distribuciones discretas ii

Distribuciones discretas

MSc Edgar Madrid Cuello.

Dpto de Matemática, UNISUCREEstadística I

MSc Edgar Madrid Cuello. Dpto de Matemática, UNISUCRE Estadística IDistribuciones discretas 2017 1 / 15

DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDADHIPERGEOMÉTRICA [2]

De�nición

1 Los resultados de cada ensayo de un experimento se clasi�can en doscategorías exclusivas: éxito o fracaso.

2 La variable aleatoria es el número de éxitos de un número �jo deensayos.

3 Los ensayos no son independientes.

4 Los muéstreos se realizan con una población �nita sin reemplazo y n/N> 0.05. Por lo tanto, la probabilidad de éxito cambia en cada ensayo.

De�nición (distribución hipergeométrica[1])

Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución hipergeometrica deparámetro n R y N , si su función de másica de probabilidad está dada por:

f(x) =

)(N−Rn−x

) si x = 0, 1, · · · , n

0 e.c.o.c

De�nición (distribución hipergeométrica[1])

Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución hipergeometrica deparámetro n R y N , si su función de másica de probabilidad está dada por:

f(x) =

)(N−Rn−x

) si x = 0, 1, · · · , n

0 e.c.o.c

Ejemploa Un equipo de trabajo, establecido por el ministerio del medio ambiente,programó visitas a 25 fábricas para investigar posibles violaciones a losreglamentos para el control de la contaminación ambiental. Sin embargo,los recortes presupuéstales han reducido drásticamente el tamaño delequipo de trabajo, por lo que, solamente se podrán investigar 5 de las 25fábricas. Si se sabe que 10 de las fábricas están operando sin cumplir losreglamentos, calcule la probabilidad de que al menos una de las fábricasmuestreadas esté operando en contravención a los reglamentos. [1]

aEjemplo 3.17

Teorema

Sea X ∼ Hg(n,R,N), entonces:

1 E(x) =nR

2 V ar(X) = n× R

N× N −R

N× N − nN − 1

Ejemplo

Blackjack, o veintiuno, como se le suele llamar, es un popular juego deapuestas en los casinos de Las Vegas. A un jugador se le reparten doscartas. Las �guras (sotas, reinas y reyes) y los 10 valen 10 puntos. Losases valen 1 u 11. Una baraja de 52 cartas tiene 16 cartas que valen 10(sotas, reinas, reyes y dieces) y cuatro ases. [3]

¾Cuál es la probabilidad de que las dos cartas repartidas sean ases ocartas que valgan 10 puntos?

¾De que las dos cartas sean ases?

¾De que las dos cartas valgan 10?

Figure: dd

Ejemplo

Un blackjack es una carta de 10 puntos y un as que suman 21. Usesus respuestas a los incisos a, b y c para determinar la probabilidad deque a un jugador se le reparta blackjack. (Indicación: El inciso c no esun problema hipergeométrico. Desarrolle su propio razonamientológico para combinar las probabilidades hipergeométricas de los incisosa, b y c para responder esta pregunta.)

distribución Poisson

De�nición (EXPERIMENTO DE PROBABILIDAD DE POISSON)

1 La variable aleatoria es el número de veces que ocurre un eventodurante un intervalo de�nido.

2 La probabilidad de que ocurra el evento es proporcional al tamaño delintervalo.

3 Los intervalos no se superponen y son independientes.

Distribuciones Discretas

De�nición (distribución Poisson)

Se dice que una variable aleatoria X tiene distribución Poisson deparámetro λ > 0, si su función de másica de probabilidad está dada por:

fX(x) =

x!e−λ si x = 0, 1, · · ·

0 e.c.o.c

La función de una distribución de Poisson tiene la forma que presenta la�gura 1.

fX(x) =

x!e−λ si x = 0, 1, · · ·

0 e.c.o.c

fX(x) =

x!e−λ si x = 0, 1, · · ·

0 e.c.o.c

0 1 2 3 4 5 6

Distribuciónde Poisson, lamda=3

● ●

Figure: 1

Ejemplo

Sea X el número de personas de usan tarjeta de crédito en una tiendadurante un periodo determinado. Suponga que X tiene una distribución dePoisson con λ = 4.5, así que en promedio las compras con tarjeta serán 4.5personas. La probabilidad de que una tienda hayan usado tarjetaexactamente cinco personas es esa

P (X = 5) =e−4.54.55

La probabilidad de que una tienda cuando mucho cinco tarjeta habientes es:

P (X ≤ 5) =

5∑x=0

e−4.54.5x

aAdaptado de Probabilidad y Estadística para Ingeniería y Ciencias. Jay L.

Devore, Séptima edición, 2008

Ejemplo

P (X = 5) =e−4.54.55

P (X ≤ 5) =

5∑x=0

e−4.54.5x

Ejemplo

P (X = 5) =e−4.54.55

P (X ≤ 5) =

5∑x=0

e−4.54.5x

Ejemplo

P (X = 5) =e−4.54.55

P (X ≤ 5) =

5∑x=0

e−4.54.5x

Ejemplo

P (X = 5) =e−4.54.55

P (X ≤ 5) =

5∑x=0

e−4.54.5x

Suponga que en la función masa de probabilidad binomial binom(x, n, p),si n −→∞ y p −→ 0 de tal modo que np tienda a un valor λ > 0.Entonces b(x, n, p) −→ p(x, λ)

De acuerdo con esta proposición, en cualquier experimento binomial en elcual n es grande y p es pequeña, binom(x, n, p) ' pois(x;λ), donde = np.Como regla empírica, esta aproximación puede ser aplicada con seguridad sin > 50 y np < 5.

Suponga que en la función masa de probabilidad binomial binom(x, n, p),si n −→∞ y p −→ 0 de tal modo que np tienda a un valor λ > 0.Entonces b(x, n, p) −→ p(x, λ)

De acuerdo con esta proposición, en cualquier experimento binomial en elcual n es grande y p es pequeña, binom(x, n, p) ' pois(x;λ), donde = np.Como regla empírica, esta aproximación puede ser aplicada con seguridad sin > 50 y np < 5.

Teorema (propiedades de la distribución Poisson)

Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λentonces:

1 µX = E (X )= λ

2 σ2X = V ar (X )= λ

Teorema (propiedades de la distribución Poisson)

Si X es una variable aleatoria con distribución de Poisson de parámetro λentonces:

1 µX = E (X )= λ

2 σ2X = V ar (X )= λ

Bibliografía

Blanco, Liliana, Probabilidad, segunda edicion, Universidad Nacional deColombia, Bogotá, DC, 2010.

Lind, D.A. and Marchal, W.G. and Wathen, S.A. Estadística aplicada alos negocios y a la economía, 15 edición, McGraw-Hill, Mexico, DF,2005

Anderson, David R.,Dennis J. Sweeney y Thomas A. WilliamsEstadística para administración y economía, 10a. ed., CengageLearning, México,DF, 2008

Devore, J. Probabilidad y estadistica para ingenieria y ciencias, 7a.ed., Cengage Learning, México,DF, 2008

distribuciones discretas ii

Education