universidad autonoma san francisco matematica y estadistica aplicaca i distribuciones discretas de...
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UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN UNIVERSIDAD AUTONOMA SAN FRANCISCOFRANCISCO
MATEMATICA Y ESTADISTICA APLICACA MATEMATICA Y ESTADISTICA APLICACA II
DISTRIBUCIONES DISTRIBUCIONES DISCRETAS DE DISCRETAS DE PROBABILIDADPROBABILIDAD
Indica en una lista todos los resultados posibles de un experimento, junto con la probabilidad correspondiente a cada uno de los resultados.
Una distribución o densidad de probabilidad de una variable aleatoria x es la función de distribución de la probabilidad de dicha variable Área de curva entre 2 puntos representa la probabilidad
de que ocurra un suceso entre esos dos puntos. Distribuciones probabilidad pueden ser discretas o
continuas, de acuerdo al tipo de. Hay infinidad distribuciones probabilidad, (1
c/población), pero hay ciertas distribuciones “modelo”: Normal Binomial Ji-cuadrado "t" de Student, F de Fisher -1 0 +1-1 0 +1
Supongamos que queremos conocer el número de caras que se obtienen al lanzar tres veces una moneda al aire (Experimento).Los posibles resultados son:0, 1, 2, y 3 caras.Pregunta:¿Cuál es la distribución de probabilidad del número de caras?
Hay ocho posibles resultados:En el primer lanzamiento puede caer cruz (T), otra cruz en el segundo y otra en el tercero.O puede caer cruz, cruz y cara (H), en ese orden.
Resultado
posible
Primero Segundo Tercero Número de
caras (H)
12345678
TTTTHHHH
TTHHTTHH
THTHTHTH
01121223
* T significa cruz y H significa cara
000.18
8
Número de caras x
Probabilidad del resultado
P(x)
0
1
2
3
Total
125.08
1
375.08
3
125.08
1
375.08
3
000.18
8
Es la cantidad que da como resultado de un experimento, y debido al azar, puede tomar valores diferentes.
Pueden ser variables aleatorias discretas o continuas
Variable que solo puede tomar ciertos valores claramente separados.
Ejemplo:Las puntuaciones otorgadas por los jueces a los deportistas de Danza Rítmica son cifras decimales
como: 7.2, 8.7 y 9.7.
Son discretos porque existe una distancia entre estas puntuaciones por ejemplo: entre 8.7 y 8.8 no puede ser la puntuación 8.74 o 8.747.
Es la cual puede tomar un valor de una cantidad infinitamente grande de valores, dentro de ciertas limitaciones.
Ejemplo:
La distancias (en millas) entre la Tierra y la Luna es de 238857.1234 millones, y así sucesivamente dependiendo de la precisión de dispositivo de medición.
Es un valor típico que sirve para representar una distribución de probabilidades.
También es el valor promedio, a largo plazo de la variable aleatoria.
Es conocida también como su “valor esperado” o “esperanza matematica”
xPx.
MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN MEDIA DE UNA DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADDE PROBABILIDAD
P(x) = Probabilidad que puede tomar la variable aleatoria x
Juan Pablo Torres vende automóviles nuevos de la agencia TroncoMovil. Generalmente, los sábados vende el mayor numero de vehículos. El Sr. Torres, tiene la siguiente distribución de probabilidad que espera vender en un día sábado en particular Número de automóviles
vendidos
x
Probabilidad
P(x)
0 0.10
1 0.20
2 0.30
3 0.30
4 0.10
Total 1.00
En un sábado común, En un sábado común, ¿cuántos vehículos ¿cuántos vehículos
espera vender?espera vender?
El número medio de automóviles vendidos se calcula estimando la cantidad de vehículos vendidos, con la probabilidad de vender ese número, y luego se suman todos los productos aplicando la fórmula:
xPx.
1.2
)10.0(4)30.0(3)30.0(2)20.0(1)10.0(0
)(.
xPx
Reemplazando:
Respuesta: 1.2
Número de automóviles
vendidosx
ProbabilidadP(x) x . P(x)
0 0.10 0.00
1 0.20 0.20
2 0.30 0.60
3 0.30 0.90
4 0.10 0.40
Total 1.00 = 2.10
Tenemos la siguiente tabla:
Este valor nos indica que, en un gran número de sábados, el Sr. Torres espera vender un promedio de 2.10 vehículos por día. Por tanto, a la media se la denomina valor esperado ya que desde luego no se puede vender 2.10 autos.
VARIANZAVARIANZA
Se utiliza para describir el grado de dispersión o variación en una distribución de probabilidades.
Fórmula:
)(.)( 22 xPx
Varianza 2 σ
1. Restar la media (u) a cada valor (x) y elevar la diferencia al cuadrado.
2. Multiplicar el cuadrado de cada diferencia , por su probabilidad (P(x)).
3. Sumar los productos resultantes para obtener finalmente la varianza.
2)( x
Del mismo ejemplo anterior de la agencia TroncoMovil del Sr. Torres.
Número de automóviles
vendidos
x
Probabilidad
P(x)
0 0.10
1 0.20
2 0.30
3 0.30
4 0.10
Total 1.00
¿Cuál es la varianza ¿Cuál es la varianza de la distribución?de la distribución?
Debemos encontrar ya que:Tenemos: P(x)
2)( x
Probabilidad
P(x)
0.10
0.20
0.30
0.30
0.10
)(.)( 22 xPx
)(.)( 2 xPx
0 – 2.1 4.41 0.441
1 – 2.1 1.21 0.242
2 – 2.1 0.01 0.003
3 – 2.1 0.81 0.243
4 – 2.1 3.61 0.361
Total = 1.290
)( x 2)( x )(.)( 2 xPx
2
P(x)0.10
0.20
0.30
0.30
0.10
La desviación estándar o desviacion La desviación estándar o desviacion tipica ( ), es la raíz cuadrada de la tipica ( ), es la raíz cuadrada de la varianza.varianza.
Entonces tenemos:Entonces tenemos:
Dejando como conclusión que el Sr. Dejando como conclusión que el Sr. Torres tiene una variabilidad en las Torres tiene una variabilidad en las ventas sabatinas de 1,136 autos.ventas sabatinas de 1,136 autos.
2
sautomóvile 1.136 1.290 2
DISTRIBUCION BINOMIAL DE PROBABILIDAD
Describe la probabilidad de una variable dicotómica independiente.
Se utiliza en situaciones cuya solución tiene dos posibles resultados. Al nacer un/a bebé puede ser varón o hembra. En el deporte un equipo puede ganar o perder. Un tratamiento médico puede ser efectivo o
inefectivo. Vivo / muerto; enfermo / sano; verdadero / falso Prueba múltiple 4 alternativas: correcta o
incorrecta. Algo puede considerarse como Éxito o Fracaso
“Experimentos de Bernoulli” Usos:
Estimación de proporciones Pruebas de hipotesis de proporciones
1.1. En cada prueba del experimento sólo En cada prueba del experimento sólo hay dos posibles resultados: Éxitos o hay dos posibles resultados: Éxitos o Fracasos.Fracasos.
2.2. El resultado obtenido en cada prueba El resultado obtenido en cada prueba es independiente de los resultados es independiente de los resultados obtenidos en pruebas anteriores.obtenidos en pruebas anteriores.
3.3. La probabilidad dLa probabilidad de une un suceso (p) suceso (p) ees s constante y no varía de una prueba a constante y no varía de una prueba a otra. otra.
4.4. La probabilidad deLa probabilidad del complemento (l complemento (1- 1- p) es q . p) es q .
Si repetimos el Si repetimos el experimento n veces experimento n veces podemos obtener datos para armar podemos obtener datos para armar una distribución binomial.una distribución binomial.
Ejemplo distribución probabilidad discreta.
Formada por serie experimentos Bernoulli.
Resultados de cada experimento son mutuamente excluyentes.
Para construirla necesitamos:1. La cantidad de pruebas n 2. La probabilidad de éxitos p3. Utilizar la función matemática
P(x=k).
Función de la distribución de Bernoulli:
k = número de aciertos. n = número de experimentos. p = probabilidad de éxito, como por ejemplo, que
salga "cara" al lanzar la moneda. 1-p = “q”
¿Probabilidad de obtener 6 caras al lanzar una moneda 10 veces?
El número de aciertos k es 6. Esto es x=6 El número de experimentos n son 10 La probabilidad de éxito p = 0.50 La fórmula quedaría:
P (k = 6) = 0.205 Es decir, que la probabilidad de obtener 6
caras al lanzar 10 veces una moneda es de 20.5% .
¿Probabilidad de obtener cuatro veces el número 3 al lanzar un dado ocho veces?
El número de aciertos k es 4. Esto es x=4 El número de experimentos n son 8 Probabilidad de éxito p = 1/6 ( 0.1666) La fórmula queda:
P (k = 4) = 0.026 Es decir, probabilidad de obtener cuatro veces el
números 3 al tirar un dado 8 veces es de 2.6%.
Al adivinar al azar un examen de 100 preguntas multiples, cada una con 4 posibles respuestas:
La distribución binomial se forma de una serie de experimentos de Bernoulli
La media (μ) en la distribución binomial se obtiene con el producto de n x p
La varianza (σ2 ) en la distribución binomial se obtiene del producto de n x p x q.
El valor de q es el complemento de p y se obtiene con 1 – p.
La probabilidad de que un artículo producido por una fabrica sea defectuoso es 0.02. Se envió un cargamento de 10.000 artículos a unos almacenes. Hallar el número esperado de artículos defectuosos, la varianza y la desviación típica.
La última novela de un autor ha tenido un gran éxito, hasta el punto de que el 80% de los lectores ya la han leido. Un grupo de 4 amigos son aficionados a la lectura:
1. ¿Cuál es la probabilidad de que el grupo hayan leido la novela 2 personas?
n = 4 p = 0.8 q = 0.2 B(4, 0.8) 2.¿Y cómo máximo 2?
