distribuciones discretas estadis ii

Distribuciones discretas de probabilidad

Por Lic. Gabriel Leandro, MBAwww.auladeeconomia.com

Distribuciones discretas

• Una variable discreta asume cada uno de sus valores con una cierta probabilidad.

• La mayoría de las veces se representan con una fórmula todas las probabilidades de una variable aleatoria. – Esta fórmula debe ser una función de los valores

numéricos de X, que se expresa generalmente por f(x) y se define como distribución de probabilidad de la variable aleatoria.

Distribución binomial

Ejemplo

• Usted es un vendedor con muchos años de experiencia.

• Sabe que realiza la venta en el 30% de los casos.• Todos los días visita 10 prospectos de venta.• Este porcentaje se ha mantenido constante a lo

largo de mucho tiempo.• Generalmente cada cliente no tiene contacto

con los demás.

Proceso de Bernoulli

• Si dice que un proceso cuyos resultados sean variables aleatorias discretas y que cumple con las suposiciones presentadas a continuación, es un proceso de Bernoulli:– Existen solamente dos resultados posibles en cada

ensayo, llamados, arbitrariamente, éxitos y fracasos.– Existe un número fijo n de intentos o ensayos.– La probabilidad de un éxito, representada por p,

permanece constante en todos los intentos.– Todos los n intentos repetidos son independientes.

¿Es la situación del vendedor anterior un proceso de Bernoulli?

• ¿Variables aleatorias discretas?• ¿Dos resultados posibles en cada

ensayo?• ¿Número fijo de intentos?• ¿La probabilidad de un éxito

permanece constante en todos los intentos?

• ¿Todos los intentos son independientes?

Sí

SíSí

Sí

Sí


La distribución de probabilidad de la variable aleatoria X es:

Donde X es el número establecido de éxitosn el número de ensayos u observacionesp la probabilidad de éxitoq la probabilidad de fracaso: q = 1 – p

xnxqpxnCpnXP ),(),/(


La expresión anterior puede ser escrita como:

Para la distribución binomial, su media y su desviación estándar corresponden a:

µ = np

xnxxnx qpxnx

nqpxnCpnXP

!)(!

!),(),/(

npq


• Se utiliza para describir un proceso donde los resultados se pueden etiquetar como un evento o evento fallido si, por ejemplo, un elemento pasa o no pasa una inspección o un partido político gana o pierde.

• Se utiliza frecuentemente en control de calidad, sondeos de opinión pública, investigaciones médicas y seguros.

Ejemplo

• Al probar una cierta clase de neumático en un terreno escabroso se encontró que el 25% de los vehículos terminaban la prueba con los neumáticos dañados.

• Encuentre la probabilidad de que de 10 vehículos que participan en la prueba,1. exactamente 3 tengan los neumáticos dañados.2. por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados.3. menos de 6 tengan los neumáticos dañados.4. a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados.5. más de 7 no tengan los neumáticos dañados.

Pregunta 1: Exactamente 3 tengan los neumáticos dañados

Datos:n = 10

x = 3

p = 0,25

q = 0,75

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que exactamente 3 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 25,03%.

3103 )75.0()25.0(!)310(!3

!10)3(

XP

xnxqpxnCXP ),()(

2503.0)3( XP

Pregunta 2: Por lo menos 3 tengan los neumáticos dañados

Datos:n = 10

x ≥ 3

p = 0,25

q = 0,75

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que por lo menos 3 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 47,44%.

)10(...)4()3()3( XPXPXPXP

xnxqpxnCXP ),()(

)2()1()0(1)3( XPXPXPXP

P(x > 3) = 1 – 0.0563 – 0.1877 – 0.2816 = 0.4744

Pregunta 3: menos de 6 tengan los neumáticos dañados

Datos:n = 10

x < 6

p = 0,25

q = 0,75

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que menos de 6 vehículos tengan los neumáticos dañados es de 98,03%.

)5(...)1()0()6( XPXPXPXP

xnxqpxnCXP ),()(

P(x < 6) = 0.0563 + 0.1877 + 0.2816 + 0.2503 + 0.1460 + 0.0584 = 0.9803

Pregunta 4: a lo más 5 no tengan los neumáticos dañados

Datos:n = 10

x ≤ 5

p = 0,75

q = 0,25

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que a lo más 5 vehículos no tengan los neumáticos dañados es de 7,81%.

)5(...)1()0()5( XPXPXPXP

xnxqpxnCXP ),()(

P(x ≤ 5) = 0.0781

Pregunta 5: más de 7 no tengan los neumáticos dañados

Datos:n = 10

x > 7

p = 0,75

q = 0,25

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que más 7 vehículos no tengan los neumáticos dañados es de 52,56%.

)7(1)7( XPXP

xnxqpxnCXP ),()(

Otra alternativa:

P(x > 7) = 1 – P(x ≤ 7) = 1 – 0.4744 = 0.5256

)10()9()8()7( XPXPXPXP

= 0.5256

Ejercicio

Si la probabilidad de que cierto componente falle ante una carga axial específica es de 5%, calcule la probabilidad de que entre 16 de tales componentes:

1. fallen entre 2 y 5 (inclusive)2. no fallen como máximo 12

Pregunta 1: fallen entre 2 y 5 (inclusive)

Datos:n = 16

2 ≤ x ≤ 5

p = 0,05

q = 0,95

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que fallen entre 2 y 5 componentes es de 18,91%.

)5()4()3()2(

)52(

XPXPXPXP

XP

xnxqpxnCXP ),()(

= 0.1891

= 0,1463 + 0,0359 + 0,0061 + 0,0007 =

Pregunta 2: no fallen como máximo 12

Datos:n = 16

x ≤ 12

p = 0,95

q = 0,05

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que no fallen como máximo 12 de los componentes es de 0,71%.

)12(...)1()0()12( XPXPXPXP

xnxqpxnCXP ),()(

)16()15()14()13(1

)12(

XPXPXPXP

XP

P(X ≤ 12) = 0.0071

Ejercicio

• Una empresa de mercadeo por Internet tiene una promoción por e-mail que produce una respuesta de 15%.

• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la probabilidad de que nadie responda es:

( ) 0,0000 ( ) 0,8031( ) 0,1969 ( ) Ninguna de las

anteriores

Solución

Datos:n = 10

x = 0

p = 0,15

q = 0,85

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que nadie responda es de 19,68%.

xnxqpxnCXP ),()(

100 )85,0()15,0)(0,10()0( CXP = 0,1968

Ejercicio


• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la probabilidad de que la probabilidad de que exactamente dos personas respondan es:

( ) 0,0000 ( ) 0,8241( ) 0,2759 ( ) Ninguna de las

anteriores

Solución

Datos:n = 10

x = 2

p = 0,15

q = 0,85

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que dos respondan es de 27,59%.

xnxqpxnCXP ),()(

82 )85,0()15,0)(2,10()2( CXP = 0,2759

Ejercicio


• Si se hace un envío de dicha promoción a 10 clientes (independientes), la probabilidad de que la probabilidad de que más de la mitad respondan es:

( ) 0,0000 ( ) 0,9986( ) 0,0014 ( ) Ninguna de las

anteriores

Solución

Datos:n = 10

x > 5

p = 0,15

q = 0,85

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que más de la mitad respondan es de 0,14%.

xnxqpxnCXP ),()(

)10(...)6()5( XPXPXP

= 0,0014

Ejercicio

• Un informe reciente de la revista Business Week, señalaba que 20 de cada 100 de los empleados roban algún artículo de la empresa cada año.

• Calcule cada una de las siguientes probabilidades:1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la

empresa.2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la empresa.3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa.4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la

empresa.

1. Menos de 5 empleados de un total de 12 roben a la empresa

La probabilidad de que menos de 5 empleados de un total de 12 roben a la empresa es de 92,74%.

2. Exactamente 12 empleados de 15 no roben a la empresa

La probabilidad de que exactamente 12 empleados de 15 no roben a la empresa es de 25,01%.

3. Más de 8 de un total de 14 roben a la empresa

La probabilidad de que más de 8 de un total de 14 roben a la empresa es de 0,04%.

4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12 roben a la empresa

La probabilidad de que Menos de 6 y más de 10 de un total de 12 roben a la empresa es de 98,06%.

Distribución de Poisson

Distribución de Poisson

• Representa el número de resultados que ocurren en un intervalo de tiempo dado o en un área o volumen específico.

• La probabilidad se obtiene por medio de:

X: número establecido de éxitos: mediae 2,7183

!)/(

X

eXP

x

Ejemplo

• En una intersección de carreteras ocurren en promedio 3 accidentes de tránsito por mes.

• Calcule las siguientes probabilidades:1. en un mes cualquiera ocurran exactamente 6

accidentes.2. en 4 meses de comportamiento similar ocurran

entre 5 y 15 accidentes.

Pregunta 1: ocurran exactamente 6 accidentes

Datos:x = 6

= 3

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que ocurran exactamente 6 accidentes es de 5,04%.

0504.0)6( XP

!)/(

X

eXP

x

!6

3

!)6(

36

e

X

eXP

x

Pregunta 1: en 4 meses ocurran entre 5 y 15 accidentes

Datos:5 ≤ x ≤ 15

= 4 * 3 = 12

Solución:

Respuesta:La probabilidad de que ocurran exactamente 4 accidentes es de 83,68%.

!)/(

X

eXP

x

0.8368)155( XP

Ejercicio

• El número de fallas en la superficie de un calentador de cierto tipo sigue una distribución de Poisson.

• El número medio de fallas por calentador es de 5.

• Determine la probabilidad de que al seleccionar un calentador al azar:1. menos de 5 fallas.2. tenga más de 2 fallas.

Solución:

• Respuesta 1:

P(x < 5) = 0.4405

• Respuesta 2:P(x > 2) =

1 - P(x = 0) - P(x = 1) - P(x = 2)

= 0.8753

Ejercicios

Distribución Hipergeométrica

• Está estrechamente relacionada con la distribución de probabilidad binomial. La diferencia entre ambas está en la independencia de los intentos y en que la probabilidad de éxito cambia de uno a otro

• Se usa para calcular la probabilidad de que una muestra aleatoria de n artículos seleccionados sin reemplazo, obtengamos x elementos identificados como éxitos, y n-x como fracasos. Para que suceda esto debemos obtener x éxitos de los r de la población, y n-x fracasos de los N-r de la población

( )

r N r

x n xf x

N

n

0 x r

Ejemplo

• Se debe seleccionar 2 miembros de un comité, entre 5, para que asistan a una convención en Santiago. Suponga que el comité está formado por 3 mujeres y 2 hombres. Determine la probabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar– Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2– Luego el cálculo de la probabilidad es:

3 2

2 0 3(2) 0.3

5 10

2

f

Ejemplo 2:

Una empresa durante la semana fabricó 50 DVDs (N=50). Operaron sin problemas 40 (r=40) y 10 tuvieron al menos un defecto. Se selecciona al azar una muestra de 5 (n=5). ¿Cuál es la probabilidad que cuatro (x=4) de los cinco operarán sin problemas?

Sol : 0.431

Ejercicio 3: Se acaba de recibir un embarque de 10 TV. Poco después de

recibirlos, el fabricante llamó para informar que por descuido se habían enviado tres aparatos defectuosos.

Se decidió probar dos de estos ¿Cuál es la probabilidad que ninguno de los dos este defectuoso?

• R/ 0.466667

Ejercicio 4 : Para evitar que lo descubran en la aduana, un

viajero ha colocado 6 tabletas de narcótico en una botella que contiene 9 píldoras de vitamina que son similares en apariencia. Si el oficial de la aduana selecciona 3 tabletas aleatoriamente para analizarlas.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que el viajero sea arrestado por posesión de narcóticos?.

b) ¿Cuál es la probabilidad de que no sea arrestado por posesión de narcóticos?.

R/a. 0.815384R/b. 0.184615

ESPERANZA MATEMATICA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA

µ = E(X) = n*r

N

VARIANZA DE UNA VARIABLE HIPERGEOMETRICA

σ2= E[(X - µ)2]

Ejercicio

• Un equipo de ingenieros está probando un nuevo material en una construcción. Según el fabricante existe una probabilidad de 95% de que el material supere ciertas condiciones extremas. Los ingenieros están realizando 10 pruebas y desean saber la probabilidad de que, de las diez pruebas:1. Exactamente en dos casos el material no supere la

prueba.2. En cinco o más casos el material supere prueba.3. En todos los casos el material supera la prueba.

1. Exactamente en dos casos el material no supere la prueba

Binomial:n = 10p = 0.05q = 0.95X = 2

La probabilidad de que exactamente en dos casos el material no supere la prueba es de 7.46%.

2. En cinco o más casos el material supere prueba

Binomial:n = 10p = 0.95q = 0.05X ≥ 5

La probabilidad de que en 5 o más casos el material supere la prueba es prácticamente de 100%.

3. En todos los casos el material supera la prueba

Binomial:n = 10p = 0.95q = 0.05X = 10

La probabilidad de que en todos los casos el material supere la prueba es 59.87%.

Ejercicio

• El jefe de un departamento de recursos humanos de una empresa grande, estudia con frecuencia el grado de satisfacción de los trabajadores dentro de la empresa, y ha encontrado que 5 de cada 12 empleados se siente insatisfecho con su salario.

• Esta proporción se ha mantenido constante durante mucho tiempo.

• Si se seleccionan aleatoriamente 8 personas ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente 5 de ellas se sientan insatisfechas con su salario?

Exactamente 5 de ellas se sientan insatisfechas con su salario

Binomial:n = 8p = 5/12 = 0.4166q = 0.5834X = 5

La probabilidad de que exactamente cincose muestren insatisfechos con su salario es de 13.95%.

Ejercicio

• Durante el plazo de inscripción para una actividad, la oficina encargada procesa aproximadamente 75 solicitudes por hora, en promedio, de acuerdo con un proceso de Poisson.

• ¿Cuál es la probabilidad de que este proceso dé más de 80 solicitudes en una hora escogida al azar?

Más de 80 solicitudes en una hora

Poisson: = 75X > 80

La probabilidad de que el proceso de más de 80 solicitudes en una hora es de 25.89%.

Ejercicio

• Un informe reciente de la revista Business Week, señalaba que 20 de cada 100 de los empleados roban algún artículo de la empresa cada año.

• Calcule cada una de las siguientes probabilidades:1. Menos de 5 empleados de un total de 12, roben a la

empresa.2. Exactamente 12 empleados de 15, no roben a la empresa.3. Más de 8 de un total de 14, roben a la empresa.4. Menos de 6 y más de 10 de un total de 12, roben a la

empresa.R./ 0.9274, 0.2501, 0.0004, 0.9806

Ejercicio

• Se ha observado que en promedio 4 personas por mes solicitan vía Internet, un cierto modelo de cámara fotográfica digital, dada las ventajas tecnológicas que ofrece este medio de compra.

• ¿Cuál es la probabilidad de que en un periodo de:1. medio mes, exactamente 3 personas soliciten ese modelo de

cámara?2. mes y medio, se soliciten menos de 4 cámaras de ese modelo?3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los extremos),

soliciten ese modelo de cámara? 4. ¿Cuántas cámaras, se espera sean solicitadas en un periodo de

3 meses?

1. medio mes, exactamente 3 personas soliciten ese modelo de cámara

2. mes y medio, se soliciten menos de 4 cámaras de ese modelo

3. un mes, entre 6 y 12 personas (incluyendo los extremos), soliciten ese modelo de cámara

Ejercicio

• Supongamos que la probabilidad de tener una unidad defectuosa en una línea de ensamblaje es de 0.05.

• Si el conjunto de unidades terminadas constituye un conjunto de ensayos independientes, determine:1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos

se encuentren defectuosas? 2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades a lo

sumo dos se encuentren defectuosas?3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades por

lo menos una se encuentre defectuosa?

1. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosas?

n = 10p = 0,05q = 0,95P(X = 2)

La probabilidad de que entre diez unidades dos se encuentren defectuosases de 7,46%.

2. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades a lo sumo dos se encuentren defectuosas?

n = 10p = 0,05q = 0,95P(X ≤ 2) =P(X=0) + P(X=1) + P(X=2)

La probabilidad de que entre diez unidades se encuentren a lo sumo dosdefectuosas es de 98,85%.

3. ¿Cuál es la probabilidad de que entre diez unidades por lo menos una se encuentre defectuosa?

La probabilidad de que entre diez unidades por lo menos una se encuentre defectuosa es de 40,13%.

n = 10p = 0,05q = 0,95P(X ≥ 1) == P(X=1) + P(X=2) +…+ P(X=10)= 1 – P(X = 0)

Ejercicio

• Una empresa electrónica observa que el número de componentes que fallan antes de cumplir 100 horas de funcionamiento es una variable aleatoria de Poisson.

• Si el número promedio de estos fallos es ocho, determine:– ¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25

horas o menos? – ¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos

componentes en 50 horas? – ¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez

componentes en 125 horas?

¿Cuál es la probabilidad de que falle un componente en 25 horas o menos?

¿Cuál es la probabilidad de que fallen no más de dos componentes en 50 horas?

¿Cuál es la probabilidad de que fallen por lo menos diez componentes en 125 horas?

Ejercicio

• La contaminación constituye un problema en la fabricación de discos de almacenamiento óptico.

• El número de partículas de contaminación que ocurre en un disco óptico tiene una distribución de Poisson y el número promedio de partículas por centímetro cuadrado de superficie del disco es 0.1.

• El área de un disco bajo estudio es 100 centímetros cuadrados.

• Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio.

Encuentre la probabilidad de que ocurran 12 partículas en el área del disco bajo estudio

Distribución Hipergeométrica (variable discreta)

• Ejemplo:Un inspector de aduanas decide revisar 3 de 16 embarques. Si la selección es aleatoria y 5 de los embarques contienen contrabando encuentre las probabilidades de que el inspector de aduanas

• a) No encuentre ningún embarque con contrabando• b) Encuentre contrabando


• Ejemplo 2: en un lote de 10 juegos de pólvora, 3 son defectuosos. Si se escogen 4 al azar, cual es la probabilidad de que los 4 sí funcionen? Y al menos 2 no exploten?


• Ejemplo 3: un grupo de 9 estudiantes de los cuales 4 son menores de edad, solicitan bebidas alcohólicas. ¿Cúal es la probabilidad de que como máximo 2 de las identificaciones pertenezcan a menores de edad si la mesera hace una verificación aleatoria de 5 identificaciones?

distribuciones discretas estadis ii

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