4. variable aleatoria discreta
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4. Variable aleatoria discreta
El mismo Doob explicaba el origen del término variable aleatoria (random variable): "Cuando estaba escribiendo mi libro [Stochastic Processes] tuve una discusión con William Feller. Él aseguraba que todo el mundo decía "variable aleatoria" (random variable), mientras que yo sostenía que se usaba "variable al azar" (chance variable). Obviamente, debíamos usar el mismo nombre en nuestros libros, así que optamos por tomar la decisión mediante un procedimiento aleatorio: lanzamos una moneda y él ganó".
2
Variable aleatoria
Una variable aleatoria X es una función que asocia a cada suceso del espacio muestral E de un experimento aleatorio un valor numérico real:
)(
:
wXw
EX
Llamar variable a una función resulta algo confuso, por ello hay que insistir en que es una función.
La variable aleatoria puede ser discreta o continua.Veremos en este capítulo el caso discreto.
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Ejemplo de variable aleatoria discreta:
Número de caras al lanzar 3 monedas.
Elementos del espacio muestral +++ ++C +C+ C++ CC+ C+C +CC CCC
Nº reales(# de caras) 0 1 2 3 caras
Ley de correspondencia
)(
:
wXw
EX
Establecer una variable aleatoria para un experimento aleatorio no es más que una manera de asignar de "manera natural" números a los eventos.
4
Voy a pensar un número entero del 1 al 100. “¿Qué numero será?”
Intentaremos representar el estado de incertidumbre mediante una función matemática: la función de probabilidad.
1 2 3 99 100 X
P
1/100
........
Función de probabilidad
5
En muchos casos asumimos que todos los resultados de un experimento aleatorio son igualmente posibles.
Si X es una variable aleatoria que representa los resultados posibles del experimento, decimos que X se distribuye uniformemente.
Si el espacio muestral consta de n sucesos simples,
0 < n < ∞ , entonces la función de probabilidad discreta se define como p(x) = 1/n para todo x del espacio muestral.
En un ordenador podemos generar una distribución de valores con esta probabilidad con:
1 + int [n (rnd)]
Distribución uniforme discreta
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Supongamos que me preguntáis si es par.Y respondo que no. ¿Cómo modifica la función?
1 2 3 99 100 X
P
1/50
........
Os pido una pregunta de modo que mi respuesta genere una función de incertidumbre, de probabilidad, tal que los valores del espacio muestral posibles (con probabilidad distinta de cero) no tengan todos la misma probabilidad. ¿Son válidas: “¿Tiene dos cifras el número?” o “¿Es un número primo?” ?
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Función de probabilidad o distribución
Una vez definida una variable aleatoria X, podemosdefinir una función de probabilidad o distribución de probabilidad asociada a X, de la siguiente forma:
)()(
]1,0[:
xXPxpx
p
La función de probabilidad debe cumplir:
x
xpii
xxpi
1)()(
1)(0)(
(Suma sobre todos los posibles valores que puede tomar la variable aleatoria).
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Función de probabilidad discreta
Valores Probabilidad
0 1/4 = 0.25
1 2/4 = 0.50
2 1/4 = 0.25
Z
Z
Z Z
)(
:
wXw
EX
)()(
]1,0[:
xXPxpx
p
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Requerimientos de una distribución de probabilidad
X P(X)
-10123
.1
.2
.4
.2
.11.0
X P(X)
-10123
-.1.3.4.3.1
1.0
X P(X)
-10123
.1
.3
.4
.3
.11.2
x todopara 1)(0 xp
1)(x
xp
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Observa que aun si el espacio muestral es infinito numerable, también podemos definir una variable aleatoria discreta y una función de probabilidad.
Ejemplo: Sea X = Número de lanzamientos de una moneda antes de que aparezca una cara.
Entonces:
P(X = 1) = P(C) = 1/2 P(X = 2) = P(+C) = 1/2 ∙ 1/2 = 1/4 P(X = 3) = P(++C) = 1/2 ∙ 1/2 ∙ 1/2 = 1/8 ...
y en general P(X = n) = (1/2)n, n = 1, 2,…
Demuestra que está normalizada.
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Sea el experimento “lanzar dos dados”. Definamos el espacio muestral E como:E = {(1,1),(1,2),...(1,6),...,(5,6),(6,6)}
Definamos la variable aleatoria discreta X como:
con S = {2,3,...,12} la suma de puntos.Una posible función de probabilidad es:
SEX :
...
363)2,2()13()31(4)4(
362)12()21(3)3(
361)11(2)2(
]1,0[:
/),,P()P(Xf
/),,P()P(Xf
/),P()P(Xf
f
12
P
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 X
1/36
2/36
6/36
4/36
5/36
3/36
2/36
1/36
5/36
4/36
3/36
Función de probabilidad de la variable aleatoria X
Observa que cumple las dos condiciones: es siempre positiva (y menor o igual a 1) y está normalizada.
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Función de distribución (acumulada)
Dada una variable aleatoria discreta X se llama función de distribución a la función F definida como:
)()(
]1,0[:
xXPxFx
F
En nuestro ejemplo de los dos dados:
F(5) = P(X 5) = P(x = 2 o x = 3 o x = 4 o x = 5)
F(5) = 1/36 + 2/36 +3/36 + 4/36 = 10/36
14
x
1,0
0,5
0,028
2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
F
Función de distribución de la variable aleatoria X
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Ejemplo: Dibuja la función de probabilidad f(x) y la función de distribución F(x) de una variable discreta definida como:
X = Número en la cara de un dado.
X tiene como posibles valores x = 1, 2, 3, 4, 5, 6 cada uno con probabilidad 1/6
0
61
1 x
f(x)
1
0.5
10
F(x)
x6 6
Función de probabilidad f(x) Función de distribución F(x)
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Algunos problemas de probabilidad están relacionados con la probabilidad P(a <X b) de que X asuma algún valor en un intervalo (a, b]. Observa que:
P(a < X b) = F(b) - F(a)
Para demostrarlo observa que, como los sucesos X a y a < X b son mutuamente excluyentes, entonces:
F(b) = P(X b) = P(X a) + P(a < X b) = F(a) + P(a < X b)
En el ejemplo de los dos dados, calcula la probabilidad de que los dos dados sumen al menos 4 pero no más de 8:
P(3 < X 8) = F(8) - F(3) = 26/36 - 3/36 = 23/36
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Algunas propiedades de la función de distribución
0)()(lim)(lim)(
PxXPxFFxx
1)()(lim)(lim)(
EPxXPxFFxx
)()()( 1221 xFxFxXxP
F es monótona creciente.
F es continua por la derecha: la probabilidad de que la variable aleatoria discreta X tome un valor concreto es igual al salto de la función de distribución en ese punto.
Monte Carlo
x
y
f(x)
puntos de #
curva la bajo puntos de#Adxxf )(
Por método de Monte Carlo en general entendemos la simulación de los resultados de un experimento utilizando una computadora y un generador de números aleatorios. Se utiliza cuando un cálculo es difícil de realizar por otros métodos numéricos o algebraicos, o cuando somos demasiado vagos o ignorantes como para solucionarlo por métodos más elegantes.
Ejemplo clásico: área debajo de una curva. Dada un área A fácil de medir, que contiene una curva f(x) difícil de integrar, se puede calcular el área debajo de la curva mediante la generación de N pares de números aleatorios (x,y) que representan coordenadas. Se cuentan los puntos que caen por debajo de la curva y entonces:
Rectángulo de área A
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Aleatoriedad Deborah J. Bennett Alianza Editorial, 2000.
20
Realicemos ahora el siguiente experimento aleatorio: girar la ruleta de la imagen y apuntar el número del sector que coincide con la flecha.
La variable aleatoria X de este experimento asocia cada sector a un número entero, como podemos observar en la imagen. Es una variable aleatoria discreta. Los resultados posibles son: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}. Por simetría podemos establecer una función de probabilidad: la probabilidad de cada resultado es 1/8.
Método de Monte Carlo
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Repitamos un experimento aleatorio semejante, pero ahora con esta nueva ruleta:
Ahora el espacio muestral está compuesto por 4 eventos. Establecemos una nueva variable aleatoria discreta X' que asocia cada sector (evento) a los números: {0, 1, 2, 3}.
Ahora teniendo en cuenta el tamaño relativo de los sectores podemos establecer una función de probabilidad, que asocia a cada uno de los valores de la variable aleatoria {0, 1, 2, 3} las probabilidades {1/4, 1/2, 1/8, 1/8}, respectivamente (proporcionales al ángulo del sector).
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La variable aleatoria X en el primer ejemplo de la ruleta está uniformemente distribuida, ya que todos los resultados tienen la misma probabilidad. Sin embargo, en el segundo ejemplo, la variable aleatoria X, no está uniformemente distribuida.
El problema crucial de la aplicación de los métodos de Monte Carlo es hallar los valores de una variable aleatoria (discreta o continua) con una distribución de probabilidad dada por la función p(x) a partir de los valores de una variable aleatoria uniformemente distribuida en el intervalo [0, 1], proporcionada por el ordenador.
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¿Cómo simular con el ordenador la distribución de probabilidad de las ruletas?
Resultado Función de probabilidad
P. acumulada(Función de distribución)
0 0.25 0.25
1 0.5 0.75
2 0.125 0.875
3 0.125 1
Condición Resultado
0 ≤ g < 0.25 0
0.25 ≤ g < 0.75 1
0.75 ≤ g < 0.875
2
0.875 ≤ g < 1 3
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Una vez visto un caso particular, el problema general puede formularse del siguiente modo:
Si X es una variable aleatoria discreta cuyos posible resultados son {x0, x1, x2 , ... xn} y sean {p0, p1, p2, ... pn} sus respectivas
probabilidades. Al sortear un número aleatorio g, uniformemente distribuido en el intervalo [0, 1), se obtiene el resultado xi, si se verifica la siguiente condición:
i
jj
i
jj pp
0
1
0
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Esperanza matemática o media de una función de probabilidad discreta
)()( ii
iii
i xpxxXPxXE
X-10123
P(X).1.2.4.2.1
-.1.0.4.4.3
1.0
X P(X) Siempre que no genere ambigüedad pasaremos de arrastrar la variable aleatoria: en vez de poner X = xi ponemos directamente xi.
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Calcular la esperanza de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:
712361
...7366
...3362
2361
)()(12
2
i
iiPXE
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Sean a, b y c constantes. Demuestra que:
ccE )(
))(())(())()(( 2121 xPExPExPxPE
(3)
(1)
bXaEbaXE )()(
(2)
)()()()(
)()()()(
2121
2121
xPExPExXPxxXPx
xXPxXPxxPxPE
iiii
ii
iii
i
cccE 1(1)
(2)
28
Supongamos que tenemos que hacer unos análisis clínicos de sangre. Queremos detectar una enfermedad que afecta a 1 de cada 1000 personas. Los pacientes acuden en grupos de 50. ¿Qué nos sale económicamente más a cuenta: analizar paciente a paciente o mezclar la sangre de los 50 y analizar la mezcla?
50
50
1000
999-1enferma) 50 de persona una menos Al(
1000
999 sanas) personas 50(;
1000
999 sana) persona1(
P
PP
Tomando la mezcla, en promedio tendremos que hacer unos 21 análisis en vez de 50 por grupo.
211000
999-151
1000
9991 análisis de esperado#
5050
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A un juego de azar podemos asignarle una variable aleatoria X, cuyos valores son las ganancias correspondientes a los posibles resultados. La esperanza matemática de la variable aleatoria X representa el beneficio medio o ganancia media que se obtiene en cada jugada cuando se juega un número elevado de veces.
Si la esperanza matemática es 0 se dice que el juego es justo.Si es mayor que 0 se dice que el juego es favorable al jugador. Si es menor que 0 se dice que perjudica al jugador y no es favorable.
Sea el juego que consiste en sacar una bola de una urna que contiene 7 bolas rojas y 3 bolas negras. Ganamos 50 euros si la bola extraída es roja y pagamos 150 euros en el caso de que sea negra. ¿Qué podemos esperar si jugamos muchas veces?
Juegos
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Espacio muestral E = {R, N}. Consideramos las ganancias como positivas y las pérdidas negativas:
Variable aleatoria X Función de probabilidad
R
N
50 0,7
-150 0,3
103,0)150(7,050
Ganancia media
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Una compañía de seguros domésticos tiene que determinar el gasto medio por póliza suscrita, sabiendo que cada año 1 de cada 10.000 pólizas termina en una reclamación de 20 millones, 1 de cada 1.000 en 5 millones, 1 de cada 50 en 200.000 y el resto en 0.
1100010000
97890
50
1102
1000
1105
10000
1102
5
67
32
33
Mark Kac, en Enigmas of Chance (1985), explica cómo aplicar el concepto de esperanza a la vida real:
"Una semana, apareció un anuncio del Imperial College of Science and Technology ofreciendo un puesto de profesor de Matemáticas con un salario de 150 libras anuales; ser ciudadano británico no era requisito necesario. El salario era tan escaso que supuse que ningún ciudadano británico respetable estaría interesado en ese trabajo. Fui a preguntar a Steinhaus si debía o no optar al puesto. Por entonces no sabía ni una palabra de inglés, pero estaba dispuesto a jurar que mis conocimientos eran los suficientes.
"Déjame pensar", me dijo Steinhaus. "Estimaría que la probabilidad de que consigas el trabajo es de una entre mil. Si multiplicas esto por ciento cincuenta libras, tienes tres chelines. Eso es mucho más de lo que cuesta enviar la carta, así que deberías hacerlo". Lo hice, pero el trabajo fue al final para un ciudadano británico (después de todo, sí que había alguno interesado)”.
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)()()( ii
i xpxTXTE
Momento de orden k de una variable aleatoria discreta
De forma más general podemos definir la esperanza matemática o media no solo para una variable aleatoria X, sino para cualquier función T(X) como:
Tomando como casos particulares a las funciones:
...,3,2,1;)( kXXT k
obtenemos los momentos de orden k centrados en el origen:
i
iki
kk xpxXEm )()(
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Y tomando como casos particulares a las funciones:
...,3,2,1;)()( kXXT kobtenemos los momentos de orden k centrados en la media de X:
i
ikk
k xpxXEM )()())((
Observa que:
0)()(
)(
1
1
XEXEM
XEm
36
Varianza y desviación estándar o típica de una función de probabilidad discreta
iii xXPx
XEMXVar
)()(
))(()(2
22
2
)(XVar
Varianza
Desviación estándar o típica
Ambas miden la “dispersión de los datos”. Observa que la desviación típica lo hace con las mismas unidades que los propios datos.
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Ejemplo
X
-10123
P(X)
.1
.2
.4
.2
.1
-2-1012
41014
.4
.2
.0
.2
.41.2
)(2X )()(
2 XPX
i
ii xPx 2,1)()( 22
10.1)( XVar
X
38
Calcula la varianza y desviación típica de la variable aleatoria X en el ejemplo de los dos dados:
83,5)712(361
...)73(362
)72(361
)7()()(Var
222
12
2
2
i
iiPX
41,283,5)( XVar
39
Algunas propiedades de la varianza
22222
22
22
22
))(()(2)(
)(2)(
)()2(
)()()(
XEXEXE
xpxxpx
xpxx
xpxXVar
i iiiii
iiii
iii
222 ))(()( XEXE
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Usted tiene dos cosas que perder: la verdad y el bien, y dos cosas que comprometer: su razón y su voluntad, su conocimiento y su bienaventuranza; y su naturaleza posee dos cosas de las que debe huir: el error y la miseria. Su razón no está más dañada, eligiendo la una o la otra, puesto que es necesario elegir. He aquí un punto vacío. ¿Pero su bienaventuranza? Vamos a pesar la ganancia y la pérdida, eligiendo cruz (de cara o cruz) para el hecho de que Dios existe. Estimemos estos dos casos: si usted gana, usted gana todo; si usted pierde, usted no pierde nada. Apueste usted que Él existe, sin titubear.
Pensamientos, Blaise Pascal (1670)
Dios existe Dios no existe
Creer en Dios +∞ (CIELO) NADA
No creer en Dios
− ∞ (INFIERNO)
NADA
La apuesta de Pascal
«Deberías vivir tu vida e intentar hacer del mundo un lugar mejor estando en él, tanto si crees en dios como si no. Si no hay dios, no habrás perdido nada y serás recordado al morir por todos los que dejaste atrás. Si existe un dios benevolente, te juzgará a ti y a tus méritos y no por el hecho de si has creído o no en él».
Michael Martin
La paradoja de Parrondo(perder + perder = ganar)
Sea X(t), el capital en el instante t. Diremos que un juego es ganador (perdedor) si el promedio <X(t)> es una función monótona creciente (decreciente) de t. Y será un juego justo si <X(t)> es constante.
Juego A
Prob.de
ganar
Prob. de
perder
1/2 - e 1/2 + e
Es fácil probar que el juego A es un juego perdedor si e positivo:
<X(t+1)>-<X(t)> = <X(t+1)-X(t)> =
(1/2 - ) - e (1/2 + ) = -2e e
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La paradoja de San Petersburgo
«Se comienza con un “bote” de dos euros. Se lanza una moneda al aire: si sale cruz, yo doblo la cantidad que hay en el bote; si sale cara, usted se lleva el bote disponible en ese momento. Es decir, si la primera tirada es cara, usted gana 2 euros, si la primera tirada es cruz y la segunda cara, gana 4 euros, si la primera cara sale en la tercera tirada gana 8 euros, y si la primera cara sale en la tirada n-ésima gana 2n euros. Obviamente, lo que a usted más le conviene es que salga cara lo más tardeposible. En cualquier caso, usted gana siempre algo de dinero, por lo que es justo que yo le cobre alguna cantidad o cuota para permitirle participar en el juego».
«La pregunta que se hizo Bernouilli, y que en cierto modo sigue sin resolverse, es: ¿cuál es la cuota de entrada que se debería cobrar para que el juego fuera justo?»J. M. Parrondo
INVESTIGACIÓN Y CIENCIA, febrero, 2007
Daniel Bernoulli 1738San Petersburgo.
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La paradoja de San Petersburgo
Sea X la ganancia. Su valor esperado o ganancia media, es:
n
nn
XE 22
1
1
(La probabilidad de que salga cara por primera vez en la n-ésima tirada es: 1/2n )
¡El jugador debería pagar una cantidad infinita para que el juego fuera justo!
«En otras palabras, si yo le ofrezco entrar en el juego con una cuota de, digamos, un millón de euros, usted debería aceptar, porque la ganancia media en el juego, que es infinita, supera esa y cualquier otra cantidad. Sin embargo, nadie en su sano juicio aceptaría semejante trato. Esta es la paradoja de San Petersburgo: el sentido común nos dice que el valor medio de la ganancia no determina la cuota de entrada aceptable.¿Cómo determinamos entonces dicha cuota?»
El problema fundamental del juego de San Petersburgo es que proporcionapremios muy cuantiosos con probabilidad extremadamente pequeña. Por ejemplo, si la primera cara aparece en la tirada décima, la ganancia es de 1024 euros, y esto ocurre con una probabilidad de 1 entre 1024. Las ganancias crecen exponencialmente mientras que las probabilidades decrecen también exponencialmente, siendo siempre el valor medio de cada posible premio igual a un euro.
Cruz 23 veces seguidas: más de 16 millones de ganancia (en un millón deturnos, esto puede ocurrir con una probabilidad superior al 5 %).
La paradoja del vaticinio (paradoja de William A. Newcomb 1969)
Vas a jugar contra el supercomputador HAL 9000, capaz de vaticinar la elección de su contrincante. HAL es un oráculo moderno. Te presenta dos cajas cerradas: la caja 1 que puede contener 0 o 1.000 euros y la caja 2 que puede contener 0 o 1.000.000 euros.
Piensa que HAL vaticina con total seguridad lo que vas a escoger:
(a) Si HAL vaticina que optarás por las dos cajas, pondrá 1.000 euros en la caja 1 y nada en la caja 2.
(b) Si HAL vaticina que optarás por la caja 2, pondrá 1.000 euros en la caja 1 y 1.000.000 de euros en la caja 2.
(c) Si HAL vaticina que elegirás las dos cajas, y sin embargo, optas por la caja 2, no ganas nada.
(d) Si HAL vaticina que optarás por la caja 2, y sin embargo, optas por las dos cajas, ganas las sumas contenidas en las cajas 1 y 2, es decir: 1.001.000 euros.
Vaticina que elegirás caja 2
Vaticina que elegirás las dos cajas
Eliges la caja 2 1.000.000 0
Elige las dos cajas 1.001.000 1.000
Matriz de pagos (Teoría de juegos):
HAL
Tú
¿Qué eliges: recibir el contenido de ambas cajas o sólo el de la caja 2?
La gente (incluidos los matemáticos y filósofos profesionales) suele dividirse en dos bandos:
Si optas por las dos cajas: HAL lo habrá vaticinado y habrá colocado 1.000 euros en la caja 1 y nada en la 2. Premio: 1.000 euros.
Pero si optas por la caja 2: HAL lo habrá vaticinado y habrá colocado 1.000 euros en la caja 1 y 1.000.000 de euros en la caja 2. Premio: 1.000.000 euros.
Es preferible tener la casi plena certeza de ganar 1.000.000 de euros que ganar 1.000 euros.
Los que optan por la caja 2:
Todo está ya listo: ¿Qué opción eliges?
HAL ya ha efectuado su vaticinio, de modo que el contenido de la caja 2 ya está determinado: así que la caja 2 contiene 1.000.000 euros o nada.
Si HAL puso 1.000.000 de euros en la caja 2, al optar por las dos cajas, ganaré 1.001.000 euros. Si HAL solo puso 1.000 euros en la caja 1, me conviene también optar por las dos, puesto que mejor 1.000 euros que nada.
Los que optan por las dos cajas:
