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MB0010_M3AA1L1_Conceptos Versión: Septiembre 2012 Revisor:

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Media y varianza de una distribución discreta de probabilidad

por Oliverio Ramírez

La media En el ejemplo de la venta de bicicletas aprendiste a determinar la distribución de probabilidad del número de bicicletas vendidas, por lo que conociste la probabilidad individual de vender un cierto número de bicicletas, pero ¿cuántas bicicletas espera vender el dueño de la tienda en una semana cualquiera?, ¿se necesita calcular un promedio?, ¿cómo se calcula? La media (µ) de una distribución discreta de probabilidad es el valor esperado E(x) de su variable aleatoria y se calcula multiplicando cada resultado posible por su correspondiente probabilidad y después se suman los productos. La expresión matemática que se utiliza para calcular E(x) es:

( ) ( )∑ ⋅== xPxxEµ En donde x representa los resultados individuales. El siguiente ejemplo muestra la forma para calcular la media y la varianza de una distribución discreta de probabilidad. Ejemplo 1 Para ejemplificar el cálculo de la media y la varianza, se tomaron los datos de la venta de bicicletas. La siguiente tabla muestra el cálculo de E(x) para el experimento de la venta de las bicicletas.

Bicicletas vendidas por semana

)(x

Probabilidad )(xP

)(xPx ⋅

0 0.0666 0 x 0.0666=0

1 0.2666 1 x 0.2666 2 0.3555 2 x 0.3555 = 0.711

3 0.2000 3 x 0.2 = 0.6 4 0.0888 4 x 0.0888 5 0.0222 5 x 0.0222 = 0.111 E(x)=2.0438

Tabla 1. Tabla de una distribución discreta.



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Por lo tanto,

0438.2111.03552.06.0711.02666.00)( =+++++== xEµ Este valor significa que si por semana, se promedian los resultados de las ventas de bicicletas, en promedio se esperan vender 2.0438 bicicletas. Este resultado puede ayudar al dueño de la tienda de bicicletas a tomar la decisión de ajustar el número de bicicletas que tiene a la venta, a realizar alguna promoción que incremente las ventas o dar alguna comisión a los vendedores, si negocian cierto número de bicicletas. ¿Se te ocurre otra alternativa que pueda implementar el dueño de la tienda de bicicletas? Ejemplo 2 Al igual que se calculó la media para el ejemplo de las bicicletas, se puede calcular la media para el ejemplo del lanzamiento de monedas. La siguiente tabla muestra el cálculo de E(x) para este experimento.

Número de Águilas )(x

Probabilidad )(xP

)(xPx ⋅

0 ¼ 0 1 ½ ½ 2 ¼ ½ 1 E(x)=1

Tabla 2. Tabla de una distribución discreta. Por lo que,

1)( == xEµ Esta operación significa que si se promedian los resultados del lanzamiento de la moneda, se obtiene (en promedio) 1 águila. La media (o valor esperado) de una variable aleatoria discreta también puede definirse como la media ponderada de los posibles resultados, en donde el “peso” de cada resultado es la probabilidad correspondiente. ¿Recuerdas la media ponderada?, ésta la estudiaste en el módulo 1. Ejercicio. Practicando con la media Con el propósito de ejemplificar otro cálculo de la media (o valor esperado) de una distribución discreta de probabilidad, obtuvimos la media para el siguiente conjunto de datos que corresponde con el lanzamiento de una moneda en tres ocasiones.



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Probabilidad )(xP

0 1/8 1 3/8 2 3/8 3 1/8

Tabla 3. Tabla de una distribución discreta. La media para el conjunto de datos que corresponde con el lanzamiento de una moneda en tres ocasiones es: E(x)=3/2 La siguiente tabla muestra los cálculos necesarios para determinar la media o valor esperado:


Probabilidad )(xP

)(xPx ⋅

0 1/8 0 1 3/8 3/8 2 3/8 3/4 3 1/8 3/8 E(x)=3/2 Tabla 4. Tabla de una distribución discreta y la media esperada

Este resultado significa que si se promedian los resultados del lanzamiento de una moneda en tres ocasiones se obtiene, en promedio 1.5 águilas (3/2=1.5) La varianza Ahora que has aprendido a calcular la media de una distribución discreta de probabilidad, puedes determinar la varianza y la desviación estándar. La fórmula para calcular la varianza es:

( ) ( )[ ]∑ −= xPx 22 µσ

La desviación estándar, como viste en el módulo 1, se encuentra calculando la raíz cuadrada de la varianza, esto es 2σσ = . La varianza y la desviación estándar representan la variabilidad (o dispersión) de los resultados con respecto a la media. Para ejemplificar la forma en que se calcula la varianza y la desviación estándar, toma el ejercicio de la venta de bicicletas.



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La siguiente tabla muestra dos columnas más correspondientes a ( )2µ−x y ( ) ( )xPx 2µ− respectivamente. Estas columnas se incorporan por ser necesarias para calcular la varianza y la desviación estándar. Bicicletas vendidas por semana

)(x

Probabilidad )(xP

)(xPx ⋅ ( )2µ−x ( ) ( )xPx 2µ−

0 0.0666 0 ( ) 1771.40438.20 2 =− (4.1771)(0.0666)=0.2781 1 0.2666 0.2666 ( ) 0895.10438.21 2 =− (1.0895)(0.2666)=0.2904 2 0.3555 0.711 ( ) 0019.00438.22 2 =− (0.0019)(0.3555)=0.0006 3 0.2000 0.6 ( ) 9146.00438.23 2 =− (0.9146)(0.2000)=0.1828 4 0.0888 0.3552 ( ) 8267.30438.24 2 =− (3.8267)(0.0888)=0.3398 5 0.0222 0.111 ( ) 7391.80438.25 2 =− (8.7391)(0.0222)=0.1940

E(x)=2.0438 1.2860 Tabla 5. Tabla de una distribución discreta, para calcular varianza y desviación estándar.

Como

0438.2)( == xEµ Puedes determinar

( )2µ−x y ( ) ( )xPx 2µ− . En la tabla se detallan los cálculos realizados. La última columna enlista los valores ( ) ( )xPx 2µ− y la suma de todos ellos, por lo tanto, la varianza es,

( ) ( )[ ] 2860.122 =−=∑ xPxxσ

Entonces, la desviación estándar es,

134.12860.1 ==σ



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Practicando la interpretación Una desviación estándar de 1.134, indica que las ventas esperadas de 2.0438, varían en su mayoría desde 2.0438 – 1.134 =0.9098 hasta 2.0438 + 1.134 = 3.1778. Entre menor sea la desviación estándar, se estima que el valor esperado de las ventas se mantenga casi constante. Esta es la interpretación acerca de los resultados de la desviación estándar, es decir ¿qué significa σ = 1.134 en términos de bicicletas? Ejemplo 3 Determinar la varianza y la desviación estándar para el ejemplo del lanzamiento de una moneda. En la siguiente tabla se agregaron dos columnas que representan ( )2µ−x y ( ) ( )xPx 2µ− respectivamente, necesarias para calcular la varianza.

Número de Águilas (xi)

Probabilidad P(xi)

(xi)p(xi) ( )2µ−x ( ) ( )xPx 2µ−

0 ¼ 0 ( ) 110 2 =− 1 ½ ½ ( ) 011 2 =− 0

2 ¼ ½ ¼

1 E(x)=1 212 =σ

Tabla 6. Tabla de una distribución discreta, para calcular varianza y desviación estándar

Como la varianza es 212 =σ , tienes que la desviación estándar es la raíz cuadrada de ½, es decir,

707.02/1 ==σ .

Sonia y sus amigos Sonia y sus compañeros de clase asisten a dos café Internet, que están ubicados en la colonia en la que viven, pero en ambos establecimientos han estado registrando fallas en el servicio de Internet. Piensan pedirle a los dueños de estos negocios que mejoren su servicio, así que se dieron a la tarea de registrar el número de fallas presentadas durante los últimos 30 días en que han asistido a trabajar en Internet.

Tabla 7. Tabla con datos ficticios.

( )( ) 41

41 1 =

( ) 112 2 =−

Café Internet A Café Internet B Número de fallas Número de días Número de días

0 4 5 1 12 10 2 7 8 3 5 6 4 2 1 Total de días =30



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Observa la hoja de registro que hicieron Sonia y sus compañeros, ¿cuál de los dos café Internet ofrece un mejor servicio?, ¿cuál de los dos establecimientos les recomiendas? Ayuda a Sonia y a sus compañeros a tomar una decisión. Primero debes determinar la probabilidad de cada resultado, lo cual se calcula dividiendo el número de días en que se presenta una falla específica entre el total de días analizados. Por ejemplo, para 0 inconformidades la probabilidad del Café Internet A es 4/30=0.1333; de la misma manera, se calculan las demás probabilidades. Los resultados completos del cálculo de las probabilidades se muestran a continuación,

Café Internet

A

Número de fallas

Probabilidad P(x)

0 4/30=0.1333 1 0.4 2 0.2333 3 0.1666 4 0.0666

Café Internet B

Número de fallas

Probabilidad P(x)

0 4/30=0.1333 1 0.2666 2 0.4 3 0.1 4 0.0333

Tabla 8. Tabla con la probabilidad calculada para cada caso. Luego de que has deducido las probabilidades, ahora para el cálculo de la media, la varianza y la desviación estándar se agregan las columnas correspondientes a ( ) ( )ii xPx , ( )2µ−x y ( ) ( )xPx 2µ− .

Café Internet A

Número de fallas

Probabilidad P(x)

x ⋅ P(x) ( )2µ−x ( ) ( )xPx 2µ− La media es:

6333.1)( == xEµ La varianza:

2322.12 =σ y la desviación estándar

1100.1=σ

0 4/30=0.1333 0 2.6678 0.3557 1 0.4 0.4 0.4011 0.1604 2 0.2333 0.4666 0.1344 0.0314 3 0.1666 0.5 1.8678 0.3113 4 0.0666 0.2666 5.6011 0.3734 E(x)=1.6333 1.2322

Café Internet B

Número de fallas

Probabilidad P(x)

x ⋅ P(x) ( )2µ−x ( ) ( )xPx 2µ− La media es:

5.1)( == xEµ La varianza:

9.02 =σ y la desviación estándar

9486.0=σ

0 4/30=0.1333 0 2.2500 0.3000 1 0.2666 0.2666 0.2500 0.0667 2 0.4 0.8 0.2500 0.1000 3 0.1 0.3 2.2500 0.2250 4 0.0333 0.1333 6.2500 0.2083 E(x)=1.5 0.9

Tabla 9. Tabla compuesta de una distribución discreta para el cálculo de varianza y desviación estándar



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Ya calculaste la media, la varianza y la desviación estándar para los dos establecimientos, cuyo resumen de resultados se muestra a continuación:

Café Internet A Café Internet B Media 1.6333 1.5 Varianza 1.2322 0.9 Desviación estándar 1.1100 0.9486

Tabla 10. Tabla con los resultados de Varianza y desviación estándar Ejercicio Ayudando a Sonia Te pedimos que en una hoja aparte respondas este ejercicio, sé honesto y al final revisa tus respuestas. ¿Qué café Internet le recomendarías a Sonia?, ¿tiene algún sentido realizar estos cálculos sin una interpretación de ellos?, ¿qué información te da la media?, ¿qué información te da la varianza o la desviación estándar?

Interpretación

Recomendación a Sonia

La media del Café Internet A es mayor que la del Café Internet B, por lo que se espera que haya 1.6333 fallas en un día en el café Internet A, mientras que en el café Internet B se esperan 1.5 fallas por día.

Elegir el café Internet con un valor esperado de fallas menor, es decir, optar por el café Internet B.

La varianza y la desviación estándar indican que además de que en el café Internet A el valor esperado de una falla es mayor, la variabilidad también lo es, es decir, en el café Internet A puede darse el caso de que no ocurran fallas o de que ocurran 4, por ejemplo.

Una dispersión menor implica que los resultados se encuentran cercanos a la media y se puede esperar un resultado similar a ella, por lo que debe elegir el café Internet B.

Sin embargo, aunque el café Internet B fue ligeramente mejor que el A, aún tiene fallas por lo que Sonia y sus amigos deberán sugerirle al dueño que tenga más precaución con la calidad de su servicio.



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El dilema de Ismael Ismael acaba de cobrar el dinero de la venta de un terreno que le heredó su abuelo, por lo que se acercó con un ejecutivo de cuentas que le ofrece dos tipos de inversiones. El ejecutivo de cuentas, le muestra a Ismael una tabla con información estadística de las ganancias de cada inversión:

Inversión A Inversión B Media 85 130 Desviación estándar 31 118

Tabla 11. Información estadística de las ganancias de cada inversión. De esta manera, el valor esperado o ganancia que obtendrá si invierte en A será de 85 pesos, a diferencia de los 130 que ganará si invierte en B. En base a esta información, Ismael piensa invertir en B, debido a que le da más ganancias. El ejecutivo de cuenta del banco le recomienda que antes de sacar una conclusión, haga una comparación de la variación de las dos inversiones y le propone calcular el coeficiente de variación para cada una,

%47.368531

==ACV %76.90130118

==BCV

Al observar esto, Ismael le pregunta al ejecutivo qué significa que la inversión B tenga un mayor coeficiente de variación. Si tú fueras el ejecutivo de cuenta, ¿qué le contestarías? Ejercicio Aconseja a Ismael. Practicando la interpretación Qué le recomendarías a Ismael, con base en los resultados obtenidos?. Realiza este ejercicio en una hoja en blanco separada y en cuanto tengas la respuesta, cotéjala con el siguiente texto. La inversión B, le promete a Ismael más ganancias, pero debido a su mayor variabilidad existe también una mayor inseguridad de que la ganancia se encuentre cercana a la media (130). Puede tener ganancias superiores a la media, pero también hay una alta posibilidad de que gane menos. Esta inversión tiene un riesgo mayor. La inversión A, le promete a Ismael menos ganancias, pero debido a su menor variabilidad, se espera que las ganancias sean más cercanas a la media calculada (85). Esta inversión tiene menos riesgos. Dependerá de Ismael decidir si se queda con la inversión A o con la inversión B. ¿Tú cuál elegirías?

Recuerda que el coeficiente de variación es de utilidad cuando los valores a comparar son muy diferentes. Las medias del caso de Sonia, fueron 1.6333 y 1.5, como la diferencia era pequeña, la comparación se hizo de manera directa. En el caso de Ismael, las medias fueron 85 y 130, por lo que en este ejemplo fue necesario utilizar el coeficiente de variación para hacer la comparación.



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La distribución binomial La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta, cuyo estudio lo realizó el matemático suizo Jacob Bernoulli, por lo que esta distribución también es llamada “Distribución de Bernoulli” en su honor. (Cáceres,2007:244) La distribución binomial está asociada a experimentos con algunas características específicas:

• Debe haber únicamente dos posibles resultados. A los posibles resultados, se les acostumbra llamar éxito y fracaso.

• La obtención de un éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de otro ensayo. • La probabilidad asignada a un éxito o fracaso siempre es la misma.

Para que una distribución sea binomial, debe cumplir con las tres características anteriores. Aplica estos conceptos en el siguiente ejercicio, respondiendo si, si la oración es correcta, o no, si es incorrecta. Ejercicio Identificando una distribución binomial El experimento de lanzar una moneda al aire, ¿representa una distribución binomial? En la siguiente tabla encontrarás la solución.

Característica ¿Cumple? Por qué? Debe haber únicamente dos posibles resultados. A los posibles resultados se les acostumbra llamar éxito y fracaso.

Sí Porque los posibles resultados son águila y sol.

La obtención de un éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de otro ensayo.

Sí

Porque no es posible que caiga sol y águila al mismo tiempo

La probabilidad asignada a un éxito o fracaso siempre es la misma.

Sí

Porque la probabilidad de que caiga sólo águila es siempre ½.

Tabla 12. Solución

Jugando dados Manuel y sus amigos acostumbran jugar dados, en lo que apuestan sus quincenas enteras. El juego consiste en elegir un número (de los seis que tiene un dado) y lanzarlo cinco veces seguidas, donde gana el jugador que haya sacado más veces el número que eligió. Manuel siempre escoge el número cuatro, ¿qué probabilidad hay de que Manuel saque dos veces el número “cuatro”?, ¿qué probabilidad tiene de sacar el “cuatro” en tres ocasiones?



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El éxito del experimento es obtener un 4, el fracaso es cualquier otro resultado. La probabilidad de obtener un 4 en el lanzamiento de un dado es p=1/6. La probabilidad de no obtener un 4 es q=1-1/6=5/6. Para calcular la probabilidad de obtener dos éxitos y tres fracasos, basta multiplicar dos veces 1/6 y tres veces 5/6. Sin embargo, debido a que puede haber distintas formas en que se presente la aparición de dos 4 (44FFF, F4F4F, FF44F, entre otros), se necesita determinar el número de formas en que esto puede ocurrir. El análisis combinatorio estudiado en el módulo anterior dice que el número de formas en que puede obtenerse dos “cuatros” en 5 lanzamientos se calcula con:

formasC 1025 =

Por lo que la probabilidad de obtener dos “cuatros” (dos éxitos y tres fracasos) es

P(“dos veces el 4”)= 16.010 65

65

65

61

61 =⋅⋅⋅⋅⋅

De la misma manera, se puede calcular la probabilidad de que Manuel saque tres veces el “cuatro”. Practica,

P(“tres veces el 4”)= 032.010 6

565

61

61

61 =⋅⋅⋅⋅⋅

En este tipo de juegos en el que todos los participantes compiten bajo las mismas condiciones, no es relevante que las probabilidades de éxito de Manuel sean pequeñas porque son las mismas para los demás jugadores, entonces ¿cómo es que ganan los casinos? Normalmente eligen situaciones ventajosas en donde la probabilidad de que ganen es uno, mientras que la probabilidad de que el jugador gane es prácticamente cero, ingenioso ¿no crees? Para simplificar el cálculo de la probabilidad de obtener k éxitos en n experimentos, una vez que se ha determinado que se trata de una distribución binomial, se utiliza la siguiente fórmula, que es una generalización de los cálculos anteriores,

( )knkkn qpCéxitoP −=)(

en donde, n= número de veces que se realiza el experimento k=número de ocasiones en que se tiene éxito p=probabilidad de tener éxito q=probabilidad de no tener éxito (q=1-p)



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¿Estudio o se lo dejo a la suerte? La próxima semana, Lizbeth presentará su examen final. Su maestra le ha informado que el examen será de opción múltiple y que tiene un total de 10 reactivos y cada uno de ellos, tiene tres posibles respuestas, de las cuales sólo una es correcta, Lizbeth se pregunta si dedicará tiempo a estudiar o contestará el examen al azar. Ella pretende obtener un 9 de calificación. Ejercicio El examen de Lizbeth ¿Cuál es la probabilidad de que Lizbeth obtenga un 9 de calificación contestando al azar?, ¿qué le recomiendas? Instrucciones

1. Calcula la probabilidad que tiene Lizbeth de obtener un 9 de calificación. 2. Escribe en una hoja en blanco tu recomendación y después verifica con el siguiente texto:

Solución: Debido a que cada reactivo consta de tres respuestas y sólo una es correcta, la probabilidad de éxito y fracaso son

p=1/3 y q=2/3

n=10 es el número total de reactivos del examen y k=9, representa el número total de respuestas que debe tener Lizbeth para obtener la calificación deseada. De acuerdo con la fórmula anterior, la probabilidad pedida es:

P(sacar9) = 10C913!

"#$

%&9 23!

"#$

%&1

= 0.00033

¡Upsss! Creo que en este caso es mejor que Lizbeth estudie porque la probabilidad de obtener el 9 que pretende no es muy alentadora.

La Veracruzana La encargada de la tienda de abarrotes “La Veracruzana” lleva un registro de los clientes que van a la tienda y no encuentran los productos que buscan, de lo que piensa informar al dueño del negocio para que surta mejor la tienda porque de ello depende su empleo. La encargada halló que la clientela sólo encuentra el 65% de los productos que buscan y quiere mostrarle sus hallazgos al dueño, pero no sabe cómo utilizar los datos que tiene para convencer al dueño para que invierta más en su tienda. La oportunidad se le presentó cuando al mismo tiempo llegaron a la tienda, 6 clientes y el dueño del establecimiento.



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Ayuda a la encargada de “La Veracruzana” a determinar la probabilidad de que los clientes encuentren todo lo que buscan. ¿Cuál es la probabilidad de que un cliente encuentre todo lo que busca? ¿Cuál es la probabilidad de que n clientes encuentren todo lo que buscan? Solución

• El número total de experimentos es 6, porque 6 es el número total de clientes que llegaron a la tienda, es decir, n=6.

• k=0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 porque la pregunta indica que se desea determinar la probabilidad de éxito de este número de clientes.

• La probabilidad de éxito es p=0.65 • La probabilidad de fracaso es q=0.35

Usando la fórmula para determinar las probabilidades de la distribución binomial, tienes que:

Gráfica de la distribución binomial ( ) ( ) 0018.035.065.0)( 6006 == CclientesceroP

Figura 1.

( ) ( ) 0204.035.065.0)( 5116 == CclienteunP

( ) ( ) 0951.035.065.0)( 4226 == CclientesdosP

( ) ( ) 235.035.065.0)( 3336 == CclientestresP

( ) ( ) 3280.035.065.0)( 2446 == CclientescuatroP

( ) ( ) 2436.035.065.0)o( 1556 == CclientescincP

( ) ( ) 0754.035.065.0)( 0666 == CclientesseisP

Tabla 13. Gráfica de la distribución binomial. En este enlace Método 2 Construcción de la gráfica, descubrirás la forma de crear esta gráfica. Analizando los resultados y la gráfica, se observa que la probabilidad de que 4 clientes encuentren todo lo que buscan es la más alta (32.8%), pero esta probabilidad aún es muy baja. La encargada de la tienda le mostrará los resultados de los cálculos al dueño de la tienda y él decidirá si invierte más en su tienda o sigue con la misma situación. Cuando vas a un supermercado el cajero casi siempre pregunta, ¿encontró todo lo que necesitaba?, si la respuesta es sí, entonces el supermercado está ofreciendo un buen servicio, pero si la respuesta es no, te piden que les digas qué artículo no encontraste, toman nota y si es pertinente, buscan la forma de conseguir dicho producto.

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0 1 2 3 4 5 6

Número de clientes

Prob

abili

dad



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A continuación, ve cómo calcular la media, la varianza y la desviación estándar de una distribución binomial. La media y la varianza La media de una distribución binomial (o número esperado de éxitos) es el valor esperado del número de éxitos y está dada por la siguiente expresión,

pnxE ⋅== )(µ La media de la distribución binomial es igual al tamaño de la muestra n multiplicada por la probabilidad de éxito p. La varianza, está dada por

npq=2σ y la desviación estándar

npq=σ Calcula la media, la varianza y la desviación estándar para el caso de La Veracruzana.

Media Varianza Desviación estándar pnxE ⋅== )(µ

9.365.06)( =⋅== xEµ

npq=2σ

365.1)35.0)(65.0)(6(2 ==σ npq=σ

clientes168.1365.1 ==σ

De los 6 clientes que llegan a la tienda, se esperaría que en promedio 3.9 clientes encuentren los artículos que buscan.

Es decir, los datos se desvían 1.168 clientes en promedio del valor esperado 3.9.

Tabla 114. Resolución del caso La Veracruzana.



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Ejercicio La distribución binomial en la construcción Una Constructora ha determinado que la probabilidad de vender una casa en una semana es de 0.27, ¿cuál será la probabilidad de no vender casa alguna?, ¿cuál será la probabilidad de vender 8 casas?

• Construye la distribución binomial para 8 casas • Calcula la media • Calcula la varianza • Calcula la desviación estándar. • Interpreta tus resultados

Te sugerimos que realices las operaciones necesarias en tu cuaderno y al terminar compares tus resultados. Construye la distribución binomial para 8 casas

Figura 2. En este enlace Método 2 Construcción de la gráfica, descubrirás la forma de crear esta gráfica

Calcula la media La media

𝜇 = 𝐸 𝑥 = 𝑛 ∙ 𝑝

𝜇 = 𝐸 𝑥 = 8 0.27 = 2.16



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Calcula la varianza La varianza

𝜎! = 𝑛𝑝𝑞

𝜎! = 8 0.27 0.73 = 1.5768

Calcula la desviación estándar La desviación estándar

𝜎 = 𝑛𝑝𝑞

𝜎 = 1.5768 = 1.2557 𝑐𝑎𝑠𝑎𝑠 Interpretación De la distribución binomial y de la gráfica, se aprecia que la probabilidad de vender 2 casas es mayor que la probabilidad de vender otra cantidad de casas. Esta información puede servir para que la constructora defina el ritmo de la construcción de las casas. De hecho, el valor esperado del número de casas vendidas es 2.16 con una variabilidad de 1.2557.

Referencias

Cáceres, J. 2007. Conceptos básicos de estadística para ciencias sociales. Publicaciones Delta Madrid: España. Recuperado el 10 de mayo del 2012. Disponible [Online] en: http://books.google.com.mx/books?id=S3i_fndtcIEC&pg=PA244&dq=Distribuci%C3%B3n+de+Bernoulli&hl=es&sa=X&ei=EFetT5bUCcSbiQL6xLW1BA&ved=0CDkQ6AEwAQ#v=onepage&q=Distribuci%C3%B3n%20de%20Bernoulli&f=false

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