varianza y esperanza de una variable aleatoria discreta

8/18/2019 Varianza y Esperanza de Una Variable Aleatoria Discreta

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Métodos Estadísticos para la IngenieríaCurso2007/08 Felipe Ramírez Ingeniería Técnica Química Industrial

TEMA

Variables aleatorias

discretas

Esperanza y varianza

La Probabilidad es la verdadera guía de la vida.

Cicerón


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ÍNDICE

ÍNDICE

TEMA 4TEMA 4

VARIABLES ALEATORIAS DISCRETASVARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS

Variables aleatorias– discretas

– contínuas

•Función de masa de probabilidad

•Función de distribución acumulada

•Esperanza. Propiedades

•Varianza. Propiedades


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VARIABLE ALEATORIA. DEFINICIÓN

VARIABLE ALEATORIA. DEFINICIÓN

Denominamos

VARIABLE ALEATORIA

ARIABLE ALEATORIA a toda función X que asocia a cada suceso de un

determinado espacio muestral E , un valor numérico.

)()(:

S X S R E P X

→→

Solemos escribir las variables aleatorias con letras mayúsculas

X, Y, Z

reservando las letras

minúsculas para los valores que toma dicha función.

Así

repesenta que la variable

X

toma el valor numérico

x

para el suceso

A

.

x A X =)(

DEFINICIEFINICIÓN 1 1


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VARIABLE ALEATORIA. EJEMPLOSVARIABLE ALEATORIA. EJEMPLOS

En el experimento “lanzar dos dados simultáneamente” se definen las variables aleatorias

•X como el valor máximo de la tirada

•Y como la suma de los resultados de los dos dados

•Z

como 1 si los dos resultados son iguales y 0 en otro caso.

EJEMPLO 1JEMPLO 1

EJEMPLO 2

JEMPLO 2

En el acceso a un sistema de ordenadores de tiempo compartido con dos puertos de

comunicaciones, si un estudiante intenta conectarse y los dos puertos están ocupados no

se establece la conexión FALLO) mentras que si al menos uno de los puertos está

disponible, se produce el acceso ACCESO).

Definimos la variable aleatoria X A)=1 y X F)= 0

Los sistemas de muestreo aleatorio suelen utilizar un marcador automático de teléfonos

que accede a un número de teléfono aleatoriamente. Definimos la variable:

EJEMPLO 3JEMPLO 3

= listadoelenestá NOdoseleccionateléfonoelsi 0 listadoelenestádoseleccionateléfonoelsi 1Y


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VARIABLE ALEATORIA. EJEMPLOSVARIABLE ALEATORIA. EJEMPLOS

En una empresa que fabrica baterias, unas son defectuosas F) y otras son correctas C).

Se define el experimento “examinar baterias hasta que aparezca una batería correcta”.

Se define la vaiable aleatoria

X

= “el número de baterias examinadas antes de que termine el experimento”.

X C)=1, X FC)=2, X FFC)=3…

X puede tomar los valores 1,2,3,…

EJEMPLO 4JEMPLO 4

EJEMPLO 5JEMPLO 5

De forma aleatoria se escoge un lugar de España peninsular con la pareja de números

latitud, longitud).

Se define la variable aleatoria

Y

= “altitud del lugar seleccionado”

Y

puede tomar cualquier valor entre 0 Valencia) y 3479 Mulhacen)


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VARIABLE ALEATORIA. TIPOSVARIABLE ALEATORIA. TIPOS

Una variable aleatoria se dice que es

DISCRETA

ISCRETA si su rango de valores es finito o infinito

numerable.

Se dice que es

CONTINUA

ONTINUA si el rango de valores que puede tomar es R o un intervalo de R,

es decir un conjunto no numerable.


DEFINICI

EFINICI

ÓN 3

3

Una variable aleatoria que sólo puede tomar dos valores 1 o 0 se dice que es una VARIABLEARIABLE

ALEATORIA DE BERNOULLI.

LEATORIA DE BERNOULLI.


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FUNCIÓN DE MASA PROBABILIDADFUNCIÓN DE MASA PROBABILIDAD

Dada una variable aleatoria

discreta

iscreta

X

la

DISTRIBUCI

ISTRIBUCI

ÓN DE PROBABILIDAD DE

DE PROBABILIDAD DE

X

establece como

se distribuye la probabilidad entre 0 y 1 de cualquiera de los valores de X.


EJEMPLO 6

JEMPLO 6

Seis lotes de componentes están listos para que cierto proveedor los envie. El número de

componentes defectuosos en cada lote es el siguiente:

021020Nº componetes

defectuosos

654321Lote

Se elige un lote al azar para enviarlo a un cliente. Sea X la variable que asigna el número de

componentes defectuosos del lote seleccionado.

¿Cuál es su distribución de probabilidad?

Mét d E t dí ti l I i í


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FUNCIÓN DE MASA PROBABILIDADFUNCIÓN DE MASA PROBABILIDAD


discreta

iscreta

X

la

DISTRIBUCI

ISTRIBUCI

ÓN DE PROBABILIDAD DE X

DE PROBABILIDAD DE X o

FUNCI

UNCI

ÓN DE

DE

MASA DE PROBABILIDAD,

ASA DE PROBABILIDAD,

p,

, se define como:

p x)=P{X=x)} x)=P{X=x)}

Obviamente se verifica que:


∑ =

≥∀

posible xtodo para

x p

x p x

1)(

0)(

En el ejemplo 6, tendríamos que:

=

=

=

=

casootroen

x si

x si

x si

x p

0

2333,0

1167,0

05,0

)(

Mét d E t dí ti l I i í


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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓNFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN


discreta X

iscreta X la

FUNCI

UNCI

ÓN DE DISTRIBUCI

DE DISTRIBUCI

ÓN ACUMULADA DE X

ACUMULADA DE X o

FUNCI

UNCI

ÓN

DE DISTRIBUCI

E DISTRIBUCI

ÓN,

,

F,

, se define como:


∑≤=≤= x y y p x X P x F )(}{)(

==

=

=

casootroen

x si x si

x si

x p

0

2333,01167,0

05,0

)(

Toda función de distribución es una función escalonada, con una discontinuidad de salto

finito en cada posible valor de X. El salto de la función es justamente la probabilidad de

ese punto.

En el ejemplo 5 como teníamos:

≤


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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN.PROPIEDADESFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN.PROPIEDADES

Las propiedades analíticas de toda

FUNCI

UNCI

ÓN DE DISTRIBUCI

DE DISTRIBUCI

ÓN ACUMULADA DE X,

ACUMULADA DE X, son:

Métodos Estadísticos para la Ingeniería


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FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN. PROBABILIDADESFUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN. PROBABILIDADES

Si se conoce la

FUNCIUNCIÓN DE DISTRIBUCI DE DISTRIBUCIÓN ACUMULADA DE X, ACUMULADA DE X,

se tiene perfectamente definida

la función de masa de probabilidad. En efecto basta observar que se cumple:

Para dos números cualesquiera a y b con a


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FUNCIONES DE MASA Y DE DISTRIBUCIÓN. EJEMPLOSFUNCIONES DE MASA Y DE DISTRIBUCIÓN. EJEMPLOS

Considere un grupo de cinco posibles donantes de sagre –A,B,C,D y E- de los cuales sólo

A y B tienen grupo sanguíneo 0+. Cinco muestras de sangre, una de cada individuo, se

tipifican en orden aleatorio hasta que se identifica un individuo 0+. Sea la variable

aleatoria Y=“

número de tipificaciones necesarias para identificar un individuo 0+”

.

Determinar la función de masa de probabilidad y la función de distribución acumulada.

EJEMPLO 7JEMPLO 7

EJEMPLO 8JEMPLO 8

Comenzando en un tiempo determinado, se observa el género de cada recién nacido en un

hospital hasta que nace un niño V). Sea p= P V). Suponiendo que los nacimientos

sucesivos son independientes y definida la variable aleatoria X=“número de nacimientos

observados

”, obtener la función de masa de probabilidad y la función de distribución

acumulada.



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ESPERANZA DE UNA VARIABLEESPERANZA DE UNA VARIABLE

Sea X una variable aleatoria discreta con un conjunto D de posibles valores y una función

de masa de probabilidad p.

Se denomina

VALOR ESPERADO DE

ALOR ESPERADO DE

X

y se denota como

E[X]

[X] o

E X)

X) al valor:


•El valor esperado tambiém se denominaESPERANZA

SPERANZA de

X

y

MEDIA

EDIA de

X

.

•El valor esperado de X no tiene por qué coincidir con ningún valor de la variable.

•El valor esperado de X no tiene por qué ser finito siempre.

•Cuando el valor esperado es infinito se habla de que la distribución es de “cola larga”

∑∈

== D x

x x xp X E )(][ µ



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ESPERANZA DE UNA VARIABLE. PROPIEDADESESPERANZA DE UNA VARIABLE. PROPIEDADES

Si

X

es una variable aleatoria discreta con un conjunto

D

de posibles valores con función

de masa de probabilidad p y h es una función de X se cumple que:

Se denomina

VALOR ESPERADO DE h

ALOR ESPERADO DE h

X)

) y se denota como

E[h X)]

[h X)] al valor:

PROPIEDADESROPIEDADES

En particular se verifica que:

∑∈

== D x

X h x p xh X h E )()()]([ )(µ

bab X aE baX E X baX +=+==+ + µ µ ][][



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p gCurso2007/08 Felipe Ramírez Ingeniería Técnica Química Industrial

VARIANZA DE UNA VARIABLEVARIANZA DE UNA VARIABLE

Sea X una variable aleatoria discreta con un conjunto D de posibles valores y una función

de masa de probabilidad p.

Se denomina

VARIANZA DE

ARIANZA DE

X

y se denota como

V[X]

[X] o

V X)

X) al valor:


El varianza de X se puede calcular también por la expresión:

∑∈

−=−= D x

x p X E x X E X E X V )(])[(]])[[(][ 22

2222 ][)(][][][ X E x p x X E X E X V D x

−

=−=

∑∈



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p gCurso2007/08 Felipe Ramírez Ingeniería Técnica Química Industrial

VARIANZA DE UNA VARIABLE. PROPIEDADESVARIANZA DE UNA VARIABLE. PROPIEDADES

La varianza de h X) es el valor esperado de la diferencia cuadrada entre h X) y su valor

esperado:

PROPIEDADESROPIEDADES

En particular la varianza de X no es lineal.

∑∈

−=−= D x

x p X h E xh X h E X h E X hV )()])([)((])])([)([()]([ 22

][][

2

X V abaX V =+

Métodos Estadísticos para la IngenieríaI i í Té i Q í i I d t i l


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Curso2007/08 Felipe Ramírez Ingeniería Técnica Química Industrial

ADICIÓN DE VARIABLES. ESPEANZA Y VARIANZA.ADICIÓN DE VARIABLES. ESPEANZA Y VARIANZA.

La ESPERANZA de X es aditiva respecto a las variables. Es decir:

PROPIEDADES

ROPIEDADES

][11∑∑

=

=

=

=

=

ni

i

i

ni

i

i X E X E

][11

∑∑ =

=

=

=

≠

ni

i

i

ni

i

i X V X V

La varianza de X no es aditiva respecto de las variables. Es decir:

Sean

X

1

, X

2

,…X

n

n

variables aleatorias discretas, entonces:

][

NTESINDEPENDIEsonvariableslasSi

11

1

∑∑

=

=

=

=

=

⇒ni

ii

ni

ii

n

X V X V

,...X X

Aunque se verifica que:

varianza y esperanza de una variable aleatoria discreta

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