones en funcin de la evidencia es lo *ue est abriendo nuevasfor!as de +acer conoci!iento

'o!o observacin, se tiene

=

=N

i

i $#P

1

1)?(

y su de!ostracin resulta evidente

En t-r!inos generales la regla o teore!a de Bayes es una generali=acin de la robabilidad condicional

E"e!lo: en una oblacin total de AQ ratones donde QN son negros,W son caf-s, e4iste:

Q ratones negros, *ue estn enfer!os

QQ ratones negros *ue son sanos

? ratones caf-s *ue estn enfer!os

A ratones caf-s *ue son sanos

Solucin 'on estos datos se construi!os una tabla de doble entrada:

2

32

2

32

22

32

24

'

32

5

32

3

32

8

32

7

32

25

32

32

Encontrar la robabilidad de:

70


72/75


P.E[2/

12

1

32

2432

2

)(

)( ==NP

ENP

P.E['/

8

5

32

832

5

)(

)( ==P

EP

P.2[E/

7

2

32

732

2

)(

)( ==EP

NEP

P.2[S/

25

22

32

253222

)(

)( ==SP

NSP

P.'[E/

7

5

)(

)( =EP

EP

P.'[S/

25

3

)(

)( =SP

SP

ACTIVIDADES DE APRENDIAE VIII ) trav-s de la Probabilidad 'ondicional o 8eore!a de Bayes resuelve los siguientes e"ercicios

; En una 'iudad e4isten ?W ni1os de los cuales QA son ni1os y A? ni1asK de los ni1os ;? tienenbeca y W no, y de las ni1as Q? tiene beca y ;@ noK si se escoge uno entre todos


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P.'[B/

)(

)(

$P

$P

P.'[G/)(

)(

&P

&P

P.V[B/

)(

)(

$P

%$P

% SIMULACRO DE EAMENEn cada uno de los siguientes roble!as, decide si se trata de una er!utacin o de una co!binacin y obt-n suresultado correcto8I&IJ) &) 30) #E )2 &)#3 T[3 &) #E )8)J P)) 8S 3PE)'I32ES 1J'alcular el n9!ero de alabras de ? letras, *ue se ueden for!ar con ;Q letras diferentes, aun*ue nonecesaria!ente tengan alg9n significadoPer!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUUesolver:Q/ 'alcular el n9!ero de alabras, *ue ueden for!arse seleccionando C consonantes y Q vocales entre ;@consonantes y N vocales, no necesaria!ente con significadoPer!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUUesolver:A/ 'alcular de cuntas !aneras diferentes ueden colocarse D libros en un libreroPer!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUUesolver:N/ n ar*ue de diversiones tiene QW recorridos distintos Per!utacin UUUUU o co!binacinUUUUUUUUesolver:?/ na bolsa contiene C bolas ro"as nu!eradas del ; al C y W bolas a=ules nu!eradas del ; al W


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b/ ) lo !s cinco acientesKc) #e A a C acientes

I ) trav-s de la Probabilidad 'ondicional o 8eore!a de Bayes resuelve los siguientes e"ercicios; En una 'iudad e4isten ?W ni1os de los cuales QA son ni1os y A? ni1asK de los ni1os ;? tienen beca y W no,

y de las ni1as Q? tiene beca y ;@ noK si se escoge uno entre todos losario de estadstica niversidad )utno!a de2ayarit %-4ico Facultad de Econo!a )bril del Q@@Q D?

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$. ET23S3 8irado -ctor Francisco 7cnicas de conteo . espacios maestrales sinmaestro niversidad )utno!a de 2ayarit %-4ico Facultad de Econo!a Verano deQ@@A W

9. SEPHSEI8H#GE8) !ntologa para el mdulo K 16ormacin 9atemtica Bsica2Bac'illerato ecnolgico !gropecuario %-4ico #F Siste!a )bierto de Educacin8ecnolgica )groecuaria S)E8) ;D NQC

1.SEP, 'I2VES8)B del IP2, -eccin de matemtica educativa 1probabilidad O . Progra!a2acional de For!acin y )ctuali=acin de Profesores/, %-4ico ;@

11.VI&E26I2 2 ADe cuantas formas Combinatoria &ibro de la editorial %I, %osc9, ;DQI!reso en el taller de ublicaciones de %ate!ticas de la Facultad de 'iencias 2)%Vnculos !ate!ticos 2o Q; ;C

74

la probabilidad y estadística teoría-ejercicios resueltos

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