cual es la probabilidad 7.pdf

7/18/2019 cual es la probabilidad 7.pdf

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=0,25

d. ¿Cuál es la probabilidad de que un hombre responda negativamente a la pregunta de la

encuesta?

e. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea mujer y responda sí?

Nótese que la probabilidad solicitada es la misma del literal a., en otras palabras la pregunta es la

misma.

f. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea hombre y responda no?

En este caso sucede lo mismo que en el anterior y la probabilidad solicitada es

Con las anteriores probabilidades podrían realizarse preguntas como las siguientes.

g.

Si la respuesta proviene de una mujer, ¿cuál es la probabilidad de que la respuesta seasí?

"#$%&' ()*+,(*+

h. ¿Cuál es la probabilidad de que la persona encuestada sea hombre sabiendo que respondió no?

P (H/N) = ()**-./

Obsérvese que la probabilidad condicional busca resultados que cumplen características específicas,

en otras palabras, es como si buscáramos la probabilidad de un evento para el cual su espacio

muestral se restringe a los resultados que cumplen la condición dada.



E j e m p l o

e m p l o

4 4 N e w b o l d

N e w b o l d

)

El propietario de una tienda de discos clasifica las personas que entran en su tienda en clientes

muy jóvenes, clientes con edad universitaria y clientes mayores, y sabe que el 30%, 50% y 20%

pertenecen a estas categorías, respectivamente. El propietario comprueba también, que el 20%

de los clientes muy jóvenes, el 60% de los clientes con edad universitaria y el 80% de los

clientes mayores realizan alguna compra.

a. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente elegido al azar haga alguna compra?

b. Si un cliente elegido al azar realiza una compra, ¿cuál es la probabilidad de que sea muy

joven?

Primero definimos los eventos:

J: el cliente es muy joven

U: el cliente tiene edad universitaria

M: el cliente es mayor

C: el cliente realiza alguna compra

Cc: el cliente no compra.

Las probabilidades que plantea el ejemplo son:

P (J)=0.30 P(U)=0.50 P(M)=0.20

P(C/J)=0.20 P(C/U)=0.60 P(C/M)=0.80

a. Para encontrar la probabilidad de que un cliente compre, analizamos todas las posibilidades, esto

es, compra y es un cliente joven o compra y es un cliente con edad universitaria o compra y es un

cliente mayor. Esto, lo expresamos en la siguiente forma:

P(C) = P (C!J) + P(C!U) + P(C!M)

Por la ley de la multiplicación para eventos dependientes la intersección se puede expresar como:

P (C) = P (J)P(C/J) + P(U)P(C/U) + P(M)P(C/M)

P(C) = (0.30)(0.20) + (0.50)(0.60) + (0.20)(0.80)

P(C) = 0.52



La probabilidad de que un cliente elegido al azar realice alguna compra es de 0.52

b. Observe como en esta pregunta ya hay un hecho conocido: el cliente compra, la probabilidad la

expresamos como:

P (J/C) = 0,11538462

Antes de escribir las hipótesis y la forma de calcular una probabilidad condicional utilizando el

teorema de Bayes analizaremos un ejemplo en el cual se observe el uso que le daremos.

Ejemplo 45

La directora de personal de una empresa encuentra que el 68% del personal de apoyo técnico ha

resultado ser ineficiente a causa de sus escasos conocimientos en matemáticas e inglés. Ha

preparado un examen para descubrir a los empleados ineficientes. Al aplicar el examen a todo el

personal de apoyo técnico en 85% del personal eficiente aprueba el examen y el 40% del personal

ineficiente también lo aprueba. ¿Cuál es la probabilidad de que un empleado que apruebe el examen

sea eficiente? (Johnson y Mowry)

Primero identifiquemos los eventos:

1

1

: el empleado es eficiente.

: el empleado es ineficiente.c

E

E

=

=

2

2

: el empleado aprueba el examen.

: el empleado no aprueba el examen.c

E

E

=

=

Ahora establezcamos las probabilidades dadas en el enunciado del ejercicio:

1

1

( ) 0.68

( ) 0.32

c P E

P E

=

=

2 1

2 1

( | ) 0.85

( | ) 0.4c

P E E

P E E

=

=

Teorema de Bayes



Identifiquemos la probabilidad solicitada en el problema:1 2( | ) ? P E E =

Busquemos ahora las expresiones que nos permitirá encontrar la probabilidad solicitada.

2 1 1 2

2 1

1 1

( ) ( )

( | ) ( ) ( )

P E E P E E

P E E P E P E

! !

= =

Despejando tenemos que1 2 2 1 1( ) ( | ) ( ) P E E P E E P E ! = . Por otra parte,

1 21 2

2

( )( | )

( )

P E E P E E

P E

!= y si reemplazamos la intersección se obtiene que

1 2 2 1 11 2

2 2

( ) ( | ) ( )( | )

( ) ( )

P E E P E E P E P E E

P E P E

!= =

Con lo cual sólo nos faltaría calcular2( ) P E :

2 2 1 1 2 1 1( ) ( | ) ( ) ( | ) ( )c c

P E P E E P E P E E P E = +

Luego

1 2 2 1 11 2

2

2 1 1

2 1 1 2 1

2

1

( ) ( | ) ( )( | )

( ) ( )

( | ) ( )

( | ) ( ) ( | ) ( )c c

P E E P E

P E E P E P

P E E P E E P E P E E

E E P E

P E P E

!= =

+=

Reemplazando cada probabilidad con los valores dados concluimos que

1 2

0.85(0.32) 0.272( | ) 0.5

0.85(0.32) 0.4(0.68) 0.544 P E E = = =

+

Es decir que hay una probabilidad de 0,5 de posibilidades de que un empleado que apruebe el

examen sea eficiente.

Cabe resaltar que para determinar la anterior probabilidad se debían tener o poder calcular tanto los

eventos como sus complementos, esa es una característica del teorema de Bayes los eventos deben

formar cada uno un espacio muestral en el que un evento indica la ocurrencia del suceso y el otro su

complemento o no ocurrencia.



"#$%#&' (# )'*#+

Una observación importante es que éste teorema puede utilizarse siempre que la unión de los

eventos analizados formen el espacio muestral, en otras palabras uno de los eventos es el

complemento del otro y sólo ellos forman a EM.

Revise nuevamente la parte b) del ejemplo 44, observe que se plantea una probabilidad

condicional en la que se aplica el teorema de Bayes.

"#$%&'($#)*%

Llego el momento de aplicar los temas tratados anteriormente, para reforzar nuestros conocimientos

es necesario practicar; por ello tal y como se indica en guía de actividades por semana, por favor

realice la o las guías prácticas de la semana y revise el o los libros sugeridos en el mapa conceptual

de la unidad 1, se recomienda revisar el libro que aparece en el mapa conceptual del autoestudio

(Estadística), sino logra acceder a los libros se sugiere, consulte un libro físico de estadística y

probabilidad, luego realice los ejercicios referentes a los temas tratados en la semana y si tienealguna duda consulte al tutor que le corresponda.

Para acceder al libro mencionado debe ingresar a la biblioteca virtual en otra página de internet

distinta a la del módulo. Las instrucciones para ingresar a la biblioteca aparecen a continuación; por

favor sígalas y realice los ejercicios del libro (sólo aquellos que cubran los temas tratados hasta

ahora.), en particular revise los temas de probabilidad condicional y teorema de Bayes que se

encuentran en las páginas 39, 40 y 41..

Para acceder al libro…

En la unidad 1, aparece un mapa conceptual; en el espacio que dice consulta de libros e-poligran al

ubicarse en la hojita se despliega la bibliografía y para acceder a dichos libros debe seguir los

siguientes pasos:

1. en la página principal de campus virtual debajo del CAE dice biblioteca virtual, de click en

este link.

2. Allí se abre la página de la biblioteca y debe escribir su usuario y contraseña.

3. Hagan click en libros electrónicos e ingrese el usuario y la contraseña.

Si A y B son eventos mutuamente excluyentes cuya unión constituye el espacio muestral EM ,

entonces

( | ) ( )( | )

( | ) ( ) ( | ) ( )

P C A P A P A C

P C A P A P C B P B=

+



4. Ahora de click en e-libro, vuelva a la página del mapa conceptual y de click sobre el libro

que desean consultar.

Si siguió correctamente las instrucciones debe poder visualizar el libro indicado.

Adicionalmente puede revisar el libro Estadística para Administración y Economía de Anderson

que se encuentra en google (libros); busque en el índice los temas tratados: técnicas de conteo,

probabilidad condicional y de Bayes (páginas 153 a 165) y resuelva los ejercicios allí propuestos.

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