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Tema 4: Probabilidad y Teoría de MuestrasEstadística. 4o Curso.

Licenciatura en Ciencias Ambientales

Licenciatura en Ciencias Ambientales (4o Curso) Tema 4: Probabilidad y Teoría de Muestras Curso 2008-2009 1 / 8

Índice

1 Introducción

2 Espacio de probabilidad

3 Variables aleatorias.Independencia

4 Parámetros de una variable aleatoria

5 Principales distribuciones de probabilidad

6 Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria

7 Distribuciones muestrales


6. Muestra Aleatoria Simple de una variable aleatoria

DefiniciónAl medir la variableX en todos los individuos de la muestra de tamañon, obtenemosn datos numéricos de dicha variable.Desde el punto de vista teórico (antes de haber elegido los sujetos sobre los querealizar las mediciones), los datos, todavía desconocidos, se representan mediante lasvariables aleatoriasX1, . . . , Xn. Si estas variables verifican:

a) Son independientes, es decir, la medición de la variableX sobre cada individuode la muestra no influye en las mediciones realizadas sobre el resto de individuosde dicha muestra.

b) Tienen idéntica distribución de probabilidad queX, es decir, las sucesivasmediciones de la variable se han hecho bajo las mismas condiciones.

se dice que forman unaMuestra Aleatoria SimpledeX.

EstadísticosUn estadístico es una función de la Muestra Aleatoria SimpleX1, . . . , Xn. Por ejemplola media muestral̄X, la varianza muestralS2. Son también variables aleatorias ysintetizan la información contenida en la muestra.


7. Distribuciones muestrales

DefiniciónPuesto que los estadísticos son variables aleatorias tienen distribución de probabilidada las que llamaremosdistribuciones muestrales.A continuación estudiaremos distribuciones muestrales que se relacionan con datosprocedentes de una variableX ∼ N(µ, σ).

Concretamente, si tenemos una Muestra Aleatoria Simple de dicha variable,estudiaremos las distribuciones muestrales que se corresponden con losestadísticos media muestral,X̄, y varianza muestral,S2.

Si tenemos sendas Muestras Aleatorias Simples de dos variablesX eY, veremosla distribución muestral que se corresponde con el cociente de las varianzas deambas muestras,S2

X/S2Y.



Distribuciones muestrales relacionadas conX̄

Distribución Normal X̄ ∼ N(µ,σ√n) tipificando

X̄− µ

σ/√

n∼ N(0, 1)

Distribución t de StudentX̄− µ

S/√

n∼ t(n− 1)

El símbolot(n− 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución deprobabilidad llamadat de Studentconn− 1 grados de libertad. Esta distribución, esmuy parecida a laN(0, 1) y su función de densidad es muy compleja.

−4 −2 0 2 4

0.0

0.1

0.2

0.3

t(4)



Distribución muestral relacionada conS2

Distribución Chi Cuadrado(n− 1)S2

σ2∼ χ2(n− 1)

El símboloχ2(n− 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución deprobabilidad llamadachi cuadradoconn− 1 grados de libertad. Esta distribuciónsólo toma valores positivos y su función de densidad es muy compleja. En el siguientegráfico aparecen densidades chi cuadrado con 3 (línea continua) y 5 (líneadiscontinua) grados de libertad:

0 2 4 6 8 10

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25

χ2(3) y χ2(5)



Distribución muestral relacionada conS2X/S2

Y

Distribución F de SnedecorS2

X/σ2X

S2Y/σ2

Y

∼ F(n− 1, m− 1)

El símboloF(n− 1, m− 1) nos dice que el cociente anterior tiene una distribución deprobabilidad llamadaF de Snedecorconn− 1 y m− 1 grados de libertad. Estadistribución sólo toma valores positivos y su función de densidad es muy compleja.Su representación gráfica es parecida a la de la chi cuadrado:

0 2 4 6 8 10

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

F(3,5)



Muestras grandes. Distribuciones muestrales aproximadasHasta el momento hemos supuesto que tenemos una Muestra Aleatoria Simple de unauna variable aleatoria con distribuciónN(µ, σ).

Si la muestra es grande, aunque no proceda de una variable normal, podemos obtenerdistribuciones muestrales aproximadas.Supongamos que tenemos una muestraX1, . . . , Xn de una variable aleatoria no normalcon mediaµ y desviación típicaσ.

Si n > 30X̄− µ

σ/√

naprox∼ N(0, 1)

Si n > 100X̄− µ

S/√

naprox∼ N(0, 1)


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