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Matemáticas| Tramo 4 | Bloque 4 | Unidad 2 | Probabilidad

Nombre y apellidos:

1) Si elegimos al azar una persona de tu clase, ¿qué es más probable que sea?a) Chico o chica.b) Rubio o moreno.c) Mayor o menor de 20 años.

2) Para el experimento aleatorio que consiste en lanzar una moneda, ¿cuál es el espacio muestral?

3) Se lanza al aire un dado. Escribe el espacio muestral: E = { }. Escribe los sucesos elementales que componen los siguientes sucesos:

a) Salir un número par: PAR = { }b) Salir un número menor que 3: ____________________________________________c) Salir un número que sea múltiplo de 3: ______________________________________

4) Lanzamos dos veces una moneda. Escribe todos los sucesos aleatorios posibles, es decir, el espacio muestral:

5) En una bolsa hay bolas rojas, verdes y azules. Para el experimento que consiste en sacar una bola y mirar de qué color es, ¿cuál es el espacio muestral?

6) Lanzamos 3 veces una moneda. Escribe todos los sucesos aleatorios posibles, es decir, el espacio muestral:

(C,C,C) (C,C,+) ________ ________ ________ ________ ________ ________

7)En una bolsa hay bolas rojas, verdes y azules. Para el experimento que consiste en sacar dos bolas y mirar de qué colores son, ¿cuál es el espacio muestral?

CEPA Fuerteventura Sur Página 1 de 12

Experimento determinista. Es aquel cuyo resultado se puede predecir, es decir, podemos saber lo quesucederá antes de que ocurra. Por ejemplo: Si ponemos agua a calentar sabemos que hierve a 100ºC. Si uncoche circula a 90 km/h tarda 2 horas en recorrer 180 km.

Experimento aleatorio: es aquel cuyo resultado no se puede predecir. Cualquier situación deincertidumbre sometida a observación es un experimento aleatorio. Por ejemplo: lanzar una moneda al aireo tirar un dado.

Suceso elemental: es cada uno de los resultados posibles de un experimento aleatorio. Un suceso puedeestar formado por uno o varios sucesos elementales.

Espacio muestral: es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio.

Ejemplo: Para el experimento aleatorio consistente en lanzar un dado, lo sucesos aleatorios son cada uno delos resultados posibles. El espacio muestral es E = {1,2,3,4,5,6}, es decir, el conjunto de todos los sucesosaleatorios posibles.

ALGUNAS DEFINICIONES IMPORTANTES



Consideremos el experimento de lanzar una moneda y anotar su resultado, A priori podemos decirque los dos resultados posibles, cara y cruz, son equiprobables, es decir, tienen la mismaprobabilidad de ocurrir.

Si lanzamos la moneda 10 veces lo que esperamos es que salga 5 veces cara y 5 veces cruz. Sinembargo, al realizar el experimento obtenemos lo siguiente:

xi fi hi

Cara 3 0’3Cruz 7 0’7

Como ves, la diferencia entre el resultado real y el esperado es muy grande. Veamos qué ocurre siaumentamos sucesivamente el número de lanzamientos:

Como puedes observar, a medida que el número de lanzamientos es mayor, las frecuencias relativascorrespondientes tanto a cara como a cruz se van acercando a 0’5, es decir, a lo esperado. Cuantasmás veces lancemos la moneda más tenderá a salir la mitad de las veces cara y la mitad cruz.

Lo mismo ocurriría si lanzamos un dado cierto número de veces. Lo esperado es que cada posiblesuceso aleatorio (cada número que puede salir, del 1 al 6) salga una de cada 6 veces, es decir, loesperado es lo que se ve en la siguiente tabla (por ejemplo para 6 lanzamientos):

Visto lo anterior nos damos cuenta de que a medida que aumenta de forma indefinida el númerode pruebas de un experimento, la frecuencia relativa de un suceso tiende a estabilizarsealrededor de un número. Este número es la probabilidad del suceso.

Es decir, es la probabilidad de un suceso es la frecuencia relativa esperada de ese suceso.

LEY DE LOS GRANDES NÚMEROS. DEFINICIÓN DE PROBABILIDAD.

Frecuencia absoluta(fi) es el número de veces que ocurre un suceso.Frecuencia relativa(hi) es la proporción de veces que ocurre el suceso, y se obtienedividiendo fi entre el número total de datos, que en este caso es el número de veces quese ha repetido el experimento.

50 lanzamientos:xi fi hi

Cara 21 0’42Cruz 29 0’58


Cara 43 0’43Cruz 57 0’57


Cara 92 0’46Cruz 108 0’54

xi fi hi

1 1 1/6 = 0’1672 1 1/6 = 0’1673 1 1/6 = 0’1674 1 1/6 = 0’1675 1 1/6 = 0’1676 1 1/6 = 0’167

Al lanzar el dado 6 veces probablemente no ocurrirá lo esperado.Pero a medida que el número de veces que lanzamos el dadoaumenta, la frecuencia relativa de cada uno de los sucesos posiblesse irá acercando progresivamente a 1/6. Esto se conoce como Leyde los grandes números.

8) Supón que tenemos un dado trucado, es decir, un dado en el que no todas las caras tienen la mismaprobabilidad de salir. ¿Cómo podríamos calcular la probabilidad aproximada de cada posible resultado?

9) Ejercicio opcional: En casa comprueba el experimento de la moneda por ti mismo. Haz las tablas de10 lanzamientos, 50, 100, 200, y comprueba si cuantos más lanzamientos se hagan más se acerca lafrecuencia relativa tanto de cara como de cruz a 0’5.

Recuerda


Saqueadores de casinos: Los Pelayo.

Si alguien le dijese que ha encontrado un método para derrotar a la ruleta del casino, ¿qué pensaría?Yo, desde luego, lo pondría en duda. Ya que matemáticamente, tienes todas las de perder, incluso conel método del que ya se ha hablado en otra ocasión en este blog, la martingala. Entonces, ¿cabríapensar que si alguien gana en la ruleta cierta suma de dinero, podemos decir que ha tenido suerte? Yodiría que sí, pero ¿y si no gana una ni dos? ¿y si gana una y otra vez hasta ser expulsados de grandescasinos como los de Madrid, París e incluso de las Vegas? Es el caso de la familia los Pelayos, que sinhacer trampas, se endosaron una desmesurada fortuna. ¿Cómo?

Encabezados por Gonzalo García-Pelayo e Iván García-Pelayo, padre e hijo, se hicieron la siguientepregunta: “¿son todos los números de la ruleta equiprobables?” La respuesta no es tan clara comoparece, una ruleta está sujeta a múltiples leyes, es decir, no existe la ruleta matemáticamente exacta enla realidad. Pueden existir deformaciones en la ruleta que no sean captadas por el ojo humano, unadesviación en el eje de la ruleta que se incline a favor de ciertos números, o incluso un magulladura enla ruleta puede modificar la trayectoria de la bolita entre otras cosas.

El método, por tanto, era averiguar qué números eran más susceptibles a salir debido estosaparentemente insignificantes defectos. Dejemos a Gonzalo García-Pelayo que nos cuente su métodoen un fragmento del libro La fabulosa historia de los Pelayos:

“Basándose en la premisa de que algunas ruletas concretas deben tener algunaimperfección física y que no existe la ruleta perfectamente aleatoria (abombamientos, tamaño de loscasilleros de los números, flexibilidad de las placas separadoras, etc.) basta con examinar losnúmeros ganadores durante varios miles de lanzamientos buscando un sesgo hacia los que másfrecuentemente aparecen. Si la ruleta tiene una pequeña deformación o abombamiento y, digamos, el21 está en un “valle”, tal vez salga con más frecuencia de lo que cabría esperar y superados ciertosvalores es favorable apostarlo (puede que ese sesgo supere la ventaja teórica del 2,7% del casino).Tras examinar al menos 5.000 lanzamientos sobre una ruleta real, se analizan los números que hansalido más de lo normal. Salir “más de lo normal” significa que ese número aparezca “más de 1/36de las veces”, que sería lo habitual para obtener un premio”.

Los Pelayo aprovecharon esto, y quisieron utilizarlo para su propio beneficio, ¡y vaya que sifuncionó! En la década de los 90 arrasaron ganando más de 250 millones de nuestras antiguas pesetas.Esto ocasionó varios conflictos entre ellos y los casinos, que no se explicaban cómo podían conseguirtanto dinero, debía haber trampa… pero no la había. Enemigos y más de un susto se han llevado portodo el mundo: Australia, centro de Europa, Las Vegas,… ya imaginaréis el porqué, el casino nopuede perder, y si pierde, tiene que solucionarlo a cualquier precio.

(Extraído del blog “eulerianos.com”)


http://eulerianos.com/arruinar-al-casino-la-martingala/


10) Calcular la probabilidad y el porcentaje de posibilidades de los siguientes sucesos:a) Que al tirar un dado salga un 3.

b) Que al tirar una moneda salga cruz.

c) Que al tirar un dado salga un número par.

d) Que al tirar un dado salga un número mayor que 2.

e) Que al sacar una carta de la baraja española salga el 3 de oros.

f) Que al sacar una carta de la baraja española sea bastos.

g) Que al sacar una carta de la baraja española sea un rey.

h) Que al sacar una carta de la baraja española sea una figura.

i) Ganar la ONCE con un solo número (en la ONCE los números van desde el 0 hasta el 99999).

11) En unas oposiciones se hace un examen teórico en el que se elige un tema de entre 60 temas posibles. He estudiado a fondo 25 temas. ¿Qué probabilidad hay de que salga uno de los temas que he estudiado? Calcula también el porcentaje de posibilidades.


LEY DE LAPLACE.

Si en un experimento todos los sucesos elementales son equiprobables la probabilidad de cualquier suceso se puede calcular así:

P(S )=Nº casos . favorablesNº casos . posibles

Ejemplo: imagina que tenemos un saco con 12 bolas rojas y 18 bolas verdes. El experimento es sacaruna bola y ver de qué color es. La probabilidad de que la bola sea roja es:

P( Roja)=1230

=0 ' 4

Si multiplicamos la probabilidad por 100, obtenemos el porcentaje de posibilidades. El porcentaje deposibilidades de que al sacar la bola del saco ésta sea roja es el 40%.

Es decir, según la Ley de Laplace, la probabilidad de de unsuceso es el nº de casos favorables dividido entre el nº decasos posibles. Los casos posibles han de ser equiprobables.


12) En una urna hay 3 bolas rojas, 2 blancas y 5 azules. Si extraemos una bola, calcula:a) Probabilidad de que sea roja:

b) Probabilidad de que sea roja o azul:

c) Probabilidad de que sea blanca:

d) Probabilidad de que sea azul o blanca:

13) Calcula:a) La probabilidad de obtener un caballo al sacar una carta de la baraja española.

b) La probabilidad de no obtener un caballo al sacar una carta de la baraja española.

14) Si según el Instituto Nacional de Meteorología la probabilidad de que hoy llueva es P(lluvia)=0’4, ¿cuál es la probabilidad de que no llueva hoy?

15) En el ejercicio 9 calculaste la probabilidad de que en unas oposiciones saliera uno de los temas quehabía estudiado. ¿Cuál es la probabilidad de que no salga uno de los temas que había estudiado?


Suceso imposible es el que no tiene ninguna posibilidad de ocurrir. Su probabilidad es 0. Por ejemplo, quesalga un 7 al lanzar un dado.

Suceso seguro es el que va a ocurrir con toda certeza. Su probabilidad es 1. Por ejemplo, que salga unnúmero del 1 al 6 al tirar un dado.

La probabilidad siempre está entre 0 y 1. 0 simboliza imposibilidad y 1 la certeza absoluta. Los valoresintermedios implican cierto grado de incertidumbre.

Al sacar una carta los sucesos “sacar oros” y “no sacar oros” son sucesos contrarios. El suceso contrario aS se escribe S . Siempre se cumple que:

P(S )+P( S )=1y por lo tanto:

P(S )=1−P( S )Ejemplo: La probabilidad de obtener oros al sacar una carta de la baraja española es

P(oros )=1040

=0' 25 . Por tanto la probabilidad de no obtener oros es P( o r o s )=1−0 ' 25=0 ' 75

PROPIEDADES DE LA PROBABILIDAD.


16)Se lanzan dos dados al aire y anotamos la menor de las puntuaciones. ¿Cuál es la probabilidad de que salga 4? (Ejercicio de la prueba de acceso a ciclos formativos de grado superior en Canarias 2012).

17) Considera el experimento de lanzar dos dados y sumar los números que aparezcan. Calcula lo siguiente (ayuda: puedes utilizar también la tabla de doble entrada del ejercicio anterior):

a) La probabilidad de que salga un 7.

b) La probabilidad de que no salga un 7.

c) La probabilidad de obtener un múltiplo de 3.

d) La probabilidad de no obtener un múltiplo de 3.




EXPERIMENTOS COMPUESTOS.

Sucesos independientes: dos sucesos son independientes cuando la realización de uno no condiciona la realización del otro. Ejemplo: Si lanzamos una moneda dos veces la probabilidad de obtener cara en la segunda tirada no depende del

resultado de la primera. Por lo tanto son sucesos independientes. Si escogemos una persona al azar los sucesos “tener más de 25 años” y “estar casado” son sucesos

dependientes, pues si tiene más de 25 años es más probable que esté casado.

Cuando dos sucesos son independientes la probabilidad de que ambos ocurran es la multiplicación delas probabilidades de dichos sucesos.Ejemplo 1: Imagina el experimento de lanzar un dado y lanzar una moneda. ¿Qué probabilidades hay de obtener un 2 (en el dado) y cara (en la moneda)?

P(2,cara )=16⋅

12=

112

=0' 0833

¿Cuál es la probabilidad de obtener un número par y cruz?

P( par , cruz )=36⋅12=

312

=0 ' 25

Ejemplo 2: Supongamos que tenemos en una bolsa 3 bolas rojas y 7 blancas.¿Cuál es la probabilidad de que al sacar al azar dos bolas sean las dos rojas?

P(roja ,roja)=3

10⋅

29=

690

=0 ' 06

¿Y la probabilidad de que sean las dos blancas?

P(blanca, blanca)=

¿Cuál es la probabilidad de que sea cada una de un color?A la derecha puedes ver un árbol con todos los

posibles resultados. Para responder a la preguntaanterior hay que tener en cuenta que puede ser quesalga primero una bola roja y luego una blanca, oal revés. Cualquiera de esos dos resultados nosvale. Por tanto:

P(roja,blanca)=3

10⋅

79=

730

=0 ' 23

P(blanca,roja)= 7

10⋅

39=

730

=0 ' 23

P(cada una de un color)= =7

30+

730

=1430

=0 ' 46


18) Calcula la probabilidad de que al lanzar un dado y sacar una carta de la baraja española:a) Salga un 4 y un caballo.

b) Un número par y un oro.

c) Un número mayor que 2 y una figura de copas.

19) Tenemos una urna con 3 bolas verdes y 2 bolas rojas. Extraemos dos bolas. ¿Cuál es la probabilidad de que ambas sean verdes?

20) Una urna contiene 5 bolas negras y 3 blancas. Extraemos 3 bolas. a) ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean blancas?

b) ¿Y de que las tres sean negras?

21) Se lanzan dos monedas y un dado. ¿Cuál es la probabilidad de obtener cruz en las monedas y un número par en el dado?

22) Calcula la probabilidad de que al sacar tres cartas de una baraja española sean las tres copas.a) Devolviendo la carta al mazo.

b) Sin devolver la carta al mazo.

23) De dos barajas españolas distintas se extrae una carta de cada una. Calcula la probabilidad de que:a) Las dos sean espadas.

b) Al menos una no sea espadas.

c) Una sea espadas y la otra oros (ten en cuenta que puede ser en cualquier orden, es decir, primero espadas y luego oros, o al revés).



24) Realiza los mismos cálculos del ejercicio anterior pero sacando las dos cartas de la misma baraja:a) Las dos sean espadas.

b) Al menos una no sea espadas.

c) Una sea espadas y la otra oros.

25) Un jugador de baloncesto lanza dos tiros libres. Sabiendo que encesta el 70% de los tiros libres que lanza, calcula:

a) Probabilidad de que enceste los dos tiros:

b) Probabilidad de que no enceste ninguno:

c) Probabilidad de que sólo enceste uno:

26) Al lanzar 4 monedas, calcula por el método más rápido (pista: para el apartado b te puede ser útil lo visto en las propiedades de la probabilidad acerca de sucesos contrarios):

a) La probabilidad de obtener 4 caras.

b) La probabilidad de obtener al menos una cruz.

27) Calcula la probabilidad de acertar en la quiniela de fútbol los 14 resultados y el pleno al 15 con una sola apuesta (supón que en cada partido los sucesos 1, X, y 2 son equiprobables).



28) Calcula la probabilidad de ganar la lotería primitiva con una sola apuesta.

29) Imagina que te presentas a unas oposiciones. En el examen se sortea 2 temas de entre los 50 quecomponen el temario. El alumno elige uno de esos 2 temas y lo desarrolla. Supón que te has preparadoa fondo 20 temas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que ninguno de los 2 temas que salen sea uno de los que hasestudiado?

b) ¿Cuál es la probabilidad de que al menos uno de esos 2 temas sea uno de los que has estudiado?

30) La probabilidad de acertar en la diana con una flecha es 0’6. Si se tiran tres flechas de forma consecutiva, calcula la probabilidad de (recomendación: haz un árbol con los posibles resultados):

a) No hacer diana con ninguna de las tres flechas:

b) Hacer diana con las tres flechas:

c) Hacer diana con al menos dos flechas:



31) Ejercicio de la prueba de acceso a ciclos de grado superior 2011.




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