VARIABLE ALETORIA

Una variable aleatoria es una función que asocia un valor numérico a cada posible resultado de un experimento aleatorio. Se denotan las v.a. con letras mayúsculas, y sus posibles valores con letras minúsculas.

V.A. DISCRETA Una variable aleatoria es discreta si toma un número finito o

numerable de valores

X =“resultado al tirar un dado” es una variable discreta.

FUNCIÓN DE PROBABILIDAD

Sea X una variable aleatoria discreta con posibles valores {x1, x2 , . . .} Se llama función de probabilidad o función de masa, al conjunto de probabilidades con las que X toma cada uno de sus valores, es decir, pi = P[X = xi ], para i = 1, 2, . . . .

Ejemplo X = resultado de lanzar un dado. La función de probabilidad es

Propiedades FUNCIÓN DE PROBABILIDAD)1. 0 ≤P X=xi ≤1 3. P X≤x =∑ P(X=xi)

�i,xi≤x

2. P X>x =1−P(X≤x)4. ∑ P X=xi =1.�i

xi 1 2 3 4 5 6

pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Es la función (acumulada) F X =P(X≤x). Está definida para todos los valores de la variable X (Dom=R)

EjemploX=lanzar un dado

x 1 2 3 4 5 6

P(X=x) 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

F(x) 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 1

PROPIEDADES

1. F(- ∞)=02. F(∞)=13. Si x≤y, entonces F(x)≤F(y)4. Es una función de tipo escalón

DISTRIBUCIONES DISCRETAS Y CONTINUAS

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q ocurre un determinado suceso A (ÉXITO)q no ocurre dicho suceso, o sea que ocurre su complementario, A&

(FRACASO)P A =p, P A& =1−p=q

ESPERANZA Y VARIANZA DE UNA V.A.

E(X)=∑ xi·P X=xi = x1·p1+x2·p2+⋯+xn·pn�i

Var(X)= ∑ xi2·P X=xi − E(X)2�

i

xi 1 2 3 4 5 6

pi 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6

xi·pi 1/6 2/6 3/6 4/6 5/6 6/6 21/6

xi2·pi 1/6 4/6 9/6 16/6 25/6 36/6 91/6

Ejemplo

E(X)=21/6Var(X)=91/6-(21/6)2=105/36=2,92

MODELOS PROBABILÍSTICOS

MODELO BERNOULLI

Tenemos un experimento aleatorio donde sólo hay dos posibles resultados, a los que llamaremos: éxito o fracaso.

X= ' 1 si éxito0 si fracaso

X~Bern(p)

EjemploTirar una moneda al aire X= '1 si sale cara

0 si sale cruzX~Bern(1/2)

x 0 1

p 1/2 1/2

x·p 0 1/2 1/2x2·p 0 1/2 1/2

E(X)=pVar(X)=p-p2F x =(

0 si x<01−p si 0≤x<1

1 si x≥1

E(X)=1/2Var(X)=1/4

Suma total

Uno de los modelos más utilizado en aplicaciones prácticas el la distribución binomial

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MODELO BINOMIAL

Repetimos n veces un experimento Bernoulli de parámetro p en las mismas condiciones (independencia). La variable aleatoria del nº de veces que ocurre el suceso A (nº éxitos) como Binomial(parámetros n y p), Bin(n,p)Rec X={0,1,2,3,…}

X~Bin(n,p)P X=x = n

x ·px·(1−p)n−x donde n

x = n!x!· n−x !

EjemploEl 20% de un determinado pueblo ve un concurso que hay en televisión. Desde el concurso se llama por teléfono a 10 personas del pueblo elegidas al azar.Definimos X=nº de personas que están viendo el programa ~ Bin(10 , 0.20) Rec(X)={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}a) Calcula la probabilidad de que ocho personas estuvieran viendo el programaP(X=8)= 10

8 · 0,28·(1−0,2)2= 0,000074b) Calcula la probabilidad de que más de ocho personas estuvieran viendo el programaP(X>8)=P(X=9)+P(X=10)= 10

9 · 0,29·(1−0,2)1+ 1010 · 0,210·(1−0,2)0

=0,000004+0,0000001=0,0000041c) Algunas de las diez personasP(X>0)=1− P X≤0 =1−P X=0 =1− 10

0 · 0,20·(1−0,2)10=1-0,11=0,89c) Calcular la media y la varianzaE(X)=10· 0,20=2Var(X)=10· 0,2· 0,8=1,6

E(X)=n·pVar(X)=n·p·(1-p)=n·p·q

V.A. CONTINUA Una variable aleatoria es continua si puede tomar cualquier tipo

de valor

FUNCIÓN DE DISTRIBUCIÓN

Es la función (acumulada) F X =P(X≤x). Está definida para todos los valores de la variable X (Dom=R). (no son tipo escalón)

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PROPIEDADES

1. F(- ∞)=02. F(∞)=13. Si x≤y, entonces F(x)≤F(y)4. F(x) es continua

En variables continuas no tiene sentido la función de probabilidad ya que P(X=a)=0.

FUNCIÓN DE DENSIDAD

f(x)=F´(x)

PROPIEDADES

1. f x ≥02. P a≤X≤b =F b −F a3. F(x)=P(X≤x)4. ∫ f x dx=1∞

−∞5. P(X=a)=0

E X = + x· f x dx∞

−∞Var(X)=∫ x2· f x dx − E(X)2∞

−∞

DISTRIBUCIÓN NORMAL

Uno de los modelos de variables continuas más importantes es la distribución normal.X~N µ,σ siendo µ media y σ la desviación típica

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/PROPIEDADES

𝑆𝑖X~N µ,σ ⇒ (P µ−σ<X<µ+σ ≈0,683

P µ−2σ<X<µ+2σ ≈0,955P µ−3σ<X<µ+3σ ≈0,997

REGLA 68-95-99

0,997

0,683

0,955

𝛍-3𝛔 𝛍-2𝛔 𝛍-𝛔 𝛍+𝛔 𝛍+2𝛔 𝛍+3𝛔

PROPIEDADES

SiX~N µ,σ , Y=aX+b⇒Y~N(aµ+b, a σ)SiX~N µ,σ ⇒ 𝑍 = @AB

C~𝑁(0,1)

TEOREMA CENTRAL DEL LÍMITE

Sean X1, X2,…,Xn un conjunto de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas con media 𝛍 y desviación típica 𝛔, si n es suficientemente grande (n>30)

𝑋H = ∑ @I�IJ~𝑁 𝜇, C

J�. ∑ 𝑋L~𝑁(𝑛𝜇, 𝜎 𝑛� )�

L

𝑋H − 𝜇𝜎

𝑛�P~𝑁(0,1)

LA SUMA DE MUCHAS VARIABLES INDEPENDIENTES E IGUALES, TIENE UNA DISTRIBUCIÓN NORMAL.

APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL

Si X~Bin n,p con n grande (n>30)⇒

X~N np, np 1−p� . X−np

np(1−p)� ~N(0,1)

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/APROXIMACIÓN DE LA BINOMIAL A LA NORMAL

Si X~Bin n,p con n>10, n·p>5, n·(1−p)>5 grande ⇒

X~N np, np 1−p� . X−np

np(1−p)� ~N(0,1)

CORRECCIÓN DE CONTINUIDAD

a-0,5. a+0,5

x=a. x=a+1

a+0,5

x=a

x=a-1 x=a

a-0,5

P 𝑋Q=a =P a−0,5 ≤ 𝑋R ≤ a+0,5 P 𝑋Q≤ a =P(𝑋R≤ a+0,5)

P 𝑋Q < a =P(𝑋Q ≤ a−1)=P 𝑋R ≤ a−0,5

P a ≤ XB ≤ b =P(a−0,5 ≤ 𝑋R ≤ b+0,5)

P 𝑋Q > a =P(𝑋R ≥ a+0,5)

P 𝑋Q ≥ a =P(𝑋R ≥ a−0,5)

P a ≤ 𝑋Q < b =P(a−0,5 ≤ 𝑋R ≤ b+0,5)