VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y SUS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

Una variable estadística es una característica (cualitativa o cuantitativa) que se mide u observa en

una población. Si la población es aleatoria y la característica es cuantitativa la variable estadística

es denominada variable aleatoria.

Variable Aleatoria.- Es un variable estadística cuantitativa definida en un espacio muestral. (Ω)

Una variable aleatoria X es una función definida en un (Ω) tal que a cada elemento w Є Ω se le

asocie el numero real x = X(w).

El dominio de la variable aleatoria X es el Ω y el rango es un subconjunto de los números

reales que denotaremos por Rx, siendo:

Rx = x Є R / x = X(w), w Є Ω

Ejemplo:

Sea Ω que se obtiene al lanzar al aire una moneda 3 veces consecutivas como,

Ω =SSS, SSC, SCS, CSS, SCC, CSC,CCS, CCC

Si X se define en un Ω como “el número de caras obtenidas”, entonces, X es una variables

aleatoria cuyo rango es el conjunto: Rx = 0, 1, 2, 3 tal que k = 0, 1, 2, 3.

X = 0, corresponde al evento elemental SSS

X = 1, corresponde al evento elemental SSS, SCS, CSS

X = 2, corresponde al evento elemental SCC, CSC,CCS

X = 3, corresponde al evento elemental CCC

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Es aquella cuyo rango es un conjunto finito o infinito numerable de valores como el ejemplo

anterior.

Si la variable aleatoria X es discreta, su rango se expresará generalmente de la siguiente manera:

Rx = x1, x2,… xn …

En general las variables aleatorias discretas representan datos que provienen del conteo del

número de elementos, mientras que, las variable aleatorias continuas representan mediciones,

como, tiempo, peso, longitud, etc.

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD PARA UNA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

PROBABILIDAD EN EL RANGO Rx

Una variable aleatoria discreta asume cada uno de sus valores con cierta probabilidad que

denotaremos por Px (probabilidad inducida por X).

En efecto, si el rango de la variable aleatoria x es el conjunto finito de números Rx = 1, 2,…

xn y si B = xi es un evento en Rx, entonces.

Px (xi) = P(w Є Ω / X(w) = xi).

o Px (xi) = P(A), donde, A = w Є Ω / X(w) = B

con frecuencia, se utiliza la expresión P(X = xi ) para denotar la probabilidad Px (xi), como

P(X = x ) = P(w Є Ω / X(w) = xi).

FUNCION DE PROBABILIDAD

Sea X una variable aleatoria discreta. Se denomina función (distribución o modelo o ley)

de probabilidad de X a la función f(x) definida por f(x) = P(X = x) para todo x número real y

que satisface las siguientes condiciones:

1. f(x) ≥ 0 para todo x є R, y

2. ∑f(xi) = 1

La condición 2

1. Es: ∑f(xi) = 1, si Rx = x1, x2,… xn es finito.

2. Es: ∑f(xi) = 1, si Rx = x1, x2,… xn es infinito.

NOTA:

1. Si A c Rx, entonces, la probabilidad de A es el número:

P(A) = ∑P(X = xi) =∑f(xi)

La función de probabilidad de una variable aleatoria X se puede expresar: por una

ecuación: f(x) = P(X = x) = expresión de x, o por el conjunto de pares (xi, pi) / pi = f(x), x є

Rx o por una tabla, como:

Ejemplo:

Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que ocurren al lanzar una

moneda 4 veces.

a) Determinar la distribución de probabilidad de X. graficarla

b) Calcular la probabilidad P*0<X≤2+

c) Determinar la distribución de probabilidades de X si la moneda se lanza n veces

(n≥2).

Solución

a) El rango de la variable aleatoria X, es el conjunto Rx = 0, 1, 2, 3, 4. Suponiendo

que los 16 sucesos elementales del Ω son equiprobables, la función de

probabilidad, es descrita por:

f(0) = P(X = 0) = P(SSSS) = 1/16

f(1) = P(X = 1) = P(SSSC o SSCS o SCSS o CSSS ) = 4/16

f(2) = P(X = 2) = P(SSCC o SCSC o SCCS o CSSC o CSCS o CSSS) = 6/16

f(3) = P(X = 3) = P(SCCC o CCSC o CSCC o CCCS) = 4/16

f(4) = P(X = 4) = P(CCCC) = 1/16

Observe que si k є Rx entonces, X = k, si y solo si, en las 4 tiradas de la moneda aparecen k

caras y 4 – k sellos. Esto ocurre de formas. Cada una de esas formas tiene probabilidad:

(1/2)k (1/2)4-k = (1/2)4 = 1/16

Siendo k = 0, 1, 2, 3, 4. Luego la función de probabilidad del numero de caras se puede

describir como la tabla o como la ecuación:

F(k) = , k = 0, 1, 2, 3, 4.

b) Si P*0 < X ≤ 2+ = = f (1) + f(2) =

c) F(x = (1/2)x (1/2)n-x = , x = 0, 1, 2, …., n

FUNCION DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE LA VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

La función de distribución acumulada de probabilidad o simplemente función de

distribución, F(x), de la variable aleatoria discreta X, cuya función de probabilidad es f(x),

se define por:

F(x) = P(X ≤ x) = = , para -∞ < x < ∞.

Ejemplo

Sea X la variable aleatoria definida como el número de caras que resultan al lanzar una

moneda 4 veces.

a) Hallar la distribución de probabilidad de F(x) de la variable aleatoria X. graficarla

b) Usando F(x), calcular P*0<X≤2+

Solución

a) La función de probabilidad f(x) de la variable aleatoria X esta descrita en el ejemplo

anterior por:

x f(x)

0 1/16

1 4/16

2 6/16

3 4/16

4 1/16

f(0) =1/16, f(1) = 4/16, f(2) = 6/16, f(3) = 4/16, f(4) = 1/16

Entonces, F(0) = f(0) =1/16

F(1) = f(0) + f(1) = 1/16 + 4/16 = 5/16

F(2) = f(0) + f(1) + f(2) = 1/16 + 4/16 + 6/16 = 11/16

F(3) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) = 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 = 15/16

F(4) = f(0) + f(1) + f(2) + f(3) + f(4) = 1/16 + 4/16 + 6/16 + 4/16 + 1/16 = 1

Por lo tanto,

Y la grafica es

Observen que F(x) da SALTOS en los valores de x = 0, 1, 2, 3, 4. Por ejemplo

F(2) = 11/16 = F(2.99), F(3) = 15/16 = F(3.99), etc.

b) Si P[0 < X ≤ 2] = P[X ≤ 2] - P[ X < 0] = F(2) - F(0) =

NOTA:

En general si X tiene rango finito Rx = x1, x2,… xn , y la función de probabilidad f(xi ),

entonces la función de distribución acumulada de X es:

VALOR ESPERADO DE UNA VARIABLE ALEATORIA O UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE

ALEATORIA

LA MEDIA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La media deuna v. a. X o media de la distribucion de probabilidad X es un numero real que

se denotan ux o por u. la media es denominada también como esperanza matematica o

valor esperado de X, y se denota también por E(X).

Definicion 1. La media de una v. a. discreta X con funcion de probabilidad f(x) es la

expresión:

Si el rango de X es el conjunto finito Rx = x1, x2,… xn , entonces:

Si el rango de X es el conjunto infinito numerable Rx = x1, x2,… xn….. , entonces:

En este caso, si la suma indicada no es igual a un número real, se dice que la esperanza de

X no existe.

Ejemplo

Calcular la media de la distribución de probabilidad de la v. a. X que se define como el

numero de caras cuando se lanza 4 monedas.

Solución

La distribución de probabilidad de x se da en la siguiente tabla

x f(x)

0 1/16

1 4/16

2 6/16

3 4/16

4 1/16

La media de X es el número

= 0(1/16) + 1(4/16) + 2(6/16) + 3(4/16) + 4(1/16) = 2

Esto dignifica que si una persona lanza 4 monedas, muchas veces, en promedio obtendrá

2 caras por lanzamiento.

Interpretación de la esperanza:

Para el ejemplo anterior, supongamos que repetimos n veces el lanzamiento de las 4

monedas y que se obtiene las frecuencias absolutas n0, n1, n2, n3 y n4 de las veces que

ocurren; 0, 1, 2, 3 y 4 caras respectivamente. Lo que resulta es una distribución de

frecuencias cuyo promedio de caras por lanzamiento es igual a:

= = 0* + 1 + 2 + 3 + 4

En el calculo de E(X) se usan probabilidades o proporciones teóricas, mientras que en el

calculo de se usan frecuencias relativas o proporciones empíricas obtenidas a partir de

un muestra de tamaños n. a medida que n vaya creciendo es de esperar que las

frecuencias relativas empíricas , , , y , se vayan aproximando a las

correspondientes (1/16), (4/16), (6/16), (4/16), y 4(1/16). Por lo tanto, es de esperar que

se vaya aproximando a E(X) a medida que n crece indefinidamente. Entonces, E(X) es la

media que se obtiene a LARGO PLAZO, en otras palabras es la media que se espera

obtener.

NOTA

LA MEDIANA. De una v. a. X es el número Me tal que:

F(Me) = P*X ≤ Me+ = 0.5 o ½

Por ejemplo, acumulando las probabilidades del ejemplo anterior, resulta, F(x) = 5/16,

para 1 ≤ x < 2, y F(x) = 11/16, para 2 ≤ x < 3.

Luego si x = 2 puede ocurrir cualquier valor entre 5/16 y 11/16. En particular F(2)= 0.5. por

lo tanto, la median es igual a 2.

LA MODA. De una v. a. X es el valor de la variable con mayor probabilidad para el caso

discreto. Es decir, la moda es igual a 2.

LA MEDIA DE UNA FUNCIÓN DE UNA VARIABLE ALEATORIA

Sea X una v. a. discreta con rango Rx y función de probabilidad f(x) = P[X = x]. entonces, la

función Y = H(X), es una variable aleatoria con rango Ry = y / H(y = y), y con función de

probabilidad g(y) dada por:

Por ejemplo, si X es una variable aleatoria cuya distribución de probabilidad esta dad por

la tabla siguiente y si Y = H(X) = 2X – 3, entonces:

x 0 1 2 3

f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

Además Y es una variable aleatoria, cuya distribución de probabilidades esta dad por la

siguiente tabla, donde g(y) = P[Y = H(X)] = P[X = x] = f(x)

H(x) = 2x - 3 -3 -1 1 3

g(x) = f(x) 1/8 3/8 3/8 1/8

El valor esperado de H(x) es

DEFINICION. Si X es una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x), la media o

valor esperado de la v. a. H(X) esta dada por la expresión.

Ejemplo

Suponga que un juego consiste en lanzar un dado y que si se obtiene al menos 5 puntos se

gana S/. 2, en caso contrario se pierde el número obtenido en soles:

a) Defina la función utilidad en el juego

b) Calcular la utilidad esperada en el juego

Solución

Sea X la variable aleatoria definida como “el puntaje obtenido al lanzar el dado”, entonces

X toma los valores 1,2,3,4,5,6.

La distribución de probabilidad de X esta dada por la siguiente tabla,

k 1 2 3 4 5 6

f(k) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

a) La función de utilidad del juego , esta definida por:

b)la esperanza de la función de utilidad es igual a:

en consecuencia, si el juego se repite indefinidamente, puede esperarse que el jugador

pierda en promedio S/. 1

VARIANZA DE UNA VARIABLE ALEATORIA

La varianza de una v. a. X se denota por cualquiera de las formas: , , Var (X), V(X).

DEFINICIÓN. Sea una variable aleatoria con distribución de probabilidad f(x) y con media

igual a u. la varianza de X es la expresión:

DEFINICION. L desviación estándar de la v. a. X es la raíz positiva de su varianza. Esto es,

.

Ejemplo

Calcular la varianza y la desviación estándar de la distribución de probabilidad de la

variable aleatoria X que se define como el numero de caras al lanzar 4 monedas.

Solución

La distribución de probabilidad de X es la siguiente tabla:

x 0 1 2 3 4

f(x) 1/16 4/16 6/16 4/16 1/16

En el ejemplo anterior se ha calculado la E(X) = 2. Además,

PROPIEDADES DE LA MEDIA Y VARIANZA

BERNOULLI DISTRIBUTION

Una variable aleatoria bernoulli toma solo dos valores: 0 y 1, con probabilidades 1-p y p,

respectivamente. Su función de frecuencia is entonces:

p(1) = p

p(0) = 1 - p

p(x) = 0, si x ≠ 0 y x ≠ 1

una alternativa y a veces para la representación de estas funciones es:

Si A es un evento, entonces el INDICADOR DE LA VARIABLE ALEATORIA, IA toma el valor 1 si

A ocurre y el valor 0 si A no acurre:

Donde ω representa cada elemento del evento.

IA es una variable aleatoria bernoulli. En aplicaciones, la variable aleatoria bernouilli

frecuentemente ocurre como un indicador. Una variable aleatoria bernoulli podría tomar

el valor 1 o 0 de acuerdo a que si suponemos fuera éxito o fracaso.

TEOREMA

Si X tiene distribución de bernoulli de parámetro p, entonces:

a) E(X) = p

b) Var (X) = p(1 – p)

BINOMIAL DISTRIBUTION

Supongamos que n experimentos independientes, o ensayos, son realizadas, donde n es

un numero fijo, y que cada resultado del experimento es un éxito con probabilidad p y un

fracaso con probabilidad 1 – p. el numero total de éxitos, X, es una variable binomial con

parámetros n y p. por ejemplo, una moneda es lanzada 10 veces y el numero total de

caras son contadas (“caras” es identificado como “éxitos”).

La probabilidad que X = k, o p(k), puede ser encontrada de la siguiente manera: cualquier

secuencia particular de k éxitos ocurre con probabilidad pk (1 - p)n – k, por el principio de

multiplicación. El número total de cada secuencia es , ya que existen maneras para

asignar, k éxitos para n ensayos. P(X=k) is por lo tanto la probabilidad de cualquier

secuencia particular el número de momentos de cada secuencia es:

Dos funciones de frecuencia binomial son mostradas en la siguiente figura, note que la

figura varia como una función de p.

THE GEOMETRIC AND NEGATIVE BINOMIAL DISTRIBUTIONS

La distribución geométrica es también construida por experimento o ensayo

independientes bernoulli, pero para una secuencia infinita. En cada ensayo, un éxito

ocurre con probabilidad p, y X es el numero total de caras hasta obtener el primer éxito.

En el orden que X = k, que debe haber k – 1 fracasos seguido por un éxito. Para la

independencia del ensayo, este ocurre con probabilidad:

Note que esta probabilidad suma 1:

LA DISTRIBUCION BINOMIAL NEGATIVA surge como una generalización de la distribución

geométrica. Supongamos que una secuencia de un ensayo independiente cada uno con

probabilidad de éxito p es realizada hasta que haya r éxitos en todos; sea X denota el

numero total de ensayos. Para encontrar P(X=k), podemos argumentar en la siguiente

manera: cualquier secuencia tan particular tiene una probabilidad pr (1 – p)k – r, para el

supuesto independiente. El ultimo ensayo es un éxito, y los restantes r – 1 éxitos pueden

ser asignados para el resto k – 1 ensayos en manera, por lo tanto:

Esto es a veces es útil en el análisis de propiedades de la distribución negativa binomial

para notar que una variable aleatoria binomial negativa puede ser expresada como la

suma de r variables aleatoria geométricas independientes: el numero de caras hasta

obtener el primer éxito mas el numero de caras después de el primer éxito hasta obtener

el segundo éxito, … mas el numero de caras para el (r - 1)st éxitos hasta obtener el rth

éxito.

THE HYPERGEOMETRIC DISTRIBUTION

Supongamos que un Urn contiene n baolas, de el cual r son negros y n – r son blancos. Sea

X denota el numero de bolas negras establecidos entonces tomando m bolas sin

reemplazo. Tenemos:

X es un variable aleatoria hipergeometrica con parámetros r, n y m

THE POISSON DISTRIBUTION

La función de frecuencia de poisson con parámetros λ(λ > 0) is

P(X=x) = е-, k = 0, 1, 2, …

Donde е- λ = se sigue que la función de frecuencia suma n 1. La figura siguiente

muestra 4 funciones de frecuencia de poisson. Note que la figura varia como una función

λ.

La distribución de posison puede ser derivada como el limite de una distribución binomial

como el numero de ensayos, n, tiende al infinito y la probabilidad de éxitos en cada

ensayo, p, tiende a cero de tal manera que np = λ. La función de frecuencia binomial es:

Establecido np = λ esta expresión se convierte:

El cual es la función de frecuencia de poisson.

Función de frecuencia de poisson, (a) λ =0. 1, (b) = 1, (c) = λ = 5, (d) λ = 10