*Qu tal van las clases, Bartolo? Me pregunta mi barbero.Bien... Dando probabilidad y estadstica... Respondo.Ah! Probabilidad... Yo suelo jugar a la lotera...Dice mientras me pasa la cuchilla.Distribuciones discretasCuando compro un nmero, tal y como yo lo veo, hay dos posibilidades: ganar o perder. De modo que tengo un 50% de probabilidad de ganar y un 50% de perder.-Muy bien, Ricardo! Respondo, mientras pienso que no es bueno contradecir a nadie que tenga una navaja en mi cuello...

*Distribucin de BernoulliExperimento de Bernoulli: solo son posibles dos resultados: xito o fracaso. Podemos definir una variable aleatoria discreta X tal que: xito 1fracaso 0Si la probabilidad de xito es p y la de fracaso 1 - p, podemos construir una funcin de probabilidad:Un tpico experimento de Bernoulli es el lanzamiento de una moneda con probabilidad p para cara y (1-p) para cruz.

*Funcin de distribucin:

*Ejercicio: Calcular la esperanza y la varianza de la distribucin de Bernoulli.

*Distribucin binomialLa distribucin binomial aparece cuando estamos interesados en el nmero de veces que un suceso A ocurre (xitos) en n intentos independientes de un experimento.

P. ej.: # de caras en n lanzamientos de una moneda.

Si A tiene probabilidad p (probabilidad de xito) en un intento, entonces 1-p es la probabilidad de que A no ocurra (probabilidad de fracaso).

*Experimento aleatorio: n = 3 lanzamientos de una moneda.Probabilidad de xito en cada lanzamiento (cara) = p.Probabilidad de fracaso en cada lanzamiento (cruz) = 1- p = q.

*Supongamos que el experimento consta de n intentos y definamos la variable aleatoria:

X = Nmero de veces que ocurre A.

En nuestro ejemplo: X = Nmero de veces que sale cara.Entonces X puede tomar los valores 0, 1, 2, ... n.Si consideramos uno de estos valores, digamos el valor x , i.e. en x de los n intentos ocurre A y en n - x no. Entonces la probabilidad de cada posible ordenacin es pxqn-x y existen idnticas ordenaciones.

*La funcin de probabilidad P(X = x) serla distribucin binomial:

*

*Ejercicio: Cul es la probabilidad de que en una familia de 4 hijos exactamente 2 sean nias?

*Ejercicio: Si una dcima parte de personas tiene cierto grupo sanguneo, cul es la probabilidad de que entre 100 personas escogidas al azar exactamente 8 de ellas pertenezcan a este grupo sanguneo?

*Y si la pregunta es 8 como mximo?

*Calcula la probabilidad de obtener al menos dos seises al lanzar un dado cuatro veces.p = 1/6, q = 5/6, n = 4Al menos dos seises, implica que nos valen k = 2, 3, 4. P(2) + P(3) + P (4)

*Caractersticas de la distribucin binomialn = 5 p = 0.1n = 5 p = 0.5Media = E(X) = n p= 5 0.1 = 0.5= 5 0.5 = 0.25Desviacin estndar 0.2.4.6012345XP(X).2.4.6012345XP(X)0

*Distribucin hipergeomtrica

*Queremos seleccionar al azar dos bolas de una caja que contiene 10 bolas, tres de las cuales son rojas. Encuentra la funcin de probabilidad de la variable aleatoria : X = Nmero de bolas rojas en cada eleccin (con y sin reemplazo). Tenemos N = 10, A = 3, N - A = 7, n = 2Escogemos con reemplazo:Escogemos sin reemplazo:

*HipergeomtricaN = 24X = 8n = 5Binomialn = 5p = 8/24 =1/3xError00.10280.1317-0.028910.34260.32920.013320.36890.32920.039730.15810.1646-0.006540.02640.0412-0.014850.00130.0041-0.0028P(x)P(x)N = 240X = 80n = 5n = 5p = 80/240 =1/3xP(x)Error00.12890.1317-0.002810.33060.32920.001420.33270.32920.003530.16420.1646-0.000440.03980.0412-0.001450.00380.0041-0.0003P(x)Observa que si N, A, N-A son grandes comparados con n no hay gran diferencia en qu distribucin empleemos. La distribucin binomial es una aproximacin aceptable a la hipergeomtrica si n < 5% de N.

*Distribucin de PoissonCuando en una distribucin binomial el nmero de intentos (n) es grande y la probabilidad de xito (p) es pequea, la distribucin binomial converge a la distribucin de Poisson:

Observa que si p es pequea, el xito es un suceso raro.

La distribucin de Poisson, junto con la uniforme y la binomial, son las distribuciones ms utilizadas.donde np =

*Un proceso poissoniano es aqul compuesto de eventos discretos que son independientes en el espacio y/o en el tiempo. Por ejemplo la llegada de fotones a un detector.Usemos la distribucin binomial para modelar el proceso. Podemos dividir el intervalo de tiempo en el que ocurre el proceso en n subintervalos suficientemente pequeos, como para asegurarnos que a lo sumo se produce un evento en cada subintervalo. De modo que en cada subintervalo, o se producen 0 o 1 ocurrencias. A lo sumo llega un fotn en cada subintervalo o ninguno.De modo que podemos entender el proceso como un experimento de Bernoulli. Para determinar p, podemos razonar de la siguiente manera:

*En promedio se producirn t ocurrencias en un intervalo de tiempo t. Si este intervalo se divide en n subintervalos, entonces esperaramos en promedio (usando Bernoulli): np ocurrencias. As: t = np, p = t / n.

Sin prdida de generalidad supongamos que t = 1 y que X es la variable aleatoria = nmero total de ocurrencias.Sabemos que:Observa que para n grande P(X = 0) es aproximadamente e-. Adems para n grande (y por tanto p muy pequeo):

*Tenemos entoncesla siguiente ecuacin iterada:Que nos proporciona:

*Bombas sobre Londres en la II Guerra Mundial (Feller)10 x 10400 bombasSupn que vivas en uno de los 100 bloques que aparecen en la grfica inferior. La probabilidad de que una bomba cayera en tu bloque era 1/100. Como cayeron 400 bombas, podemos entender el nmero de impactos en tu bloque como el nmero de xitos en un experimento de Bernoulli con n = 400 y p = 1/100. Podemos usar una Poisson con =400 1/100=4: ObservadoPredicho

*Caractersticas de la distribucin de Poisson= 0.5= 612345X246810XMediaDesviacin estndarEX() 0.2.4.60P(X) 0.2.4.60P(X)Nota: el mximo de la distribucinse encuentra en x

*Distribucin de Poisson para varios valores de . La distribucin de Poisson se obtiene como aproximacin de una distribucin binomial con la misma media, para n grande (n > 30) y p pequeo (p < 0,1). Queda caracterizada por un nico parmetro (que es a su vez su media y varianza).

= = n p =

*Si la probabilidad de fabricar un televisor defectuoso es p = 0.01, cul es la probabilidad de que en un lote de 100 televisores contenga ms de 2 televisores defectuosos?El suceso complementario Ac: No ms de 2 televisores defectuosos puede aproximarse con una distribucin de Poisson con = np = 1, sumando p(0) + p(1) + p(2).La distribucin binomial nos dara el resultado exacto:

*La seal promedio recibida en un telescopio de una fuente celeste es de 10 fotones por segundo. Calcular la probabilidad de recibir 7 fotones en un segundo dado.

*Si en promedio, entran 2 coches por minuto en un garaje, cul es la probabilidad de que durante un minuto entren 4 o ms coches?

*****************30**********