aplicaciones distribuciones de probabilidad 2

DISTRIBUCIONES DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL

Caso I .- De acuerdo a los académicos queremos saber que porcentaje de los encuestados “i considera que gana lo suficiente para vivir”

1- De las 409 encuestas levantadas se toman 20 de ellas. Por lo tanto: tenemos que n=20 número de ensayos

2- Tenemos (S) éxito [Si considera que gana lo suficiente].Tenemos (F) fracaso [No considera que gana lo suficiente].El resultado de este ensayo se basa en que la respuesta sea un SI o NO y de acuerdo a la tabla de frecuencia correspondiente a este ensayo:

Por lo tanto:

Probabilidad de éxito P(S)=p=.235 → Probabilidad de fracaso P (F)=1 - p=q=.765

3- [Los eventos son independientes] cualquiera que sea la respuesta de una persona es independiente de lo que contesta cualquier otra.

Desarrollo de la distribución Binomial:

De acuerdo a la siguiente tabla obtenemos la gráfica resultante a este análisis utilizando la distribución Binomial:

Donde:

n = número de ensayosp = probabilidad de éxitoq = probabilidad de fracasoy = variable de 0-20

Gana lo suficiente

Frequency Percent Valid Percent

Cumulative Percent

si 96 23,5 23,5 23,5no 287 70,2 70,2 76,5No

contestó26 6,3 6,3

Total 409 100 100 100

Tabla de Distribución Binomial:

y N p n-y q

0 20 1 0,235 1 20 0,765 0,00471225 0,004712254

1 20 20 0,235 0,235 19 0,765 0,00615981 0,0289511042 20 190 0,235 0,055225 18 0,765 0,00805204 0,0844880253 20 1140 0,235 0,01297788 17 0,765 0,01052554 0,1557230274 20 4845 0,235 0,0030498 16 0,765 0,01375888 0,2033050625 20 15504 0,235 0,0007167 15 0,765 0,01798546 0,1998502056 20 38760 0,235 0,00016843 14 0,765 0,0235104 0,1534797337 20 77520 0,235 3,958E-05 13 0,765 0,03073255 0,0942947388 20 125970 0,235 9,3013E-06 12 0,765 0,04017327 0,0470703319 20 167960 0,235 2,1858E-06 11 0,765 0,05251408 0,019279351

10 20 184756 0,235 5,1366E-07 10 0,765 0,06864586 0,00651465711 20 167960 0,235 1,2071E-07 9 0,765 0,08973315 0,00181930412 20 125970 0,235 2,8367E-08 8 0,765 0,11729824 0,00041915313 20 77520 0,235 6,6663E-09 7 0,765 0,15333103 7,92366E-0514 20 38760 0,235 1,5666E-09 6 0,765 0,20043272 1,21703E-0515 20 15504 0,235 3,6814E-10 5 0,765 0,26200355 1,49544E-0616 20 4845 0,235 8,6514E-11 4 0,765 0,3424883 1,43557E-0717 20 1140 0,235 2,0331E-11 3 0,765 0,44769713 1,03763E-0818 20 190 0,235 4,7777E-12 2 0,765 0,585225 5,31249E-1019 20 20 0,235 1,1228E-12 1 0,765 0,765 1,71783E-1120 20 1 0,235 2,6385E-13 0 0,765 1 2,6385E-13Gráfica correspondiente:

Ahora de acuerdo a estos valores obtenidos propongamos un problema:

Queremos saber cual es la probabilidad de que al menos 12 encuestados de los 20, estén de acuerdo con lo que ganan:

Solución:

Da do que se desea saber la probabilidad de que al menos 12 personas de la 20 estén de acuerdo con lo que ganan tenemos.

Por lo tanto:

Conclusión:

La probabilidad de que al menos 12 académicos de los 20 tomados estén de acuerdo con lo que ganan es de .00052 el cual es una probabilidad muy diminuta esto quiere decir que la mayoría de los académicos no esta conforme con lo que ganan.

Caso II

Se levantaron encuestas socioeconómicas a 76 estudiantes de una preparatoria

Se pregunto a los encuestados si se vendía droga en su colonia y de acuerdo a los resultados se realiza lo siguiente.

4- De las 76 encuestas levantadas se toman 20 de ellas.

Por lo tanto: tenemos que n=20 número de ensayos

5- Tenemos (S) éxito [Se vende droga].

Tenemos (F) fracaso [No se vende droga].El resultado de este ensayo se basa en que la respuesta sea un SI o NO y de acuerdo a la tabla de frecuencia correspondiente a este ensayo:

Col Venta drose

5 6,6 25,0 25,0

15 19,7 75,0 100,0

20 26,3 100,0

56 73,7

76 100,0

si

no

Total

Valid

SystemMissing

Total

Frequency Percent Valid PercentCumulative

Percent

Por lo tanto:

Probabilidad de éxito P(S)=p=.25

Probabilidad de fracaso P (F)=1 - p=q=.75

6- [Los eventos son independientes] cualquiera que sea la respuesta de una persona es independiente de lo que contesta cualquier otra.

Desarrollo de la distribución Binomial:

De a la siguiente tabla obtenemos la grafica resultante a este análisis utilizando la distribución Binomial:

Donde:

n = número de ensayos

p = probabilidad de éxito

q = probabilidad de fracaso

y = variable de 0-20

Tabla de Distribución Binomial

y n P n-y Q

0 20 1 0,25 1 20 0,75 0,0031712 0,00317212

1 20 20 0,25 0,25 19 0,75 0,0042282 0,021141

2 20 190 0,25 0,0625 18 0,75 0,0056377 0,06694768

3 20 1140 0,25 0,015625 17 0,75 0,0075169 0,13389478

4 20 4845 0,25 0,00390625 16 0,75 0,0100225 0,189683642

5 20 15504 0,25 0,0009765 15 0,75 0,0133634 0,206414069

6 20 38760 0,25 0,0002441 14 0,75 0,0178179 0,168580782

7 20 77520 0,25 6,1035E-05 13 0,75 0,0237572 0,112405604

8 20 125970 0,25 1,5258E-05 12 0,75 0,0316763 0,060883440

9 20 167960 0,25 3,8146E-06 11 0,75 0,0422351 0,027060037

10 20 184756 0,25 9,5367E-07 10 0,75 0,0563135 0,009222277

11 20 167960 0,25 2,3841E-07 9 0,75 0,0750846 0,003006630

12 20 125970 0,25 5,9604E-08 8 0,75 0,1001129 0,000751679

13 20 77520 0,25 1,4901E-08 7 0,75 0,1334838 0,000154190

14 20 38760 0,25 3,7252E-09 6 0,75 0,1779785 2.5698E-05

15 20 15504 0,25 9,3132E-10 5 0,75 0,2373046 3.4264E-06

16 20 4845 0,25 2,3283E-10 4 0,75 0,3164062 3,5692E-07

17 20 1140 0,25 5,8207E-11 3 0,75 0,421875 2,7993E-08

18 20 190 0,25 1,4551E-11 2 0,75 0,5625 1.5553E-10

19 20 20 0,25 3.6379E-12 1 0,75 0,75 5.4568E-11

20 20 1 0,25 9.0949E-13 0 0,75 1 9.0949E-13

Grafica correspondiente:

Ahora de acuerdo a estos valores obtenidos propongamos un problema:

Queremos saber cual es la probabilidad de que al menos 18 encuestados de los 20, digan que si:

Solución:

Da do que se desea saber la probabilidad de que al menos 18 personas de la 20 digan que si.

Por lo tanto:

Conclusión:

La probabilidad resultante es muy pequeña lo que indica que la mayoría de los encuestados dijeron que no.

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA

Casi I .- De con la distribución geométrica estamos Interesados en conocer la probabilidad de obtener éxito en (x) determinado número de ensayo.

Planteamiento del problema:

Se desea conocer la probabilidad de que a la cuarta encuesta tomada de una muestras de 30 encuestados se obtenga éxito de sacar a un encuestado que tenga luz sin apagones.

Por la tanto tenemos:

1- El éxito se considera que [tenga luz sin apagones].

El fracaso se considera que [tenga luz con apagones].De a la tabla de frecuencias correspondiente a los que tienen luz sin apagones y con apagones

luz

19 27,9 63,3 63,3

11 16,2 36,7 100,0

30 44,1 100,0

38 55,9

68 100,0

sin apagones

con apagones

Total

Valid

SystemMissing

Total


Percent

Por lo tanto:

Probabilidad de éxito p=.633 → Probabilidad de fracaso q=1-p=.367

Aplicando la Distribución Geométrica:

Obtenemos la tabla y grafica correspondiente de la Distribución Geométrica.

Tabla de Distribución Geométrica

x P Q x-1

1 0,633 0,367 0 1 0,633

2 0,633 0,367 1 0,367 0,232311

3 0,633 0,367 2 0,134689 0,085258

4 0,633 0,367 3 0,049430 0,031289

5 0,633 0,367 4 0,018141 0,011483

6 0,633 0,367 5 6,65E-03 4,20E-03

7 0,633 0,367 6 2,44E-03 1.54E-03

8 0,633 0,367 7 8,96E-04 5,67E-04

9 0,633 0,367 8 3,29E-04 2,08E-04

10 0,633 0,367 9 1,20E-04 7,59E-5

Grafica Correspondiente:

Conclusión:

La probabilidad de que a la cuarta encuesta tomada se obtenga a:

De con la grafica obtenida podemos observar que la distribución geométrica tiene un comportamiento exponencial (que decrece rápidamente a 0 conforme la variable aumenta).

Caso II .- De acuerdo con la distribución geométrica estamos Interesados en conocer la probabilidad de obtener éxito en (x) determinado número de ensayo.


Se desea conocer la probabilidad de que a la cuarta encuesta tomada de una muestras de 431 desempleados se obtenga éxito de sacar a un desempleado que busque trabajo.


1- El éxito se considera que [busca trabajo].El fracaso se considera que [no busca trabajo].De acuerdo a la tabla de frecuencias correspondiente a los desempleados y a la pregunta de si busca trabajo o no tenemos:

Busca trabajo Frequency Percent Valid Percent Cumulative PercentSi 289 67,1 67,1 67,1No 121 28 28 32,9No contestó 21 4,9 4,9 Total 431 100 100

Por lo tanto:

Probabilidad de éxito p=.671 → Probabilidad de fracaso q=1-p=.329

Aplicando la Distribución Geométrica:

Obtenemos la tabla y gráfica correspondiente de la Distribución Geométrica.

Tabla de Distribución Geométrica

x P q x-1

1 0,671 0,329 0 1 0,6712 0,671 0,329 1 0,329 0,2207593 0,671 0,329 2 0,108241 0,072629714 0,671 0,329 3 0,03561129 0,023895175 0,671 0,329 4 0,01171611 0,007861516 0,671 0,329 5 0,0038546 0,002586447 0,671 0,329 6 0,00126816 0,000850948 0,671 0,329 7 0,00041723 0,000279969 0,671 0,329 8 0,00013727 9,2106E-05

10 0,671 0,329 9 4,5161E-05 3,0303E-05Gráfica Correspondiente:

Conclusión:

La probabilidad de que a la cuarta encuesta tomada de 431 desempleados tengamos éxito de que el desempleado busque trabajo, es:

De acuerdo con la gráfica obtenida podemos observar que la distribución geométrica tiene un comportamiento exponencial (que decrece rápidamente a 0 conforme la variable aumenta).

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMETRICA

Caso I .- De acurdo con la distribución Hipergeométrica estamos Interesados en conocer la probabilidad de obtener (x) éxitos en (n) determinado número de muestras tomadas.


Se tienen 76 encuestas contestadas por docentes de las cuales 54 tienen alumbrado bueno, se toman 20 de estas encuestas al azar. Cuál es la probabilidad de que 10 de estas sean de encuestados que tengan alumbrado bueno.


1- De las 76 encuestas levantadas se toman 20 de ellas:Entonces tenemos N=76 y n=20.

2- El éxito se considera que [tenga alumbrado bueno].El fracaso se considera que [no tenga alumbrado bueno].De acuerdo a la tabla de frecuencias correspondiente a los encuestados y a la pregunta de si tiene alumbrado bueno:

Colalumbrado

20 29,4 66,7 66,7

10 14,7 33,3 100,0

30 44,1 100,0

38 55,9

68 100,0

Bueno

malo

Total

Valid

SystemMissing

Total


Percent

Tenemos:

M (número de éxitos)=54N-M (número de fracasos) =76-54=22X=10 (éxito que se quiere probar)

Aplicando la Distribución Hipergeométrica

Obtenemos la tabla y grafica correspondiente de la Distribución Hipergeometrica siguientes.

Tabla Distribución Hipergeométrica

X N n M N-M n-x

1 76 20 54 22 19 54 1540 1,09E+18 83160 7,62E-14

2 76 20 54 22 18 1431 7315 1,09E+18 1,04E+7 9,54E-12

3 76 20 54 22 17 24804 26334 1,09E+18 6,53E+8 5,99E-10

4 76 20 54 22 16 316251 74613 1,09E+18 2,35E+10 2,15E-08

5 76 20 54 22 15 3,16E+06 170544 1,09E+18 5,38E+11 4,93E-07

6 76 20 54 22 14 2,58E+07 319770 1,09E+18 8,25E+12 7,56E-06

7 76 20 54 22 13 1,77E+8 497420 1,09E+18 8,804E+13 8,07E-05

8 76 20 54 22 12 1,04E+9 646646 1,09E+18 6,72E+14 6,16E-04

9 76 20 54 22 11 5,31E+9 705432 1,09E+18 3,95E+15 3,62E-03

10 76 20 54 22 10 2,39E+10 646646 1,09E+18 1,54E+16 0,01412

11 76 20 54 22 9 9,57E+10 497420 1,09E+18 4,76E+16 4,36E-02

12 76 20 54 22 8 3,43E+11 319770 1,09E+18 1,09E+17 0,1

13 76 20 54 22 7 1,10E+12 170544 1,09E+18 1,87E+17 0,1715

14 76 20 54 22 6 3,24E+12 74613 1,09E+18 2,41E+17 0,2211

15 76 20 54 22 5 8,65E+12 26334 1,09E+18 2,27E+17 0,2082

16 76 20 54 22 4 2,10E+13 7315 1,09E+18 1,53E+17 0,1403

17 76 20 54 22 3 4,71E+13 1540 1,09E+18 7,25E+16 0,0665

18 76 20 54 22 2 9,69E+13 231 1,09E+18 2,23E+16 0,02045

19 76 20 54 22 1 1,83E+14 22 1,09E+18 4,026E+15 0,00369

20 76 20 54 22 0 3,21E+14 1 1,09E+18 3,21E+14 0,000294

Gráfica correspondiente:

Conclusión:

De acuerdo a los datos obtenidos con análisis de una distribución hipergeométrica se tiene la probabilidad de que 10 encuestas de 20 tomadas al azar de una totalidad de 76 sean de docentes que trabajen en una institución privado:

Por lo tanto que representa una probabilidad muy pequeña, lo cual es

lógico de acuerdo a que 54 de los 76 encuestados tienen buen alumbrado y aun mas lógico es por que tomamos una muestra muy pequeña que es de 20 y de esta queremos que la mitad tenga buen alumbrado.

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA

De acuerdo con la distribución Hipergeométrica estamos Interesados en conocer la probabilidad de obtener (x) éxitos en (n) determinado número de muestras tomadas.


Se tienen 409 encuestas contestadas por docentes de las cuales 133 trabajan en el sector privado, se toman 20 de estas encuestas al azar. Cual es la probabilidad de que 10 de estas sean de docentes que trabajan en el sector privado.


1- De las 409 encuestas levantadas a docentes se toman 20 de ellas:Entonces tenemos N=409 y n=20.

2- El éxito se considera que [trabaje en el sector privado].El fracaso se considera que [no trabaje en el sector privado].

De acuerdo a la tabla de frecuencias correspondiente a los docentes y a la pregunta de si trabaja en el sector privado:

Institución privada Frequencysi 133No 136no contestó

140

Total 409

Tenemos:

M (número de éxitos)=133N-M (número de fracasos) =409-133=276X=10 (éxito que se quiere probar)

Aplicando la Distribución Hipergeométrica

Obtenemos la tabla y gráfica correspondiente de la Distribución Hipergeométrica siguientes.

Tabla Distribución Hipergeométrica

x N n M N-M n-x

1 409 20 133 276 19 133 1,03E+29 4,39E+33 1,3699E+31 3,12E-032 409 20 133 276 18 8778 7,65E+27 4,39E+33 6,7152E+31 1,53E-023 409 20 133 276 17 383306 5,32E+26 4,39E+33 2,0392E+32 4,65E-024 409 20 133 276 16 1,25E+07 3,47E+25 4,39E+33 4,3227E+32 9,85E-025 409 20 133 276 15 3,20E+08 2,13E+24 4,39E+33 6,816E+32 1,55E-016 409 20 133 276 14 6,80E+09 1,22E+23 4,39E+33 8,296E+32 1,89E-017 409 20 133 276 13 1,24E+11 6,49E+21 4,39E+33 8,0476E+32 1,83E-018 409 20 133 276 12 1,95E+12 3,20E+20 4,39E+33 6,24E+32 1,42E-019 409 20 133 276 11 2,72E+13 1,44E+19 4,39E+33 3,9168E+32 8,92E-02

10 409 20 133 276 10 3,74E+14 5,99E+17 4,39E+33 2,2403E+32 5,10E-0211 409 20 133 276 9 3,77E+15 2,24E+16 4,39E+33 8,4448E+31 1,92E-02

12 409 20 133 276 8 3,83E+16 7,53E+14 4,39E+33 2,884E+31 6,57E-0313 409 20 133 276 7 3,57E+17 2,24E+13 4,39E+33 7,9968E+30 1,82E-0314 409 20 133 276 6 3,06E+18 5,81E+11 4,39E+33 1,7779E+30 4,05E-0415 409 20 133 276 5 2,42E+19 1,28E+10 4,39E+33 3,0976E+29 7,06E-0516 409 20 133 276 4 1,79E+20 2,36E+08 4,39E+33 4,2244E+28 9,62E-0617 409 20 133 276 3 1,23E+21 3,46E+06 4,39E+33 4,2558E+27 9,69E-0718 409 20 133 276 2 7,94E+21 37950 4,39E+33 3,0132E+26 6,86E-0819 409 20 133 276 1 4,80E+22 276 4,39E+33 1,3248E+25 3,02E-0920 409 20 133 276 0 2,73E+23 1 4,39E+33 2,73E+23 6,22E-11


Conclusión:

De acuerdo a los datos obtenidos con análisis de una distribución hipergeométrica se tiene la probabilidad de que 10 encuestas de 20 tomadas al azar de una totalidad de 409 sean de docentes que trabajen en una institución privado:

Por lo tanto que representa una probabilidad muy pequeña, lo cual es lógico

de acuerdo a que 133 de los 409 docentes entrevistados trabajan en el sector privado, que representan según la tabla de frecuencias el 32.5% y aun mas lógico es por que tomamos una muestra muy pequeña que es de 20 y de esta queremos que la mitad sea de docentes que trabajen en institución privada.

Distribución de Poisson

Caso I.- Se desea realizar una aplicación de la distribución de Poisson para mostrar el comportamiento de la misma

Se sabe que el 25% de los encuestados nos dice que se vende droga en las escuelas, se tratara de obtener la probabilidad de que 5 de los 76 encuestados nos digan si se venden droga en las escuelas, puede calcularse usando la distribución de Poisson.

Según nuestras encuestas realizadas nos arrojo el porcentaje siguiente.

Col Venta drose

5 6,6 25,0 25,0

15 19,7 75,0 100,0

20 26,3 100,0

56 73,7

76 100,0

si

no

Total

Valid

SystemMissing

Total


Percent

En este caso concreto, k es 5 y , λ, el valor esperado de los encuestados que nos dijeron que

se venden droga es del 25% de 76, es decir, 19.

Tabla de la distribución de Poisson

K e-(λ) (λ)k K! (λ)k/K! e(λ)(λ)k/K!

0 5,6E-09 1 1 1 5,6E-9

1 5,6E-09 19 1 19 1,06E-7

2 5,6E-09 361 2 180.5 1,01E-6

3 5,6E-09 6859 6 41154 6,40E-6

4 5,6E-09 130321 24 3127704 3,04E-5

5 5,6E-09 2476099 120 2,9E08 1,15E-4

6 5,6E-09 47045881 720 3,3E10 3,65E-4

7 5,6E-09 893871739 5040 4,50E12 9,93E-4

8 5,6E-09 1,6E10 403206,45E14

2,22E-3

9 5,6E-09 3,22E11 362880 1,16E17 4,96E-3

10 5,6E-09 6,13E12 3628800 2,22E19 9,45E-3

11 5,6E-09 1,16E14 39916800 4,65E21 0,0162

12 5,6E-09 2,21E15 479001600 1,05E24 0,0248

13 5,6E-09 4,20E16 6227020800 2,61E26 0,0377

14 5,6E-09 7,99E17 87178291200 6,96E28 0,0513

15 5,6E-09 1,51E19 1,30767E+12 1,96E31 0,0650

16 5,6E-09 2,88E20 2,09228E+13 6,01E33 0,0771

17 5,6E-09 5,48E21 3,55687E+14 1,94E35 0,086

18 5,6E-09 1,04E23 6,40237E+15 6,65E38 0,091

19 5,6E-09 1,97E24 1,21645E+17 2,38E41 0.0911

20 5,6E-09 3,75E25 2,4329E+18 9,11E43 0,086

Por lo tanto, la probabilidad deseada es

P(5;19)=

Gráfica de la distribución de Poisson

De acuerdo al resultado obtenido la probabilidad de que un encuestado nos diga que se venden drogas en las escuelas es muy pequeña.

Caso II.- Proceso de Poisson

Desarrollo del proceso de Poisson con las encuestas realizadas a desempleados.

¿Qué necesitamos para desarrollar la distribución de Poisson? Un intervalo de tiempo.

¿Qué intervalo de tiempo podemos utilizar y que nos sirva para obtener un resultado a algo que sea de interés conocer? Podemos establecer un intervalo de tiempo respecto a la edad de los desempleados.

Por lo tanto estableciendo un intervalo de tiempo con respecto a la edad para saber que probabilidad hay de que el desempleo se de en dicho intervalo de tiempo.

Edad propuesta 20-35 [Intervalo de tiempo]

¿Por qué se propuso este intervalo?

1- Por que es una edad promedio en la que los estudiantes a nivel licenciatura obtienen su titulo y buscan trabajo. Por lo tanto es de interés conocer que probabilidad hay de que se encuentre trabajo al concluir la carrera.

2- Por que es una etapa de la vida muy importante ya que es una edad que se supone todos deben ya de trabajar independientemente de que tenga o no un titulo.

De acuerdo con el desarrollo de Poisson:

Intervalo de tiempo: 20-35 años

Suceso en dicho intervalo de tiempo: Que la edad del encuestado este en este intervalo de tiempo [existo].

De acuerdo con el proceso de Poisson tenemos una “t” fijada apropiadamente (t=20-35), tenemos que dividir este intervalo de tiempo en sub intervalos para generar correctamente un proceso y una distribución de Poisson.t= 20-35 años representan 15 años por lo tanto dividamos esto en 15 sub intervalos por lo tanto cada sub intervalo representa 1 año.

Donde obtenemos la tabla de frecuencia correspondiente a las 400 encuestas levantadas a desempleados:

10 011 012 013 014 015 016 217 018 219 120 1

12Donde 1215 por lo tanto no está funcionando este análisis.

¿Qué podemos hacer para mejorarlo o hacer un análisis correcto?

1- Creemos que hemos cometido un error al tomar el intervalo de tiempo con respecto a la edad de los desempleados.

2- Podemos intentar con otro intervalo que sea de igual forma de interés.

Proponiendo un nuevo intervalo: Tiempo que lleva sin trabajar (t=0-20 años).

¿Cuál será el suceso (K) en este intervalo de tiempo? La cantidad de desempleados con 0,1,2,3,…20 años de desempleado.

K Nk

0 01 12 13 04 15 06 17 08 29 0

Pero nos enfrentamos a otro problema en el cual tenemos 431 desempleados por lo tanto se tiene una (k) muy grande la cual con respecto a la tabla de Poisson no nos diría nada.

¿Cómo solucionaremos este problema? Dado que en un proceso de Poisson se puede trabajar también con un volumen, por lo tanto en vez del tiempo consideraremos un intervalo de volumen

¿Cuál seria este intervalo de volumen? Serian las 431 personas encuestadas El intervalo seria de 0-431 el cual lo podemos dividir en sub intervalos que serian de 1 en 1 entonces tenemos 431 sub intervalos. Tenemos una n muy grande por lo tanto estamos concordando con el desarrollo de Poisson.

¿Cuál será las (k) entradas en el intervalo? En este caso serian los años que lleva de desempleado, entonces k=0,1,2,3,….20 y de igual forma seguimos concordando con el desarrollo de Poisson.

De acuerdo con el desarrollo de Poisson tenemos que estimar λ donde:

; Donde: ;

Por lo tanto:

De acuerdo a la siguiente tabla obtenemos la gráfica resultante a este análisis utilizando la distribución de Poisson:

Donde:

K: Cantidad de años como desempleado.

Nk: Número de intervalos (un intervalo es una persona) con esa cantidad (años de desempleado).

N= : Número de sub intervalos (número de encuestados).

T= : Cantidad total de años de desempleo en los 431 encuestados.

Tabla de Distribución Poisson:

k NK e(λ) (λ)k K! (λ)k/K! e(λ)(λ)k/K!0 102 0 0,16202575 1 1 1 0,162025751 153 153 0,16202575 1,82 1 1,82 0,294886872 86 172 0,16202575 3,3124 2 1,6562 0,268347053 39 117 0,16202575 6,028568 6 1,00476133 0,162797214 16 64 0,16202575 10,9719938 24 0,45716641 0,07407273

5 19 95 0,16202575 19,9690286 120 0,16640857 0,026962476 1 6 0,16202575 36,3436321 720 0,05047727 0,008178627 0 0 0,16202575 66,1454105 5040 0,01312409 0,002126448 4 32 0,16202575 120,384647 40320 0,00298573 0,000483779 1 9 0,16202575 219,100058 362880 0,00060378 9,7828E-05

10 5 50 0,16202575 398,762105 3628800 0,00010989 1,7805E-0511 0 0 0,16202575 725,747031 39916800 1,8181E-05 2,9459E-0612 0 0 0,16202575 1320,8596 479001600 2,7575E-06 4,4679E-0713 1 13 0,16202575 2403,96447 6227020800 3,8605E-07 6,2551E-0814 0 0 0,16202575 4375,21533 87178291200 5,0187E-08 8,1316E-0915 0 0 0,16202575 7962,8919 1,30767E+12 6,0894E-09 9,8663E-1016 0 0 0,16202575 14492,4633 2,09228E+13 6,9266E-10 1,1223E-1017 1 17 0,16202575 26376,2831 3,55687E+14 7,4156E-11 1,2015E-1118 0 0 0,16202575 48004,8353 6,40237E+15 7,498E-12 1,2149E-1219 0 0 0,16202575 87368,8002 1,21645E+17 7,1823E-13 1,1637E-1320 3 60 0,16202575 159011,216 2,4329E+18 6,5359E-14 1,059E-14

431 788


Conclusión:

Da cuerdo al resultado obtenido podemos decir que el 30% de los desempleados tienen entre un y dos años sin trabajar ò se podría decir también que dos años es el tiempo máximo que una persona puede estar sin trabajar.

Nota: Se le recomienda al profesor que esta pregunta (pregunta 4) sea reformulada, dado que el (0 años) nos podría dar una mejor información, a causa de que muchas personas tienen menos de un año sin trabajar.

DISTRIBUCIÓN UNIFORME

Caso I .- Cuál es la probabilidad de que hayan terminado la primaria las siguientes personas:

De 18 años 9 personas 9<x<18






Para todo el el conjunto en X la probabilidad es la misma de que hayan terminado la primaria

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Caso I.- Utilizando la distribución normal, calcule el tiempo medio en el cuál los encuestados han estado desempleados, con una media de 1 años y una desviación estándar de 1 año. ¿Qué porcentaje de los encuestados ha estado desempleados por más de 3 años?

Z =3-1

1Por lo tanto el 97.72% de los encuestados, han estado desempleados por mas de 3 años

=2

P(x>3)= P(x>2)

=1-P(x>2)

=1-0.9772

Caso II.- Utilizando la distribución normal, se ha calculado el tiempo medio en el cual los encuestados han estado sin drenaje, con una media de 3.51 a, y una desviación estándar de 1.899

¿Qué porcentaje de encuestados han estado sin drenaje por lo menos 3 anos?

Encuestas tomadas 100Media 3.51

Mediana 3Moda 3

Desv. Tip 1.899Varianza 3.606Rango 13

Mínimo 2Máximo 15

0 0.03221 0.09342 0.21483 0.39744 0.40135 0.37756 0.21777 0.0951

σ=1 2.28%

P(x>3)= 1-0.0228

=0.9772

97.72%

DISTRIBUCIÓN GAMMA

Donde:

F(Y)=

()=

()

y f(y)

2 2 1 0 0.98262 2 1 1 0.89242 2 1 2 0.71842 2 1 3 0.54042 2 1 4 0.38862 2 1 5 0.26992 2 1 6 0.18172 2 1 7 0.11852 2 1 8 0.07422 2 1 9 0.043742 2 1 10 0.0232 2 1 11 0.009212 2 1 12 0

=2 (n)=(n-1)! =2 parámetros 0<y<12

Hipótesis gamma:

La probabilidad de que un profesor no de horas extras es de 70%

Se rechaza y la probabilidad de que un maestro no de clases extras es de 90%.

Donde:

()

y f(y)

2 2 1 0 0.98262 2 1 1 0.89242 2 1 2 0.71842 2 1 3 0.54042 2 1 4 0.38862 2 1 5 0.26992 2 1 6 0.18172 2 1 7 0.11852 2 1 8 0.07422 2 1 9 0.043742 2 1 10 0.0232 2 1 11 0.009212 2 1 12 0

F(Y)=

()=

=4 (n)=(n-1)! =2 parámetros 1<y<12

Hipótesis gamma:

La probabilidad de que un profesor no de horas extras es de 70%

Se rechaza y la probabilidad de que un maestro no de clases extras es de 90%.

() y

f(y2)

2 6 1 0 02 6 1 1 0.0322 6 1 2 0.0320012 6 1 3 0.031982 6 1 4 0.031862 6 1 5 0.031472 6 1 6 0.03052 6 1 7 0.028662 6 1 8 0.025612 6 1 9 0.021172 6 1 10 0.015332 6 1 11 0.0081

2 6 1 12 0

Donde:

F(Y)=

()=

=8 (n)=(n-1)! =2 parámetros 1<y<12

Hipótesis gamma:

La probabilidad de que un profesor no de horas extras es de 70%Se rechaza y la probabilidad de que un maestro no de clases extras es de 90%.

Uniendo las tres gráficas no da lo siguiente

II Caso de aplicación.

Se realizo una encuesta en una escuela de nivel medio superior se toman 25 estudiantes se escoge la pregunta de cuantas personas estudian en casa el resultado fue el siguiente:

3 2 3 3 22 3 3 4 43 6 2 3 33 2 2 3 5

3 3 2 1 1

DISTRIBUCIÓN BETA

En una muestra de 431 desempleados se procedió a realizar y6 intervalos con las edades, quedando los intervalos como la siguiente tabla.

La

distribución está normalizada con una distribución α =1 y β=1

La gráfica muestra el porcentaje de desempleados de edad de 21 a 25 años.

Dando un porcentaje de 27.1

Estadísticas de 431 desempleados tomando en cuenta la Edad

Número de encuestados 431

Media 4.05

Desviación Estándar 1.523

EdadesRango Cantidad Porcentaje

Porcentaje de rango

Porcentaje acumulativo

0 a 17 años 1 11 2.6 2.6 2.6

18 a 20 años 2 59 13.7 13.7 16.2

21 a 25 años 3 117 27.1 27.1 43.4

26 a 30 años 4 84 19.5 19.5 62.9

31 a 35 años 5 31 7.2 7.2 70.1

Mayores de 36 años

6 129 29.9 29.9 100.0

Total 431 100.0 100.0

Varian 2.321

Caso IIEl porcentaje de alumnos que cuentan con habitación propia sigue una distribución beta con α = 2, β = 5. Calcule la probabilidad de que más de 10% de los alumnos cuenten con habitación propia.

La función de densidad de probabilidad de la distribución beta continua es:

Donde

Solución:

La función de densidad de probabilidad queda:

La función de distribución de probabilidad queda:

x F(x)=

0 0 00.05 1.2217 0.0327730.10 1.9683 0.1142650.15 2.3490 0.2235150.20 2.4576 0.3446400.25 2.3730 0.466064

0.30 2.1609 0.5798250.35 1.8743 0.6809200.40 1.5552 0.7667200.45 1.2353 0.8364320.50 0.9375 0.8906250.55 0.6766 0.9308010.60 0.4608 0.9590400.65 0.2926 0.9776780.70 0.1701 0.9890650.75 0.0878 0.9953610.80 0.0384 0.9984000.85 0.0129 0.9996010.90 0.0027 0.9999450.95 1.7812E-4 0.9999981.00 0 1

La probabilidad de que más de 10% de los alumnos cuenten con habitación propia.

DISTRIBUCIÓN JI CUADRADA

Caso I.- Supóngase que el tiempo de desempleo es un cierto número de años con una desviación estándar de 2.48. Si se toma una muestra al azar de 30 desempleados encuentre la probabilidad de que la varianza muestral sea mayor que S2=3.35.

El valor de 39.17 se busca en la tabla en el renglón de 29 grados de libertad. en con

Consecuencia el valor de la probabilidad es P(S2>3.35)

Caso II.- En una encuesta realizada a 90 personas se tomaron solo la distribución de acuerdo a la pregunta elaborada en la cual se mencionaba con cuantos cuartos contaba su vivienda los dígitos del 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 que se muestra en la tabla adjunta.

¿Difiere significativamente la distribución observada de la distribución esperada al nivel de 0.01?

DIGITOS Respuesta Esperada Respuesta Negada

1 17 23

2 31 23

3 29 23

4 18 23

5 14 23

6 16 23

7 20 23

8 35 23

9 30 23

10 20 23

DISTRIBUCIÓN EXPONENCIAL

:

Caso I.- De la Ciudad de México, de una muestra de 409 personas desempleadas se encontró que buscan trabajo un promedio de 11.20, y la distribución se comporta de manera exponencial ¿Cuál es la probabilidad de que hasta 14 desempleados busquen trabajo?

Función de densidad : Es una curva suave de frecuencia, que describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X. Se denota por f(x), en donde x se representa por todos los valores posibles de la variable aleatoria.

Función de Distribución : Calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.

Valor esperado y varianza

Solución:

Calculamos las funciones antes mencionadas para obtener el comportamiento de las funciones y saber si son exponenciales.

1 2 3 4 56

78

910

1112

1314

15 f(x) F(x

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f(x) F(x)

ג x f(x)=גe-גx xג-e-1=(x)F

11.2 0 11.2 0

11.2 1 1.53E-04 0.999986325

11.2 2 2.04E-09 0.999999999

11.2 3 2.86E-14 0.999999999

11.2 4 3.91E-19 0.999999999

11.2 5 5.35E-24 0.999999999

11.2 6 7.32E-29 0.999999999

11.2 7 1.00E-33 0.999999999

11.2 8 1.36E-38 0.999999999

11.2 9 1.87E-43 0.999999999

11.2 10 2.55E-48 0.999999999

11.2 11 3.50E-53 0.999999999

11.2 12 4.78E-58 0.999999999

11.2 13 6.54E-63 0.999999999

11.2 14 8.95E-68 0.999999999

En la siguiente tabla podemos apreciar que si son exponenciales

En esta tabla podemos observar bien el área bajo la función de distribución que deja la función de densidad.

Obtenemos el valor esperado ó esperanza:

Después obtenemos la Varianza:

Entonces concluimos que sea p el número de personas que buscan trabajo, tenemos que:

ó 100%

Esta es la probabilidad de que la mitad busque trabajo en dos semanas.

Caso II.- De los estudiantes de nivel medio superior, de una muestra de 100 alumnos se encontró que en sus hogares vive un promedio de 5.31 personas, y la distribución se comporta de manera exponencial ¿Cuál es la probabilidad de que vivan hasta 5 personas?

Función de densidad: Es una curva suave de frecuencia, que describe la distribución de probabilidad de una variable aleatoria continua X. Se denota por f(x), en donde x se representa por todos los valores posibles de la variable aleatoria.

Función de Distribución: Calculada como el área que deja por debajo de sí la función de densidad.

Valor esperado y varianza

Solución:Calculamos las funciones antes mencionadas para obtener el comportamiento de las funciones y saber si son exponenciales.

ג x f(x)=גe-גx xג-e-1=(x)F100/531 0 188.3239E-03 0100/531 1 155.9974E-03 171.6536E-03100/531 2 129.2199E-03 313.8423E-03100/531 3 107.0388E-03 431.6237E-03100/531 4 88.6652E-03 529.1876E-03100/531 5 73.4455E-03 610.0043E-03

En la siguiente tabla podemos apreciar que si son exponenciales

1 2 3 4 56

78

910

1112

1314

15 f(x) F(x

)

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

0.8

0.9

1

f(x) F(x)

Entonces concluimos que sea p el número de personas que buscan trabajo, tenemos que:

DISTRIBUCION T DE STUDENT.

Caso I.- Pasando a otra pregunta de la misma encuesta realizada a los alumnos de nivel medio superior se noto que al menos un 85% tiene un buen suministro de agua, tomando como muestra

aleatoria de tamaño 25 y se encuentra que la media muestral es la desviación estándar es

de 5 puntos. ¿Como podremos comprobar con esto a que en realidad el 85% tiene buen suministro?

Hipótesis nula, H0: μ = 30 Hipótesis alternativa, H1: μ > 30

El estadístico t será: t = x – μ / σ * √n = 17 – 30 / 5 * (25)^1/2 = 13

Y tendremos una distribución de t con Ø = 25 – 1 = 24 grados de libertad. Si admitimos α = 1.5 por cierto, como esta es una prueba unilateral o de un extremo, obtenemos

P(-0.85< t <0.85 │Ø = 24) = 0.2

Como t = 0.2 , la probabilidad de elegir una muestra con x 17, o mayor, de una población con μ = 30 será menor que 1.5 por cierto.

Por tanto, la diferencia entre x y μ es significativa y rechazamos la hipótesis nula de

μ = 30 y aceptamos la alternativa de μ > 30.

SOLUCION:

X2 = (17 - 23)2 / 23 + (31 - 23)2 / 23 + (29 - 23)2 / 23 + (18 - 23)2 / 23 +(14 - 23)2 / 23 (16 - 23)2 / 23+ (20 - 23)2 / 23+ (35 - 23)2 / 23 + (30- 23)2 / 23 +(20 - 23)2 / 23 =29.05

El valor critico de X20.99 para v = k – 1 = 9 grados de libertad es de 21.7; como

29.05> 21.7 se deduce que la distribución observada difiere significativamente de la esperada al nivel de significación del 0.01. Se deduce que cabe sospechar alguna tendencia no aleatoria en dicha tabla de números.

DISTRIBUCIÓN F.

Caso I.- De acuerdo con los resultados del análisis hecho a las encuestas aplicadas a los alumnos del CETis35 se encuentra que el porcentaje de alumnos que cuentan con habitación propia sigue una distribución F con d1 = 100, d2 = 2.

La función de densidad de probabilidad de la distribución beta continua es:

Donde

Solución:

Debido a que esta distribución cambia muy rápido en sus primeros puntos, debemos evaluar valores muy pequeños para observar los cambios. Por lo tanto recurrimos a la ayuda de un software (MathCad), evaluamos la función de distribución y construimos la grafica. A continuación se enumeran algunos puntos:

g(x)

0 01 0.3642 0.1513 0.0794 0.0485 0.0336 0.0237 0.0188 0.0149 0.01110 9.031e-3

Grafica de la Distribución F con d1 = 100, d2 = 2 grados de libertad

aplicaciones distribuciones de probabilidad 2

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