variable discreta

104 Funciones de masa de probabilidad

Diego Andrs Alvarez MarnProfesor Asistente

Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales

2Contenido

FMP Bernoulli FMP binomial FMP Poisson FMP geomtrica

3Sobre la seleccin de las FMPs/FDPs

La eleccin de una FMP/FDP para representar un fenmeno de inters prctico debe estar motivada tanto por la compresin de la naturaleza del fenmeno en s, como por la posible verificacin de la FMP/FDP seleccionada a travs de la evidencia emprica.

4FMP de Bernoulli

El espacio muestral est compuesto por dos sucesos mutuamente excluyentes y exhaustivos:

= {xito, fracaso}

Ejemplos:La muestra de material satisface las especificaciones?

El vehculo dobla a la izquierda? o no.Falla una estructura ante ciertas condiciones?

5FMP de BernoulliLa variable aleatoria de Bernoulli es:

Y la FMP de Bernoulli es:

6FMP de BernoulliValor esperado:

Varianza:

la varianza es mxima cuando p = 0.5

7FMP de Bernoulli

Una realizacin de una FMP de Bernoulli se llama experimento de Bernoulli.

Cuando se realizan varios experimentos de Bernoulli y estos son mutuamente independientes y cuando la probabilidad de xito no cambia, se le llama a la sucesin de experimentos ensayos de Bernoulli (Bernoulli trial).

8FDP de Bernoulli en MS EXCEL/MATLAB

Utilice la FMP Binomial con n=1

9Ejemplo FMP Bernoulli

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FMP Binomial X~B(n,p)Consideremos n ensayos de Bernoulli, mutuamente independientes, tal que: p es la probabilidad de xito (u ocurrencia) 1-p es la probabilidad de fracaso (no

ocurrencia)

es constante.

Si X es la variable aleatoria que representa el nmero de xitos en n ensayos, el inters est entonces en determinar la probabilidad de obtener exactamente X()=x xitos durante los nensayos.

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FMP Binomial X~B(n,p)La probabilidad de tener en n ensayos x xitos consecutivos seguidos de n-x fracasos consecutivos es:

La probabilidad de obtener exactamente x xitos y n-x fracasos en cualquier otro orden es la misma, puesto que los factores p y 1-p no tienen ningn orden particular.

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FMP Binomial X~B(n,p)Tomando el nmero de combinaciones de nobjetos tomando x a la vez se obtiene:

Recuerde que la combinatoria est dada por:

La FDA Binomial es entonces:

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FMP Binomial X~B(n,p)

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Momentos de la FMP Binomial

Media:

Media cuadrtica:

Varianza:

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FMP Binomial vs FMP Bernoulli

La FMP Binomial se reduce a la FMP Bernoulli cuando n=1:

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Aplicaciones de la FMP Binomial

Control de calidad: un proceso de manufactura produce un determinado producto en el que algunas unidades se encuentran defectuosas. Si la proporcin de unidades defectuosas producidas en este proceso es constante durante un periodo razonable y si como procedimiento de rutina, se seleccionan aleatoriamente un nmero determinado de unidades, entonces las suposiciones de probabilidad con respecto al nmero de artculos defectuosos puede hacerse mediante el empleo de la FMP binomial

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Publicidad: si la probabilidad de venta es constante para todas las personas, la FDP binomial es adecuada, puesto que las personas tienen un criterio independiente para comprar.

Construccin: de 5 cilindros de concreto se extraen dos que no cumplen con los requerimientos...

18


Trnsito: de 5 vehculos observados, cual es la probabilidad que dos giren a la derecha?

Hidrologa: en una sucesin de 30 aos, la probabilidad de ocurrencia o no de un caudal mayor que la capacidad de un vertedero es p. Suponiendo que las magnitudes del caudal anual mximo son independientes y que la probabilidad p de una ocurrencia en cualquier ao no cambia a travs de lo aos, determine...

19

FMP Binomial con MATLAB

y = binopdf(x,n,p); = pX(x;n,p)

r = binocdf(x,n,p); = FX(x;n,p)

x = binoinv(r,n,p); = FX

(-1)(r;n,p)

[m,v] = binostat(n,p) ; = media y varianza

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FMP Binomial con MS EXCEL

y = DIST.BINOM(x;n;p;FALSO); = pX(x;n,p)

r = DIST.BINOM(x;n;p;VERDADERO); = FX(x;n,p)

x = BINOM.CRIT(n;p;r); = FX

(-1)(r;n,p)

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Ejemplo 1 FMP Binomial

Suponga que todos los das se ensayan 15 cilindros de concreto. La probabilidad que el cilindro no cumpla con las especificaciones es del 5%. La interventora ha decidido detener la construccin cada vez que una muestra de 15 unidades tenga dos o mas defectuosas. Cul es la probabilidad de que, en cualquier da, la construccin se detenga? Tenga en cuenta que la prueba de los cilindros constituyen un conjunto de ensayos independientes.

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Observe que en promedio

son defectuosos en la muestra de 15 unidades

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En una rifa, se sabe que la probabilidad que una persona compre una boleta es del 5%. Si ofrezco a 15 personas el bono, cul es la probabilidad de que por lo menos dos de ellas compren el bono?

Este problema se resuelve igual que el problema anterior.

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La probabilidad que una persona cumpla aos en Marzo 20 es 1/365. Cuntas personas se requieren en un grupo de modo que la probabilidad que al menos una persona cumpla aos en esa fecha sea de al menos del 5%?

Se debe entonces encontrar el mnimo n para el cual

26

Respuesta:19 personas

27


De 20 pernos 5 estn malos. Si selecciono 4 al azar, cul es la probabilidad que estos estn bien?

28


Un equipo de beisbol tiene 50% de probabilidad de ganar un partido. Qu cantidad razonable de juegos, ganar el equipo en una temporada de 162 juegos?

Este resultado significa que en el 90% de las temporadas, un equipo ganar entre 71 y 91 juegos.

29

Ejemplo 6 FMP BinomialUn ingeniero de control de calidad, verifica 200 circuitos diarios. Si 2% de los circuitos tienen defectos, cul es la probabilidad que el inspector no encuentre defectos en un da dado?

Cual es el nmero ms probable de circuitos defectuosos que el ingeniero encontrar?

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FMP Poisson

La FMP de Poisson se utiliza para describir eventos aleatorios que ocurren de manera independiente con una velocidad constante en el tiempo o en el espacio.

Ejemplo: Bsquedas en google Nmero de vehculos que cruzan una interseccin

Lneas de espera

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FMP Poisson

Supongamos que deseamos contar el nmero de vehculos que cruzan una interseccin vial en un intervalo fijo de tiempo t segundos.

Se sabe que la probabilidad de que un vehculo llegue en cualquier segundo es un nmero pequeo p. Se supone que la probabilidad que dos o ms vehculos lleguen en un segundo es insignificante.

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FMP Poisson

Entonces el nmero total de vehculos X en n=t pruebas independientes est dado por:

34

FMP Poisson: definicin

35

FMP Poisson

NOTA:

Esta FMP debe aplicarse cuidadosamente en situaciones en las que las condiciones de independencia y rapidez constante son dudosas: por ejemplo trancones, infracciones de trnsito (con la multa y la edad el patrn de comportamiento cambia)

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Es FMP?

37

FDA Poisson

38

Nota: la lnea no va, slo es por facilidad en la representacin matemtica

39

Momentos de la FMP Poisson

40

Momentos de la FMP Poisson

Como >0, la asimetra es positiva; esta disminuye rpidamente para grandes valores de

La FMP es leptocrtica, sin embargo para grandes valores de , la curva se tiende a mesocrtica

pX(k;)

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FMP Poisson con MATLAB

y = poisspdf(x,nu); = pX(x;nu)

p = poisscdf(x,nu); = FX(x;nu)

x = poissinv(p,nu); = FX

(-1)(p;nu)

[m,v] = poissstat(nu); = media (=nu) y

varianza (=nu)

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FMP Poisson con MS EXCEL

y = POISSON(x;nu;FALSO); = pX(x;nu)

p = POISSON(x;nu;VERDADERO); = FX(x;nu)

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Ejemplo 1: FMP Poisson

A un peaje arriban cuatro autos en promedio cada dos minuto. Cul es la probabilidad que aparezcan exactamente 5 autos en un minuto?

44

Ejemplo 1: FMP Poisson

A un peaje arriban cuatro autos en promedio cada dos minuto. Cul es la probabilidad que aparezcan cinco o ms autos en un minuto?

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Ejemplo 2: FMP PoissonEn una fbrica de discos duros, el departamento de control de calidad raliza ensayos aleatorios de los discos duros individuales. La poltica es interrumpir el proceso de produccin si un inspector encuentra ms de 4 sectores malos en el disco. Cul es la probabilidad de interrumpir el proceso si el nmero promedio de sectores malos es 2?

Es decir, 5% de las veces un proceso de funcionamiento normal producir ms de cuatro sectores malos en el disco duro

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Ejemplo 2: FMP PoissonEn una fbrica de discos duros, el departamento de control de calidad raliza ensayos aleatorios de los discos duros individuales. La poltica es interrumpir el proceso de produccin si un inspector encuentra ms de 4 sectores malos en el disco. Cul es la probabilidad que el disco sea manufacturado sin defectos?

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Ejemplo 3: FMP PoissonUna compaa que opera volquetas determin que el ao pasado 103 vehculos tuvieron fallas mecnicas. De aqu se deduce que el nmero promedio de fallas por da es Encuentre la probabilidad que en cualquier da

usted tenga exactamente dos fallas

Encuentre la probabilidad que en cualquier da usted tenga exactamente dos o ms fallas

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Ejemplo 4: FMP PoissonVeinte ladrillos fueron examinados por defectos en la superficie. Se observ la siguiente tabla:

0 41 32 53 24 45 16 1

# defectos frecuencia

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Ejemplo 4: FMP PoissonCul es la probabilidad de encontrar un ladrillo con tres o ms defectos en la superficie si se asume una FMP de Poisson?

50

Ejemplo 4: FMP PoissonLa FMP Poisson asociada es:

0.10

0.23

0.27

0.12

0.20

0.05

0.02

Qu opina usted de esta FMP cuando se compara con el histograma original?

0.02

0.00

68

0.00

19

0.00

05

0.00

01

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Ejemplo 5: FMP PoissonUn vendedor de seguros vende en promedio 3 seguros de vida por semana. Cul es la probabilidad que en una semana dada el vender algunas plizas?

Dos o ms plizas pero menos que cinco?

Asumiendo que hay 5 das laborales por semana, cul es la probabilidad que en un da dado el vender una pliza?

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FMP Geomtrica ~ G(p)

Cuando se deben responder preguntas como: En qu prueba ocurrir el primer xito? Cuntos pernos habra que comprobar antes

que se encuentre uno defectuoso? Cundo ocurrir el primer caudal crtico, si la

probabilidad que ocurra en cualquier ao es p?

Se debe utilizar la FMP geomtrica.

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Si se supone independencia de las pruebas y un valor constante p, la distribucin de N, el nmero de pruebas hasta que ocurra el primer xito, se encuentra as: El primer xito ocurrir en la n-sima prueba si

y slo si: Las primeras n-1 pruebas son fracasos que ocurren

con probabilidad (1-p)n-1

La n-sima prueba es un xito, que ocurre con probabilidad p.

54


Por lo tanto la FMP geomtrica es:

La FDA geomtrica es (la probabilidad que haya al menos un xito en n pruebas):

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FMP Geomtrica ~ G(p)La esperanza matemtica es:

Esta cantidad se conoce como el periodo de retorno. Ejemplo: Si la proporcin de pernos defectuosos es del 10% en promedio, se comprobarn 10 pernos antes de encontrar uno defectuoso, suponiendo que se cumplan las condiciones de las pruebas de Bernoulli.

La varianza es:

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Definicin alternativa :FMP Geomtrica

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FMP Geomtrica

58

FMP Geomtrica

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FMP Geomtrica (definicin alternativa)

con MATLAB f = geopdf(x,p); = p

X(x;p)

F = geocdf(x,p); = FX(x;p)

x = geoinv(F,p); = FX

(-1)(F;p)

[m,v] = geostat(p); = media (1-p)/p y varianza (1-p)/p2

NOTA: no est implementada en MS EXCEL

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Ejemplo: FMP Binomial y FMP Geomtrica

Diseo de valores y periodos de retorno

Se quiere disear un canal que puede movilizar un caudal de q m3/s. La probabilidad que se requiera desplazar un caudal mayor es p/ao (inundacin).

Si p permanece constante de ao en ao, entonces los aos sucesivos representan pruebas independientes de Bernoulli.

Suponga que p = 0.02 (probabilidad de inundacin por ao)

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Diseo de valores y periodos de retornoCul es la probabilidad que ocurra una inundacin durante la vida til del canal que se espera sea 30 aos?

Este riesgo es muy grande. Si el ingeniero desea que dicha probabilidad no sea mayor del 10% en 30 aos, cul es la probabilidad de inundacin por ao con la que debe disear el canal, de modo que

P[inundacin/ao] p?

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Diseo de valores y periodos de retornoCul es la probabilidad que ocurra una inundacin durante la vida til del canal que se espera sea 30 aos?

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Diseo de valores y periodos de retorno

Si p=0.0035, Cul es la probabilidad que la primera inundacin crtica no ocurra en los prximos 10 aos?

La media es:

Se dice entones que el periodo promedio de retorno es 285.7 aos. La inundacin crtica se le llamar: la inundacin del 285.7 ao.

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