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4. VARIABLES ALEATORIAS Y SUS PROPIEDADES

Dr. Edgar Acuñahttp://math.uprm.edu/~edgar

UNIVERSIDAD DE PUERTO RICORECINTO UNIVERSITARIO DE MAYAGUEZ

ESMA 4001 Edgar Acuña Universidad de Puerto Rico

2

4.1 Variables AleatoriasUna variable aleatoria es una funcion que asume sus valores de acuerdo a los

resultados de un experimento aleatorio. Usualmente se representa por lasúltimas letras del alfabeto: X, Y o Z. Una variable aleatoria X es unafunción cuyo dominio es el espacio muestral S y cuyo rango Rx, es unsubconjunto de los números reales.Ejemplos de variables aleatorias:

• X: La suma que aparece al lanzar un par de dados.• Y: El número de caras que aparecen al lanzar una moneda tres veces.• Z: El número de errores que se encuentran en la página de un libro. • T: El tiempo de vida de la componente de un sistema• W: El tiempo de espera para ser atendido en un banco


3

Ejemplo 2.1

De una caja que contiene 5 bolas numeradas del 1 al 5 se extraen 3 bolasuna por una y sin reposición. Entonces X: El mayor de los tres númerossacados, es una variable aleatoria.

El espacio muestral es:S = {(1,2,3), (1,2,4), (1,2,5), (1,3,4), (1,3,5), (1,4,5), (2,3,4), (2,3,5),

(2,4,5), (3,4,5)}y la variable aleatoria X asume los valores: 3, 4 y 5. Por ejemplo,

( ) 44,3,2 =X


4

Si el rango de valores Rx de la variable aleatoria X es finito o infinito enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria discreta. Si su rango de valores Rxes infinito no enumerable entonces se dice que es una variable aleatoria continua.


5

4.1.1. Función de probabilidad de unavariable aleatoria discreta

Si X es una variable aleatoria discreta con rango de valores Rxentonces, su función de probabilidad se define por:

p(x) = P[X = x], para todo x Rx

y tiene las siguientes propiedades:

• p(x) > 0 y• Σ p(x) = 1, x∈ Rx

Cuando Rx no contiene muchos valores es más conveniente expresarp(x) en una tabla de valores, la cual es llamada tabla de función deprobabilidad.


6

Ejemplo 2.2.Hallar la función de probabilidad de la variable aleatoria X del ejemplo 2.1.Solución: En este caso el rango de valores de X es Rx = {3, 4, 5} y lafunción de probabilidad esta dada en la siguiente tabla:

X P(x)

3 1/10

4 3/10

5 6/10


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4.1.2. Función de distribución acumulativa

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) y rango de valores Rx, entonces su función de distribución acumulativa se define por:

t es cualquier número real. En particular, si t es un valor que está en Rx , el cual consiste de enteros no negativos, entonces:

F(t) = p(0) + p(1) + p(2) + p(3) +…+ p(t)Ejemplo 2.3. Hallar la función de distribución acumulativa para el

Ejemplo 2.2.Solución:

∑=≤=≤tx

xptXPtF )()()(

x F(x)3 1/104 4/105 1


8

Distribucion acumulada(cont)La gráfica de una función de distribución acumulativa es no

decreciente y del tipo escalonado, con saltos en los puntos que están en el rango de valores y cuya magnitud es igual al valor de la función de probabilidad en dicho punto. Más formalmente tiene la siguiente propiedad:

Propiedad. La relación entre la función de distribución de probabilidad y la función de distribución acumulativa está dada por:

p(x) = F(x) - F(x-1)para todo valor de x en el rango de valores de la variable

aleatoria.

Distribucion acumulada(cont.)


9

0)()(lim1)()(lim=−∞=

=∞=

−∞→

∞→

FbFFbF

b

b

4.1.3 Variables aleatorias continuas


10

Una variable aleatoria X se dice que es continua si existe una funcion no negativa f(x) definida para todo numero real en que satisface),( ∞−∞

∫=∈B

dxxfBxP )()(

Donde B es cualquier subconjunto de los numeros reales. La funcion f(x) es llamada la funcion de densidad de la variable aleatoria X.Notar que

1)()( ==∞≤≤−∞ ∫∞

∞−

dxxfxP

4.1.3 Variables aleatorias continuas


11

Si B es un intervalo [a,b], y f representa la funcion de densidad de X entonces

∫ ==≤≤b

a

xfdedebajoAreadxxfbxaP )()()(

Notar que lineaunadeareadxxfxxPxo

xoo ==== ∫ 0)()(

Tambien, si f(x) es cualquier funcion continua no negativa tal que

entoncesdensidaddefuncionunaes

cxfxg )()( =

∫∞

∞−

= dxxfc )(

Ejemplo 2.4


12

El promedio de graduacion de los estudiantes de una universidad es unavariable aleatoria continua con funcion de densidad

40)4()( ≤≤−= xparaxcxxf

y f(x)=0 en otro caso

a) Hallar el valor de cb) Un estudiante que se gradua con promedio 3.25 o mas recibe un

premio. Cual es la probabilidad de que esto ocurraSolucion:

3231

332]

32[)4()() 4

0

32

4

0

=⇒==−=−=∫∫∞

∞−

ccxxcdxxcxdxxfa

0923.9077.1]325.3)25.3(2[

3231]

32[

323)4(

323)25.3()

4

25.3

324

25.3

32 =−=−−=−=−=> ∫

xxdxxxXPb

Variables aleatorias continuas (cont.)


13

Si f representa la funcion de densidad de la variable aletoira X entoncessu funcion de distribucion acumalativa esta dada por

∫∞−

==t

dxxftF )()(

Teorema: f(x)=F’(x)

Prueba:

donde . Luego F’(x)=f(x).

)()()()()(

)()(lim)(0

εε fh

hfh

dttf

h

dttfdttf

hxFhxFxF

hx

x

xhx

h===

−=

−+=

∫∫∫+

∞−

+

∞−

→

hxx +<<ε

Variables aleatorias continuas(cont.)


14

Si F representa la distribucion acumulativa de la v.a.c. X entoncesP(X>a)=1-F(a)

P(a<x<b)=F(b)-F(a)

Ejemplo 2.5: Si la variable aleatoria X tiene la siguiente funcion de densidad

1||||1)( ≤−= xsixxf

f(x)=0 si |x|>1

a) Hallar F(x) y graficarlab) Hallar P(.2<X<.6)c) Probar que como X es simetrica,P(-a<X<a)=2*F(a)-1

Ejemplo 2.5 (solucion)


15

⎪⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪⎪

⎨

⎧

≥

<≤−+=−+=−+

<≤−++=+=+

−<

=

∫

∫ −−

11

1022

1|)2

(21)1(

21

0121

2|)

2()1(

10

)() 2

0

2

0

2

1

2

1

t

tttxxdxx

tttxxdxx

t

tFat

t

tt

24.]02.2.5[.]18.6.5[.)2(.)6(.)6.2(.) =−+−−+=−=<< FFXPb

1)(2)](1[)()()()() −=−−=−−=<<− aFaFaFaFaFaXaPsimetriaPorc

Ejemplo 2.6


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El numero de horas diarias que un nino vee television se considera como unavariable aleatoria con funcion de densidad

0)( >= − xsixexf x

f(x)=0 en otro caso

a) Hallar la distribucion acumulada de Xb) Hallar la probabilidad de que un nino vea mas de tres horas diariasde television Solucion:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>−−=−−=

<= −−−−−∫ 01|)(

00)()

00

teteexedxxe

ttFa tttxx

tx

1991.4]31[1)3(1)3() 333 ==−−−=−=> −−− eeeFXPb


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4.1.4 Valor Esperado y Varianza deuna Variable Aleatoria Discreta

Sea X una variable aleatoria discreta con función de probabilidad p(x) yrango de valores Rx, entonces su Valor Esperado o Media se define comoel número:

La suma es sobre todos los valores x que están en Rx.

Propiedades del valor Esperado:a)E(X+c)=E(X)+cb)E(cX)=cE(X)c) E(X+Y)=E(X)+E(Y)d) E[g(X)]= . En particular, si g(x)=xk con k=1,2…, entonces

E(Xk)= , que es llamado el k-esimo momentode X

∑==x

xxpXE )()(μ

∑x

xpxg )()(∑

x

k xpx )(


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G P(G) Gp(G)

500 1/1000 500/1000

100 2/1000 200/1000

0 997/1000 0

Ejemplo 2.7 Un juego consiste en acertar un número del 1 al 1000. A la persona que acierta el número se le da un premio de 500 dólares y a las dos personas que tienen el número que le antecede o precede se le dan 100 dólares. Si el boleto cuesta 1 dólar. ¿Cuál será la Ganancia Neta esperada de una persona que compra un boleto?Solución: La Ganancia Neta es igual a la ganancia por el premio recibido menos el costo del boleto.Sea G la ganancia por el premio recibido. Hallaremos primero la Ganancia Esperada:

Luego, la ganancia esperada por boleto será 700/1000 = 0.70. Así que la Ganancia Neta esperada será 0.70 - 1.00 = -0.30. Lo que significa que una persona pierde 30 centavos


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Valor Esperado y Varianza de unaVariable Aleatoria Discreta (cont.)

La Varianza de una variable aleatoria discreta X con función deprobabilidad p(x) y media μ se define por:

Donde la suma es sobre todos los valores del rango de X.Propiedades:a) Var(a)=0b) Var(X+a)=Var(X)c) Var(aX)=a2Var(X)d)

La raiz cuadrada positiva de la varianza es llamada desviacion estandar y se representa por σ

∑ −=−== )()()()( 222 xpxXEXVAR μμσ

22222

22222

)(2)()(2)()2()()(

μμμ

μμμμμ

−=+−

=+−=+−=−=

XEXEXEXEXXEXEXVAR


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Ejemplo 2.8. Hallar la media y varianza para la variable aleatoria del Ejemplo 2.1.

Solución:

Otra formas del calcular la varianza es σ2 = ∑x2p(x)-μ2.

x p(x) Xp(x) X-μ (x-u)2p(x)

3 1/10 .3 -1.5 .225

4 3/10 1.2 -0.5 .075

5 6/10 3.0 0.5 .15

μ=4.5 σ2=0.45

Ejemplo 2.9


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Una caja contiene 2n bolas de n colores distintos con dos bolas de cada color. Se extraen al azar y con reemplazamiento bolas de la caja hasta que salgan dos bolas del mismo color. Sea X el numero de bolas extraidas.a) Hallar P(X>k) para k=2,3,….b) Hallar la funcion de probabilidad de Xc) Hallar el valor esperado de X.

Solucion: a) El evento [X>k] es equivalente a decir que entre las primeras k bolas hay una de cada color. Esto puede ocurrir de maneras. Las combinaciones son las maneras de elegir los colores distintos y k! son los distintos arreglos que se pueden hacer con los colores elegidos. Por otro lado hay nk maneras posibles de extraer las k bolas. Por lo tanto,

nkPk

kn

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛!

knknnkXP

)!(!)(

−=> para k=1,2,…..,n

Ejemplo 2.9 (cont.)


22

b) P(X=k)=F(k)-F(k-1)=(1-P(X>k))-(1-P(X>k-1))=P(X>k-1)-P(X>k)Usando los resultados de la parte a) se tiene

k

kkk

nknknkXP

nknnknn

nknn

nknnkXP

)!1()1(!)(

]1)1(

1[)!(!

)!(!

)!1(!)( 11

+−−

==

−+−−

=−

−+−

== −−

para k=2,3,….n+1. Notar que .Luego, 2

1

211 .....)( ppppkXP

n

knnn ++++==∑

+

=−+

1]1)!1(

1[!

]!!

1[!])!1(!

1[!]!

)(1[!)!1(

!.......!2

)2(!)1(!!

1

11

1

1

1

1

1

11

1

1

21

2

=−−

+=

−+=−

−+=−

+=

−++

−+

−+=

−

−−

=

−

=

−

=

−−

=

−

−+

=

∑∑ ∑∑∑

∑

nn

nn

kn

jn

nn

jn

jn

nn

jjnn

nn

nnnn

nnnn

nnn

nnp

n

n

n

k

kn

j

n

j

j

n

n

j

jj

n

n

j

j

n

n

n

nn

n

knk

Ejemplo 2.9 (cont)


23

c)

])!1(

......!3!2

1[!1

])!1(

!)!2(!.......

!2!!![1

)!(!1)()1()(

132

221

1 1

−++++++=

−+

−+++++=

−+=>+>=

−

−−

= =∑ ∑

nnnnn

nn

nnn

nnn

nn

nn

nn

nknnkXPXPXE

n

m

nnn

n

k

n

kk

Wel resultado anterior se puede simplificar mas usando el hechoque el n! se puede aproximar usando la formula de aproximacionde Stirling y la suma es una parte de la serie exponencial de en


24

4.1.5 Valor Esperado y Varianza deuna Variable Aleatoria continua

Si X es una variable aleatoria continua con funcion de densidad f, entoncessu media y varianza estan definidos por

∫∞

∞−

= dxxxfXE )()(

∫∞

∞−

−= dxxfxXVAR )()()( 2μ

Ejemplo 2.10


25

Hallar el valor esperado y varianza del ejemplo 2.4.Solucion:

2]43

4[323)]4(

323[)()( 4

0

4

0

43

=−=−== ∫∫∞

∞−

xxdxxxxdxxxfXE

El valor del promedio academico de graduacion que se espera es de 2.0

4)()()()( 222 −=−= XEXEXEXVar

524

5)32()4(3]

5[

323)]4(

323[)()(

440

4

0

54222 ==−=−== ∫∫

∞

∞−

xxdxxxxdxxfxXE

Luego, Var(X)=24/5-4=4/5=.8

Ejemplo 2.11


26

Hallar el valor esperado del ejemplo 2.6Solucion:

2)1(202|)(0

02

0 0

2 =+=+−==⋅= ∫∫ ∫∞

−∞−∞ ∞

−− dxxeexdxexdxxexXE xxxx

La ultima integral vale 1, porque representa el area total debajo de la funcion de densidad. Se espera que un nino mire television, 2 horassemanales

Ejemplo 2.12


27

Sea X un variable aleatoria discreta con rango de valores RX={0,1,….,n}. Entonces,

∑=

≥=n

iiXPXE

1)()(

Similarmente si X es una variable continua no negativa con funcion de distribucion acumulada F, entonces

∫∞

−=0

)](1[)( dxxFXE

Solo probaremos el caso continuo

∫ ∫∫ ∫∫ ∫∞ ∞ ∞∞ ∞

−====0 0 0 0 0

)](1[)()()()(x

t

dttFdxdtxfdtdxxfdxxxfXE

La prueba basicamente se basa en el cambio en el orden de los limites de integracion

Desigualdad de Markov


28

Si 0≥X entonces aXEaXP )()( ≤≥ Para todo a>0

)()()()()()(0 0

aXaPdxxafdxxxfdxxxfdxxxfXEa

a a

>≥≥+== ∫ ∫ ∫ ∫∞ ∞ ∞

Solo probaremos el caso continuo

La primera desigualdad se justifica porque el integrando de la primera integral es positivo y en la segunda integral x>a. Luego,

)()( aXPaXE

>≥

Desigualdad de Chebychev


29

Para cualquier variable aleatoria X, y cualquier k>0 se cumple que

2

1]|[|k

kXP ≤≥− σμ

En otras palabras, la probabilidad de que una variable aleatoria difiera de su media en mas de k veces su desviacion estandar es a lo mas 1/k2

La prueba de la desigualdad de Chebychev se obtiene aplicando la desigualdad de Markov a la variable nonegativa (X-μ)2 con a=k2σ2. Lo cual da

22

2

22

2222 )(])[(

σσ

σμσμ

kkXEkxP =−

≤>− De donde

2

1]|[|k

kxP ≤>− σμ

4. variables aleatorias y sus propiedadesacademic.uprm.edu/eacuna/prob2.pdf · 4.1.4 valor esperado...

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