distribucion discreta y continua

7/21/2019 Distribucion Discreta y Continua

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ESTADISTICA I I

MODELOS DE DISTRIBUCION DISCRETOS Y CONTÍNUOS

PRIMAVERA 2008

___________________ ________ ______________________Juan Orlando Basualto Cancino 1/9 [email protected]

Resumen de Palmer, A. (1995). Tablas de estadística

RESUMENSiguiendo con un artículo anterior, en este se presentan un conjunto dedistribuciones, discretas y continuas, que se encuentran en distintosambitos del análisis de datos y que, a través de Internet y a través del

programa STATLETS, puede obtenerse el cálculo de probabilidadespara valores bajo estas distribuciones.

Introducción Otras distribuciones utilizadas en estadística

Distribuciones discretas Uniforme discreta Binomial negativa Geométrica Hipergeométrica Multinomial

Distribuciones continuas Uniforme, Triangular Log-normal, Gamma Erlang, Exponencial Weibull, Valor extremo Beta, Cauchy, Logística Laplace, Pareto

Software adecuado: el STATLETS Esperanza y Variancia de las distribuciones discretas Esperanza y Variancia de las distribuciones continuas

INTRODUCCION

En otro documento (Palmer, Jiménez y Rubí, 1999) se introdujerondiferentes formas de obtener, en Internet, las probabilidades asociadasa las distribuciones más comunes en el análisis de datos. A saber:Bernoulli, Binomial y Poisson como distribuciones discretas y lassiguientes distribuciones continuas: Normal, t de Student, Ji-cuadrado yF de Snedecor.Este documento introduce un conjunto de distribuciones que asimismo

son habituales en el proceso de modelización actual. Así, por ejemplo,el conjunto de distribuciones pertenecientes a la familia exponencial, esde uso habitual en metodologías de análisis como en el marco delanálisis de la supervivencia. Pero, aún más, desde que Nelder yWedderburn presentaran, en 1972 , el Modelo Lineal Generalizado, lasdistribuciones pertenecientes a la familia exponencial son máshabituales ya que constituyen el prototipo de distribuciones quecaracterizan al conjunto de técnicas que tienen cabida bajo estemodelo. Otras distribuciones son comunes y habituales en el campo deactuación de disciplinas tales como la economía, la biología, etc.Como ya decíamos en el documento anterior, estar conectados aInternet permite, en estos momentos, disponer de una serie de recursosque hacen ya innecesario el uso de libros de tablas de estadística o eluso de algún programa informático situado en el disco duro de nuestroordenador. El objetivo de este artículo es dar información, en forma deenlaces, para que cada usuario busque y encuentre la solución a suproblema, cuando este problema consista en obtener una probabilidad

asociada a cualquiera de las distribuciones aquí mencionadas, seadiscreta o continua.A efectos de tener identificadas las distribuciones, discretas ycontinuas, utilizadas de forma mas frecuente, se proporciona su funciónde probabilidad (caso discreto) o su función de densidad deprobabilidad (caso continuo), con el ánimo de dar un poco de contenidoa cada distribución. Por supuesto que si el usuario quiere tener másinformación sobre alguna de estas distribuciones le recomendamos queacuda a algún texto especializado.

OTRASDISTRIBUCIONES UTILIZADAS EN ESTADISTICA

DISTRIBUCIONES DISCRETAS

Distribución Uniforme Discreta

Si se tienen n observaciones, la probabilidad de que la variaaleatoria tome el valor xi viene dada por:

Así pues, en esta distribución cada observación tiene la misprobabilidad de ocurrencUn caso particular de esta distribución ocurre cuando los valores senteros consecutivos. Esta distribución asigna igual probabilidadtodos los valores enteros entre el límite inferior y el límite superior qdefine el rango de la variable. Si la variable puede tomar valores entry b, debe ocurrir que b sea mayor que a, y la variable toma los valorenteros empezando por a, a+1, a+2, etc. hasta el valor máximo b. este caso se tiene que:

En el siguiente gráfico se muestra la función de probabilidad dedistribución Uniforme Discreta con un rango de valores enteros entr

y 10.

Distribución Binomial NegativaPermite calcular la probabilidad de tener k fracasos antes de que ocuel r-ésimo éxito.

En el caso de que los sucesos ocurran a intervalos regulares de tiemesta variable proporciona el tiempo total para que ocurran r éxitHay una forma equivalente de definir esta variable, como el número ensayos que hay que realizar para obtener el r-ésimo éxito (Palm1995).En el siguiente gráfico se muestra la función de probabilidad dedistribución Binomial negativa con un número de éxitos igual a 10 y uprobabilidad de éxito de 0.4. En abcisas se representan los distin

valores que puede tomar la variable X (número de ensayos), y ordenadas se representa la probabilidad asociada a cada valor poside X.



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En la dirección http://home.clara.net/sisa/negbino2.htm se puedeacceder a una página con la calculadora que se muestra acontinuación, en la que se han introducido los parámetros utilizados enel gráfico anterior para el cálculo de probabilidades no acumuladasbasadas en la función de probabilidad de la distribución Binomialnegativa. S.I.S.A. Simple Interactive Statistical Analysis.

En el calculador anterior se observa cómo la probabilidad de obtener el10º éxito (probabilidad de éxito de 0.4) en el intento número 30 es de0.038395. Esta probabilidad obtenida se puede leer de formaaproximada en el gráfico anterior para X=30.

Otras direcciones relacionadas con esta distribución aparecen acontinuación, en cuyas páginas se puede realizar, entre otros, el cálculode probabilidades acumuladas y los gráficos de la función de

probabilidad (probabilidad no acumulada) y de la función de distribución(probabilidad acumulada).Distribución no acumulada : calculador.UCLA Statistics.Distribución no acumulada: gráfico.UCLA Statistics.Distribución acumulada: calculador. UCLA Statistics.Distribución acumulada: gráfico.UCLA Statistics.Generación aleatoria de muestras. UCLA Statistics.

Distribución GeométricaPermite calcular la probabilidad de que tengan que realizarse unnúmero k de ensayos para obtener un éxito en el último ensayo, siendop la probabilidad de obtener un éxito. Así pues, esta distribución es uncaso particular de la distribución binomial negativa para el caso en quer=1.

Se utiliza en la distribución de los tiempos de espera, de manera que si

los ensayos se realizan a intervalos regulares de tiempo, esta variablealeatoria proporciona el tiempo transcurrido hasta el primer éxito. Porejemplo, encontrar la primera pieza defectuosa, la primera ocurrenciade un suceso, la llegada de un cliente a un lugar de servicio, la roturade una cierta pieza, etc. (Aranda y Gómez, 1992).Esta distribución presenta la propiedad denominada propiedad deMarkov o de falta de memoria, que implica que la probabilidad de tenerque esperar un tiempo ti no depende del tiempo que ya se hayaesperado.Hay autores (Aranda y Gómez, 1992).que dicen que a la distribuciónbinomial negativa se la conoce también con el nombre de distribuciónde Pascal, mientras que otros (Castillo, 1978) definen la distribución dePascal para el caso de r=1, es decir para la distribución geométrica.En el siguiente gráfico se muestra la función de probabilidad de unadistribución Geométrica con una probabilidad de éxito de 0.3.

La probabilidad de que se presente un evento determinado (con unaprobabilidad de éxito de 0.3) en el cuarto intento (X=4) es de 0.072030.

Distribución Hipergeométrica

Permite calcular la probabilidad de obtener k éxitos al realizarensayos de una población finita de tamaño N.

Ejemplo: Se utiliza para obtener el número de éxitos en un muestreo reemplazamiento de una población finita de tamaño N.En el siguiente gráfico se muestra la función de probabilidad de udistribución Hipergeométrica basada en una población finita de 1elementos (N), en la que se seleccionan 20 elementos (n) y se espe10 éxitos.

En la dirección http://home.clara.net/sisa/hypergeo.htm se pueacceder a una página con la calculadora que se muestra continuación, en la que se han introducido los parámetros utilizados el gráfico anterior para el cálculo de probabilidades no acumuladbasadas en la función de probabilidad de la distribucHipergeométrica. S.I.S.A. Simple Interactive Statistical Analysis.

Se observa cómo la probabilidad de obtener 4 éxitos en una extraccde 20 elementos sobre 100 es de 0.08410730, sabiendo queproporción esperada de éxitos es de 10 sobre 100 (0.1). Eprobabilidad obtenida se puede leer de forma aproximada en el gráfanterior para X=4.

Distribución Multinomial

Generaliza la distribución binomial al caso en que la población se diven k>2 grupos mutuamente exclusivos y exhaustivos. Permite obtela probabilidad de la ocurrencia de una determinada repartición.

En este caso se cumple que n = x1 + x2 + ... + xk , donde cada xi tieuna probabilidad pi de ocurrencia. Se cumple que å pi=1.



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DISTRIBUCIONES CONTINUAS

Distribución UniformeTambién conocida con el nombre de distribución rectangular, sesimboliza por medio de U(a,b) y viene determinada por el menor valorposible a que toma la variable y por el mayor valor posible b, siendob>a. En esta distribución todos los valores comprendidos entre a y btienen la misma probabilidad de ocurrencia.

Simulación de una variable aleatoria continua: Método de latransformación reciprocaEntre otras aplicaciones, la distribución Uniforme U(0,1) se utiliza paragenerar observaciones que formen una variable aleatoria Y que tengacualquier función de distribución F(y) continua. Para ello, en primerlugar, se genera un número aleatorio x de la distribución U(0,1). Seresuelve la ecuación F(y)=x, lo que proporciona como solución un valory* que será el valor de la variable aleatoria simulada. Se repite esteproceso tantas veces como se quiera.En el siguiente gráfico se muestra la función de densidad de ladistribución Uniforme en el intervalo [10,15].

En la direcciónhttp://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/uniform/uniformcalc.phtml encontrará un calculador de la probabilidad acumulada en un valor Xsituado en una distribución Uniforme (a,b). UCLA Statistics.

Especificando 3 de los valores proporciona el cuarto, en el que debe

escribirse un signo de interrogación. Como ejemplo, si se pretendecalcular la probabilidad acumulada en el valor X=12 de una distribuciónUniforme (10,15) se obtendría el valor ?=0.4, es decir, Pr(X£ 12)=0.4.

Otras direcciones en las que se pueden encontrar aplicacionesrelacionadas con la distribución Uniforme son las siguientes:Gráfico de la distribución acumulada.UCLA Statistics.

Distribución no acumulada: calculador.UCLA Statistics.

Gráfico de la distribución no acumulada.UCLA Statistics.

Generación aleatoria de muestras.UCLA Statistics.

Distribución TriangularSe denomina así por el hecho de que la función de densidad tiene uforma triangular, que viene definida de la siguiente manera:

Se denomina triangular cuando viene definida por dos parámetros, qrepresentan el valor mínimo y el valor máximo de la variable. En ecaso el triángulo es equilátero. Se denomina triangularG (triangugeneral), cuando viene dada por tres parámetros, que representanvalor mínimo y el valor máximo de la variable, y el valor del punto enque el triángulo toma su altura máxima. En este caso el triángulo nonecesariamente equilátero.La función de densidad de la distribución triangularG viene dada por:

Cuando el valor de c sea la media de los dos valores extremos a ytendremos la distribución triangular. En el siguiente gráfico se puede una distribución triangular (triángulo equilátero de color negro) y utriangularG (triángulo no equilátero de color rojo).

Distribución Log-NormalSe dice que una variable X se distribuye de forma log-normal si logaritmo natural LnX se distribuye normalmente. Se simbolmediante L(m , s ) ya que los parámetros de esta distribución son mismos de los de la distribución normal, m y s . Sin embargo, dequedar claro que m y s no son la media y desviación de la distribuclog-normal (Ver el apartado de esperanza y variancia de distribuciones continuas).

Esta distribución es usada para modelizar datos que presenasimetría positiva.A continuación se proporciona el gráfico que el programa STATLErealiza al especificar los parámetros 3 y 0.9 para la distribucLognormal. Creemos que este programa utiliza esta distribución forma incorrecta ya que usa los parámetros m y s como la medidesviación estándar de la distribución, que como hemos dicanteriormente es incorrecto.



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Nuestra creencia en que los cálculos bajo esta distribución no soncorrectos, viene apoyada en que sus resultados difieren de losobtenidos con otros programas tipo MINITAB o SPSS.

Distribución GammaEsta distribución depende de dos parámetros l y k denominadosparámetros de escala y de forma respectivamente. Es decir, al variar kvaría la forma de la distribución, mientras que al variar l sólo varía laescala de la distribución.

Donde la función gamma de p>0, G (p), viene dada por:

Si p=1/2 entonces se tiene que G (1/2)=Ö pSi p>1 entonces se tiene que G (p)=(p-1) G (p-1)Si p es entero, entonces se cumple que G (p)=(p-1)!

Si definimos el valor del parámetro l en función del parámetro k y delparámetro m según la expresión l =k/m , se tiene que la función dedensidad se escribe:

En esta expresión, el parámetro m determina la localización de ladistribución (m es la media de la distribución gamma), y el cociente m

2/k determina la forma de la distribución (m 2/k es la variancia de ladistribución gamma).Esta distribución es usada para modelizar datos que presentanasimetría positiva.Casos particulares:Si k=1 se tiene la distribución exponencialSi k=1 y m =1 se tiene la distribución exponencial estándarSi k=n/2 y m =n se tiene la distribución ji-cuadrado con n grados delibertadEsta distribución se ha aplicado a los tiempos de vida de sistemaseléctricos y mecánicos, a la abundancia de especies animales, aperíodos de incubación de enfermedades infecciosas, etc.

En el siguiente gráfico se muestran dos funciones de densidad Gamma,una con parámetros de escala (Scale) y de forma (Shape) igual a 30 yotra con parámetro de escala 10 y parámetro de forma 5.

En la direcciónhttp://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/gamma/gammacalc.phtml accederá a un calculador de probabilidades acumuladas basadas ladistribución Gamma. En dicha aplicación, especificando 3 de los

siguientes valoresproporciona el cuarto (en el que debe introducirse un signo deinterrogación): valor de X, probabilidad acumulada, parámetro de escy parámetro de forma. UCLA Statistics.

Como ejemplo, se ha calculado la probabilidad acumulada en el puX=1 con parámetros de escala y de forma igual a 30, de forma qPr(X£ 1)=0.524283.

Otras direcciones en las que se pueden encontrar aplicacionrelacionadas con la distribución Gamma son las siguientes:Gráfico de la distribución acumulada.UCLA Statistics.




Distribución ErlangEsta distribución corresponde a la distribución Gamma cuando(parámetro de forma) es un valor ente

Por lo tanto, si tomamos como ejemplo la distribución Erlang cparámetro de forma 15 y parámetro de escala 5 obtendríamos qPr(X£ 3)= 0.534346, valor equivalente en una distribución Gamma clos mismos parámetros. No existirá esa igualdad cuando el parámede forma no sea un valor entero.

Distribución ExponencialEsta distribución depende de un parámetro positivo, l > 0, llama

parámetro de tasa.

Si la función de densidad se escribe en términos de la media m dedistribución se tiene que:

Se denomina distribución exponencial de dos parámetros cuando introduce un valor G, por debajo del cual la función de densidad cero.

Permite estudiar el tiempo transcurrido entre un instante inicial ymomento en que ocurre un determinado suceso. Por ejemplo,



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duración de una llamada telefónica, el tiempo transcurrido entre lallegada sucesiva de dos sujetos a un determinado servicio, etc.

El siguiente gráfico permite visualizar dos distribuciones exponencialesde un parámetro con valores l =3 y l =5. Se puede ver que el valor de ladistribución siempre es positivo. Por otra parte el punto de intersecciónde la distribución con el eje de ordenadas se produce en el punto 1/l .

Para el cálculo de probabilidades acumuladas basadas en la función dedistribución Exponencial se puede acceder a un calculador ubicado enla siguiente dirección de Internet:http://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/exponential/exponentialcalc.pht

ml.UCLA Statistics.

Especificando 2 de los valores proporciona el tercero, en el que debeescribirse un signo de interrogación. Como ejemplo, se pretende

calcular la probabilidad acumulada en el valor X=5 de una distribuciónExponencial con parámetro l =3. Se obtendría que Pr(X£ 5)=0.811124.Igualmente, se podría calcular el valor X por debajo del cual existe unadeterminada probabilidad acumulada, simplemente introduciendo dichaprobabilidad en el campo correspondiente y un signo de interrogaciónen el campo X value, para posteriormente pulsar el botón CompleteMe!.

Otras direcciones en las que se pueden encontrar aplicacionesrelacionadas con la distribución Exponencial son las siguientes:Gráfico de la distribución acumulada.UCLA Statistics.


Gráfico de la distribución no acumulada. UCLA Statistics.

Generación aleatoria de muestras. UCLA Statistics.

Distribución WeibullEsta distribución generaliza la distribución exponencial y depende dedos parámetros a y b . El valor de b determina la forma de ladistribución mientras que el valor de a determina su escala.

Esta distribución se generaliza a una que depende de tres parámetros,denominada W(a ,b ,m ) siendo a >0, b >0 y m ³ 0. El parámetro m es elvalor más pequeño que puede tomar la variable.

La distribución Weibull es una de las pocas distribuciones que pueser usada para modelizar datos que presentan asimetría negativa.

En el siguiente gráfico se muestran dos funciones de densidpertenecientes la distribución Weibull, una con parámetros de for

(Shape) y de escala (Scale) igual a 10 y otra con parámetro de formay parámetro de escala 2.

En la direcchttp://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/weibull/weibullcalc.phtml encontrará un calculador de probabilidades basadas en la función distribución Weibull. Especificando 3 de los siguientes valoproporciona el cuarto (en el que debe introducirse un signo interrogación): valor de X, probabilidad acumulada, parámetro de for(A Parameter) y parámetro de escala (B Parameter). UCLA Statistics

Como ejemplo, se ha obtenido que la probabilidad acumulada envalor X=2 situado en una distribución Weibull con parámetro de formay parámetro de escala 2 es igual a 0.632121, es decir, Pr(2)=0.632121.

Distribución Gumbel, de valor extremo o de Gompertz

Está definida para todo valor de x, siendo m un parámetro

localización (moda) y s >0 un parámetro de escala. Los valores devariable aleatoria son no negativos, mientras que el dominio dedistribución se mueve en todo el eje real.

En la siguiente figura se muestran dos funciones de densidad Gumbuna de ellas con parámetro moda 3 y parámetro escala 5, y la otra cparámetros 5 y 10 respectivamente.



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Distribución BetaEsta distribución depende de dos parámetros, p (forma) y q (escala),ambos positivos. Se denomina B(p,q).

Donde la función beta B(p,q) viene dada, para p y q positivos, por:

La función beta tiene la siguiente propiedad:

La distribución B(1,1) equivale a la distribución Uniforme U(0,1).

En la siguiente figura se presentan tres funciones de densidad Beta,cada una de ellas con parámetros p (Shape 1) y q (Shape 2) distintos.

En la direcciónhttp://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/beta/betacalc.phtml tendráacceso a un calculador de probabilidades acumuladas basadas endicha distribución. Especificando 3 de los siguientes valoresproporciona el cuarto (en el que debe introducirse un signo deinterrogación): valor de X, probabilidad acumulada, parámetro p (AParameter) y parámetro q (B Parameter). UCLA Statistics.

Con los datos de ejemplointroducidos en el calculador se obtendría que ?=0.5, es decir, Pr(0.5)=0.5. Esta probabilidad acumulada en el punto X=0.5 para parámetros dados se puede corroborar en el gráfico anterior, pueque existe un 50% de área (0.5*100) perteneciente a la distribucBeta (3,3) que queda por debajo de dicho valor X, hecho perfectamvisible si se traza una línea imaginaria perpendicular al eje de abcisdesde el punto X=0.5 al punto de corte con la función de densidad cuestión.

Otras direcciones en las que se pueden encontrar aplicacionrelacionadas con la distribución Beta son las siguientes:Gráfico de la distribución acumulada.UCLA Statistics.Distribución no acumulada: calculador.UCLA Statistics.Gráfico de la distribución no acumulada.UCLA Statistics.Generación aleatoria de muestras.UCLA Statistics.

Distribución de CauchyEsta distribución depende de dos parámetros, m y q . Se denmediante C(m ,q ).

Donde m > 0.La distribución es simétrica respecto del valor q . El valor de xrepresenta la mediana y la moda de la distribución.Se denomina distribución de Cauchy estándar si a una variable X qsigue la distribución de Cauchy le hacemos el cambio de variable Y=q )/m , se obtiene la función de densidad de la distribución C(1,0):

En el siguiente gráfico se muestra la función de densidad de udistribución de Cauchy con parámetro m =25 (Mode) y parámetro q (Scale).

Para calcular probabilidades acumuladas en una distribución de Caucpuede utilizar el siguiente enlahttp://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/cauchy/cauchycalc.phtml , qaccede a una página con la calculadora que se muestra a continuacien la que se han introducido los parámetros utilizados en el gráfiUCLA Statistics.

Especificando 3 de los valores proporciona el cuarto, en el que deescribirse un signo de interrogación. Con los parámetros del gráfanterior se obtiene que Pr(X£ 20)=0.172021.



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Otras direcciones en las que se pueden encontrar aplicacionesrelacionadas con la distribución de Cauchy son las siguientes:Gráfico de la distribución acumulada. UCLA Statistics.Distribución no acumulada: calculador. UCLA Statistics.Gráfico de la distribución no acumulada.UCLA Statistics.Generación aleatoria de muestras.UCLA Statistics.

Distribución LogísticaEsta distribución depende de dos parámetros, la media a de ladistribución y la desviación estándar b de la distribución. Los valores dela variable aleatoria son no negativos, mientras que el dominio de ladistribución se mueve en todo el eje real.

Si se hace el cambio de variable Y=(X-a )/b se obtiene la distribuciónlogística estándar con función de densidad dada por:

A continuación se proporciona un gráfico en el que se representan dosdistribuciones logísticas con distintos parámetros.Creemos que, al calcular el valor de la función de densidad por mediodel programa STATLETS, este proporciona el valor con un pequeñoerror, por lo que es aconsejable, en este caso, utilizar otro programa.Entre los programas comerciales se pueden utilizar el MINITAB, elSPSS o el STATISTICA.

En la direcciónhttp://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/logistic/logisticcalc.phtml encontrará un calculador basado en la función de distribución Logística.Especificando 3 de los siguientes valores proporciona el cuarto (en elque debe introducirse un signo de interrogación): valor de X,probabilidad acumulada, parámetro a (Location Parameter) y parámetrob (Scale Parameter). UCLA Statistics.

Se ha calculado como ejemplo la probabilidad acumulada hasta el valorX=25 situado en una distribución Logística con parámetro a =30 yparámetro b =5. Como resultado, se obtiene que la probabilidad que elvalor X deja a su izquierda es igual a 0.268941, es decir, Pr(X£ 25)=0.268941.

Otras direcciones relacionadas con la distribución Logística son siguientes:Gráfico de la distribución acumulada.UCLA Statistics.Distribución no acumulada: calculador.UCLA Statistics.Gráfico de la distribución no acumulada.UCLA Statistics.Generación aleatoria de muestras.UCLA Statistics.

Distribución de Laplace

También se denomina doble exponencial. Viene determinada función de dos parámetros, uno de localización L (la media) y otro escala S, siendo S > 0.

Es una distribución más apuntada que la distribución normEn otras situaciones se reparametriza la función de densidad hacienque el parámetro de escala sea:

Así lo hacen, por ejemplo, los programas STATLETS

STATGRAPHICS.La función de densidad entonces se escribe como:

A continuación se ofrece la gráfica de la función de densidad dedistribución de Laplace con parámetros 0 y 1.

En la direcchttp://www.stat.ucla.edu/calculators/cdf/laplace/laplacecalc.phtml encontrará un calculador basado en la función de distribución Laplace. UCLA Statistics.

Especificando 3 de los siguientes valores proporciona el cuarto (enque debe introducirse un signo de interrogación): valor de probabilidad acumulada, parámetro media (Location Parameter)parámetro de escala (Scale Parameter). Como ejemplo, y basándonen los parámetros del gráfico anterior, se obtiene que Pr(X£ 20.932332.



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Otras direcciones en las que se pueden encontrar aplicacionesrelacionadas con la distribución de Laplace son las siguientes:Gráfico de la distribución acumulada.UCLA Statistics.




Distribución de ParetoEsta distribución depende de dos parámetros positivos, a y x0. Laintrodujo Pareto para describir unidades económicas tales comosalarios, rentas, etc., y se simboliza mediante Par(a , x0)Permite calcular la probabilidad, por ejemplo, de tener una rentasuperior a un determinado valor x0.

Si no se indica el segundo parámetro, se entiende que este valor es 1.A continuación se proporciona un gráfico en el que se muestran dosdistribuciones de Pareto con distintos parámetros.

SOFTWARE ADECUADOEn Internet podemos "bajar" de forma gratuita el programa STATLETSque se encuentra en http://www.statlets.com en su versión nocomercial, el cual, entre otras posibilidades que le da los 50 Javaapplets que contiene, permite obtener una serie de gráficos y de valorespara un amplio conjunto de distribuciones. El siguiente gráfico recoge lapantalla de este programa en su apartado de distribuciones, en el quese encuentran los nombres de las 24 distribuciones disponibles.Para llegar a esta pantalla ejecutamos el programa STATLETS y en elmenú elegimos Plot | Probability Distributions

Palmer, Jiménez y Rubí (1999). Tablas estadísticas en Internet I:Cálculo de probabilidades en las distribuciones comunes en el análisisde datos.

Esperanza y Variancia de las distribuciones d iscret

Uniforme di screta: UD(a,b)

Binomial negativa: BN(r,p)

Geométri ca: G(p)

Hipergeométrica: H(N,n,p)

Esperanza y Variancia de las distr ibuciones continuas.

Uniforme: U(a,b)

TriangularG

LogNormal



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Juan Orlando Basualto Cancino 9/9 juan basualto02@docentes inacap c

Gamma: G(l ,k)

Exponencial: Exp(l )

Weibull : W(a ,b )

Valor extremo

Beta: B(p,q).

Cauchy: C(m ,q )

Ver Aranda y Gómez (1992, p. 145)

Logística

Laplace: L(L,S)

Pareto: Par(a , x0)

ReferenciasAranda, J. y Gómez, J. (1992). Fundamentos de estadística peconomía y administración de empresas. Barcelona: Ed. P.P.U.Castillo, E. (1978). Introducción a la estadística aplicada. Tomo Santander (editado por el autor).Lindsey, J.K. (1995). Introductory statistics. A modelling approaOxford: Clarendon Press.Mendenhall, W., Scheaffer, R. y Wackerly, D (1986). Estadístmatemática con aplicaciones. México: Grupo Editorial Iberoamérica.Miller, J. (1997). CUPID: a program for computations with univariprobability distributions. Versión 1.1. Department of PsycholoUniversity of Otago. Dunedin, New Zealand.

Palmer, A. (1995). Fundamentos matemáticos para el análisis de daen Psicología. Palma de Mallorca: Universitat de les Illes BaleaCol.lecció materials didàctics, 3.Palmer, A., Jiménez, R. y Rubí, A. (1999). Tablas estadísticas Internet I: Cálculo de probabilidades en las distribuciones comunes el análisis de datos.Walpole, R. y Myers, R. (1992). Probabilidad y estadística. México: Graw-Hill.TablasDomènech, J.M. (1987). Tablas de estadística. Barcelona: EditoHerder.Meredith, W. (1971). Manual de tablas estadísticas. México: Ed. TrillaPalmer, A. (1995). Tablas de estadística. Palma de Mallorca: Universde les Illes Balears. Col.lecció materials didàctics, 7.Pearson, E.S. y Hartley, H.O. (eds.)(1954). Biometrika tables statisticians, Vol.1. Cambridge University Press.Zar, J.H. (1984). Biostatistical analysis (2ªed.). Prentice-Hall

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