1 repaso. variable aleatoria discreta y su distribucion

7/23/2019 1 Repaso. Variable Aleatoria Discreta y Su Distribucion

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Métodos Estadísticos II

David Sabando Vera, Ph.D.

[email protected]

Guayaquil, mayo de 2015

mailto:[email protected]




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Métodos Estadísticos II

Variables aleator ias discretasy sus distr ibuciones

de probabil idad . (repaso Met. Est. I)

David Sabando Vera, Ph.D.

[email protected]

Guayaquil, mayo de 2015





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INDICE

1. Definición básica

2. La distribución de probabilidad para una variablealeatoria discreta

3. El valor esperado de una variable aleatoria o unafunción de una variable aleatoria

4. La distribución de probabilidad binomial5. La distribución de probabilidad geométrica

6. La distribución de probabilidad binomial negativa.

7. La distribución de probabilidad hipergeométrica

8. La distribución de probabilidad de Poisson



4

INDICE










5

Definiciones básicas:

Definición Espacio Muestral : Es el conjunto de todos losresultados posibles de un experimento. Se lo suele representar

con la letra S.

Definicion: A cada resultado o elemento de un espacio muestral

se lo llama punto muestral.

Ejemplo: Si se esta interesado en el numero que muestra la

cara superior de un dado en un lanzamiento entonces el espacio

muestral es:

S1 = {1; 2; 3; 4; 5; 6}

Si solo interesa si el numero es par o impar, el espacio muestral

es:

S2 = {par; impar}

Teoría de la probabilidad



6

Definición:Una variable aleatoria es una función que asocia un

numero real con cada elemento del espacio muestral.

Esta puede ser discreta o continua.

Definición: Una variable aleatoria se llama variable

aleatoria discreta si se puede contar su conjunto de

resultados posibles.

Cuando una variable aleatoria puede tomar valores enuna escala continua, resultado de una medición, se la

denomina variable aleatoria continua



7


Definición: Si un espacio muestral contiene un

numero finito de posibilidades o una serie

interminable con tantos elementos como números

enteros existen, se llama espacio muestral discreto.

Definición: Si un espacio muestral contiene un

numero infinito de posibilidades igual al numero de

puntos en un segmento de línea, se llama espacio

muestral continuo



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Definición: Evento es un subconjunto del espacio

muestral.

Ejemplo. Se esta interesado en que el resultado dellanzamiento de un dado sea divisible para tres.

El evento A = {3; 6} es el conjunto de resultados que

cumplen la condición indicada.

A es un subconjunto de S1 del ejemplo anterior.



9

INDICE










10

Se dice que una variable aleatoria Y es

discreta

si puede tomar sólo un númerofinito o contablemente infinito de valores

distintos.

Definición:



11

Definición: Probabilidad de un evento discreto A,

P(A), es la suma de todas las probabilidades que se

asignan a los puntos muestrales en A. Por tanto



12

Ejemplo. Si se lanza dos veces una moneda, ¿Cuáles la probabilidad de que ocurra al menos una

cara"?

Solución: El espacio muestral para este

experimento es:



13

Ejemplo: Se sacan dos bolas de manera sucesiva

sin reemplazo de una urna que contiene 4 bolasrojas y 3 negras. Los posibles resultados y los

valores y de la variable aleatoria Y , donde Y es el

número de bolas rojas, son:



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Distribución de probabilidad

•

La distribución de una variable X se define comouna descripción del conjunto de valores posiblesde X, junto con la probabilidad asociada con cadauno de estos valores

•

Para una variable aleatoria discreta la distribuciónde probabilidad se describe mediante una funciónde probabilidad, representada por f(x). Dondeesta función define la probabilidad de cada valor

de la variable analizada



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Definición. La función f(x) es una función masa deprobabilidad de la variable aleatoria discreta X si y solo

si se satisfacen las siguientes condiciones



16

Definición. La distribución acumulada F(x) de una

variable aleatoria discreta X con distribución de

probabilidad f(x) es



17

•

Las condiciones requeridas para una función son:

1

( ) ( )

( ) 0

( ) 1n

i

f x P X x

fx x

fx x

Cantidad discreta

P r o b a

b i l i d a d



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• Valor esperado de una variable aleatoria discreta es unamedida de localización central de una variable aleatoria. Es unpromedio ponderado de los valores que puede tener unavariable en donde los factores de ponderación son lasprobabilidades y se expresa de acuerdo a:

1

( ) ( )n

i

i

E x x f x



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• Varianza de una variable aleatoria discreta es una medida dedispersión o variabilidad y corresponde a promedio ponderado delas desviaciones de una variable aleatoria respecto a su promedio,elevadas al cuadrado

2

2

1

( ) ( )n

i

i

Var x x f x



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Ejercicio

• Dada la siguiente tabla de distribución de probabilidades de unavariable aleatoria y. – Determine si es correcta la distribución de probabilidades

– Calcule E(y)

– Calcule Var(y) y d.s(y)

y F(y)

2 0.20

4 0.30

7 0.40

8 0.10

Total 1.00



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Distribución Binomial

• Es una distribución discreta de probabilidad conocidapor sus variadas aplicaciones que se relaciona con unexperimento de etapas múltiples

• Un experimento binomial tiene cuatro propiedades:1. El experimento consiste en una sucesión de n intentos

idénticos2. En cada intento son posibles 2 resultados. Éxito o Fracaso

(experimento de Bernoulli)

3. La probabilidad de éxito, representado por p, no cambiade un intento a otro. En consecuencia, la probabilidad de

fracaso, (1-p), no cambia de un intento a otro. Supuesto deestacionariedad

4. Los intentos son independientes



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• Si existen sólo las propiedades 2,3,4 se habla de un procesoBernoulli

• Un ejemplo de distribución Binomial es determinar laprobabilidad de que en n intentos al lanzar una moneda salga

cara (éxito) y no sello (fracaso)• La fórmula de combinatoria de n objetos seleccionados en un

grupo proporciona la cantidad de resultados experimentalesque resultan en x éxitos



23

• Cantidad de resultados experimentales con exactamente xéxitos en n intentos

• También es necesario conocer la probabilidad asociada a cadauno de los resultados experimentales el cual se puededeterminar a través de la siguiente relación

!

! !

n n

x x n x

( )(1 ) x n x p p



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• Combinado las dos expresiones obtenemos lafunción de distribución Binomial

( )( ) (1 )

( ) probabilidad de x exitos en n intentos

!

!( - )!

probabilidad de un exito en cualquier intento

(1- )=probabilidad de un fracaso en cualquier intento

x n xn

f x p p x

f x

n n

x x n x

p

p



25

• Valor esperado de la distribución binomial de

probabilidad

• Varianza de la distribución binomial de probabilidad

( ) E x np

2

( ) (1 )Var x np p



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Ejemplo:

•

El gerente de una gran tienda necesita determinar cual esla probabilidad de que 2 de tres clientes que ingresan a latienda hagan una compra. Él sabe que la probabilidad deque un cliente compre es de 0.3

3 3! 32 2! 3 2 !

2 (3 1)0.3 (1 ) 0.063 p

Cantidad de resultados experimentales

Probabilidad de cada resultado

experimental en donde 2 de los tres

clientes compran

Luego 3·0.063 = 0.189, probabilidad de que de 3 clientes

que ingresan a la tienda 2 compren



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Distribución Geométrica

•

En una serie de intentos independientes, con una probabilidadconstante p de éxito, sea la variable X el número de ensayosrealizados hasta la obtención del primer éxito. Se dice que Xtiene una distribución geométrica con parámetro p cuando

• La media y varianza para esta distribución son

• Una característica de esta distribución es que carece dememoria, es decir, se puede empezar a contar en cualquierensayo o intento hasta obtener el éxito

1( ; ) (1 )

cantidad de intentos

x fx x p p p

x

2

( ) 1/

(1 )( )

E X p

pVar X p



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Ejemplo

• La probabilidad de que una muestra de aire contenga una

molécula rara es 0.01. Si se supone que las muestras sonindependientes respecto a la presencia de la molécula.Determine cuál es la probabilidad de que sea necesarioanalizar 125 muestras antes de detectar una molécula rara

125 1(125;0.01) (1 0.01) 0.01 0.0029 fx



29

Distribución Binomial Negativa

• En una serie de intentos independientes con una probabilidad

constante de éxito p, sea la variable aleatoria X en número de ensayosefectuados hasta que se tienen r éxitos. Se dice que X tiene unadistribución Binomial negativa con parámetro p y r cuando

• Una variable binomial negativa es un conteo del número de ensayosnecesarios para obtener r éxitos. Es decir, el número de éxitos estápredeterminado y lo aleatorio es el número de ensayos. SE puededecir que esta variable es el opuesto de una variable binomial

• Una variable binomial negativa es una suma de variables aleatorias

geométricas• La media y varianza para esta distribución son

1( ; ; ) (1 )

1

x r r x

fx x p r p pr

2

( ) /

(1 )( )

E X r p

r pVar X

p



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Ejemplo

• Una aeronave tiene 3 computadoras

idénticas. Sólo una de ellas se emplea paracontrolar la nave, las otras 2 son de reservaspor si falla la primera. Durante una hora deoperación la probabilidad de falla 0.0005.

– ¿Cuál es el tiempo promedio de falla de las trescomputadoras?

– ¿Cuál es la probabilidad de que las 3 fallendurante un vuelo de 5 horas?



31

( ) 3/0.0005 6000 E x h

3 3 3 9

( 5) ( 3) ( 4) ( 5)

3 40.0005 0.0005 (0.9995) 0.0005 (0.9995) 1.249 10

2 2

P x P X P X P X

x

a)

b)



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Distribución Hipergeométrica

• Está estrechamente relacionada con la distribución de

probabilidad binomial. La diferencia entre ambas está enla independencia de los intentos y en que la probabilidadde éxito cambia de uno a otro

• Se usa para calcular la probabilidad de que una muestraaleatoria de n artículos seleccionados sin reemplazo,

obtengamos x elementos identificados como éxitos, y n-xcomo fracasos. Para que suceda esto debemos obtener xéxitos de los r de la población, y n-x fracasos de los N-r dela población

( )

r N r

x n x f x N

n

0 x r



33

Ejemplo

• Se debe seleccionar 2 miembros de un comité,

entre 5, para que asistan a una convención enSantiago. Suponga que el comité está formadopor 3 mujeres y 2 hombres. Determine laprobabilidad de seleccionar 2 mujeres al azar

– Tenemos N=5, n=2, r=3 y x=2

– Luego el cálculo de la probabilidad es:

3 2

2 0 3(2) 0.35 10

2

f



34

Distribución Poisson

• Es una distribución de probabilidad que muestra la

probabilidad de x ocurrencias de un evento en un intervaloespecificado de tiempo o de espacio

• Las propiedades de un experimento de Poisson son: – La probabilidad de una ocurrencia es igual en dos intervalos

cualesquiera de igual longitud – La ocurrencia o no ocurrencia en cualquier intervalo es independiente

de la ocurrencia o no ocurrencia en cualquier otro intervalo



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• La distribución de Poisson se expresa como:(x = cantidad de ocurrencia)

• Se puede usar este distribución de probabilidadcomo una aproximación de la distribuciónbinomial cuando p, la probabilidad éxito es

pequeña y n, la cantidad de intentos, esgrande. Tan sólo se iguala =n·p

( )

!

xe f x

x



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Ejemplo

• Se necesita estimar la cantidad de llegadas a la ventanilla

de servicio en automóviles de un banco, durante unperíodo de 15 minutos en las mañanas de los días hábiles.Los datos históricos indican que en este período lacantidad de automóviles en promedio es 10. A la gerenciale interesa saber cual es la probabilidad exacta de que

lleguen 5 automóviles en 15 minutos

5 1010(5) 0.0378

5!

e f



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Ejercicios

• Se comprobó que un nuevo detergente para

ropa quita bien la mugre y las manchas del88% de las prendas lavadas. Suponga que sevan a lavar 10 prendas con el nuevo detergente – ¿Cuál es la probabilidad de obtener buenos

resultados en las 10 prendas? – ¿Cuál es la probabilidad de encontrar mal lavadas al

menos 2 prendas?

– ¿Qué tipo de distribución empleó?



38

• Un director regional tiene la responsabilidad deldesarrollo de una empresa, y le preocupa la cantidadde quiebras de empresas pequeñas. Si la cantidadpromedio de quiebras de empresas pequeñas por meses de 10, ¿cuál es la probabilidad de que quiebren

exactamente 4 empresas pequeñas durante un mes?,Suponga que la probabilidad de una quiebra es igualen dos meses cualesquiera, y que la ocurrencia o noocurrencia de una quiebra en cualquier mes es

independiente de las quiebras en los demás meses



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• La mayoría de las personas conoce el póker con manos de5 cartas. Con 52 cartas que incluyen 4 ases, cuál es laprobabilidad de que la mano de cinco cartas contenga:

– Un par de ases

– Exactamente un as – Ningún as

– Cuando menos 1



1. Momentos y funciones generadoras de

momento

2. Funciones generadoras de probabilidad

3. Teorema de Tchebysheff

Algunos temas importantes de recordar.

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