1º bachillerato matemÁticas ciencias sociales temas … · se dice la variable aleatoria discreta...

1

1º BACHILLERATOMATEMÁTICAS

CIENCIAS SOCIALES

TEMAS 14 y 15.-DISTRIBUCIONES DISCRETAS. LA DISTRIBUCIÓN BINOMIAL.

DISTRIBUCIONES CONTINUAS.

LA DISTRIBUCIÓN NORMALPROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

2

PROFESOR: RAFAEL NÚÑEZ NOGALES

Concepto de variable aleatoria

1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Definición de variable aleatoriaUna variable aleatoria X, es una función que le hace corresponder a cada resultado de un

experimento aleatorio, un número real.

Tipos de variables aleatorias

Discreta: Una v.a. X es discreta cuando sólo toma valores aislados, xi.Estas variables nunca pueden tomar todos los valores de un intervalo.

Ejemplos: suma de los puntos obtenidos al lanzar 2 dadosnúmero de caras al lanzar una moneda 5 vecesnúmero de hijos de un matrimonio elegido al azarnúmero de asignaturas suspensas de un alumno elegido al azarnúmero de libros vendidos por una librería cualquiera en un díaEdad de una personaetc, …

Continua: Cuando entre dos valores, aunque estén muy próximos entre sí, siempre se puede tomar otro valor. Este tipo de variables toman todos los valores dentro de un intervalo

Ejemplos: estatura, longitud de un tornillo, nivel de agua de un embalse, temperatura en una ciudad, …

3

Distribución de probabilidad en una v.a. discreta

Se llama distribución de probabilidad de una variable aleatoria discreta X con valores xi, al conjunto de probabilidades:

pi = probabilidad de que la variable X tome el valor xi = p(X = xi)

La función F(xi) = p(X ≤ xi) se llama función de distribución de la variable X.

Por ejemplo, en el experimento aleatorio de lanzar un dado dos veces, X = “nº de veces que sale el 6” es una variable aleatoria discreta, pues X sólo toma los valores xi: 0 , 1 y 2

Los resultados del experimento son 36:

6665646362616

5655545352515

4645444342414

3635343332313

2625242322212

1615141312111

654321

La distribución deprobabilidad es:

25

3610

361

36

ip∑Total

2

1

0

pi = p(X = xi)xi

El gráfico de probabilidades es:

= 0,6944

= 0,2778

= 0,0278

= 1

En todas las distribuciones de probabilidad discreta, se cumple:

= 1ip∑



4

Parámetros de una distribución de probabilidad discreta

Media aritmética ó esperanza matemática: µ = x pi i∑ Varianza:i i

2 2 2(x p ) µ= −σ ∑

Desviación típica: 2=σ σ

La varianza también se puede calcular por la fórmula2 2(x ) p

i iσ = − µ∑

Vamos a calcular los parámetros de la distribución del ejemplo anterior:

25

36

10

36

10

36

10

36

1

36

2

36

4

36

12 1

36 3=

14 7

36 18=Total

2

1

0

xi2 pixi pipixi

0 0

1

Media o esperanza matemática de X: µ = x pi i∑ 10,333

3= ≅

Varianza de X : i i2 2 2(x p ) µ= −σ ∑

27 1

18 3

= −

7 1

18 9= −

50,278

18= ≅

Desviación típica de X: 2=σ σ5

0,52718

= ≅

X = nº de veces que sale el 6 al lanzar un dado dos veces



Tareas Tema 14: Ejercicios: 2 , 3 , 5 , 6 , 26 y 29

5

1.- VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS (Ej. 3)


= →∑ ia) Como p 1 0,15 + 0,2 + k + 0,3 + 0,11 = 1 → 0,76 + k = 1 → k = 0,24

b) p(X < 3) = 0,15 + 0,2 = 0,35 p(1 < X ≤ 4) = 0,2 + 0,24 + 0,3 = 0,74

6



Los resultados del experimento son 8: {ccc, ccx, cxc, cxx, xcc, xcx, xxc, xxx}

El gráfico de probabilidades es:

La v.a. es X = nº de cruces = { 0 , 1 , 2 , 3 }

p(X = 0) =1

8p(X = 1) =

3

8p(X = 2) =

3

8p(X = 3) =

1

8

La distribución deprobabilidad es:

3

Total

2

1

0

pi = p(X = xi)xi

1

8= 0,125

3

8= 0,375

3

8= 0,375

1

8= 0,125

1

7



8



91,50,256

2,50,50,15

2,40,60,154

16,053,551Total

1,350,450,153

0,60,30,152

0,20,20,21

xi2 pixi pipixi

=∑ 3,55µ = x pi i

i i2 2 2 2(x p ) 16,05 3,55 3,4475µ = − == −σ ∑

2 1,8567= ≅σ σ

9



4,45µ =

2 4,4475=σ 2,1089=σ

p(X ≤ 4) = 0,3+0,1+0,15 = 0,55

p(X ≥ 6) = 0,2+0,1+0,1 = 0,4

10



+ + + + =

+ + = → + + =

0,1 a b c 0,2 1

0,1 a b 0,7

b c 0,2 0,75

+ + =

+ = → + =

a b c 0,7

a b 0,6

b c 0,55

a = 0,15 , b = 0,45 , c = 0,1

11

El factorial de un número natural n se define por la fórmula

n! = n.(n - 1).(n - 2). .... . 3 . 2 . 1Se lee “n factorial”

Ejemplos: 1 ! = 1 ; 2 ! = 2 . 1 = 2 ; 3 ! = 3 . 2 . 1 = 6 4 ! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24

y así sucesivamente

0 ! = 1 (por convenio)

El factorial de un número se puede hallar con la calculadora científica.

Por ejemplo, si queremos calcular 13! , el proceso es el siguiente: 13 x! .

Nos da como resultado: 6 227 020 800.

Este resultado coincidiría con la multiplicación: 13.12.11.10.9.8.7.6.5.4.3.2.1

Factorial de un número natural2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL


12

Dados dos números naturales n y m (con m ≤ n) se define el número combinatorio “n sobre m” por la fórmula:

n n=

m m . (n-m)!

! !

Por ejemplo:

15. 14. 13. 12. 1115 15= =

4 . 11 4

!!! ! 4 . 11! !

32 760= = 1 36524

Propiedades del número combinatorio

1) n

1

= n . Por ejemplo, 6

1

= 6

2) n

0

= nn

= 1. Por ejemplo, 5

0

= 5

5

= 1

Justificación :

6. 56 6= =

1 . 51

!!! ! 1 . 5! !

= 6

Justificación :

5 5 5= = = 1

0 . 5 1 . 50

5 5 5= = = 1

5 . 0 55

! !! ! !

! !! ! ! . 1

3)

nm

= n

n-m

Por ejemplo, 7

3

= 7

7-3

= 7

4

Justificación :

7 7=

3 . 43

7 7=

4 . 34

!! !

!! !

Número combinatorio2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL


13

Consideremos un experimento aleatorio y sea A un suceso con p(A) = p ≠ 0 .

Si realizamos n veces el mismo experimento y le llamamos X = nº de veces que ocurre el suceso A”, entonces X puede tomar los valores: 0, 1, 2, 3,…., n.

X es una v.a. discreta que toma n+1 valores.

Se dice la variable aleatoria discreta X tiene distribución de probabilidad

binomial de parámetros n y p. Se representa así: X → B(n , p)

Ejemplos de distribuciones binomiales:

Lanzar un dado 15 veces. Sea X = nº de veces que sale el 6. En este caso, X → B(15 , 1/6)

Nacimiento de 30 bebés, siendo la probabilidad de que nazca niño 0,4. Sea X = nº de niñas.

En este caso, X → B(30 ; 0,6)

Un jugador lanza a canasta 50 veces, siendo la probabilidad de errar 0,3. Sea X = nº de aciertos.

En este caso, X → B(50 ; 0,7)

Se lanza una moneda 25 veces. Sea X = nº de cruces. En este caso, X → B(25 , 1/2)

La distribución de probabilidad en la B(n , p) es:

pk = p(X = k) = n

k

pk.(1 – p)n – k , k = 0, 1, 2,…, n

Media aritmética ó esperanza matemática:

µ = n.p

Varianza: 2 n.p.(1 p)= −σ

Desviación típica: n .p.(1 p)−σ =

2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL


Tareas Tema 14: Ejercicios: 14 , 15 , 16 , 17 , 18 , 21 , 34 y 63

14

2.- DISTRIBUCIÓN BINOMIAL (Ej. 14)


a) X = nº de usuarios de metro. X → B(30 , 4/15)

En este caso, n = 30, p = 4/15

= =4

µ = n.p 30 . 815

2 4 11 88. 5,8667

15 15 15n.p.(1 p) 30 . = ≅= − =σ

882,4221

15σ = ≅

b)

15



X = nº de tornillos defectuosos. X → B(3 ; 0,3); X = 0,1,2,3En este caso, n = 3, p = 0,3

p(X = k) =

3

k(0,3)k.(0,7)3 – k , k = 0, 1, 2, 3

a) p(X = 3) =

3

3(0,3)3.(0,7)0 = 1 . 0,027 . 1 = 0,027 = 2,7%

b) p(X = 2) =

3

2(0,3)2.(0,7)1 = 3 . 0,09 . 0,7 = 0,189 = 18,9%

c) p(X = 0) =

3

0(0,3)0.(0,7)3 = 1 . 1 . 0,343 = 0,343 = 34,3%

16



X = nº de varones. X → B(3 , 10/16) ; X → B(3 ; 0,625) ; X = 0,1,2,3En este caso, n = 3, p = 0,625

p(X = k) =

3

k(0,625)k.(0,375)3 – k , k = 0, 1, 2, 3

a) p(X = 2) =

3

2(0,625)2.(0,375)1 = 3 . 0,391 . 0,375 = 0,4399 = 43,99%

b) p(X ≥ 1) = 1 – p(X < 1) = 1 – p(X = 0)

1 –

3

0(0,625)0.(0,375)3 = 1 – 1 . 1 . 0,053 = 1 – 0,053 = 0,947 = 94,7%

17



X = nº de personas que la consideran favorable. X → B(10 ; 0,3); X = 0,1,2,… ,10En este caso, n = 10, p = 0,3

p(X = k) =

10

k(0,3)k.(0,7)10 – k , k = 0, 1, 2,…, 10

a) p(X = 3) =

10

3(0,3)3.(0,7)7

p(X = 3) = 120 . 0,027 . 0,082 = 0,2657 = 26,57%

10.9.8.710 10= =

3 . 7 3

!!! ! 3 . 7! !

720= = 1206

b) p(X = 10) =

10

10(0,3)10.(0,7)0 = 1 . 0,0000059049 . 1 = 0,0000059049

18



X = nº de personas que acuden al acto. X → B(10 ; 0,4); X = 0,1,2,… ,10En este caso, n = 10, p = 0,4

p(X = k) =

10

k(0,4)k.(0,6)10 – k , k = 0, 1, 2,…, 10

a) p(X = 3) =

10

3(0,4)3.(0,6)7

10.9.8.710 10= =

3 . 7 3

!!! ! 3 . 7! !

720= = 120

6

p(X = 3) = 120 . 0,064 . 0,028 = 0,215 = 21,5%

b) p(X > 3) = 1 – p(X ≤ 3) = 1 – 0,266 = 0734 = 73,4%

pues, p(X ≤ 3) = p(X = 0) + p(X = 1) + p(X = 2) + p(X = 3) = 0,0025+0,0207+0,0763+0,1665 = 0,266

19



X = nº de empresas en quiebra. X → B(12 ; 0,15); X = 0,1,2,… ,12En este caso, n = 12, p = 0,15

a) El número esperado de empresas en quiebra es la esperanza o media de X:

= = ≅µ = n.p 12 . 0,15 1,8 2 empresas

2 . 0,85 1,53n.p.(1 p) 12 . 0,15 == − =σ

1,53 1,2369σ = ≅

b)

20



p(X = k) =

6

k(0,2)k.(0,8)6 – k , k = 0, 1, 2,…, 6

a) p(X = 3) =

6

3(0,2)3.(0,8)3

7.6.5.47 7= =

3 . 43

!!! ! 3 . 4! !

210= = 356

p(X = 3) = 35 . 0,008 . 0,512 = 0,1434 = 14,34%

b) p(X < 2) = p(X = 0) + p(X = 1) = 0,262144 + 0,393216 = 0,65536

c) p(X = 4) = 0,01536

d) p(X > 4) = p(X = 5) + p(X = 6) = 0,001536 + 0,000064 = 0,0016

21



X = nº de personas que viven 30 años o más. X → B(5 , 2/3); X = 0,1,2,3,4,5En este caso, n = 5, p = 2/3

a) p(X = 5) = 0,1317 = 13,17%

b) p(X ≥ 3) = p(X = 3) + p(X = 4) + p(X = 5) =

0,3292 + 0,3292 + 0,1317 = 0,7901 = 79,01%

c) p(X = 2) = 0,1646 = 16,46%

22

Consideremos la variable aleatoria continua X = estatura de los chicos de 15 años

Supongamos que vamos preguntando a un número cada vez más grande de chicos por su estatura y dibujamos el histograma de frecuencias tomando clases o intervalos

cada vez más pequeñas

El área de cada rectángulo es la probabilidad de que un chico tomado al azar tenga estatura en el intervalo correspondiente.

Por ejemplo, el área del primer rectángulo corresponde aproximadamente a p(153 < X < 154,5)

Concepto de probabilidad3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS


El polígono de frecuencias se ajusta cada vez más a una línea. La función f(x) cuya gráfica es esa curva se llama función de densidad de X

En este ejemplo se han tomado 20 intervalos de amplitud 1,5 cm

23

Como hemos visto en el ejemplo anterior la probabilidad en una v.a. continua X corresponde a un área bajo la curva de densidad f.

Veamos algunas propiedades que nos sirvan para calcular probabilidades.

El área sombreada es p(X < a). La función F(x) = p(X < x) se llama función de distribución de la variable X

Cálculo de probabilidades-1

3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS


P(X = a) = área del segmento que pasa por “a” = 0. Luego, en las v.a. continuas, p(X = a) = 0

Por tanto, p(X ≤ a) = p(X < a) ; p(X ≥ a) = p(X > a); etc

24

p(-∞ < X < ∞) = 1

Cálculo de probabilidades-2

3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS


p(X > a) = 1 – p(X < a)

p(a < X < b) = p(X < b) – p(X < a)

Tareas Tema 15: Ejercicios: 11 y 13

25

3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 11 a) )


Para que sea una función de densidad se debe cumplir que p(-∞ < X < ∞) = 1.

p(-∞ < X < ∞) es el área del rectángulo.

Luego, A(rectángulo) = 5 . 1/k = 1 .

Por tanto, k = 5

26

3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 11 b) )


A(triángulo) = (4 . 8k) / 2 = 1 .

Por tanto, k = 1/16

27

3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 11 c) )


A(trapecio) = (k/3 + 4k/3) . 3 / 2 = 1 .

5k/2 = 1. Por tanto, k = 2/5

28

3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 13 a) )


29

3.- VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS (Ej. 13 b) )


30

Definición y propiedades

La mayoría de las variables aleatorias continuas tienen una función de densidad f(x) cuya gráfica tiene forma de campana. A esta gráfica se le llama campana de Gauss.

La función de densidad es f(x) =

1 x.

2

2

1.

. 2e

− −µ

σ

σ πsiendo µ la media y σ la desviación típica.

La gráfica de la función de densidad (campana de Gauss) tiene la siguiente forma:

Puedes observar que la gráfica es simétrica respecto de la recta vertical de ecuación x = µ .

Cuando la curva de densidad tiene esta forma diremos que X sigue una distribución normalde media µ y desviación típica σ.

Se escribe así: X → N(µ,σ)

Las distribuciones de este tipo son muy corrientes en la vida real.

4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL


31

Forma de la campana de Gauss4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL


32

Si µ = 0 y σ = 1 , entonces a la distribución Z → N(0,1) cuya campana de Gauss es de la forma

le llamaremos distribución normal tipificada.

p( Z < a) = p( Z ≤ a) = “área bajo la curva entre -∞ y a”

Distribución normal tipificada4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL


33

4.- DISTRIBUCIÓN NORMALUso de la tabla de probabilidades de la distribución N(0,1)

P(Z<1,24)

p(Z < a) = 0,9913

a = 2,38

= 0,8925

34

Para calcular otras probabilidades en la distribución N(0,1) usamos las siguientes fórmulas:

p(Z > a) = 1 – p(Z < a) p(Z < – a) = p(Z > a) = 1 – p(Z < a)

p(Z > – a) = p(Z < a)p(a < Z < b) = p(Z < b) – p(Z < a)

p(– b < Z < – a) = p(a < Z < b) = p(Z < b) – p(Z < a)

p(– a < Z < b) = p(Z < b) – p(Z < – a) == p(Z < b) – [ 1 – p(Z < a) ] =

Cálculo de probabilidades en la distribución N(0,1)



Ej: p(Z > 0,6) = 1 – p(Z < 0,6) = 0,2743

= p(Z < b) + p(Z < a) – 1

Ej: p(Z > – 0,25) = 1 – p(Z < 0,25) = 0,4013

Ej: p(Z > –0,19) = p(Z < 0,19) = 0,8621Ej: p(1 < Z < 2) = p(Z < 2) – p(Z < 1) = 0,1359

Ej: p(-3 < Z < -2) = p(Z < 3) – p(Z < 2) = 0,0215Ej: p(-2 < Z < 1) = p(Z < 1)+p(Z < 2) – 1= 0,8185

35

Si X → N(µ,σ) , entonces la variable XZ N(0,1)

− µ= →

σ

A este proceso se le llama tipificación de la variable.

En este caso: p(a < X < b) = a X b

p( )− µ − µ − µ

< < =σ σ σ

a bp( Z )

− µ − µ< <

σ σ

Si X → B(n , p) con n ≥ 30 y los productos np ≥ 5 , n(1-p) ≥ 5, entonces la distribución binomial X se puede aproximar por la distribución normal X´ :

X´ N(np , )np(1-p)→

En este caso

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

( ) ( )

P X k P k 0,5 X´ k 0,5

P X k P X´ k 0,5

P X k P X´ k 0,5

P X k P X´ k 0,5

P X k P X´ k 0,5

= = − < < + < = < −

≤ = < +

> = > +

≥ = > −

Tipificación. Relación entre la distribución binomial y la normal



Tareas Tema 15: Ejercicios: 3 , 4 , 8 , 9 , 14 , 17 , 23 , 28 y 29

36

4.- DISTRIBUCIÓN NORMAL (Ej. 3)


37



38



X = nº de caras; X → B(120 ; 1/3)

Como n.p = 120 . 1/3 = 40 > 5 y n(1 – p) = 120 . 2/3 = 80 > 5 , podemos tomar en vez de X la variable

X´ N(np , )→ np(1-p) X´ N(40 ; 5,16 )→

p(35 ≤ X ≤ 45) = p(34,5 < X´ < 45,5)34,5 40 45,5 40

p( Z )5,16 5,16

− −= < <

= p(-1,07 < Z < 1,07) = p(Z < 1,07) – p(Z < -1,07) =

p(Z < 1,07) – [ 1 – p(Z < 1,07) ] = 2p(Z < 1,07) – 1 = 2 . 0,8567 – 1 = 0,7134

Por tanto, la probabilidad de no acertar es 1 – 0,7134 = 0,2866 = 28,66%

39



X = nº de personas que aparecen; X → B(100 ; 0,8)

Como n.p = 100 . 0,8 = 80 > 5 y n(1 – p) = 100 . 0,2 = 20 > 5 , podemos tomar en vez de X la variable

X´ N(np , )→ np(1-p) X´ N(80, 4)→

p(X > 87) = p(X´ ≥ 87,5)87,5 80

p(Z )4

−= > = p(Z > 1,88) =

= 1 – p(Z < 1,88) = 0,0301 = 3,01%

40



a) p(0 < Z < 0,25) = p(Z < 0,25) – p(Z < 0) = 0,5987 – 0,5 = 0,0987

b) p(Z < 1,32) = 0,9066

c) p(–2,23 < Z < 1,15) = p(Z < 1,15) + p(Z < 2,23) – 1 =

= 0,8749 + 0,9871 – 1 = 0,862

d) p(Z > 1,23) = 1 – p(Z < 1,23) = 1 – 0,8907 = 0,1093

41



X → N(20 , 2)

p(X > 23)23 20

p(Z )2

−= > = p(Z > 1,5) = 1 – p(Z < 1,5) = 0,0668 = 6,68%

p(X < 17)17 20

p(Z )2

−= < = p(Z < -1,5)= 1 – p(Z < 1,5) = 0,0668 = 6,68%

42



X = capacidad del recipiente; X → N(10 ; 0,1)

p(9,9 < X < 10,1)9,9 10 10,1 10

p( Z )0,1 0,1

− −= < <

= p(-1 < Z < 1) = p(Z < 1) + p(Z < 1) – 1 = 0,8413 + 0,8413 – 1 = 0,6826

Por tanto, la probabilidad de que sea considerado defectuoso es:

1 – 0,6826 = 0,3174 = 31,74%

43



X = minutos que tarda de casa al instituto; X → N(14 ; 2,5)

44



1º bachillerato matemÁticas ciencias sociales temas … · se dice la variable aleatoria discreta...

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