b0. distribuciones de probabilidad€¦ · aproximación de la binomial a la normal sea x una...

Estadística

B0. Distribuciones de probabilidad

Departamento de Ciencias del Mar y Biología Aplicada

Prof, Dr. Jose Jacobo Zubcoff

Dada una variable aleatoria es el modelo de probabilidad caracterizado por la función de densidad:

• Distribución de probabilidad más importante en estadística

• Modelo general pero no universal

• Su adecuación debe contrastarse siempre que sea posible a través de técnicas de Inferencia Estadística

Estadística Distribución Normal

),( σµNX ≡

ep

xfx

21)(

2

21

σ

σµ

=⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −−

El dominio de la variable es cualquier valor real (-∞, +∞).

Simétrica respecto a la media µ.

Tiene su máximo en la media µ.

Crece hasta la media y decrece a partir de ella.


Propiedades

)1()1( +>=−< µµ XPXP

La probabilidad equivale al área encerrada bajo la curva:

P(µ-σ < X ≤ µ+σ)=0.6826 68.26%

P(µ-2σ < X ≤ µ+2σ)=0.954 95.45 %

P(µ-3σ < X ≤ µ+3σ)=0.997 99.73 %


Distribución Normal Estándar

N(0,1)

Su media µ=0 Su desviación típica σ=1


No se puede mostrar la imagen. Puede que su equipo no tenga suficiente memoria para abrir la imagen o que ésta esté dañada. Reinicie el equipo y, a continuación, abra el archivo de nuevo. Si sigue apareciendo la x roja, puede que tenga que borrar la imagen e insertarla de nuevo.

ep

xf21)( = 2

x−

2

Tipificación de la variable x

Dada una variable X que sigue una distribución N(µ,σ), se transforma en otra variable Z que sigue una distribución N(0,1).

X N(µ,σ) Z N(0,1)

Ventaja: Valores tabulados



σµ−

=xz

Ejercicios propuestos

La longitud X en mm de una población de lubinas sigue una distribución N(3,5). Calcular la probabilidad de que la lubina que pesquemos mida 6 mm o menos. ¿Y la probabilidad de que esté entre 1 y 6 mm?

Estadística Ejercicios


( ) 7257.06.0536

53)6( =≤=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤

−=≤ ZPxPXP

Teorema del límite central

Para cualquier variable con E(X) y n lo bastante grande, la distribución de la variable es una normal estándar.

Estadística Normal como aproximación a otras distribuciones

µ( ) )/(errorestX µ−

Binomial Poisson

Normal

1>= λnp

1.0<p

5>λ5>npqnp=µnpq=σ

λµ =

λσ =

A partir de Peña, 2001

Aproximación de la binomial a la normal

Sea X una variable aleatoria con distribución binomial de parámetros n y p. Si n es grande, entonces la distribución de X es aproximadamente normal con esperanza y varianza

Se suele utilizar esta aproximación cuando np y n(1 – p) son mayores que 5, o bien cuando n > 30.

Como alternativa se puede coger directamente npq > 5

Tener en cuenta que para pasar de discretas a continuas se debe hacer corrección de continuidad:


np=µ ( )pnp −= 12σ


Fuente: Plaza 1999

Aproximación de la binomial a la normal


0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0

0.0

0.2

0.4

0.6

ComparaciÛn B(3,0.1)-N(m,s)

n

Probabilidad

0 5 10 15 20

0.00

0.05

0.10

0.15

0.20

0.25


n

Probabilidad

0 20 40 60 80 100

0.00

0.02

0.04

0.06

0.08

0.10

0.12


nProbabilidad

Aproximación de la poisson a la normal


Ejemplo: Del ejemplo que teníamos para el apartado de distribución binomial, con una población de cetáceos en la que se sabe que el 60% son machos, ahora se extraen un conjunto de 100, ¿cuál es la probabilidad de que en ese conjunto haya 32? X = Nº de hembras en el conjunto n = 100 p = 0.4


0216.06.04.030100

)32( 3010030 =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛== −XP

Alternativa aproximando por una normal: 1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema: 2. Calculamos los parámetros de la normal 3. Calculamos a partir de la Normal


5246.04.0100 >=⋅⋅=npq

90.424

40

===

==

npq

np

σ

µ

)5.0325.032()32( +≤≤−== XPXP

( )

0.0211993699.095818.0

5306.17347.190.4405.32

90.4405.31)32(

=−

=−≤≤−=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −≤≤

−== ZPXPXP


¿Y si ajustamos por Poisson? 1. Comprobamos que podemos aplicar el teorema: Apliquémoslo de todos modos, a ver qué sale:

λλλ −= e

kkf

k

!),(

02978.0!32

40)32( 4032

=== −eXP

1.04.01404.0100

>=

>=⋅=

pnp

404.0100 =⋅== npλ

Distribuciones continuas: Normal

Comando a utilizar con R: • dnorm(x,media,sd): Función de densidad

• pnorm(x,media,sd): F. distribución

• qnorm(prob.media,sd): Quantiles

• rnorm(nobs,media,sd): Números pseudoaleatorios

Estadística

Distribuciones discretas: Binomial

Estadística

Comando a utilizar con R: • dbinom(x,tamaño,prob): Función de probabilidad

• pbinom(x,tamaño,prob): F. prob. acumulada

• qbinom(prob,tamaño,prob): Quantiles

• rbinom(nobs,tamaño,prob): Números pseudoaleatorios

b0. distribuciones de probabilidad€¦ · aproximación de la binomial a la normal sea x una...

Documents