LECCIÓN 4:

ALGUNAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD DISCRETAS

•Distribución Uniforma Discreta

•Proceso de Bernoulli

•Distribución Binomial

•Distribución de Poisson

•Distribución Geométrica

•Distribución Hipergeométrica o de Laplace

•Distribución Multinomial

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

Decimos que una variable aleatoria discreta sigue una distribución uniforme discreta, cuando la probabilidad en todos los puntos es la misma.

Función Cuantía

0 si xxi i=1,2,..k

1/k si x=xi i=1,2,..k

f(x)=

Función de distribución

0 si x<x1

1/k si x1x2

2/k si x2x3

............

1 si xxk

F(x)=

DISTRIBUCIÓN UNIFORME DISCRETA

Momentos:

•Media = E[x]= 1/k xi

•Varianza Var(x)= E[x2]- [E[x]2]=1/k (xi- )2

•Función Característica

x(t)= E[eitx]= eitx1/n

•Función generatriz de momentos

gx(t)= E[etx]= etx1/n

PROCESO DE BERNOULLI

Definición de los supuestos de Bernoulli

a) El experimento sólo puede tener dos posibles resultados, ambos mútuamente excluyentes (verdadero/falso, éxito/fracaso).

b) Las pruebas en las que se obtienen los sucesos anteriores (éxito/fracaso) son independientes.

c) Las probabilidades de éxito fracaso son constantes

Función Cuantía

f(x)=pxq1-x x(0,1)

Función de distribución

0 si x<0

q si 0x<1

1 si x1F(x)=Media = p

Varianza = pq

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL B(n,P)

Experimento aleatorio consistente en realizar n ensayos, en donde se verifican los supuestos de Bernoulli. Xnúmero de éxitos

Función Cuantía

n pxqn-x si x=xix

0 si xxi

f(x)=

Función de distribución

F(x)=P(X x)= n piqn-i

ix i

Momentos:

Media = E[x]= np Varianza Var(x)= npq

F.Característica F. Generatriz de Momentos

x(t)= E[eitx]= (peit+q)n gx(t)= E[etx]= (pet+q)n

La distribución binomial nos proporciona el número de éxitos pero no el orden en el que

suceden

Propiedad:

Si X1 y X2 son dos variables aleatorias independientes

distribuidas según B(n1,p) y B(n2,p) respectivamente,

entonces la variable aleatoria X=X1+X2 se distribuye según

B(n1+n2,p)

DISTRIBUCIÓN DE POISSON P()

Caso particular de la F. Binomial aplicable cuando el cálculo resulta engorroso (media muy pequeña con relación al número de pruebas). Al igual que la ley Binomial cumple los requisitos de Bernoulli.

Xnúmero de éxitos

Función Cuantía

f(x)= e-x =np x!

Función de distribución

F(x)= e-r rx r!

Media Varianza

F. Característica F. Generatriz de momentos

x(t)= E[eitx]= e (eit-1) gx(t)= E[etx]= e (et-1)

DISTRIBUCIÓN GEOMÉTRICA G(P)

Cumple con los supuestos de Bernoulli

X número de fracasos que tienen lugar antes de que aparezca el primer éxito.

Función Cuantía

f(x)=qxp x=0,1,2,....n

Función de distribución

1-qx+1 x0

0 x<0F(x)=

Momentos:

Media = E[x]= q/p Varianza Var(x)= q/p2

F. Característica F. Generatriz de momentos

x(t)= E[eitx]=p/(1- e it) gx(t)= E[etx]= p/(1- e t)

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA O DE PASCAL

NB(p,k) cumple con los supuestos de Bernoulli

X número de repeticiones necesarias hasta observar k éxitos.

Función Cuantía

Momentos:

Media = E[x]= k/p Varianza Var(x)= k/p(1/q)

kxkx

kppxfxXP

)()()( 1

1

1

DISTRIBUCIÓN BINOMIAL NEGATIVA O DE PASCAL

XNB(p,k)

Para tratar a un paciente de una afección de pulmón han de ser operados en operaciones independientes sus 5 lóbulos pulmonares. La técnica a utilizar es tal que si todo va bien, lo que ocurre con probabilidad de 7/11, el lóbulo queda definitivamente sano, pero si no es así se deberá esperar el tiempo suficiente para intentarlo posteriormente de nuevo. Se practicará la cirugía hasta que 4 de sus 5 lóbulos funcionen correctamente. ¿Cuál es el valor esperado de intervenciones que se espera que deba padecer el paciente? ¿Cuál es la probabilidad de que se necesiten 10 intervenciones?

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA O DE LAPLACE

H(N,n,P)

X número de elementos que pertenecen a una de las subpoblaciones cuando tomamos una muestra aleatoria sin reemplazamiento de tamaño n de la población total N.

NO verifica los supuestos de Bernoulli, la probabilidad de éxito no permanece constante.

Np Nq

x n-x

N

n

f(x)=

Función Cuantía Max (0,n-Nq)x min (m,Np)

Particularizando en dos poblaciones

N1=Np

N2=N(1-p)=Nq

X H(N,N1,n)

DISTRIBUCIÓN HIPERGEOMÉTRICA O DE LAPLACE

Np Nq

i n-i

N

n

F(x)=

Función de distribución

X< max(o,n-Nq)

Max (0,n-Nq)x min (m,Np)

x>min(n,Np)

0

1

Momentos:

Media = E[x]= np Varianza Var(x)= npq[(N-n)/(N-1)]

DISTRIBUCIÓN MULTINOMIAL

Generalización de la ley Binomial cuando el experimento en cuestión permite más de dos resultados posibles.

Resultados: A1,A2,...Ak

Porb. Asociadas: P1,P2,....Pk Pi=1

X número de veces que se presenta cada uno de los sucesos cuando se realizan n-repeticiones independientes del experimento.

Función Cuantía

f(x1,x2,..,xk)= n! P1x1...Pkxk

X1!...Xk!

Momentos:

Media = E[x]= npi

Varianza Var(x)=npi(1-pi)F. Generatriz de momentos

gx(t)= E[etx]= ( Pi eti)

La probabilidad de que una jugadora de golf haga hoyo en un lanzamiento a una distancia determinada es 0,2. Si lo intenta 5 veces, calcular la probabilidad de que:

a) No acierte ninguna

b) Acierte alguna

c) Acierte dos

d) Si hace tandas de 5 lanzamientos,

¿cuál será el número medio de aciertos?,

¿cuál será su desviación típica?

De la producción diaria de un pequeño electrodoméstico se estudian 5 durante 10 días, obteniéndose la siguiente tabla de los que se producen con algún defecto.

Día 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Nº con defecto 1 2 1 2 1 2 0 0 1 0

Se pide:

a) Ajustar una distribución binomial a estos datos.

b) Probabilidad de que en los electrodomésticos observados a lo sumo haya uno defectuoso.

Calcular qué proporción de muestras aleatorias de 100 individuos cada una contendrán 2 ó 3 individuos daltónicos. Se sabe que la frecuencia de daltonismo en la población es del 3%.

La probabilidad media de dar en el blanco en un disparo es 1/200. ¿cuántos disparos habrá que hacer para tener una probabilidad del 85% de dar en el blanco una vez por lo menos?

Se extraen 5 cartas una después de otra, con devolución, de una baraja de 40 cartas. Calcular la probabilidad de obtener 2 copas, 2 espadas y 1 oros.

Se sabe que 3 personas de cada 10 son aficionadas a la música. Calcular la probabilidad de que en un grupo de hombres y mujeres de 10 personas. Haya 4 con dos aficionados a la música, y 6 con 2 aficionadas a la música.

(se supone que la afición a la música es independiente del sexo)

Una máquina dedicada a la fabricación de piezas las produce una a una independientemente. La probabilidad que tiene cada pieza de ser defectuosa es 0.5.

A) Obtener la probabilidad de que la primera pieza defectuosa sea la número 40.

B) Obtener la probabilidad de que las 8 primeras piezas sean todas buenas.

C) Media y varianza del número de piezas buenas que se han fabricado antes de obtener una defectuosa.

Sea una baraja de 40 cartas, de ella se toma una muestra de 5 cartas sin reemplazamiento. Obtener la probabilidad de sacar al menos dos ases.