“AÑO DE LA DIVERSIFICACIÓN PRODUCTIVA Y DEL FORTALECIMIENTO DE LA EDUCACIÓN"

“UNIVERSIDAD NACIONAL TORIBIO RODRIGUEZ DE MENDOZA”CURSO: METODOS

ESTADISTICOS

DOCENTE: LIC. VICKY BRACO MEJIA

INTEGRANTES: ASTONITAS CARRASCO LIZ JHOANA MEZTANZA INGA IRIS THALIA

TEMA:*DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA DISCRETA

*DISTRIBUCION DE VARIABLE ALEATORIA CONTINUA

DISTRIBUCIÓN DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y

CONTINUAS

I.- DISTRIBUCIONES DE VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS:

 Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede tomar un número determinado de valores:

Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6; en una ruleta el número puede tomar un valor del 1 al 32.

A.- BERNOUILLI

 Es aquel modelo que sigue un experimento que se realiza una sola vez y que puede tener dos soluciones: acierto o fracaso.

Cuando es acierto la variable toma el valor 1

Cuando es fracaso la variable toma el valor 0

p + q = 1

*EJEMPLO 1: Probabilidad de salir cara al lanzar una moneda al aire:

Probabilidad de que salga cara: p = 0,5

Probabilidad de que no salga cara: q = 0,5

 

p + q = 0,5 + 0,5 = 1

Donde:

B.- BINOMIAL: 

 La distribución binomial parte de la distribución de Bernoulli:

 Se basa en los ensayos de Bernoulli, es decir en el éxito y en el fracaso.

La función de probabilidad de la variable aleatoria binomial con parámetros P y n; esta dado de la siguiente manera:

Dónde: E[x]=np

V[x]=npq

 EJEMPLO 1:

1.-si x tiene una distribución binomial con parámetros p,n talque su esperanza matemática es de 3 y su varianza 2.4.

-B (n,p)-E[x] = 3-V[x] = 2.4 ¿Calcular cuando la probabilidad de P [x=2] , P[x>2] , P[3<x≤5]?

 

Solución :

a) V[x]=2.4 b) q=1-p c) E(x)= np

V[x]=npq p+q=1 3=n(0.2)

V[x]=E[x]q p+0,8=1 15=n

2.4 = 3q p=0,2

q = 0.8

P[x=2]

P[x>2] = 1- p[x≤2]

=1-[ p(x=0) + p(x=1) + p(x=2) ]

=1- [

= 1- [0.035 + 0.1319 + 0.23] = 0.6031

P[3<x≤5] = p[x=4] + p[x=5]

=

= 0.1876 +0.1032 = 0.2908

 

C.- POISSON: 

Se dice que la variable aleatoria discreta X cuyos valores posibles son: de 0, 1,2…etc, tienen distribución de Poisson con parámetros λ (λ>0) y se escribe que x~p(λ) su función de probabilidad está dada de la siguiente manera:

Dónde: X = 0, 1,2…

E[x] = λ

V[X] = λ

λ = np

*EJEMPLO 1: 1.- un líquido contiene cierta bacteria con un promedio de 3 bacterias. Calcular la probabilidad de que en una muestra: a) de 1/3 cm3 no contenga bacteria alguna.b) de 2 cm3 contenga por lo menos una bacteria. Solución: n=3

P[x≥1]=1- P[x<1]

= 1-[p(x=0)]

=1 -

II.-DISTRIBUCION DE VARIABLES ALEATORIAS CONTINUAS:

 Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de posibles soluciones:

Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42,376541kg, etc); la esperanza media de vida de una población (72,5 años, 72,513 años, 72,51234 años).

 A.- UNIFORME O RECTANGULAR:

Es aquella que puede tomar cualquier valor dentro de un intervalo, todos ellos con la misma probabilidad.

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene una distribución uniforme en el intervalo de números reales[a,b], a<b y se describe por X~ U[a,b], si su función de densidad de probabilidad es:

La gráfica de la función de densidad:

La gráfica de distribución acumulativa uniforme:

TEOREMA:

Si l variable aleatoria X tiene distribución uniforme en el intervalo [a,b] entonces:

a) Su media es:

b) Su varianza es , Var(X) =

 

EJEMPLO 1:

El volumen de precipitaciones estimado para el próximo año en la ciudad de Sevilla va a oscilar entre 400 y 500 litros por metro cuadrado. Calcular la función de distribución y la precipitación media esperada:

b: es el extremo superior (en el ejemplo, 500 litros)

a: es el extremo inferior (en el ejemplo, 400 litros)

Es decir, que el volumen de precipitaciones esté entre 400 y 401 litros tiene un 1% de probabilidades; que esté entre 401 y 402 litros, otro 1%, etc.

El valor medio esperado es:

Es decir, la precipitación media estimada en Sevilla para el próximo año es de 450 litros.

B.- NORMAL:

 Esta distribución de caracteriza porque los valores se distribuyen formando una campana de Gauss, en torno a un valor central que coincide con el valor medio de la distribución:

Un 50% de los valores están a la derecha de este valor central y otro 50% a la izquierda

Esta distribución viene definida por dos parámetros:

y se denota por : X ~ N ()

FÓRMULA

Donde:

* : Es el valor medio de la distribución y es precisamente donde se sitúa el centro de la curva (de la campana de Gauss).

* es la varianza. Indica si los valores están más o menos alejados del valor central: si la varianza es baja los valores están próximos a la media; si es alta, entonces los valores están muy dispersos.

C.- CHI-CUADRADO: 

Se dice que la variable aleatoria continua X tiene distribución chi-cuadrado con r grados de libertad y se denota por X ~ (r), si su función de densidad es:

Donde r es un número positivo. Su gráfica, para distintos valores de los grados de libertad se muestran en la siguiente figura:

Gráfica de la distribución Chi-cuadrado

NOTA:

Si X~( r ), esto es, si X ~ r (r/2 , ½), entonces,

a) Su media es µ=r

b) Su varianza es

EJEMPLO 1:

Si X~( 26 ), obtenga:

a) P[X≤17.29]

b) P[X≥38.89]

c) P[13.84≤X≤45.64]

d) P[X≤40]

Solución:Aplicando la tabla del chi-cuadrado se tiene que

a) P[X≤17.29] = 0,10

b) P[X≥38.89] = 1-0.95 = 0,05

c) P[13.84≤X≤45.64] = 0,99 – 0,025 = 0,965

d) P[X≤40] que corresponde al valor 38.89 , el más cercano a 40