Distribuciones de Probabilidad

Variable aleatoria

Objetivos de la clase:

• Variable Aleatoria.

• Distribución de probabilidades.

• Distribución de probabilidad discreta

El estudiante estará en capacidad de comprender

los conceptos de:

VariableEstadística

Variable:

Variable en estadística

• Característica observable en los individuos de una población

Una estadística de muchas personas:

• Se entrevista a 140 personas para preguntarles sobre sus preferencias en el uso de marcas de productos para la limpieza del cabello. Los resultados se muestran a continuación:

Marca frecuencia

H & S 68

Sedal 34

Pert 23

Clear 15

140

68

34

23

15

0

10

20

30

40

50

60

70

80

H & S Sedal Pert Clear

Fre

cuen

cias

Marcas

Distribuciones de Frecuencias

• Relación de todas las categorías de una variable y sus frecuencias correspondientes:

Marca frecuencia

H & S 45

Sedal 34

Pert 23

Clear 15

140

Variable

Categorías de la Variable

Frecuencias

68

34

23

15

0

10

20

30

40

50

60

70

80

H & S Sedal Pert Clear

Fre

cuen

cias

Marca

Distribuciones de Frecuencias

• Relación de todas las categorías de una variable y sus frecuencias correspondientes:

Variable

Categorías de la Variable

Frecuencias

Variable Aleatoria

• Variable aleatoria es aquella que tiene resultados aleatorios.

Tipos de Variables Aleatorias

• Las variables que tienen categorías o resultados que no admiten decimales.

• Los resultados son producto del conteo

Discretas

• Las variables que se expresan en números reales.

• Sus resultados son producto de una medición.

Continuas

Tipos de variables

Variable Aleatoria

Discreta

De frecuencias

Binomial

Hipergeométrica

Continua

Uniforme

Normal

Distribución de probabilidades

• En una encuesta se toma aleatoriamente a individuos que transitan por una céntrica calle y se les pregunta por el número de hijos que tiene cada uno:

N° de Hijos fi

0 361 452 153 124 65 36 3

110

P(x)0.300

0.3750.1250.100

0.0500.025

0.0251

Distribución de probabilidades

• En una encuesta se toma aleatoriamente a individuos que transitan por una céntrica calle y se les pregunta por el número de hijos que tiene cada uno:

N° de Hijos

0123456

P(x)0.3000.3750.1250.100

0.0500.025

0.0251

0.3

0.375

0.125

0.1

0.05

0.025 0.025

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6

P(x)

Distribución de probabilidades

• Relación de categorías de una variable aleatoria y sus correspondientes medidas de probabilidad.

N° de Hijos

0123456

P(x)0.3000.3750.1250.1000.0500.0250.0251

0.3

0.375

0.125

0.1

0.05

0.025 0.025

0

0.05

0.1

0.15

0.2

0.25

0.3

0.35

0.4

0 1 2 3 4 5 6

P(x)

Ejemplo:

• John Ravichagua vende automóviles nuevos en Huanca Motors.

• Por lo general, John vende la mayor cantidad de automóviles el sábado.

• Ideo la siguiente distribución de probabilidades de la cantidad de automóviles que espera vender un sábado cualquiera.

Ejemplo:

Cantidad de automóviles

vendidos

ProbabilidadP(x)

0 0.10

1 0.20

2 0.30

3 0.30

4 0.1

¿Es una distribución de probabilidades?

Si es una distribución de probabilidades la suma de todas las probabilidades es igual a 1

1

Ejemplo:

Cantidad de

automóviles vendidos

Probabilidad

P(x)

0 0.10

1 0.20

2 0.30

3 0.30

4 0.10

1

¿Cuántos automóviles espera vender John un sábado normal?

µ = Σ[xi . P(x)]

µ = 0(0.10)+1(0.20)+2(0.30)+3(0.30)+4(0.10)

Los autos que se espera vender son iguales al Valor Esperado o Media

µ = 2.1 autos en promedio

Ejemplo:

Cantidad de

automóviles vendidos

Probabilidad

P(x)

0 0.10

1 0.20

2 0.30

3 0.30

4 0.10

1

¿Cuál es la desviación estándar de a venta de autos? (riesgo)

µ = Σ(𝒙𝒊 − 𝝁)𝟐 ∗ P(x)

σ = 𝟎 − 𝟐. 𝟏 𝟐 𝟎. 𝟏𝟎 + 𝟏 − 𝟐. 𝟏 𝟐 𝟎. 𝟐𝟎 + . . . + 𝟒 − 𝟐. 𝟏 𝟐 𝟎. 𝟏𝟎

Los autos tienen una desviación estándar:

σ = 1.136 autos

Ejemplo:

Cantidad de

automóviles vendidos

Probabilidad

P(x)

0 0.10

1 0.20

2 0.30

3 0.30

4 0.10

1

¿Cuál es la probabilidad de que se venda 2 o 3 autos?

P(2 ó 3) =P(2) + P(3)

P(2 ó 3) = 0.30 + 0.30

Los eventos son excluyentes:

P(2 ó 3) = 0.60

Ejemplo:

Cantidad de

automóviles vendidos

Probabilidad

P(x)

0 0.10

1 0.20

2 0.30

3 0.30

4 0.10

1

¿Cuál es la probabilidad de que se venda como mínimo 1auto?

P(máx 2) =P(1) + P(2) + P(3) + P(4)

P(máx 2) = 1 – P(0)

Los eventos son excluyentes:

P(máx 2) = 0.90

Ejemplo 2

• La información que sigue representa el numero de llamadas diarias al servicio de emergencia por el servicio voluntario de ambulancias de , Carolina del Sur, durante los últimos 50 días.

N° de llamadas

xi

N° de díasfi

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

Ejemplo 2

• ¿Cuál es el valor esperado y la desviación estándar?.

N° de llamadas

xifi

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

μ = 1.7

ϭ = 1.005

Ejemplo 2

• ¿Cuál es la probabilidad de que se efectúen como máximo 3 llamadas?.

Númerode

llamadasFi

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

P(3) = 9

50

P(3) = 0.18

Ejemplo 2

• ¿Cuál es la probabilidad de que se efectúen una o ninguna llamada?

Númerode

llamadasFi

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

P(1 o 0) = 8

50+ 10

50

P(1 o 0) = 18

50

P(1 o 0) = 0.36

Ejemplo 2

• ¿Cuál es la probabilidad de que se efectúen como mínimo 2 llamadas?

Númerode

llamadasFi

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

Mínimo 2 llamadas x ≥ 2

P(x ≥ 2) = 22

50+ 9

50+ 1

50

P(x ≥ 2) = 0.64

Ejemplo 2

• ¿Cuál es la probabilidad de que nose efectúen como mínimo 2 llamadas?

Númerode

llamadasFi

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

Mínimo 2 llamadas ~x ≥ 2

P(~x ≥ 2) = P(0) + P(1)

P(~x ≥ 2) = 8

50+ 10

50

P(~x ≥ 2) = 1- P(x ≥ 2)

~

P(~x ≥ 2) = 1- 0.64

P(~x ≥ 2) = 0.36 P(~x ≥ 2) = 0.36

Ejemplo 2

• ¿Cuál es la probabilidad de que nose efectúen 4 llamadas?

Númerode

llamadasFi

0 8

1 10

2 22

3 9

4 1

50

4 llamadas ~4

P(~4) = P(0)+P(1)+P(2)+P(3)

~

P(~4) = 1- P(4)

P(~4) = 1 -1

50= 0.02